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重難點07函數類綜合問題

命題趨勢

首先告訴各位同學二次函數是中考必考內容之一，往往也是中考數學的壓軸大戲.涉及題目數量一

般3-4題，其中有1-2道大題.所占分值大約25分左右.二次函數在中考數學中常常作為壓軸題，而在壓

軸題中，一般都設計成三至四小問，其中第一、二小問比較簡單，最后一至兩問難度很大.二次函數在考

查時，往往會與一次函數、反比例函數、圓、三角形、四邊形、幾何變換相結合，綜合性很強，技巧性也

很強，同時計算量一般很大，加上二次函數本身就比較抽象，這就導致了題目得分率非常低.其實我們只

要能熟練掌握二次函數的基本知識，同時掌握一些常見的題型，提高對于二次函數的得分，不是什么難

事，多多練習，多多總結.

滿分技巧

1.通過思維導圖整體把握二次函數所有考點

1）圖象與性質：（函數的三種表達式、開口問題、頂點坐標、對稱軸、最值、增減性、圖象的平移等）；

2）與一元二次方程（不等式）結合（交點坐標與方程的根的關系）；

3）與實際生活結合（用二次函數解決生活中的最值（范圍）問題）

2.二次函數的壓軸題主要考向

1）存在性問題（全等與相似、特殊三角形（直角、等腰、等邊）、平行四邊形（含特殊平行四邊形）、幾

何變換等）；

2）最值問題（線段、周長、面積）

3.熟練掌握各種常見有關二次函數的題型和應對策略

1）線段最值（周長）問題——斜化直策略

2）三角形或多邊形面積問題——鉛垂高、水平寬策略

3）線段和最小值問題——胡不歸+阿氏圓策略問題

4）線段差——三角形三邊關系或函數

5）相似三角形存在性問題——根據相等角分類討論

6）（特殊）平行四邊形存在性問題——中點公式+平移法

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限時檢測1：最新各地模擬試題（90分鐘）

yW3κY

1.（2023?安徽黃山?校考模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數’22的圖象與

X軸交于點4C兩點，與y軸交于點8,對稱軸與X軸交于點若尸為y軸上的一個動點，連接產。，

-PB+PD

巫皇「海

A.4B.2C.?/?D.4

2.（2023?江西南昌?南昌市外國語學校校考一模）如圖，拋物線y=α-+bx+c與X軸交于點/（T'°）,

8（3°）,交N軸的正半軸于點C,對稱軸交拋物線于點。，交X軸于點E,則下列結論：（↑）b+2c>0,

②a+b”-+.（加為任意實數）；③若點P為對稱軸上的動點，則阿-PC有取大值，最大值為

戶3;④若m是方程“χ2+bx+c=°的一個根，則一定有"YM=（2皿+6）2成立.其中正確的序號有

A.①②③④B.①②③C.③④D.①②④

y——（x+l）（x-4）

3.（2023?福建漳州?統考一模）已知拋物線"2'的圖象與X軸交于A,8兩點（點A在點B

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的左則），與y軸交于點C,連接8C,直線V=區+1小>°）與y軸交于點。，交8C上方的拋物線于點E

，交BC于點F,下列結論中錯誤的是（）

EFk_2

A.點C的坐標是（°?B.OC=WDC.當而的值取得最大時，一？D.A∕8C是直角三角形

4.（2023?重慶九龍坡?校考一模）已知點Na〃然）在二次函數y=∕-2x+l上，其中再=1,巧=2

xn

"=,令4=玉+力，A2=x2+y3........A,,=X,,+y?+i；紇為4的個位數字（〃為正整數），

1112022

----F1----FL+------=-------

貝Ij下列說法：①4=30；②芭+超+覆+匕=M-8+%-%+%；③4A2A20222023；④

4-24”的最小值為-132,此時〃=11；⑤q+冬+L+冬叱的個位數字為6.正確的有（）個

A.2B.3C.4D.5

5.（2023?山東棗莊?校考一模）二次函數N="/+隊+c（"≠0）的圖像的一部分如圖所示，已知圖像經過點

（一L°）,其對稱軸為直線X=1.下列結論：①人<0；②尸-4K<0；③8a+c<0；④9q+3b+2c<0

；⑤點Ca‘必）。（馬,力）是拋物線上的兩點，若玉<%，則乂<%；⑥若拋物線經過點（-3，〃），則關于X

的一元二次方程"V+zυc+c-"=°S*°）的兩根分別為-3,5；其中正確的有（）

6.（2023?浙江溫州?校考一模）對于二次函數y="2+?x+c,規定函數卜。-—bx-c（x<0）是它的相關

f-l,ll化1）

函數.已知點M,N的坐標分別為I2A12九連接MN,若線段MN與二次函數y=-x+4x+”的

相關函數的圖象有兩個公共點，則〃的取值范圍為（）

?1<"≤-1≤/7≤?

A.-3<"≤T或4B.-3<〃<一1或一一4

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5

1<Zj≤—

C."≤-l或4D.-3<拉<-1或〃≥1

7.（2023?安徽合肥?統考一模）己知點"（"力）是拋物線y=i-4x+5上一動點.

（1）當點又到y軸的距離不大于1時，6的取值范圍是；

（2）當點用到直線X=W的距離不大于"（〃>°）時，6的取值范圍是5≤b≤10,則加+〃的值為.

k

y=—

8.（2023?浙江寧波?校考一模）如圖，A,8為反比例函數'X第一象限圖象上任意兩點，連接8°并延長

交反比例函數圖象另一支于點C,連接"C交X軸于點尸，交N軸于點G,連接8G,連接/8并向兩側延

BE_2AB

長分別交X軸于點E,交y軸于點D已知/85,SAOBC=3,則。E,A的值為.

9.（2023?廣東深圳?深圳外國語學校校考一模）如圖，在正方形"5CO中，對角線ZC,8。相交于點°,

點E是°。的中點，連接"并延長交于點G,將線段CE繞點C逆時針旋轉90。得到Ck,連接叱，

GE

點”為跖的中點.連接則次的值為.

10.（2023?河北石家莊?統考模擬預測）如圖所示，已知在平面直角坐標系XS'中，點“（15,8）,點M是橫

軸正半軸上的一個動點，°P經過原點0,且與ZM相切于點用.（I）當"M'χ軸時，點尸的坐標為

;（2）設點尸的坐標為（XJ）,則y關于X的函數關系式為（不用寫出自變量X

的取值范圍）；

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（3）當射線。尸與直線％”相交時，點〃的橫坐標/的取值范圍是

/7K=-（X>0）

11?（2023?四川成都?統考一模）如圖，正比例函數M="3x與反比例函數…X的圖像交于點4

另有一次函數y=-"r+b與必、力圖像分別交于仄C兩點（點C在直線°/的上方），且

OB'-BC2—

12.（2022?浙江金華?校聯考三模）一個玻璃杯豎直放置時的縱向截面如圖1所示，其左右輪廓線

BC為同一拋物線的一部分，AB,C°都與水平地面平行，當杯子裝滿水后48=4cm,CD=8cm,液體

高度12cm,將杯子繞C傾斜倒出部分液體，當傾斜角//8E=45。時停止轉動，如圖2所示，此時液面寬

度BE=Cm,液面BE到點C所在水平地面的距離是cm.

13.（2023?江蘇常州?常州市校考模擬預測）如圖1,拋物線y="2+bx+c的圖像與無軸交于

/（-2,0），8（5,0）兩點.過點C（2,4）動點。從點/出發，以每秒1個單位長度的速度沿方向運動，設運

動的時間為，秒.⑴求拋物線=+'的表達式；（2）過。作。E2Z8交/C于點￡,連接BE,當，=3

時，求MCE的面積；⑶如圖2,點F（4,2）在拋物線上.當f=5時，連接/尸、CF、CD,在拋物線上是否

存在點p,使得/Nb=/Oa7若存在，直接寫出此時直線CP與X軸的交點。的坐標，若不存在，請簡

要說明理由.

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14.(2023?廣東佛山?模擬預測)如圖1,對于平面內小于等于90。的NMON,我們給出如下定義：若點P

在NMCW的內部或邊上，作PELOM于點E,PFLoN于點、F,則將尸E+PF稱為點P與NMON的，，點

角距‘‘，記作"(N"°MP).如圖2,在平面直角坐標系χQy中，x、y正半軸所組成的角為Nχ°y.

(1)已知點/(5，°)、點8(3,2),則“(NxOyJ)=,d(NxOy,B)=.

(2)若點尸為NX0內部或邊上的動點，且滿足"(Nx°y∕)=5,在圖2中畫出點尸運動所形成的圖形.

=」2

(3)如圖3,在平面直角坐標系'OP中，拋物線'--亍+"H月經過"6°)與點。(3,可兩點，點。是A、

。兩點之間的拋物線上的動點(點。可與A、。兩點重合)，求當"(∕x°C'°)取最大值時點。的坐標.

15.(2023?廣東佛山?統考一模)二次函數N=χ2-2mx+∕√+"L5.(])當機=1時，函數圖象與X軸交于點

A、8,與V軸交于點C.①寫出函數的一個性質；②如圖1,點P是第四象限內函數圖象上一動點，求

出點P坐標，使得A8CP的面積最大；③如圖2,點°為第一象限內函數圖象上一動點，過點。作OF,、

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軸，垂足為尸，A∕8°的外接圓與。尸交于點。，求。尸的長度；（2）點MajJ、N（X2,%）為函數圖象上

任意兩點，且看＜々.若對于再+%＞3時，都有求"的取值范圍.

圖1圖2

16?（2023?黑龍江哈爾濱?統考一模）如圖，在平面直角坐標系中，°為坐標原點，拋物線V="2+6x+c

與X軸交于點A、B（A左8右），與N軸交于點C,直線V=r+3經過點8、C,AB=A.

（1）求拋物線的解析式：（2）點。在直線BC上方的拋物線上，過點。作X軸的垂線，垂足為尸，交BC于點、

E,DE=IEF,求點。的坐標；（3）在（2）的條件下，點G在點8右側X軸上，連接CG,AC,

ZACO=-ZAGC

2,過點G作GP,x軸交拋物線于點P,連接8尸，點”在V軸負半軸上，連接印"若

NoHF+NGPB=45。，連接O4,求直線。”的解析式

17.（2023?山東濟南?統考一模）已知拋物線，="r+以+4過4-1，°＞以40）兩點，交V軸于點C.

（1）求拋物線的表達式和對稱軸；（2）如圖1,若點P是線段OC上的一動點，連接NABP,將A∕8P沿直線

8尸翻折，得到AH8P,當點/'落在該拋物線的對稱軸上時，求點尸的坐標；（3）如圖2,點M在直線BC

上方的拋物線上，過點/作直線BC的垂線，分別交直線8C、線段/C于點N、點E,過點E作M?LX

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軸，求EH+6EM的最大值.

18.（2023?山西晉中?統考一模）如圖，拋物線N=-∕+3X+4與X軸交于4B兩點（點/在點8左側），

與y軸交于點C,連接ZC,BC,點E為線段BC上的一點，直線RE與拋物線交于點從

（1）直接寫出/,B,C三點的坐標，并求出直線BC的表達式；（2）連接"B,HC,求AHBC面積的最大

值；

（3）若點尸為拋物線上一動點，試判斷在平面內是否存在一點0,使得以B,C,P,。為頂點的四邊形是以

BC為邊的矩形？若存在，請直接寫出點。的坐標，若不存在，請說明理由.

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19.（2023?廣東佛山?統考一模）如圖，拋物線卜二公?取+^^^①與工軸交于48兩點，與了軸交于點

C（°'6）,頂點為。，且"O''）.（1）求拋物線的解析式；（2）若在線段BC上存在一點M,過點。作

交8C的延長線于，，且Mo=“α,求點”的坐標；（3）點尸是N軸上一動點，點0是在對稱

軸上一動點，是否存在點P,。，使得以點P,Q,C,。為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點。的坐

標；若不存在，請說明理由.

20.（2023?湖南長沙?校聯考一模）如圖，拋物線故+C（'≠°）的頂點為與y軸交于點C.過點

Z作線段N8垂直>軸交于點反過點C作線段8垂直拋物線的對稱軸交于點。，我們稱矩形/8。為拋

物線V=蘇+?X+C。≠0）的，，伴隨矩形，，.⑴請根據定義求出拋物線y=2x2+4x-2的，，伴隨矩形,，ABCD的

面積：（2）已知拋物線V=-X?-3x+2的“伴隨矩形,,為矩形”8,若矩形"CO的四邊與直線

3加

V=----

N=機x-,"+l共有兩個交點，且與雙曲線.X無交點，請直接寫出機的取值范圍；（3）若對于開口向上

33

y=ax~9+bx+-（b≠O）9Cax'+Ax÷—=O

的拋物線.2,當N=O時，方程2的兩個根為％X2,且滿足下列條件：

①該拋物線的“伴隨矩形”/8CZ）為正方形；②l≤S.g>49（其中S,"表示矩形/8CQ的面積）；③

X,+x；+（2-----t）x,x-y

-3-的最小值為-20/.請求出滿足條件的，值.

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21.（2023?山東泰安?寧陽二中校考一模）如圖，拋物線N=/+辰+°過"（T°）,8（6,0）,C（0,8）三

點；點尸是第一象限內拋物線上的動點，點P的橫坐標是〃?，且l<m<6.

（1）試求拋物線的表達式；直接寫出拋物線對稱軸和直線BC的表達式；（2）過點尸作尸N〃y軸并BC交于點

PM=-PN

N,作PA/〃X軸并交拋物線的對稱軸于點M,若3,求點尸的坐標；（3）當點尸運動到使

ZPAB=-ZABC

2時，

22.（2023?廣東深圳?深圳市南山外國語學校校考一模）小明同學在探究函數V=FTx+3∣的圖象和性質

時經歷以下幾個學習過程：

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r，

ΓnTΓΓTΓn□IrO□IΓlπ□IΓΓ:工ΓΓ□IΓ二I∏IΓl

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LτLuJILUJILlr1L-JIL-IJILl

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1_-LJ-1_一.-LX.L-IJ.L.1—1」XI-I1_-JJ.JLI-I-.-LL-1—1-I?1-1-1-LXUl

（II）描點并畫出函數圖象草圖（在備用圖①中描點并畫圖）?（III）根據圖象解決以下問題：

（1）觀察圖象：函數?y=--4x+3∣的圖象可由函數X=X2-4χ+3的圖象如何變化得到？

答：.

（2）探究發現直線J=8與函數夕=--4》+3］的圖象交于點￡F,E（T,8）,尸（5,8）,則不等式

11的解集是.

（3）設函數V=N-4x+3∣的圖象與X軸交于4,8兩點（8位于”的右側），與y軸交于點C.

①求直線BC的解析式：②探究應用：將直線BC沿N軸平移Zn個單位長度后與函數VTX2一八+3］的圖象

恰好有3個交點，求此時機的值.

23?（2023?湖北武漢?校考一模）在平面直角坐標系中，拋物線。號="一+近一3恰好經過（45）,（3,0）,

（%】）三點中的兩點.（1）直接寫出。，6的值；（2）拋物線G與X軸交于A,8兩點，與V軸交于點。，C為

拋物線G的頂點，拋物線G的對稱軸與X軸交于點￡,在X軸上取點E,使ZfCO=ZSCE,求點尸的坐

標；

（3）將拋物線G向上平移4個單位，向左平移1個單位得到拋物線G,點M在X軸上，過"的直線與拋物

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線G交于點P,0,與V軸交于點N,求證：MN=MPMQ.

24.（2023?湖南長沙?校聯考二模）如圖1,拋物線夕=加+3"為常數，。＜。）與X軸交于O,4兩

點，點8為拋物線的頂點，點。是線段°/上的一個動點，連接8。并延長與過O,A,8三點的°夕相交

于點C,過點C作O尸的切線交X軸于點E.（1）①求點A的坐標；②求證：CE=DE；（2）如圖2,連接

2√3J____1_

AB,AC,BE,BO,當“一一亍，NOE=NOBE時，①求證：AB2≈ACBE.②求而一下的

值.

25.（2023?黑龍江哈爾濱?校考模擬預測）拋物線y="2-3αx+4交N軸于點C,交X軸負半軸于點A,交

X軸正半軸于點6,己知/8=5.

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(1)如圖1,求拋物線解析式：(2)如圖2,點尸是第一象限拋物線上一點，設P點橫坐標為I,APBC面積為

S,試用，表示S；(3)如圖3,在(2)的條件下，連接°尸，將射線尸°繞點P逆時針旋轉45°得到的射線

與CB的延長線交于點G,與X軸交于點尸，連接/P與P軸交于點E,連接8E,過點C作N軸的垂線與

過點8作BE的垂線交于點Q,連接DE,與°P交于點，，且2NG+NPHD=90°,求點G點的坐標.

限時檢測2：最新各地中考真題(90分鐘)

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1.(2022?福建?中考真題)在平面直角坐標系x。F中，已知拋物線y="∕+經過/(4,0),B(1,4)

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兩點.P是拋物線上一點，且在直線48的上方.（1）求拋物線的解析式；（2）若4O48面積是4P∕8面積的

2倍，求點尸的坐標；（3）如圖，OP交AB于煎C,PD〃BO交4B于點、D.記ACDP,∕?CPB,ZXCBO的

區+邑

面積分別為E,邑，53.判斷$2邑是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由.

2.（2022?貴州黔東南?中考真題）如圖，拋物線y=α-+2x+c的對稱軸是直線χ=l,與X軸交于點A,

BO，。），與y軸交于點C,連接NC.（1）求此拋物線的解析式；（2）已知點D是第一象限內拋物線上的一個

動點，過點。作OWX軸，垂足為點"，OM交直線BC于點N,是否存在這樣的點N,使得以A,C

,N為頂點的三角形是等腰三角形.若存在，請求出點N的坐標，若不存在，請說明理由：（3）已知點E

是拋物線對稱軸上的點，在坐標平面內是否存在點尸，使以點B、C、E、尸為頂點的四邊形為矩形，若

存在，請直接寫出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

t—KXvf4—

3?（2022?湖南長沙?中考真題）若關于X的函數H當22時，函數》的最大值為最小值為

M-N

n7=---------

N,令函數2,我們不妨把函數〃稱之為函數V的“共同體函數”.

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⑴①若函數?V=4044X,當f=l時，求函數y的“共同體函數，%的值；

②若函數y="+%d≠0,hb為常數），求函數y的“共同體函數”〃的解析式；

y=-（3≥1

（2）若函數X,求函數y的“共同體函數*的最大值；

（3）若函數V=一/+4x+%,是否存在實數鼠使得函數y的最大值等于函數y的，，共同體函數，%的最小

值.若存在，求出發的值；若不存在，請說明理由.

4.（2022?內蒙古包頭?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線V=αχ2+c（α≠0）與X軸交于4B

兩點，點8的坐標是（2，°）,頂點C的坐標是（0，4）,/是拋物線上一動點，且位于第一象限，直線/〃與

V軸交于點G.（1）求該拋物線的解析式；（2）如圖1,N是拋物線上一點，且位于第二象限，連接。必，記

A∕OG,AM°G的面積分別為力$2.當E=2Sz,且直線CN〃/〃時，求證：點N與點M關于y軸對稱；

（3）如圖2,直線8河與y軸交于點H,是否存在點使得20"-0G=7.若存在，求出點河的坐標；若

不存在，請說明理由.

圖1圖2

2

5.（2022?四川廣安?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線V="-+'+777（α≠0）的圖象與X軸

交于4、C兩點，與y軸交于點8,其中點8坐標為（0,—4）,點C坐標為（2,0）.

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（1）求此拋物線的函數解析式.（2）點。是直線下方拋物線上一個動點，連接BD,探究是否存在點

D,使得A48O的面積最大？若存在，請求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

（3）點P為該拋物線對稱軸上的動點，使得為直角三角形，請求出點尸的坐標.

6.（2022?海南?中考真題）如圖1,拋物線N="f+2x+c經過點/（一1，0）、C（O，3）,并交X軸于另一點

8,點Ax/）在第一象限的拋物線上，NP交直線BC于點。.

（1）求該拋物線的函數表達式；（2）當點P的坐標為（L4）時，求四邊形8°CP的面積；

（3）點0在拋物線上，當ZO的值最大且A/尸。是直角三角形時，求點0的橫坐標；（4）如圖2,作

CGLCP,CG交X軸于點G（〃,0）,點，在射線CP上，且S=CG,過G”的中點K作K/〃y軸，交拋物

線于點/,連接口，以田為邊作出如圖所示正方形”/MN,當頂點M恰好落在了軸上時，請直接寫出點

G的坐標.

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y=—JV-+bx+c.

7.（2022?內蒙古呼和浩特?中考真題）如圖，拋物線2經過點8n（z4,λ0x）和點C（0,2）,與X軸的

另一個交點為A,連接“C、BC.（1）求拋物線的解析式及點A的坐標；（2）如圖1,若點。是線段ZC的中

點，連接8。，在V軸上是否存在點E,使得AME是以8。為斜邊的直角三角形？若存在，請求出點E的

坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖2,點P是第一象限內拋物線上的動點，過點P作尸0〃y軸，分別

交BC、X軸于點M、N,當△尸MC中有某個角的度數等于NO8C度數的2倍時，請求出滿足條件的點P

的橫坐標.

8.（2022?黑龍江哈爾濱?中考真題）在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，拋物線V="?+"經過點

128人點12切，與y軸交于點C.⑴求α,Z）的值；（2）如圖1,點。在該拋物線上，點。的橫

坐標為-2,過點。向y軸作垂線，垂足為點E.點產為y軸負半軸上的一個動點，連接。P、設點P的縱

坐標為A。EP的面積為S,求S關于/的函數解析式（不要求寫出自變量，的取值范圍）；（3）如圖2,在

（2）的條件下，連接°/,點尸在°”上，過點尸向y軸作垂線，垂足為點4,連接。/交y軸于點G,

點G為。尸的中點，過點N作V軸的平行線與過點尸所作的X軸的平行線相交于點N,連接CN,PB,延

長PB交4N于點M,點R在「歷上，連接秋，若3CP=5GE,ZPMN+ZPDE=2ΛCNR,求直線EN的

解析式.

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9.（2022?湖北宜昌?中考真題）已知拋物線y=αχ2+6x-2與X軸交于Z（T0）,以4,0）兩點，與y軸交于

點C.直線/由直線BC平移得到，與了軸交于點后（&〃）.四邊形MNPO的四個頂點的坐標分別為

N(加+1/77)P(τw+5,∕w)

Λ∕(∕%+l,m+3)。(m+5,+3).⑴填空:b=

y=?~~?

（2）若點M在第二象限，直線/與經過點M的雙曲線?X有且只有一個交點，求“2的最大值;

（3）當直線/與四邊形MNP0、拋物線歹="2+以-2都有交點時，存在直線/,對于同一條直線/上的交

點，直線/與四邊形MNPQ的交點的縱坐標都不大于它與拋物線N="/+法-2的交點的縱坐標.

①當機=-3時，直接寫出〃的取值范圍；②求加的取值范圍.

X軸交于力，8兩點（點/在點8的左側），與N軸交于點C,頂點為Zλ其對稱軸與線段8C交于點E,

與X軸交于點E連接/C,BD（1）求4B,C三點的坐標（用數字或含機的式子表示），并求N08C的

度數；

（2）若N4C0=NC8D,求切的值；（3）若在第四象限內二次函數N=-/+2加x+2〃?+I（ZM是常數，且機＞0

）的圖像上，始終存在一點P,使得43=75。，請結合函數的圖像，直接寫出機的取值范圍.

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（備用圖）

2

11.（2022?四川南充?中考真題）拋物^=線-x++bx"++cC與X軸分別交于點48（4,0）,與了軸交于點

C（0,-4）

（1）求拋物線的解析式.（2）如圖1,丫頂點P在拋物線上，如果丫BCPQ面積為某值時，符合條件的

點P有且只有三個，求點P的坐標.（3）如圖2,點M在第二象限的拋物線上，點N在MO延長線上，

OM=ION,連接BN并延長到點。，使ND=NB.M。交X軸于點E,Ng與?E均為銳角，

tanZDEB=2tanNOBE,求點M的坐標.

12.（2022?湖南邵陽?中考真題）如圖，已知直線產2x+2與拋物線廠"2+ftx+c相交于48兩點，點力在

X軸上，點8在y軸上，點C（3,0）在拋物線上.

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（1）求該拋物線的表達式.（2）正方形OPZ）E的頂點。為直角坐標系原點，頂點P在線段OC上，頂點E在

y軸正半軸上，若?40B與4DPC全等,求點P的坐標.（3）在條件（2）下，點。是線段Co上的動點

（點。不與點。重合），將aPQD沿PQ所在的直線翻折得到4P0O,連接CD',求線段CO長度的最小

值.

y=-χ2+bx+Cj/n

13.（2022?重慶?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線2與直線48交于點貝“-4）

,8（4,0）.（1）求該拋物線的函數表達式：（2）點P是直線/8下方拋物線上的一動點，過點P作X軸的平行

線交/8于點C,過點尸作y軸的平行線交X軸于點。，求尸C+PQ的最大值及此時點尸的坐標；（3）在

（2）中尸C+尸。取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向左平移5個單位，點E為點P的對應點,

平移后的拋物線與歹軸交于點尸，/為平移后的拋物線的對稱軸上一點.在平移后的拋物線上確定一點

N,使得以點E,F,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點N的坐標，并寫出

求解點N的坐標的其中一種情況的過程.

14.（2022?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）綜合與探究

如圖，某一次函數與二次函數y=x2+",x+"的圖象交點為4（-1,0）,B（4,5）.

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（1）求拋物線的解析式；（2）點C為拋物線對稱軸上一動點，當ZC與BC的和最小時，點C的坐標

為;

（3）點Z）為拋物線位于線段/8下方圖象上一動點，過點。作Z）ELX軸，交線段/8于點E,求線段。E長

度的最大值；（4）在（2）條件下，點M為y軸上一點，點尸為直線48上一點，點N為平面直角坐標系內

一點，若以點C,M,F,N為頂點的四邊形是正方形，請直接寫出點N的坐標.

15.（2022?山西?中考真題）綜合與探究

13

y=—X24—X÷4ZI

如圖，二次函數.42的圖象與X軸交于43兩點（點N在點8的左側），與y軸交于點C,

點尸是第一象限內二次函數圖象上的一個動點，設點尸的橫坐標為機.過點尸作直線尸3,X軸于點。，

作直線BC交PD于點、E

（1）求Z,B,C三點的坐標，并直接寫出直線BC的函數表達式；（2）當ACEP是以PE為底邊的等腰三角形

時，求點P的坐標；（3）連接/C,過點P作直線/〃4C,交y軸于點尸，連接。尸.試探究：在點P運動

的過程中，是否存在點P,使得CE=FD,若存在，請直接寫出力的值：若不存在，請說明理由.

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16?（2022?廣西玉林?中考真題）如圖，已知拋物線：P"?/+加:+c與X軸交于點48（2,0）q在8的

1

X=——

左側），與'軸交于點C,對稱軸是直線2,P是第一象限內拋物線上的任一點.（1）求拋物線的解析

式；（2）若點。為線段℃的中點，則APoZ）能否是等邊三角形？請說明理由；（3）過點P作X軸的垂線與線

段BC交于點”，垂足為點”，若以尸，M,C為頂點的三角形與A8M”相似，求點尸的坐標.

備用圖

17.（2022?湖北鄂州?中考真題）某數學興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究y=θ√（α>0）型拋物線圖

1

象.發現：如圖1所示，該類型圖象上任意一點/到定點F（0,4。）的距離MR始終等于它到定直線

1

/：y=石上的距離MN（該結論不需要證明），他們稱：定點尸為圖象的焦點，定直線/為圖象的準線，

?_L1

jv=□4α叫做拋物線的準線方程.其中原點。為F//的中點，FH=20F=,例如，拋物線y=2∕,其焦

??

點坐標為尸（0,2）,準線方程為/：y=□5.其中MF=MN,FH=2OH=?.

圖1圖2圖3圖4

（1）【基礎訓練】請分別直接寫出拋物線y=2%2的焦點坐標和準線/的方程：,.

?

（2）【技能訓練】如圖2所示，己知拋物線y=W