專題03不等式

選擇題

1.(2023?重慶一模)設X,y≡Rf且0<x<y<l,則()

O91

A.X>yB.tanx>tanyC.4Λ>2yD.x+->y(2-y)

x

【答案】D

【分析】對選項進行逐個分析，即可解出.

【詳解】解：令X=g，y=；則Y<y2,tanX<tany,故選AB錯誤；

令X=?L,y=L則4*=2?故選項。錯誤；

4-2

選項O,x+->2.x×-=2,y(2-y)=2y-y2<2y<2,故x+4>y(2-y),故選。IE確，

X?XX

故選D.

2.(2023?青海一模)若0<α<6<l,則()

A.eb—ea<Inb—InaB.efc-ea..Inb—Ina

C.bea,,aehD.be">aeb

【答案】D

【分析】先構造函數/(x)=e*-∕"x(0<x<l),求出其單調區間，再判斷4?,再構造函數

/z(x)=≤(0<x<l),求出其單調區間，再判斷8.

X

【詳解】解：設/O)=靖一/nx(0<x<l),則r(x)=eA-L

X

設g{x}=ex,則g,(x)=v+?>0,

XX

:.g(x)=ex--^E(0,1)上單調遞增，

X

gφ=√e-2<0.g(∣)=e3-∣>0-

.?.存在％e(g,1),使得/(x)在(0,%)單調遞減，

在(Xo,1)單調遞增，.?.45都錯誤，

設〃(X)=J(O<x<l),

X

則砍X)="?"0<0?(0,l)上恒成立，

X

.??∕ι(x)在(0,1)上單調遞減,

OVaVb<1,:.h(a)>h(b),

ab

—>—,.?.6e">αe",r.C錯誤，。正確,

ab

故選D.

3.（2023?山東一模）已知2*=3>'=6,則下列不等關系正確的有（）

X1II

A.—>2B.xy<4C.x+y<4D.—+—>—

yXy2

【答案】D

【分析】依題意，x=log26,j=log36,然后再利用基本不等式即可得出正確答案.

【詳解】解：依題意，X=Iog26,y=Iog36,

X_/%6_IogR

對于A,=Iog23<2,選項A錯誤;

y%6bg2

11

---------------=--------------->----------------------

對于B,xy=log26log36==4,選項B錯誤;

1%2IogGlogh2logβ3?2+?32

2

./,,11IogC+log(、2

對于x+y=log.6+log,6=-------+-------=—--------->選項錯誤;

C,2=4,C

?∣ogβ2log63log62dog63log62+log632

12'

1191

對于C，—÷-=(∕*2)2+(∕*3)2=1-2log62log63>1-…吟4,選項「正確.

Ly2

故選D.

4.(2023??？谝荒?己知x,y∈ΛJ≡Lx≠O,貝∣J"x>y”是“工>g■”的()

XX"

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】從充分性和必要性兩個角度分別判斷，即可得出答案.

【詳解】解：（法一）當0>x>y時>0<-%<-y,則一~1<―",即1>冬；

X廠XX

當X>y>0時，2>??,EP?>-?;

XXXX

當x>0..y時，,>斗；

XX

.,.%>丁是L>多的充分條件；

XX

當時，由于χ2>0,則χ>y,即x>y是的必要條件；

XXXX

綜上，x>y是」>與的充要條件.

XX

(法二)x≠0,

.,.%2>0,

由x>y兩邊同時除以得1>=■,充分性成立：

Xx~

由！>g兩邊同時乘以V,得χ>y,必要性成立.

XJr

.?.x>y是!>多的充要條件.

Xx~

故選C?

5.(2023?江西-模)已知集合4=卜|2]..。},8=[-2,2],則AjlB=()

A.[1,2]B.[-1,1]C.(-1,2]D.[-2,-l)?[l,2]

【答案】D

【分析】由己知先求出集合A,然后結合集合交集運算可求.

【詳解】解：因為A={x∣巖..θ1.B=[-2,2],

所以A={x∣x.l或XC-1},

則A「8=[1,2]J[-2,-IJ.

故選D.

6.(2023?武漢一模)已知實數α,匕滿足α+6=αb(">l,"l),則(即1>+g-l>的最小值為()

A.2B.1C.4D.5

【答案】A

【分析】利用重要不等式求最值即可.

【詳解】解：a+b=ab(a>?,b>Y),

:.(a-l)1+(h-?)2..2(,a-?)(h-l)=2(ah-a-h+?)=2,

當且僅當a—1=6—1,即a=6=2時等號成立，

.?.(α-1)?+(b-I)2的最小值為2,

故選A.

7.(2023?安徽一模)若實數”,b滿足2α+0=3(α>1),則烏一+—也的最小值為()

22a-?h-?

A.6B.4C.3D.2

【答案】A

【分析】先變形得到(2CL1)+(6-1)=1,再利用“1”的代換和基本不等式求最值即可.

【詳解】解：2a+b=3(a>^,b>?),.?.20-l>O,?-l>0.

Λ(2Λ-1)+(?-1)=I,

烏-+±=」一+」-+2=(」一+-?(24-l)+S-l)]+2

2a-lb-?2a-?b-?2a-?b-?

-^―!-+^―!-+4..2√T+4=6,

2a-lb-1

當且僅當曰=2二1,即α=3,b=3時等號成立,

2?-1b-↑42

烏_+_也的最小值為6,

2a-ib-?

故選A.

1

8.(2023?浙江一模)設工是實數，則“％>3”是x-->2”的()

X

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】解不等式X-3>2,再判斷充分必要條件即可.

X

【詳解】解：x-->2,.?.x---2>0.

XX

即(x-3)(x+D>0,故τ<χ<o或χ>3,

X

故“x>3”是“X-3>2”的充分不必要條件，

X

故選A.

71

9.(2023?安徽一模)已知α>0S>0,6α+*=l,則」-+62的最小值為()

b2a

A.13B.19C.21D.27

【答案】D

【分析】根據題意，利用基本不等式即可求出」-+68的最小值.

2a

【詳解】解：因為q>O,b>O,6"+2=l,

b

所以工+6人=(工+6份(6a+2)=15+,+36a4.15+2)工-36，力=15+12=27,

2a2abab?ab

當且僅當-!-=36必，即“=6=3時取“=”，

ab18

所以J_+6b的最小值為27.

2a

故選D.

10.(2023?山西一模)若α<6<0,則下列結論中正確的是()

A.a2<β2B.^+->2

aβ

C.(g)“<(g)"D.sina<sinβ

【答案】B

【分析】直接利用不等式的基本性質的判斷A、B、C、O即可.

【詳解】解：a<β<O,.?.-a>-β>O,:.a2>β2,故A錯誤;

ex<β<Q>—>0,—>0,H—..2./—,—=2.a豐。,:.邑L—>2,故BE確;

βaaβVaβaβ

0<g<l,α<6,.?.（g）a>（；）#.故C錯誤；

令α=-τr,4=此時Sina=0，sin∕J=-l,Sina>sin萬.故￡）錯誤.

故選B.

11.（2023?湖北一模）已知正實數無，y滿足x+y=2,則上+上的最小值為（）

X）

9

A.?B.5C.9D.10

2

【答案】A

【分析】根據題意，可得L+±=Ld+3（χ+y）,再利用基本不等式求出最值即可.

Xy2Xy

【詳解】解：因為正實數％,y滿足x+y=2,

所以，+&=，（，+—）（?+y）=J（1+2+”+4）

Xy2Xy2xy

..2（5+2J匕竺）=-,當且僅當丁=4X2時取等號，

2]∣Xy2

所以的最小值為2.

Xy2

故選A.

12.(2023?寧波一模)已知實數α,b滿足"+層=6,則質的取值范圍是()

A.(0,3]B.(-8,3]C.(-∞,-3]J[3,+∞)D.[-3,3]

【答案】D

【分析】由己知結合基本不等式即可直接求解.

【詳解】解：6=a2+b2..2ab,當且僅當α=b時取等號,

解得她,3,

又+b)2=a?+/+2ab=6+2cιb..O,

所以成…一3,

故一3歿山入3.

故選D.

13.(2023?安徽一模)已知α>h>c>d>O,ELa+d=b+c,則以下不正確的是()

dC

A.a+c>b-?-dB.ac>bdC.ad<bcD.—>—

bd

【答案】D

【分析】利用不等式的性質判斷選項A、B,利用平方法判斷選項C,進而判斷選項。即可.

【詳解】解：a>b>c>d>0,

.?.a+c>b+d,ac>bd；

即選項A、6正確；

a—d>b-c>Qι

:.(a-d)?>(b-c)2,

即(Q+d)?-4ad>(?+c)2-4bc,

ad<be

故選項C正確；

ad<be

ac

.,.—<—,

bd

即選項。錯誤；

故選D.

二.多選題

14.(2023?福州一-模)若X,y滿足X2+盯+V=3,則()

A.2r+)W2百B.2x+y^-1C.x2+y2-xγ≤8D.x2+y2-xy^1

【答案】AD

2

【分析】設r=2x+y,由條件可得3,-3rx+t-3=0,由判別式大于等于零可求得，?值域，進而判斷4、

B；由x2+xy+)2=3,可得：3-xy=x1+y2^2?xy?,進而得出孫的范圍，解得/+)?-Xy=3-Zry的范圍，

可判斷C、D.

【詳解】解：設r=2r+y,則y=r-2r,代入/+芍+)2=3,可得3Λ2-3rx+r2-3=0,由A=9r2-12(r2

-3)NO可得：√≤12,解得：一2百≤r≤2g,A正確，8錯誤；

由7+Xy+『=3,可得：3-xy=∕+y2N2∣Xy當個No時，ιy<l,當盯Vo時，孫，-3,故-3WJQ≤1,

x2,+y2-xy=3-2xy∈[1,9],C錯誤，。正確.

故選AD.

15.(2023?鄭州一模)已知a,h,CGR,S.a>b>O,則()

A.ac>beB.若。<c,貝!]αv|cI

C.a-^-b<y∣2(a2+b2)D.若a>c，則α+∣c∣>∣a+c∣

【答案】BC

【分析】對于AD,舉反例排除即可；對于8,由條件得ICl=c,從而得以判斷；對于。，利用基本不

等式求解即可.

【詳解】解：對于A,當C=O時;ac=O=bc,故A錯誤；

對于8,因為a>0,所以OVaVC,則ICl=c,故。<∣c∣,故8正確；

22222222

對于C,因為α>>>0,所以2(/+6)=/+?+(a+b)..a+b+2cιb=(a+b),則〃+么,y]2(a÷?),

當且僅當α=6時，等號成立，顯然白≠b,所以α+b</節弓，故C正確；

對于O,當C=O時，a+?c?=a=?a+c?y故。錯誤.

故選BC.

16.(2023?寧波一模)已知正實數。、人滿足/+∕72-3+b)+Qb=l,則()

A.α+0的最大值為2B.a+6的最小值為L茁

2

C.〃+從的最小值為2D./+戶的最大值為3

【答案】AC

【分析】利用基本不等式可得出關于a+b的不等式，解出a+b的取值范圍，可判斷Λβ選項；由已知可

得出療+/=4+4+2(4+3)+2,利用二次函數的基本性質結合a+6的取值范圍，可得出儲+從的

取值范圍，可判斷S選項.

【詳解】解：正實數〃、。滿足/+從-5+勿+必=1,

.?.1<(<2+?)2-(a+?)=1+ah,,l+("+'')2，

2

a+b>O,解得匕或<〃+公2,當且僅當a=Z?=l時，a+b取最大值2,則A對3錯；

2

a2+bλ-(a+b)+ab=(a+b)2-(t?+?)-+——("+')=[,

/.CT+b2=-(a+b)2+2(α+b)+2,

令r=α+6e(上手,2],則函數y=-r+2f+2在(止叵,2]上單調遞減，

.?.2+b2=-(a+?)2+2(a+b)+2e[2,C對。錯.

a2

故選AC.

17.(2023?海南一模)已知正數“，b滿足4A+2?=l,貝∣J()

A.-L+2的最小值為8B."的最大值為-L

2ab32

C.44+-!-的最小值為2D.16片+46的最小值為工

4a2

【答案】ABD

【分析】由己知結合基本不等式分別檢驗各選項即可判斷.

【詳解】解：因為正數”，b滿足4a+2?=l,

4α+2Z?4α+2b

4」+L÷----------

2ab2ab

當且僅當e=色且4z+2?=l,即a=',b=_L時取等號，A正確；

ah84

B：因為l=4α+2b..2瘋區，BPa=I,匕=工時取等號，

84

解得ab,,—,6IE確：

32

C：由題意得給=1一面>0可得0<αvL,

4

故4a+-L..2」4a，=2,當且僅當4。=!，即a=’時取等號，但顯然等號取不到，C錯誤;

4aV4a4a4

D:16a2+4?2=(40)2+(2?)2..2×(皿+%=?時取等號，D正確.

22

故選ABD.

三.填空題

]]2

18.(2023?吉林一模)已知正實數X,y滿足x+y=+,則'一+^^的最小值為

53x+yx+2y

【答案】9

【分析】由x+y=工得出5x+5V=1,再由---F---=--------------

53x+yx+2y3x+y2x+4y

,利用乘“I”法求最小值即可.

【詳解】解：因為x+y=/,所以5x+5y=I,

所以」一+二一

3%+yx+2y3x+y2x+4y

2x+4y4(3x+y)

)[(3x+y)+(2x+4y)J=1+4+

3x+y2x+4y

2+22x+4y,4(3x+y)=5+2X2=91

N3x+y2x+4y

當且僅當生也=膽現12

即y=2r,即x=—,y=—時取“=

3x+y2x+4y1515

所以最小值為9.

故答案為：9.

19.（2023?重慶一模）已知實數”,〃滿足/=而+1,則3〃-4〃的最大值為

2

【答案】2

【分析】由笳=。6+1得匕=a-工，然后化簡利用基本不等式即可求解.

22a

【詳解】解：由a?=。，+!■得，=,

22a

2222

則3合-4?=-a-J-+4=