2024年新知杯上海市初中數學競賽參考解答一、填空題〔第1-5小題每題8分，第6-10小題每題10分，共90分〕1、對于任意實數a,b，定義,a?b=a(a+b)+b,a?2.5=28.5，那么實數a的值是。【答案】4，2、在三角形ABC中，，其中a,b是大于1的整數，那么b-a=。【答案】03、一個平行四邊形可以被分成92個邊長為1的正三角形，它的周長可能是。【答案】50,944、關于x的方程有實根，并且所有實根的乘積為?2，那么所有實根的平方和為。【答案】55、如圖，直角三角形ABC中,AC=1，BC=2，P為斜邊AB上一動點。PE⊥BC，PF⊥CA，那么線段EF長的最小值為。【答案】6、設a，b是方程的兩個根，c，d是方程的兩個根，那么(a+c)(b+c)(a?d)(b?d)的值。【答案】27727在平面直角坐標系中有兩點P(-1,1),Q(2,2)，函數y=kx?1的圖像與線段PQ延長線相交〔交點不包括Q〕，那么實數k的取值范圍是。【答案】8方程xyz=2024的所有整數解有組。【答案】729如圖，四邊形ABCD中AB=BC=CD，∠ABC=78°，∠BCD=162°。設AD,BC延長線交于E，那么∠AEB=。【答案】21°10、如圖，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=10，點M在BC上，使得ΔADM是正三角形，那么ΔABM與ΔDCM的面積和是。【答案】二、〔此題15分〕如圖，ΔABC中∠ACB=90°，點D在CA上，使得CD=1,AD=3，并且∠BDC=3∠BAC，求BC的長。解：設BC=x，那么，，如圖，作∠ABD平分線BE，那么,因此。由角平分線定理可知。因此，解得三、〔此題15分〕求所有滿足以下條件的四位數，其中數字c可以是0。解：設,，那么，故有整數解，由于10<x<100，故y≠0。因此是完全平方數，可設，故，0≤50-t<50+t之和為100，而且其中有11的倍數，只能有50?t=1或50?t=45，相應得到y=1,25，代入解得因此。四、〔此題15分〕正整數n滿足以下條件：任意n個大于1且不超過2024的兩兩互素的正整數中，至少有一個素數，求最小的n。解：由于這14個合數都小于2024且兩兩互質，因此n≥15。而n=15時，我們取15個不超過2024的互質合數的最小素因子，那么必有一個素數≥47，不失一般性設，由于是合數的最小素因子，因此，矛盾。因此，任意15個大于1且不超過的互質正整數中至少有一個素數。綜上所述，n最小是15。五、〔此題15分〕假設兩個實數a,b,使得,與都是有理數，稱數對(a,b)是和諧的。①試找出一對無理數，使得(a，b)是和諧的；②證明：假設(a，b)是和諧的，且a+b是不等于1的有理數，那么a,b都是有理數；③證明：假設(a，b)是和諧的，且是有理數，那么a,b都是有理數；解：①不難驗證是和諧的。②由是有理數，是有理數，因此，解得是有理數，當然b=s?a也是有理數。③假設，那么是有理數，因此也是有理數。假設，由是有理數，也是有理數，因此，故是有理數，因此也是有理數。實驗中學2024-1八年級上數學競賽班級姓名座號一、耐心填一填1、等腰三角形的底角是15°，腰長為10，那么其腰上的高為___________．第2題2、如圖，D為等邊三角形ABC內一點，AD=BD，第2題BP=AB，∠DBP=∠DBC，那么∠BPD=___________．3、y= 是關于x的一次函數，那么m為____4、觀察以下:1×3=3而3=22－1，3×5=15而15=42－1，5×7=35而35=62－1，……，11×13=143而143=122－1你猜想到的規律用只含一個字母n的式子表示出來是__。5、觀察以下規律：3=3，，，，，……用你發現的規律寫出個位數字為__________6、當m______時，兩直線y=2x+4與y=-2x+m的交點在第二象限HHKGCBA7、在△ABC中,∠B,∠C的平分線相交于點O,假設HHKGCBA那么∠BOC=_______8、假設AB=AC,BG=BH,AK=KG,那么∠BAC=___________二、精心選一選9、直線與直線的交點坐標是()．A、(-8，-10)B、(0，-6)；C、(10，-1)；D、以上答案均不對10、如圖，直線表示三條相互交叉的公路，現要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，那么可供選擇的地址有〔〕A、1處；B、2處；C、3處；D、4處11、假設點P〔a,b〕在第二象限，那么點Q(a-1,-b〕關于y軸對稱點〔〕A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限12、△ABC和△A’B’C’中,①AB=A’B’②BC=B’C’③AC=A’C’④∠A=∠A’,⑤∠B=∠B’⑥∠C=∠C’那么不能證出△ABC≌△A’B’C’的條件是( )A、①②③ B、①②⑤ C、①②④ D、②⑤⑥13、如圖，∠AOP=∠BOP=15°，PC//OA，PD⊥OA，假設PC=4，那么PD等于〔〕A、4 B、3 C、2 D、1〔第16題〕〔第16題〕第13題第14題14、如圖，AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=110°，∠BAC=80°，那么∠CAE的度數是〔〕A、20° B、30° C、40° D、50°15、，并且，那么直線一定通過〔〕.A.第一、第二象限B.第二、第三象限 C.第三、第四象限 D.第一、第四象限16、如圖，在△中，點在上，于，于.假設，那么等于〔〕.A.55° B.60°C.65° D.70°三、從生活中學數學，應用數學到生活中。ADBCEF17、如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E、F分別在BC、AB、AC邊上，且ADBCEF〔1〕求證：△DEF是等腰三角形；〔2〕當∠A=40°時，求∠DEF的度數；〔3〕△DEF可能是等腰直角三角形嗎？為什么？18、如圖，直線:y=2x+1、直線:y=-x+7，直線、分別交x軸于B、C兩點，、相交于點A。(1)求A、B、C三點坐標；(2)求△ABC的面積。19、如圖，在△ABC中，∠BAC為直角，AB=AC，D為AC上一點，CE⊥BD于E．〔1〕假設BD平分∠ABC，求證CE=EQ\F(1,2)BD；〔2〕假設D為AC上一動點，∠AED如何變化，假設變化，求它的變化范圍；假設不變，求出它的度數，并說明理由。20、設關于x的一次函數與，那么稱函數〔其中〕為此兩個函數的生成函數．〔1〕當x=1時，求函數與的生成函數的值；〔2〕假設函數與的圖象的交點為，判斷點P是否在此兩個函數的生成函數的圖象上，并說明理由．解：〔1〕當x=1時，，∵，∴．〔2〕點P在此兩個函數的生成函數的圖象上．設點P的坐標為〔a，b〕， ∵，，∴當x=a時，，即點P在此兩個函數的生成函數的圖象上．21、我市某鎮組織20輛汽車裝運完A、B、C三種臍橙共100噸到外地銷售。按方案，20輛汽車都要裝運，每輛汽車只能裝運同一種臍橙，且必須裝滿。根據下表提供的信息，解答以下問題：臍橙品種ABC每輛汽車運載量〔噸〕654每噸臍橙獲得〔百元〕121610〔1〕設裝運A種臍橙的車輛數為，裝運B種臍橙的車輛數為，求與之間的函數關系式；〔2〕如果裝運每種臍橙的車輛數都不少于4輛，那么車輛的安排方案有幾種？并寫出每種安排方案；〔3〕假設要使此次銷售獲利最大，應采用哪種安排方案？并求出最大利潤的值．解：〔1〕根據題意，裝運A種臍橙的車輛數為，裝運B種臍橙的車輛數為，那么裝運C種臍橙的車輛數為，那么有：整理得：〔2〕由〔1〕知，裝運A、B、C三種臍橙的車輛數分別為、、，由題意得：，解得：4≤≤8，因為為整數，所以的值為4、5、6、7、8，所以安排方案共有5種。方案一：裝運A種臍橙4車，B種臍橙12車，C種臍橙4車；方案二：裝運A種臍橙5車，B種臍橙10車，C種臍橙5車；方案三：裝運A種臍橙6車，B種臍橙8車，C種臍橙6車；方案四：裝運A種臍橙7車，B種臍橙6車，C種臍橙7車；方案五：裝運A種臍橙8車，B種臍橙4車，C種臍橙8車；〔3〕設利潤為W〔百元〕那么：∵∴W的值隨的增大而減小要使利潤W最大，那么，應選方案一＝1408〔百元〕＝14.08〔萬元〕答：當裝運A種臍橙4車，B種臍橙12車，C種臍橙4車時，獲利最大，最大利潤為14.08萬元．22、有依次排列的3個數：3，9，8，對任意相鄰的兩個數，都用右邊的數減去左邊的數，所得之差寫在這兩個數之間，可產生一個新數串：3，6，9，，8，這稱為第一次操作；做第二次同樣的操作后也可產生一個新數串：3，3，6，3，9，，，9，8，繼續依次操作下去，問：從數串3，9，8開始操作第100次以后所產生的那個新數串的所有數之和是多少？解:一個依次排列的n個數組成一個n數串：

依題設操作