2024年新知杯上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽參考解答一、填空題〔第1-5小題每題8分，第6-10小題每題10分，共90分〕1、對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b，定義,a?b=a(a+b)+b,a?2.5=28.5，那么實(shí)數(shù)a的值是。【答案】4，2、在三角形ABC中，，其中a,b是大于1的整數(shù)，那么b-a=。【答案】03、一個(gè)平行四邊形可以被分成92個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形，它的周長(zhǎng)可能是。【答案】50,944、關(guān)于x的方程有實(shí)根，并且所有實(shí)根的乘積為?2，那么所有實(shí)根的平方和為。【答案】55、如圖，直角三角形ABC中,AC=1，BC=2，P為斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)。PE⊥BC，PF⊥CA，那么線段EF長(zhǎng)的最小值為。【答案】6、設(shè)a，b是方程的兩個(gè)根，c，d是方程的兩個(gè)根，那么(a+c)(b+c)(a?d)(b?d)的值。【答案】27727在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)P(-1,1),Q(2,2)，函數(shù)y=kx?1的圖像與線段PQ延長(zhǎng)線相交〔交點(diǎn)不包括Q〕，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是。【答案】8方程xyz=2024的所有整數(shù)解有組。【答案】729如圖，四邊形ABCD中AB=BC=CD，∠ABC=78°，∠BCD=162°。設(shè)AD,BC延長(zhǎng)線交于E，那么∠AEB=。【答案】21°10、如圖，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=10，點(diǎn)M在BC上，使得ΔADM是正三角形，那么ΔABM與ΔDCM的面積和是。【答案】二、〔此題15分〕如圖，ΔABC中∠ACB=90°，點(diǎn)D在CA上，使得CD=1,AD=3，并且∠BDC=3∠BAC，求BC的長(zhǎng)。解：設(shè)BC=x，那么，，如圖，作∠ABD平分線BE，那么,因此。由角平分線定理可知。因此，解得三、〔此題15分〕求所有滿足以下條件的四位數(shù)，其中數(shù)字c可以是0。解：設(shè),，那么，故有整數(shù)解，由于10<x<100，故y≠0。因此是完全平方數(shù)，可設(shè)，故，0≤50-t<50+t之和為100，而且其中有11的倍數(shù)，只能有50?t=1或50?t=45，相應(yīng)得到y(tǒng)=1,25，代入解得因此。四、〔此題15分〕正整數(shù)n滿足以下條件：任意n個(gè)大于1且不超過2024的兩兩互素的正整數(shù)中，至少有一個(gè)素?cái)?shù)，求最小的n。解：由于這14個(gè)合數(shù)都小于2024且兩兩互質(zhì)，因此n≥15。而n=15時(shí)，我們?nèi)?5個(gè)不超過2024的互質(zhì)合數(shù)的最小素因子，那么必有一個(gè)素?cái)?shù)≥47，不失一般性設(shè)，由于是合數(shù)的最小素因子，因此，矛盾。因此，任意15個(gè)大于1且不超過的互質(zhì)正整數(shù)中至少有一個(gè)素?cái)?shù)。綜上所述，n最小是15。五、〔此題15分〕假設(shè)兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,使得,與都是有理數(shù)，稱數(shù)對(duì)(a,b)是和諧的。①試找出一對(duì)無理數(shù)，使得(a，b)是和諧的；②證明：假設(shè)(a，b)是和諧的，且a+b是不等于1的有理數(shù)，那么a,b都是有理數(shù)；③證明：假設(shè)(a，b)是和諧的，且是有理數(shù)，那么a,b都是有理數(shù)；解：①不難驗(yàn)證是和諧的。②由是有理數(shù)，是有理數(shù)，因此，解得是有理數(shù)，當(dāng)然b=s?a也是有理數(shù)。③假設(shè)，那么是有理數(shù)，因此也是有理數(shù)。假設(shè)，由是有理數(shù)，也是有理數(shù)，因此，故是有理數(shù)，因此也是有理數(shù)。實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-1八年級(jí)上數(shù)學(xué)競(jìng)賽班級(jí)姓名座號(hào)一、耐心填一填1、等腰三角形的底角是15°，腰長(zhǎng)為10，那么其腰上的高為___________．第2題2、如圖，D為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，AD=BD，第2題BP=AB，∠DBP=∠DBC，那么∠BPD=___________．3、y= 是關(guān)于x的一次函數(shù)，那么m為____4、觀察以下:1×3=3而3=22－1，3×5=15而15=42－1，5×7=35而35=62－1，……，11×13=143而143=122－1你猜想到的規(guī)律用只含一個(gè)字母n的式子表示出來是__。5、觀察以下規(guī)律：3=3，，，，，……用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出個(gè)位數(shù)字為__________6、當(dāng)m______時(shí)，兩直線y=2x+4與y=-2x+m的交點(diǎn)在第二象限HHKGCBA7、在△ABC中,∠B,∠C的平分線相交于點(diǎn)O,假設(shè)HHKGCBA那么∠BOC=_______8、假設(shè)AB=AC,BG=BH,AK=KG,那么∠BAC=___________二、精心選一選9、直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是()．A、(-8，-10)B、(0，-6)；C、(10，-1)；D、以上答案均不對(duì)10、如圖，直線表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，那么可供選擇的地址有〔〕A、1處；B、2處；C、3處；D、4處11、假設(shè)點(diǎn)P〔a,b〕在第二象限，那么點(diǎn)Q(a-1,-b〕關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)〔〕A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限12、△ABC和△A’B’C’中,①AB=A’B’②BC=B’C’③AC=A’C’④∠A=∠A’,⑤∠B=∠B’⑥∠C=∠C’那么不能證出△ABC≌△A’B’C’的條件是( )A、①②③ B、①②⑤ C、①②④ D、②⑤⑥13、如圖，∠AOP=∠BOP=15°，PC//OA，PD⊥OA，假設(shè)PC=4，那么PD等于〔〕A、4 B、3 C、2 D、1〔第16題〕〔第16題〕第13題第14題14、如圖，AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=110°，∠BAC=80°，那么∠CAE的度數(shù)是〔〕A、20° B、30° C、40° D、50°15、，并且，那么直線一定通過〔〕.A.第一、第二象限B.第二、第三象限 C.第三、第四象限 D.第一、第四象限16、如圖，在△中，點(diǎn)在上，于，于.假設(shè)，那么等于〔〕.A.55° B.60°C.65° D.70°三、從生活中學(xué)數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)到生活中。ADBCEF17、如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E、F分別在BC、AB、AC邊上，且ADBCEF〔1〕求證：△DEF是等腰三角形；〔2〕當(dāng)∠A=40°時(shí)，求∠DEF的度數(shù)；〔3〕△DEF可能是等腰直角三角形嗎？為什么？18、如圖，直線:y=2x+1、直線:y=-x+7，直線、分別交x軸于B、C兩點(diǎn)，、相交于點(diǎn)A。(1)求A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求△ABC的面積。19、如圖，在△ABC中，∠BAC為直角，AB=AC，D為AC上一點(diǎn)，CE⊥BD于E．〔1〕假設(shè)BD平分∠ABC，求證CE=EQ\F(1,2)BD；〔2〕假設(shè)D為AC上一動(dòng)點(diǎn)，∠AED如何變化，假設(shè)變化，求它的變化范圍；假設(shè)不變，求出它的度數(shù)，并說明理由。20、設(shè)關(guān)于x的一次函數(shù)與，那么稱函數(shù)〔其中〕為此兩個(gè)函數(shù)的生成函數(shù)．〔1〕當(dāng)x=1時(shí)，求函數(shù)與的生成函數(shù)的值；〔2〕假設(shè)函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)為，判斷點(diǎn)P是否在此兩個(gè)函數(shù)的生成函數(shù)的圖象上，并說明理由．解：〔1〕當(dāng)x=1時(shí)，，∵，∴．〔2〕點(diǎn)P在此兩個(gè)函數(shù)的生成函數(shù)的圖象上．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔a，b〕， ∵，，∴當(dāng)x=a時(shí)，，即點(diǎn)P在此兩個(gè)函數(shù)的生成函數(shù)的圖象上．21、我市某鎮(zhèn)組織20輛汽車裝運(yùn)完A、B、C三種臍橙共100噸到外地銷售。按方案，20輛汽車都要裝運(yùn)，每輛汽車只能裝運(yùn)同一種臍橙，且必須裝滿。根據(jù)下表提供的信息，解答以下問題：臍橙品種ABC每輛汽車運(yùn)載量〔噸〕654每噸臍橙獲得〔百元〕121610〔1〕設(shè)裝運(yùn)A種臍橙的車輛數(shù)為，裝運(yùn)B種臍橙的車輛數(shù)為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕如果裝運(yùn)每種臍橙的車輛數(shù)都不少于4輛，那么車輛的安排方案有幾種？并寫出每種安排方案；〔3〕假設(shè)要使此次銷售獲利最大，應(yīng)采用哪種安排方案？并求出最大利潤(rùn)的值．解：〔1〕根據(jù)題意，裝運(yùn)A種臍橙的車輛數(shù)為，裝運(yùn)B種臍橙的車輛數(shù)為，那么裝運(yùn)C種臍橙的車輛數(shù)為，那么有：整理得：〔2〕由〔1〕知，裝運(yùn)A、B、C三種臍橙的車輛數(shù)分別為、、，由題意得：，解得：4≤≤8，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以的值為4、5、6、7、8，所以安排方案共有5種。方案一：裝運(yùn)A種臍橙4車，B種臍橙12車，C種臍橙4車；方案二：裝運(yùn)A種臍橙5車，B種臍橙10車，C種臍橙5車；方案三：裝運(yùn)A種臍橙6車，B種臍橙8車，C種臍橙6車；方案四：裝運(yùn)A種臍橙7車，B種臍橙6車，C種臍橙7車；方案五：裝運(yùn)A種臍橙8車，B種臍橙4車，C種臍橙8車；〔3〕設(shè)利潤(rùn)為W〔百元〕那么：∵∴W的值隨的增大而減小要使利潤(rùn)W最大，那么，應(yīng)選方案一＝1408〔百元〕＝14.08〔萬元〕答：當(dāng)裝運(yùn)A種臍橙4車，B種臍橙12車，C種臍橙4車時(shí)，獲利最大，最大利潤(rùn)為14.08萬元．22、有依次排列的3個(gè)數(shù)：3，9，8，對(duì)任意相鄰的兩個(gè)數(shù)，都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，所得之差寫在這兩個(gè)數(shù)之間，可產(chǎn)生一個(gè)新數(shù)串：3，6，9，，8，這稱為第一次操作；做第二次同樣的操作后也可產(chǎn)生一個(gè)新數(shù)串：3，3，6，3，9，，，9，8，繼續(xù)依次操作下去，問：從數(shù)串3，9，8開始操作第100次以后所產(chǎn)生的那個(gè)新數(shù)串的所有數(shù)之和是多少？解:一個(gè)依次排列的n個(gè)數(shù)組成一個(gè)n數(shù)串：

依題設(shè)操作