靜安區2022學年第二學期教學質量檢測

高三數學試卷20234

考生注意：

1.本試卷共5頁，21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘.

2,本試卷分設試卷和答題紙.試卷包括試題與答題要求.作答必須涂（選擇題）或寫（非選擇

題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分.

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中1~6題每題4分，7~12題每題5分）

【考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果,]

1.若集合A={2,log2d},B={a,b）,且APlB={0},則AUB=.

2.已知{即}是公比為q的等比數列，且。2、。4、成等差數列，貝叼2=.

9

3若復數z三（i為虛數單位），則|zi|..,

1i

4.已知AQ2）,B（WD兩點在對稱軸為坐標軸的橢圓上，則橢圓的標準方程為

5已知0,,且3cos28cos5,則cosa=.

6.已知aABC中，sinA=3sinCcosB,且AB=2,則4ABC面積的最大值為.

7.已知函數/（x）=X-（a>0）為偶函數，則函數〃尤）的值域為.

&已知向量琵=（1,0,且心了的夾角卷?，（況通{2a-3）=4,則b在防向上的投影

向量等于___________.

9.某運動生理學家在一項健身活動中選擇了10名男性參與者，以他們的皮下脂肪厚度來估

計身體的脂肪含量，其中脂肪含量以占體重（單位：kg）的百分比表示得到脂肪含量和體

重的數據如下：

個體編號體重X(kg)脂肪含量y（%）

18928

28827

36624

45923

59329

67325

78229

87725

910030

106723

建立男性體重與脂肪含量的回歸方程為：?（結果中回歸系數保留三位小數）

10.如圖，正方體ABCD-ABCD中，E為AB的中點,F為正方形BCCM的中心,則直線EF與

1

側面BB,CC所成角的正切值是.

1L今年是農歷癸卯兔年一種以兔子形象命名的牛奶糖深受顧客歡迎.標識質量為500g的這

種袋裝奶糖的質量指標X是服從正態分布N(500,2.52)的隨機變量.若質量指標介于495g

(含)至505g(含)之間的產品包裝為合格包裝，則隨意買一包這種袋裝奶糖，是合格包

裝的可能性大小為_______%.(結果保留一位小數)

(已知。)?0.8413,(2)x0.9772,(3)工0.9987.⑶表示標準正態分布的密度函數

從-8到x的累計面積)

12若IO,一1Uy=lU其中x.yeR,則2xy

的最小值為__________.

二、選擇題(本大題共有4題，滿分18分，其中13~14題每題4分，15~16題每題5

分)

【每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂

黑，選對得相應分值，否則一律得零分.]

13.若直線1的方向向量為才，平面的法向量為方，則能使1//的是()

A.^=(1,0,0),^=(-2,0,0)B.才=(1,3,5),討=(1,0,1)

C,—=(1,-1,3),”=(0,3,1)D.才=(0.2,1),方=(-L0,-1)

14.摩天輪常被當作一個城市的地標性建筑，如靜安大悅城的“SkyRing'摩天輪是上海首個

懸臂式屋頂摩天輪摩天輪最高點離地面高度106米，轉盤直徑56米，輪上設置30個極

具時尚感的4人轎艙，擁有360度的絕佳視野.游客從離樓頂屋面最近的平臺位置進入轎

艙，開啟后按逆時針勻速旋轉t分鐘后，游客距離地面的高度為h米，h=-28cos(?)+

78.若在t,/時刻，游客距離地面的高度相等,則tt的最小值為q)

A.6B,12C.18D.24

15.設直線h：x2y20與12關于直線l：2xy40對稱，則直線b的方程是()

A.llx+2y-22=0B.llx+y+22=0

C.5xy110D.lOxy220

16.函數y=xInx()

A.嚴格增函數B.在P'三上是嚴格增函數，在(I+8)上是嚴格減函數

C.嚴格減函數D.在10'"上是嚴格減函數，在Q,+8)上是嚴格增函數

三、解答題(本大題共有5題，滿分78分)

【解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟.]

17.(本題滿分14分，本題共有2個小題，第(1)小題滿分8分，第(2)小題滿分6分)

已知各項均為正數的數列｛冊｝滿足的=1,an=2an_i+3(正整數n>2).

(1)求證：數列｛斯+3盤等比數列；

(2)求數列｛%｝的前n項和Sn.

18.(本題滿分14分，本題共有2個小題，第(1)小題滿分7分，第(2)小題滿分7分)

如圖，在五面體ABCDEF中，平面ABCD,AD//BC//FE,ABLAD,gAD=2t

AF=AB=BC=FE=1.

(1)求五面體ABCDEF的體積；

(2)若M為EC的中點，求證：平面CDE平面AMD.

19.(本題滿分16分，本題共有2個小題，第(1)小題滿分8分，第(2)小題滿分8分)

已知雙曲線：黑—2=1(其中，)的左、右焦點分別為()

(其中c>0).a>0b>0,-c,0、?2。0)

(1)若雙曲線過點⑵1)且一條漸近線方程為y=9x；直線1的傾斜角為a在y

軸上的截距為-2.直線1與該雙曲線交于兩點A、B,M為線段AB的中點，求△MFFz

的面積；

(2)以坐標原點0為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點為P.過

P作圓的切線，若切線的斜率為-齊，求雙曲線的離心率.

20.(本題滿分16分，本題共有2個問題，問題(1)滿分8分，問題(2)滿分8分)

概率統計在生產實踐和科學實驗中應用廣泛.請解決下列兩個問題.

(1)隨著中小學“雙減”政策的深入人心，體育教學和各項體育鍛煉迎來時間充沛的春

天.某初中學校學生籃球隊從開學第二周開始每周進行訓練，第一次訓練前共有6個籃球，

其中3個是新球(即沒有用過的球)，3個是舊球(即至少用過一次的球).每次訓練，都是從

中不放回任意取出2個籃球，訓練結束后放回原處.設第一次訓練時取到的新球個數為，

求隨機變量的分布和期望.

(2)由于手機用微波頻率信號傳遞信息，那么長時間使用手機是否會增加得腦瘤的概率?

研究者針對這個問題，對腦瘤病人進行問卷調查，詢問他們是否總是習慣在固定的一側接聽

電話?如果是，是哪邊？結果有88人喜歡用固定的一側接電話.其中腦瘤部位在左側的病人

習慣固定在左側接聽電話的有14人，習慣固定在右側接聽電話的有28人；腦瘤部位在右側

的病人習慣固定在左側接聽電話的有19人，習慣固定在右側接聽電話的有27人.

根據上述信息寫出下面這張2X2列聯表中字母所表示的數據，并對患腦瘤在左右側的

部位是否與習慣在該側接聽手機電話相關進行獨立性檢驗.(顯著性水平=0.05)

習慣固定在左側接聽電話習慣固定在右側接聽電話總計

腦瘤部位在左側的ab42

病人

腦瘤部位在右側的Cd46

病人

總計Q+Cb+d88

~=n(ad-bc)2

參考公式及數據：其中

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'n=Q+b+c+dP(2>3.841)?0.05

21.(本題滿分18分，本題共有3個小題，第(1)小題滿分4分，第(2)小題滿分6分，第(3)

小題滿分8分)

已知函數f(x)(al)xalnx.(其中a為常數)

(1)若。=-2,求曲線yf0在點(2,/Q))

處的切線方程；

(2)當a<0時，求函數y=f(x)的最小值；

(3)當0Wa<l時，試討論函數y=f⑸的零點個數，并說明理由.

靜安區2022學年第二學期教學質量檢測

高三數學試卷

20234

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中1~6題每題4分，7~12題每題5分）

1.{0,1.2}2.13訴

4:+匚=1里+等=1）5.4.6.3

丁Z11

7.（0,1]&（H）9.y=0.186x+ll.571

10.孚11.95.4或95.5都對.12.l+21g2

二、選擇題(本大題共有4題，滿分18分，其中13~14題每題4分，15~16題每題5

分)

13.C

14.B

15.A

16.D

三、解答題(本大題共有5題，滿分78分)【解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定

區域內寫出必要的步驟■1

17.(本題滿分14分，本題共有2個小題，第(1)小題滿分8分，第(2)小題滿分6分)

解：(1)證明：已知遞推公式斯=2斯_1+3,兩邊同時加上3,得

%+3=2(an-i+3fn>2),

an>0,+3>0,故^^?=2(nN2),

(直接將已知遞推公式代入等比數列定義計算也可：_2J+3+3_)

又的+3=4,所以數列｛斯+3｝是以的+3=4為首項、以2為公比的等比數列.

(2)數列｛冊+3｝通項公式為4=2計1-3,Sn=華箸=Zn+2_4_3n

18.(本題滿分14分，本題共有2個小題，第(1)小題滿分7分，第(2)小題滿分7分)

解：證明⑴因為AD=2,AF=AB^BC=FE=1'取AD中點N,連接EN,

因為4D〃BC〃FE,所以EN//AF,EN=AF=1,CN〃=AB=1

又FA_L平面ABCD,AB±AD,所以EN平面ABCI),ABF-NCE為底面是等腰直角

三角形的直棱柱，高等于1,三棱錐E-CDN是高等于1底面是等腰直角三角形.

五面體ABCDEF的體積=棱柱ABE-NCE的體積+棱錐E-CDN的體積.

1112

BP：V=-xlxlxl+-x-xlxlxl=-.

（2）以A為坐標原點，以為x,￥z軸正半軸建立空間直角坐標系.

---()1

點C(l,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1),,f,),所班。=0,2,0,MD^Z，1,一

29…)

——r^-7?r=i-L=o

得至ij：CEYC=0,

所以CEAD,CEMD

所以CE平面AMD

又CE平面CDE,

平面CDE平面AMD.

證法2:因為AC=AE=V2,所以^ACE為等腰三角形，M為EC的中點，所以AMCE；

同理在4NCE中，MNCE,（N為AD中點）

又AM、MN平面AMD,

所以CE平面AMD

又CE平面CDE,

平面CDE平面AMD.

（說明：推導CE平面AMD的路徑不唯一）

19.（本題滿分16分，本題共有2個小題，第（1）小題滿分8分，第（2）小題滿分8分）

鼠=1漸近線方程為y=±

解：Q）雙曲線：獷一-xy=與x

0,已知一條漸近線方程為2

所以a=y/2b,

雙曲線經過點（2,1）,所以3一;=1

解得a2=Z,必=1.

所以，雙曲線：y-y2=1,

直線1的傾斜角為京則斜率為1,方程為：y=x-2,代入雙曲線方程得：

x2-8x+10=0,設兩點A、B坐標分別為（%小）、僅“2），則

+%2=8,x=4,y=2.

F1F2=2V3,△時尸1尸2的面積=，x2>/3x2=2y/3.

⑵圓方程：N+y2=C2,

方法1：設過p作圓的切線與X軸交于點Q,由PQ斜率為-避，可知直角三角形POQ

中,OP=c,PQO=1PQ=*,0Q等c,從而點P的縱坐標等于

因為點P在圓X2+Y2=C2上，所以代入計算得點p的橫坐標等于9G點P又在雙曲線

：.一、=1上,將臣,#)代入得篝-1=4,

離心率e=：>l,爐=。2-。2,所以3e2-1=4,整理得304-戊2+4=U解得

e2=2,所以雙5線的離心率為亞?

方法2:將圓方程與橢圓方程聯立，求得P(巫匕吟，過點P的切線方程為坦巴x+

CCC

：y-c2=0,若該切線的斜率為一?則一空1匕晟=-W，即a2?2+c2尸3b4"2=

c2-a2代入整理得：3c4-8a2c2+4a4=0.e=51,3e^-8e2+4=0,解得e2=2,

所以雙曲線的離心率為調.

20.(本題滿分16分，本題共有2個問題，問題(1)滿分8分，問題(2)滿分8分)

(1)解：第一次訓練時所取的球是從6個球(3新，3IH)中不放回取出2個球，所以可判

斷出服從超幾何分布，可取的值為0,1,2.

p0Lp10；C2.p2-

C65C?5C65

22

/012\

的分布為：2.三￡I

\555/

1R1

E011-2-1

555

(2)a=14,b=28,c=19,d=27,a+c=33,b+d=55.

提出原假設Ho：患腦瘤在左右側的部位與習慣在該側接聽手機電話無關.

計算2的值，2力595.

統計決斷：由P(2>3,841)?U.0b而O.595<3.841,小概率事件沒有發生，故不能否定原

假設.

因此，腦瘤病患在左右側的部位與習慣在該側接聽手機電話無關，或者說，長時間使用手機

與是否得腦瘤沒有顯著關系.

21.(本題滿分18分，本題共有3個小題，第(1)小題滿分4分，第(2)小題滿分6分，第⑶

小題滿分8分)

解：(1)當a=—2時，/(2)=2+2-21n2=4-21n2,

(xa)(x1)

■f3=2,

切線方程為：y—〃2)=2(x—2),即2久一丫-21n2=0.

所以曲線yf(x)在點()處的切線方程為：2x-y-21n2=0.

(2)y=f(x)的定義域裊心2))，

令『(x)&a)(xD0,解得X]&必1

當a0時，f(x)與f'G)(Q+)

三區間上的情況如下表：

X(Q1)1(1)

f(x)0

f(x)極小值

此時f(x).g=f(Da1，且當0