第8章：概率題型一條件概率的性質及應用【例1】（2023春·江蘇無錫·高二江陰市華士高級中學校聯考期中）在某地區進行流行病調查，隨機調查了100名某種疾病患者的年齡，發現該100名患者中有30名的年齡位于區間內.已知該地區這種疾病的患病率為，年齡位于區間內人口占該地區總人口的.現從該地區任選一人，若此人年齡位于區間內，則此人患該疾病的概率為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設此人年齡位于區間為事件A，此人患病為事件B.則所求概率為.故選：C【變式1-1】（2023春·云南曲靖·高二會澤縣實驗高級中學校校考階段練習）2022年12月4日是第九個“國家憲法日”.某中學開展主題為“學習憲法知識，弘揚憲法精神”的知識競賽活動，甲同學答對第一道題的概率為，連續答對兩道題的概率為.用事件A表示“甲同學答對第一道題”，事件表示“甲同學答對第二道題”，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依題意，故選：【變式1-2】（2023春·福建泉州·高二校考階段練習）高二甲、乙兩位同學計劃端午假期從“韓陽十景”中挑個旅游景點：廉村孤樹、龜湖夕照、南野桑、馬嶼香泉隨機選擇其中一個景點游玩，記事件甲和乙至少一人選擇廉村孤樹，事件甲和乙選擇的景點不同，則條件概率__________．【答案】【解析】對于事件，甲和乙至少一人選擇廉村孤樹，則其反面為“甲、乙兩人均不選擇廉村孤樹”，所以，，對于事件，甲和乙中只有一人選擇廉村孤樹，另一個人選擇其它村，所以，，因此，所求概率為.【變式1-3】（2023春·江蘇南京·高二江蘇省溧水高級中學校考期中）某學校高二1班有五名學生報名參加社團活動，社團活動共有“記者在線”、“機器人行動”、“音樂之聲”三個項目，每人都要報名且限報其中一項．（1）求“每個項目都有人報名”的報名情況種數；（2）已知其中一項目恰只有三名學生報名，求只有甲同學一人報“記者在線”的概率.【答案】（1）150；（2）【解析】（1）“每個項目都有人報名”，則5名學生分三組，即人數分為3，1，1或2，2，1；故此時報名情況有種.（2）記事件為“其中一項目恰只有三名學生報名”，事件為“只有甲同學一人報記者在線”，事件為“其中一項目恰只有三名學生報名”，報名情況有種，所以，若同時發生，即其中一項目恰只有三名學生報名，且只有甲同學一人報“記者在線”，則有種，所以，所以.【變式1-4】（2023春·山西太原·高二山西大附中校考期中）某校準備從報名的7位教師（其中男教師4人，女教師3人）中選3人去邊區支教．（1）設所選3人中女教師的人數為X，寫出X的分布列，求X的數學期望及方差；（2）若選派的三人依次到甲、乙、丙三個地方支教，求甲地是男教師的情況下，乙地為女教師的概率．【答案】（1）分布列詳見解析，，；（2）【解析】（1）（1）X的所有可能取值為0，1，2，3，且，，，，所以X的分布列為：X0123P故，（2）設事件A為“甲地是男教師”，事件B為“乙地是女教師”，則，，所以.題型二全概率公式與貝葉斯公式【例2】（2023春·山西晉中·高二介休一中校考期中）假設有兩箱零件，第一箱內裝有10件，其中有2件次品：第二箱內裝有20件，其中有3件次品，現從兩箱中隨意挑選一箱，然后從該箱中隨機取1個零件，則取出的零件是次品的概率為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設事件表示從第箱中取一個零件，事件B表示取出的零件是次品，則，即取出的零件是次品的概率為.故選：C.【變式2-1】（2023春·北京·高二校考階段練習）已知某地市場上供應的一種電子產品中，甲廠產品占，乙廠產品占，甲廠產品的合格率是，乙廠產品的合格率是，則從該地市場上買到一個合格產品的概率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】從某地市場上購買一個燈泡，設買到的燈泡是甲廠產品為事件，買到的燈泡是乙廠產品為事件，記事件從該地市場上買到一個合格燈泡，則，，，，所以.故選：B.【變式2-2】（2023春·河南開封·高二統考期中）某工廠有甲、乙兩條生產線，甲生產線的優質品率為70%，乙生產線的優質品率為65%，兩條生產線的產品統一進入包裝車間進行包裝.已知甲、乙兩條生產線的產品數分別占總數的60%，40%.質檢部門從包裝好的產品中任取一個，則取到優質品的概率是______.【答案】/【解析】記任取一個產品為優質品為事件，記產品由甲生產線生產為事件，產品由乙生產線生產為事件，根據題意得，因為，且互斥.所以根據全概率公式可得，.故答案為：【變式2-3】（2023春·高二課時練習）有甲、乙、丙三個廠家生產同種規格的產品，甲、乙、丙三個廠家生產的產品的合格率分別為、、，已知甲、乙、丙三個廠家生產的產品數所占比例為，將三個廠家生產的產品混放在一起，從混合產品中任取件．（1）求這件產品為合格品的概率；（2）已知取到的產品是合格品，問它是哪個廠生產的可能性最大？【答案】（1）；（2）這件產品由丙廠生產的可能性最大（2）計算出、、的值，比較大小后可得出結論.【解析】（1）設事件表示取到的產品為合格品，、、分別表示產品由甲、乙、丙廠生產．則，且、、兩兩互斥，由已知，，，，，，由全概率公式得.（2）由貝葉斯公式得，．．所以，，故這件產品由丙廠生產的可能性最大．【變式2-4】（2023春·福建南平·高二校考階段練習）某同學買了7個盲盒，每個盲盒中都有一個禮物，有4個裝小兔和3個裝小狗．（1）依次不放回地從中取出2個盲盒，求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率；（2）依次不放回地從中取出2個盲盒，求第2次取到的是小狗盲盒的概率．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設事件“第次取到的是小兔盲盒”，．∵，，∴，即第次、第次取到的都是小兔盲盒的概率為．（2）設事件“第次取到的是小狗盲盒”，．∵，，，∴由全概率公式，可知第次取到的是小狗盲盒的概率為．【變式2-5】（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱德強學校校考階段練習）三部機器生產同樣的零件，其中機器甲生產的占，機器乙生產的占，機器丙生產的占.已知機器甲、乙、丙生產的零件分別有、和不合格，現從總產品中隨機地抽取一個零件，求：（1）它是不合格品的概率；（2）若它是不合格品，則它是由哪一部機器生產出來的可能性大．（計算說明理由）【答案】（1）；（2）它是由機器甲生產出來的可能性大，理由見解析【解析】（1）設、、分別表示事件：任取的零件為甲、乙、丙機器生產的，B表示事件：抽取的零件是不合格品，由題意可知，，，，，，則，所以它是不合格品的概率為.（2），，，因為，所以它是由機器甲生產出來的可能性大.題型三離散型隨機變量的均值與方差【例3】（2023春·河北邯鄲·高二校考期中）甲?乙兩人進行羽毛球比賽，現采用三局兩勝的比賽制度，規定每局比賽都沒有平局（必須分出勝負），且每一局甲贏的概率都是，隨機變量表示最終的比賽局數，若的數學期望為，則（）A．B．C．D．或【答案】D【解析】隨機變量可能的取值為2，3．，，故的分布列為：23故，由，解得或．故選：D．【變式3-1】（2023春·湖北·高二校聯考期中）已知隨機變量的分布列如表，則的均值等于（）0123A．B．C．1D．2【答案】C【解析】由，得，則.故選：C【變式3-2】（2023·江蘇·高二專題練習）如果是離散型隨機變量，，則下列結論中正確的是（）．A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】因為，又，所以，，則，.故選：D.【變式3-3】（2023春·江蘇無錫·高二江陰市華士高級中學校聯考期中）（多選）已知隨機變量的分布列如下表所示，且滿足，則下列選項正確的是（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】依題意，解得，所以的分布列為：－102P則，則；所以的分布列為：02P則，，所以；故選：ACD.【變式3-4】（2023·全國·高二專題練習）設離散型隨機變量X的概率分布為，k=1，2，3，4，5．求，．【答案】，【解析】∵，，，∴，．題型四二項分布中的概率最值【例4】（2023春·江蘇南京·高二南京市雨花臺中學校聯考期中）某人投籃命中的概率為0.6，投籃14次，最有可能命中_______次．【答案】8或9【解析】投籃命中次數，設最有可能命中次，則，，或．最有可能命中8或9次．故答案為：8或9.【變式4-1】（2023春·山東煙臺·高二山東省招遠第一中學校考期中）某人在次射擊中擊中目標的次數為，若，若最大，則__________【答案】8【解析】在次射擊中擊中目標的次數為，當時對應的概率，因為取值最大，所以，即，即，解得，因為且，所以，即時概率最大．故答案為：【變式4-2】（2023春·山西太原·高二太原師范學院附屬中學校考階段練習）在一次以“二項分布的性質”為主題的數學探究活動中，金陵中學高二某小組的學生表現優異，發現的正確結論得到老師和同學們的一致好評．設隨機變量，記，，1，2，…，n．在研究的最大值時，該小組同學發現：若為正整數，則時，，此時這兩項概率均為最大值；若為非整數，當k取的整數部分，則是唯一的最大值．以此為理論基礎，有同學重復投擲一枚質地均勻的骰子并實時記錄點數1出現的次數，當投擲到第35次時，記錄到此時點數1出現5次，若繼續再進行65次投擲試驗，則當投擲到第100次時，點數1一共出現的次數為______的概率最大．【答案】15或16【解析】繼續再進行65次投擲實驗，出現點數為1的次數X服從二項分布，由，結合題中的結論可知，當或時概率最大．即后面65次中出現11或10次點數1的概率最大，加上前面35次中的5次．所以出現15或16次的概率最大．故答案為：15或16【變式4-3】（2023春·江西·高三校聯考階段練習）某醫藥企業使用新技術對某款血夜試劑進行試生產.（1）在試產初期，該款血液試劑的I批次生產有四道工序，前三道工序的生產互不影響，第四道是檢測評估工序，包括智能自動檢測與人工抽檢.已知該款血夜試劑在生產中，前三道工序的次品率分別為.①求批次I的血液試劑經過前三道工序后的次品率；②第四道工序中智能自動檢測為次品的血液試劑會被自動淘汰，合格的血液試劑進入流水線并由工人進行抽查檢驗.已知批次I的血液試劑智能自動檢測顯示合格率為，求工人在流水線進行人工抽檢時，抽檢一個血液試劑恰為合格品的概率（百分號前保留兩位小數）；（2）已知某批次血液試劑的次品率為，設100個血液試劑中恰有1個為不合格品的概率為，求的最大值點.【答案】（1）①②；（2）【解析】（1）①批次Ⅰ的血夜試劑經過前三道工序后的次品率為②設批次Ⅰ的血夜試劑智能自動檢測合格為事件A，人工抽檢合格為事件B，由已知得則工人在流水線進行人工抽檢時，抽檢一個血液試劑恰為合格品為事件，.（2）100個血液試劑中恰有1個不合格的概率因此，令，得，當時，；當時.所以的最大值為.題型五求二項分布的分布列【例5】（2023春·山東煙臺·高二統考期中）某精密儀器生產廠家計劃對本廠工人進行技能考核，方案如下：每名工人連續生產出10件產品，若經檢驗后有不低于9件的合格產品，則將該工人技能考核評為合格等次，考核結束；否則，將不合格產品交回該工人，調試后經再次檢驗，若全部合格，則將該工人技能考核評為合格，考核結束，否則，將該工人技能考核評為不合格，需脫產進行培訓．設工人甲生產或調試每件產品合格的概率均為，且生產或調試每件產品是否合格互不影響．（1）求工人甲只生產10件產品即結束考核的概率；（2）若X表示工人甲生產和調試的產品件數之和，求隨機變量X的數學期望．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設甲生產10件產品中合格品的件數為，則，則，所以甲只生產10件產品即結束考核的概率.（2）由（1）可知：，，可得隨機變量的期望，故，由題意可得：，或，則，故隨機變量X的數學期望.【變式5-1】（2023·云南昆明·昆明市第三中學校考模擬預測）某商場為了回饋廣大顧客，設計了一個抽獎活動，在抽獎箱中放10個大小相同的小球，其中5個為紅色，5個為白色.抽獎方式為：每名顧客進行兩次抽獎，每次抽獎從抽獎箱中一次性摸出兩個小球.如果每次抽獎摸出的兩個小球顏色相同即為中獎，兩個小球顏色不同即為不中獎.（1）若規定第一次抽獎后將球放回抽獎箱，再進行第二次抽獎，求中獎次數的分布列和數學期望.（2）若規定第一次抽獎后不將球放回抽獎箱，直接進行第二次抽獎，求中獎次數的分布列和數學期望.（3）如果你是商場老板，如何在上述問兩種抽獎方式中進行選擇？請寫出你的選擇及簡要理由.【答案】（1）分布列答案見解析，數學期望：；（2）分布列答案見解析，數學期望：（3）答案見解析【解析】（1）若第一次抽獎后將球放回抽獎箱，再進行第二次抽獎，則每次中獎的概率為，因為兩次抽獎相互獨立，所以中獎次數服從二項分布，即，所以的所有可能取值為，則，，所以的分布列為012所以的數學期望為.（2）若第一次抽獎后不將球放回抽獎箱，直接進行第二次抽獎，中獎次數的所有可能取值為，則，，，所以的分布列為012所以的數學期望為.（3）因為（1）（2）兩問的數學期望相等，第（1）問中兩次獎的概率比第（2）問的小，即，第（1）不中獎的概率比第問小，即，回答一：若商場老板希望中兩次獎的顧客多，產生宣傳效應，則選擇按第（2）問方式進行抽.回答二：若商場老板希望中獎的顧客多，則選擇按第（1）問方式進行抽獎.【變式5-2】（2023春·江蘇南京·高二南京市第十三中學校考階段練習）一盒子中有8個大小完全相同的小球，其中3個紅球，4個白球，1個黑球.（1）若不放回地從盒中連續取兩次球，每次取一個，求在第一次取到紅球的條件下，第二次也取到紅球的概率；（2）若從盒中有放回的取球3次，求取出的3個球中白球個數的分布列和數學期望.【答案】（1）；（2）分布列見解析，數學期望為.【解析】（1）設事件A=“第一次取到紅球”，事件B=“第二次取到紅球”，由于是不放回地從盒中連續取兩次球，每次取一個，所以第一次取球有8種方法，第二次取球是7種方法，一共的基本事件數是56，由于第一次取到紅球有3種方法，第二次取球是7種方法，，一次取到紅球有3種方法，第二次取到紅球有2種方法，，;（2）由題可知白球個數，且有，，故的分布列為：0123所以的數學期望為：.【變式5-3】（2023·全國·高二專題練習）新疆棉以絨長、品質好、產量高著稱于世．現有兩類以新疆長絨棉為主要原材料的均碼服裝，A類服裝為純棉服飾，成本價為120元/件，總量中有30%將按照原價200元/件的價格銷售給非會員顧客，有50%將按照8.5折的價格銷售給會員顧客．B類服裝為全棉服飾，成本價為160元/件，總量中有20%將按照原價300元/件的價格銷售給非會員顧客，有40%將按照8.5折的價格銷售給會員顧客．這兩類服裝剩余部分將會在換季促銷時按照原價6折的價格銷售給顧客，并能全部售完．（1）設A類服裝單件銷售價格為元，B類服裝單件銷售價格為元，分別寫出兩類服裝單件銷售價格的分布列，并通過計算比較這兩類服裝單件收益的期望（收益=售價-成本）的大小；（2）某服裝專賣店店慶當天，全場A，B兩類服裝均以會員價銷售，假設每位來店購買A，B兩類服裝的顧客只選其中一類購買，每位顧客限購1件，且購買了服裝的顧客中購買A類服裝的概率均為．已知該店店慶當天這兩類服裝共售出5件，設X為該店當天所售服裝中B類服裝的件數，若，求n的所有可能取值．【答案】（1）分布列見解析，B類服裝單件收益的期望大；（2）n可取的值為0，1，2．【解析】（1）依題意，的可能值為200，170，120，，的分布列為：200170120P0.30.50.2的期望，的可能值為300，255，180，，的分布列為：300255180P0.20.40.4的期望，設A類服裝、B類服裝的單件收益分別為元，元，則，，（元），（元），，所以B類服裝單件收益的期望大.（2）依題意，的可能值為0，1，2，3，4，5，顯然，，，，，，，因為，，所以當時，n可取的值為0，1，2．【變式5-4】（2023·高二課時練習）食品安全問題越來越受到人們的重視，某超市在某種蔬菜進貨前，要求食品安檢部門對每箱蔬菜進行三輪各項指標的綜合檢測，只有三輪檢測都合格，蔬菜才能在該超市銷售．已知每箱這種蔬菜第一輪檢測不合格的概率為，第二輪檢測不合格的概率為，第三輪檢測合格的概率為，每輪檢測只有合格與不合格兩種情況，且各輪檢測是否合格相互之間沒有影響．（1）求每箱這種蔬菜不能在該超市銷售的概率；（2）如果這種蔬菜能在該超市銷售，則每箱可獲利400元，如果不能在該超市銷售，則每箱虧損200元，現有4箱這種蔬菜，求這4箱蔬菜總收益的分布列．【答案】（1）；（2）答案見解析【解析】（1）記Ai(i＝1，2，3)分別為事件“第一、二、三輪檢測合格”，A為事件“每箱這種蔬菜不能在該超市銷售”．由題設知P(A1)＝1－＝，P(A2)＝1－＝，P(A3)＝，所以P(A)＝1－P(A1)P(A2)P(A3)＝1－××＝．（2）設這4箱蔬菜的總收益為隨機變量X，則X的所有可能取值為1600，1000，400，－200，－800，且P(X＝1600)＝，P(X＝1000)＝，P(X＝400)＝，P(X＝－200)＝，P(X＝－800)＝．故X的分布列為X16001000400－200－800P題型六求超幾何分布的分布列【例6】（2023春·山東煙臺·高二萊州市第一中學校考階段練習）在全民抗擊新冠疫情期間，某校開展了“停課不停學”活動，一個星期后，某校隨機抽取了100名居家學習的高二學生進行問卷調查，得到學生每天學習時間(單位：)的頻率分布直方圖如下，若被抽取的這100名學生中，每天學習時間不低于8小時有30人.（1）求頻率分布直方圖中實數的值；（2）每天學習時間在的7名學生中，有4名男生，3名女生，現從中抽2人進行電舌訪談，已知抽取的學生有男生，求抽取的2人恰好為一男一女的概率；(3)依據所抽取的樣本，從每天學習時間在和的學生中按比例分層抽樣抽取8人，再從這8人中選3人進行電話訪談，求抽取的3人中每天學習時間在的人數分布和數學期望.【答案】（1），；（2）；（3）分布列詳見解析，數學期望為【解析】（1）.，解得.（2）已知抽取的學生有男生，則抽取的2人恰好為一男一女的概率為.（3）每天學習時間在和的學生比例為，所以在的學生中抽取人，在的學生中抽取人.再從這8人中選3人進行電話訪談，抽取的3人中每天學習時間在的人數的取值為，，，，所以的分布列如下：數學期望.【變式6-1】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市第八中學校校考期中）某產品按照產品質量標準分為1等品、2等品、3等品、4等品四個等級．某采購商從采購的產品中隨機抽取100個，根據產品的等級分類標準得到下面柱狀圖：（1）若將頻率視為概率，從采購的產品中有放回地隨機抽取3個，求恰好有1個4等品的概率；（2）按分層抽樣從這100個產品中抽取10個．現從這10個產品中隨機抽取3個，記這3個產品中1等品的數量為，求的分布列及數學期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析；期望為【解析】（1）從采購的產品中有放回地隨機抽取3個，記4等品的數量為，由已知取1個產品為4等品的概率為，依題意，，則，即恰好有1個4等品的概率為；（2）分層抽樣從這100個產品中抽取10個產品中，1等品的有個，非1等品的有個，依題意，0，1，2，3，，，，，則的分布列為：0123．【變式6-2】（2023春·浙江·高二校聯考期中）某學校有A，B兩家餐廳，王同學第1天午餐時隨機的選擇一家餐廳用餐.如果第一天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6，如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8.（1）計算王同學第2天去A餐廳用餐的概率；（2）王同學某次在A餐廳就餐，該餐廳提供5種西式點心，n種中式點心，王同學從這些點心中選擇三種點心，記選擇西式點心的種數為，求n的值使得最大.【答案】（1）；（2）或【解析】（1）設“第1天去餐廳用餐”，“第1天去餐廳用餐”，“第2天去餐廳用餐”，根據題意得，，，由全概率公式，得：，所以，王同學第2天去餐廳用餐的概率為.（2）由題意，的可能取值有：，由超幾何分布可知，令，又，所以，可得，解得，易知當和時，的值相等，所以當或時，有最大值為，即當的值為或時，使得最大.【變式6-3】（2023·全國·高二專題練習）2022年底，新冠病毒肆虐全國，很多高三同學也都加入羊羊行列．某校參加某次大型考試時采用了線上考試和線下考試兩種形式．現隨機抽取200名同學的數學成績做分析，其中線上人數占40%，線下人數占60%，通過分別統計他們的數學成績得到了如下兩個頻率分部直方圖：其中稱為合格，稱為中等，稱為良好，稱為優秀，稱為優異．（1）根據頻率分布直方圖，求這200名學生的數學平均分（同一組數據可取該組區間的中點值代替）；（2）現從這200名學生中隨機抽取一名同學的數學成績為良好，試分析他是來自線上考試的可能性大，還是來自線下考試的可能性大．（3）現從樣本中線下考試的學生中隨機抽取10名同學，且抽到k個學生的數學成績為中等的可能性最大，試求k的值．【答案】（1）分；（2）來自線下考試的可能性大，理由見解析；（3）.【解析】（1）線上同學平均分分；線下同學平均分分；又200名同學，線上人數占40%，線下人數占60%，所以所有200名同學的平均分分.（2）線上同學成績良好人數為人，線下同學成績良好人數為人，所以抽取數學成績為良好，且，故線下的可能性大.（3）由線下成績中等同學人數為人，其它同學人，所以從線下學生中隨機抽取10名同學，抽到k個學生的成績為中等的概率，且，要使最大，則，即，所以，則，故.題型七正態分布對稱性的應用【例7】（2023春·河南鄭州·高二鄭州市第二高級中學校考階段練習）在某項測試中，測量結果服從正態分布，若，則（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4【答案】B【解析】由題意可知，變量所作的正態曲線關于直線對稱，則，，故.故選：B.【變式7-1】（2023春·河北·高二校聯考期中）（多選）在某次數學測試中，學生的成績，則（）A．B．若越大，則越大C．D．【答案】AC【解析】因為，所以，A正確；當時，，當時，，B不正確；因為，所以，C正確；根據正態曲線的對稱性，D不正確.故選：AC.【變式7-2】（2023春·山東濱州·高二統考期中）某超市熱銷的一種袋裝面粉質量X（單位：kg）服從正態分布且滿足，若從該超市中任意抽取一袋這種面粉，則其質量在kg之間的概率為_________.【答案】/【解析】由于袋裝面粉質量X（單位：kg）服從正態分布且滿足，故，則，故從該超市中任意抽取一袋這種面粉，則其質量在kg之間的概率為，故答案為：【變式7-3】（2022·高二單元測試）“世界雜交水稻之父”袁隆平發明了“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創建了超級雜交稻技術體系．某水稻種植研究所調查某地雜交水稻的株高，得出株高（單位：cm）服從正態分布，其分布密度函數，，則（）A．該地雜交水稻的平均株高為100cmB．該地雜交水稻株高的方差為10C．該地雜交水稻株高在120cm以上的數量和株高在80cm以下的數量一樣多D．隨機測量該地的一株雜交水稻，其株高在和在的概率一樣大【答案】AC【解析】因為正態分布密度函數為，所以，，即均值為100，標準差為10，方差為100，故A正確，B錯誤；根據正態曲線的特征可知函數關于軸對稱，故該地雜交水稻株高在120cm以上的數量和株高在80cm以下的數量一樣多，C正確，隨機測量該地的一株雜交水稻，其株高在和在的概率一樣大.故D錯誤．故選：AC.【變式7-4】（2021春·陜西渭南·高二統考期末）某校統計了高三年級全體學生利用假期參加社會實踐活動的時間X（單位：小時）.根據統計發現X近似服從正態分布，且，該校高三年級學生利用假期參加社會實踐活動的時間在的人數為1600，估計該校高三年級的學生人數為______.【答案】2000【解析】X近似服從正態分布，故，，估計該校高三年級的學生人數為.【變式7-5】（2023·江蘇·高二專題練習）已知隨機變量，且正態分布密度函數在上是嚴格增函數，在上是嚴格減函數，．（1）求參數、的值；（2）求．（結果精確到0.01%）【答案】（1），；（2）【解析】（1）由題意得，正態曲線關于直線對稱，即參數．又，結合，可知．（2）．因為，所以，可得．又因為，所以．所以．題型八正態分布的綜合應用【例8】（2023春·山東煙臺·高二統考期中）全面建設社會主義現代化國家，最艱巨最繁重的任務仍然在農村，強國必先強農，農強方能國強．某市為了解當地農村經濟情況，隨機抽取該地2000戶農戶家庭年收入x（單位：萬元）進行調查，并繪制得到如下圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這2000戶農戶家庭年收入的樣本平均數和樣本方差（同一組的數據用該組區間中點值代表）．（2）由直方圖可認為農戶家庭年收入近似服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差．①估計這2000戶農戶家庭年收入超過9.52萬元（含9.52）的戶數？（結果保留整數）②如果用該地區農戶家庭年收入的情況來估計全市農戶家庭年收入的情況，現從全市農戶家庭中隨機抽取4戶，即年收入不超過9.52萬元的農戶家庭數為，求．（結果精確到0.001）附：①；②若，則，；③．【答案】（1），；（2）①317戶；②【解析】（1）這2000戶農戶家庭年收入的樣本平均數.這2000戶農戶家庭年收入的樣本方差.（2）①農戶家庭年收入近似服從正態分布.因為，所以.因為，所以這2000戶農戶家庭年收入超過9.52萬元（含9.52）的戶數為317.②年收入不超過9.52萬元的農戶家庭數服從二項分布.所以.【變式8-1】（2021春·江蘇揚州·高二統考期末）2020年10月，中共中央辦公廳、國務院辦公廳印發了《關于全面加強和改進新時代學校體育工作的意見》，各地各校積極開展中小學健康促進行動，發揮以體育智、以體育心功能.某中學初三年級對全體男生進行了立定跳遠測試，計分規則如下表：立定跳遠（厘米）得分3.544.555.56該年級組為了了解學生的體質，隨機抽取了100名男生立定跳遠的成績，得到如下頻率分布直方圖.（1）現從這100名男生中，任意抽取2人，求兩人得分之和不大于7.5分的概率（結果用最簡分數表示）；（2）若該校初三年級所有男生的立定跳遠成績服從正態分布.現在全年級所有初三男生中任取3人，記立定跳遠成績在215厘米以上（含215厘米）的人數為5，求隨機變量5的分布列和數學期望；（3）若本市25000名初三男生在某次測試中的立定跳遠成績服從正態分布.考生甲得知他的實際成績為223厘米，而考生乙告訴考生甲：“這次測試平均成績為210厘米，218厘米以上共有570人”，請結合統計學知識幫助考生甲辨別考生乙信息的真偽.附：若隨機變量服從正態分布，則，，.【答案】（1）；（2）分布列見解析，；（3）答案見解析.【解析】（1）現從樣本的100名學生中，任意選取2人，兩人得分之和不大于7.5分，即兩人得分均為3.5分，或兩人中1人3.5分，1人4分，由題意知：得3.5分的分數為6人，得4分的人數為9人，所以兩人得分之和不大于7.5分的概率為：.（2）依題意，得∴，∴∴，，∴的分布列為：0123（3）假設考生乙所說為真，則，，而，所以，從而，而，所以為小概率事件，即甲同學的成績為223厘米是小概率事件，可為其不可能發生，但卻又發生了，所以可認為乙同學所說為假【變式8-2】（2023·全國·模擬預測）為了更好地做好個人衛生，某市衛生組織對該市市民進行了網絡試卷競答，制定獎勵規則如下：試卷滿分為100分，成績在分內的市民獲二等獎，成績在分內的市民獲一等獎，其他成績不得獎．隨機抽取了50名市民的答題成績，并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖．（1）現從該樣本中隨機抽取2名市民的成績，求這2名市民中恰有1名市民獲獎的概率．（2）若該市所有市民的答題成績X近似服從正態分布，其中，為樣本平均數的估計值，利用所得正態分布模型解決以下問題：①若該市某小區有3000名市民參加了試卷競答，試估計成績不低于93分的市民數（結果四舍五入到整數）；②若從該市所有參加了試卷競答的市民中（參加試卷競答市民數大于300000）隨機抽取4名市民進行座談，設其中競答成績不低于69分的市民數為，求隨機變量的分布列和數學期望．附：若隨機變量X服從正態分布，則，，．【答案】（1）；（2）①該市某小區參加試卷競答成績不低于93分的市民數約為68；②分布列見解析，2【解析】（1）由樣本頻率分布直方圖，得樣本中獲一等獎的有（人），獲二等獎的有（人），所以有8人獲獎，42人沒有獲獎．從該樣本中隨機抽取2名市民的成績，樣本點總數為．設抽取的2名市民中恰有1名市民獲獎為事件A，則事件A包含的樣本點的個數為．由古典概型概率計算公式，得，所以抽取的2名市民中恰有1名市民獲獎的概率為．（2）由樣本頻率分布直方圖，得樣本平均數的估計值．故該市所有參加試卷競答的市民成績X近似服從正態分布．①因為，所以．，故該市某小區參加試卷競答成績不低于93分的市民數約為68．②由，得，即從該市所有參加試卷競答的市民中隨機抽取1名市民，其成績不低于69分的概率為，所以隨機變量．隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3，4．，，，，，隨機變量的分布列如下：01234P所以．【變式8-3】（2023·山西朔州·統考二模）2022年河南?陜西?山西?四川?云南?寧夏?青海?內蒙古8省區公布新高考改革方案，這8省區的新高中生不再實行文理分科，今后將采用“3+1+2”高考模式.“3+1+2”高考模式是指考生總成績由全國統一高考的語文?數學?外語3個科目成績和考生選擇的3科普通高中學業水平選擇性考試科目成績組成，滿分為750分.“3”是三門主科，分別是語文?數學?外語，這三門科目是必選的；“1”指的是要在物理?歷史里選一門，按原始分計入成績；“2”指考生要在生物學?化學?思想政治?地理4門中選擇2門，但是這幾門科目不以原始分計入成績，而是等級賦分.（1）若按照“3+1+2”模式選科，求選出的六科中含有“語文，數學，外語，歷史，地理”的概率；（2）某教育部門為了調查學生語數外三科成績與選科之間的關系，現從當地不同層次的學校中抽取高一學生4000名參加語數外的網絡測試?滿分450分，并給前640名頒發榮譽證書，假設該次網絡測試成績服從正態分布.①考生甲得知他的成績為260分，考試后不久了解到如下情況：“此次測試