第6節對數與對數函數

課時作業靈活分層，高效提能________________________

［選題明細表］

知識點、方法題號

對數的概念及對數運算1,2,4,7

對數函數的圖象及應用6,9,10,15

對數函數性質的應用3,5,8,11,12,13,14

1A級基礎:見固練

1.（2022?山西臨汾二模）若xlog34=l,則AV等于（B）

C.-D.-

33

x

解析：因為XlOg34=1,所以log34=l,

所以4x=3,4W

所以4'-4?3-92

33

2.已知函數y=f(x)的圖象與函數y=2'的圖象關于直線y=x對稱,g(x)

為奇函數,且當x>0時,g(x)=f(x)-x,則g(-8)等于(C)

A.-5B.-6C.5D.6

解析：由已知,函數y=f(x)與函數y=2'互為反函數,則f(x)=log2x.由

題設,當x>0時，g(x)=Iog2X-X,則g(8)=log28-8=3-8=-5.因為g(x)為

奇函數,所以g(-8)=-g(8)=5.

3.函數f(x)=J藏+lg(5-3x)的定義域是(C)

A.[0,|)B.[0,|]

C.[1,∣)D.[1,∣]

(x>O,,

解析：函數f(x)=λ∕ig%+lg(5-3x)的定義域是x?Igx≥0,,

、v5-3x>0，

即{x∣lWxg}?

4.(多選題)若10a=4,10=25,則(AC)

A.a+b=2B.b-a=l

C.ab>81g22D.b-a<lg6

解析：因為10a=4,10b=25,所以a=lg4,b=lg25,所以a+b=lg4+lg25=

IgIoo=2,所以選項A正確;b-a=lg25-lg4=lg至<1,選項B錯誤;

4

ab=21g2×21g5=41g2?Ig5>41g2?Ig4=81g?2,所以C正確,D

錯誤.

5.已知a=log32,b=log43,c=∣,則(A)

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<c<bD.a<b<c

解析:因為a=log32=log3√4=log3V8<log3V9=∣,

所以c=∣=1og3√3<1og3√4=a<∣,

b=log43=∣log23>∣log22√2=?∣>a,

所以c<a<b.

6.(多選題)函數f(x)=loga(x+2)(0<a<l)的圖象過(BCD)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析:作出函數f(x)=1。或(x+2)(0<a<l)的大致圖象如圖所示,則函數

f(x)的圖象過第二、第三、第四象限.故選BCD.

7.(多選題)下列運算錯誤的是(ABC)

A.2Iogi10+IogiO.25=2

55

B.log27×log8×log5=-

12599

C.Ig2+lg50=10

d12

?°g(2+√3)(2-√3)-(log2√2)=-∣

解析:對于A,21ogιl0+logι0.25=logι(102×0.25)=logι5=-2,A錯誤;

5555

對于B,log127×log258×log95?×??×???B錯誤；

對于C,Ig2+lg50=lgIOO=2,C錯誤；

對于D,log(2+忖(2-百)-(IOg2魚)2=-1-(，2=-aD正確.故選ABC.

8.(2022?福建漳州二模)寫出一個具有性質①②③的函數f(x)=

①f（X）的定義域為9+o°）；②f（x1X2）=f（xι）+f（X2）;③當x≡（0,+°o）

時,f'（X）<0.

解析：由①②知,對數函數形式的函數滿足要求,又由③知,f（X）在定

義域上是減函數,故f（X）可以為Tog2X?

答案:TOg2X（答案不唯一）

9.已知函數y=loga（x+3）+］（a>0,且a≠l）的圖象恒過定點A,若點A也

在函數f（x）=3'-b的圖象上,則b=.

解析：對于y=loga（x+3）÷∣,

令x+3=l,得x=-2,則y=-(a>O,且a≠l),

9

所以函數y=loga(x+3)+^(a>0,且a≠l)的圖象恒過定點A(-2,勺，

又點A也在函數f(x)=35i-b的圖象上，

則f=3Jb,解得b=9?

99

答案:q

級綜合運用練

10.已知函數f(x)=Ilog2xI,當0<m<n時,f(m)=f(n),若f(x)在［m；n］

上的最大值為2,則巴等于(D)

m

A.2B.-C.3D.4

2

解析：如圖所示，根據函數f(x)=∣log2X∣的圖象，得0<m<l<n,所以

(Km2<m<l.結合函數圖象，易知當X=Ii?時,f(x)在［m；n］上取得最大值,

22

所以f(m)=Ilog2m1=2,

又O<m<l,所以m=?,再結合f(m)=f(n),可得n=2,所以巴=4.

11.(多選題)已知函數f(x)=Lg(χ2+aχ-a-1),給出下列論述,其中正確

的是(AC)

A.當a=0時,f(x)的定義域為(-8,τ)u(l,+∞)

B?f(x)一定有最小值

C.當a=0時,f(x)的值域為R

D.若f(x)在區間［2,+8)上單調遞增，則實數a的取值范圍是

{aIa≥-4)

解析:對于A,當a=0時,解不等式x2-l>0得x∈(-∞,-1)U(1,+∞),

故A正確;對于B,C,當a=0時,f(x)=lg(χ2-l),此時x∈(-∞,-1)U

(1,+∞),x2-l∈(0,+8),此時f(χ)=lg(χ2一1)的值域為R,故B錯誤,C

正確;對于D,若f(x)在區間［2,+8)上單調遞增，此時y=χ2+aχ-a-l的

圖象的對稱軸x=-^≤2,解得a2-4.但當a=-4,f(x)=lg(x2-4x+3)

在x=2處無定義,故D錯誤.

12.(多選題)設a,b,c都是正數,且4a=6b=9c,那么(AD)

A.ab+bc=2acB.ab+bc=ac

解析：由題意,設4a=6b=gk(k>O),

則a=log4k,b=log6k,c=log9k,

對于選項A,由ab+bc=2ac,可得0色=2,因為&+△=學+簪組產+修=

cacaIog9ZcIog4/cIOgk6Iogk6

log69+log64=log636=2,故A正確,B錯誤；

對于選項C,-+^=-?-+-^-=210gk4+1ogk6=1ogk96,

abIog4/clog6k

1ogk9=1ogk81,故2W2+：,故C錯誤；

clog9fccab

對于選項D,∣-^=-?---^~=21ogk6-logk4=logk9,?=-^τ=logk9,故

balog6klog4∕ccIog9Zc

~~~-?~,故D正確.

Cba

13.已知函數f(x)=log.(2x-a)在區間百|］上恒有f(x)>O,則實數a

的取值范圍是.

解析：當(KaG時?，函數f(x)在區間中|］上是減函數,所以1oga(/)>

0,即O<--a<l,解得乂aY,故乂a<l;當a>l時,函數f(x)在區間I-,-]

333323

上是增函數,所以loga(l-a)>0,即l-a>l,解得a<0,此時無解.綜上可

知,實數a的取值范圍是01).

答案:61)

14.已知函數f(x)=log.尹(a>0,且a≠l)是奇函數,則實數m的值

2+mx

為,滿足不等式f0。的實數a的取值范圍

是.

解析：由題意產>0的解集關于原點對稱，因為x=2是2-χ=0的根，

2+mx

所以x=-2是2+mx=0的根，

所以m=l.

當m=l時,f(x)=Iogaf的定義域為(-2,2),且滿足f(-X)=-f(x),符合

題意，故m=l.

由f(x)?lθga?-,及f(1)<1,

2+%7

2二R

-

可知IOga?=loga-^l.

2÷74

當a>lB?,loga^<0,不等式恒成立；

當(XaG時，由log&l,得0<a<-.

44

綜上所述,(KaT或a>l.

4

答案：1{a∣O<a<?Ka>l}

4

JQ<應用創新練

15.已知函數f(x)=e'+χ-n,g(x)=x+lnχ-π,(a>0,

且a≠1),貝IJxι+x2=.

解析XI)=。。出)=1(a>0,且a≠l),