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文檔簡介
2024年新知杯上海市初中數學競賽參考解答一、填空題〔第1-5小題每題8分,第6-10小題每題10分,共90分〕1、對于任意實數a,b,定義,a?b=a(a+b)+b,a?2.5=28.5,那么實數a的值是。【答案】4,2、在三角形ABC中,,其中a,b是大于1的整數,那么b-a=。【答案】03、一個平行四邊形可以被分成92個邊長為1的正三角形,它的周長可能是。【答案】50,944、關于x的方程有實根,并且所有實根的乘積為?2,那么所有實根的平方和為。【答案】55、如圖,直角三角形ABC中,AC=1,BC=2,P為斜邊AB上一動點。PE⊥BC,PF⊥CA,那么線段EF長的最小值為。【答案】6、設a,b是方程的兩個根,c,d是方程的兩個根,那么(a+c)(b+c)(a?d)(b?d)的值。【答案】27727在平面直角坐標系中有兩點P(-1,1),Q(2,2),函數y=kx?1的圖像與線段PQ延長線相交〔交點不包括Q〕,那么實數k的取值范圍是。【答案】8方程xyz=2024的所有整數解有組。【答案】729如圖,四邊形ABCD中AB=BC=CD,∠ABC=78°,∠BCD=162°。設AD,BC延長線交于E,那么∠AEB=。【答案】21°10、如圖,在直角梯形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=10,點M在BC上,使得ΔADM是正三角形,那么ΔABM與ΔDCM的面積和是。【答案】二、〔此題15分〕如圖,ΔABC中∠ACB=90°,點D在CA上,使得CD=1,AD=3,并且∠BDC=3∠BAC,求BC的長。解:設BC=x,那么,,如圖,作∠ABD平分線BE,那么,因此。由角平分線定理可知。因此,解得三、〔此題15分〕求所有滿足以下條件的四位數,其中數字c可以是0。解:設,,那么,故有整數解,由于10<x<100,故y≠0。因此是完全平方數,可設,故,0≤50-t<50+t之和為100,而且其中有11的倍數,只能有50?t=1或50?t=45,相應得到y=1,25,代入解得因此。四、〔此題15分〕正整數n滿足以下條件:任意n個大于1且不超過2024的兩兩互素的正整數中,至少有一個素數,求最小的n。解:由于這14個合數都小于2024且兩兩互質,因此n≥15。而n=15時,我們取15個不超過2024的互質合數的最小素因子,那么必有一個素數≥47,不失一般性設,由于是合數的最小素因子,因此,矛盾。因此,任意15個大于1且不超過的互質正整數中至少有一個素數。綜上所述,n最小是15。五、〔此題15分〕假設兩個實數a,b,使得,與都是有理數,稱數對(a,b)是和諧的。①試找出一對無理數,使得(a,b)是和諧的;②證明:假設(a,b)是和諧的,且a+b是不等于1的有理數,那么a,b都是有理數;③證明:假設(a,b)是和諧的,且是有理數,那么a,b都是有理數;解:①不難驗證是和諧的。②由是有理數,是有理數,因此,解得是有理數,當然b=s?a也是有理數。③假設,那么是有理數,因此也是有理數。假設,由是有理數,也是有理數,因此,故是有理數,因此也是有理數。實驗中學2024-1八年級上數學競賽班級姓名座號一、耐心填一填1、等腰三角形的底角是15°,腰長為10,那么其腰上的高為___________.第2題2、如圖,D為等邊三角形ABC內一點,AD=BD,第2題BP=AB,∠DBP=∠DBC,那么∠BPD=___________.3、y= 是關于x的一次函數,那么m為____4、觀察以下:1×3=3而3=22-1,3×5=15而15=42-1,5×7=35而35=62-1,……,11×13=143而143=122-1你猜想到的規律用只含一個字母n的式子表示出來是__。5、觀察以下規律:3=3,,,,,……用你發現的規律寫出個位數字為__________6、當m______時,兩直線y=2x+4與y=-2x+m的交點在第二象限HHKGCBA7、在△ABC中,∠B,∠C的平分線相交于點O,假設HHKGCBA那么∠BOC=_______8、假設AB=AC,BG=BH,AK=KG,那么∠BAC=___________二、精心選一選9、直線與直線的交點坐標是().A、(-8,-10)B、(0,-6);C、(10,-1);D、以上答案均不對10、如圖,直線表示三條相互交叉的公路,現要建一個貨物中轉站,要求它到三條公路的距離相等,那么可供選擇的地址有〔〕A、1處;B、2處;C、3處;D、4處11、假設點P〔a,b〕在第二象限,那么點Q(a-1,-b〕關于y軸對稱點〔〕A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限12、△ABC和△A’B’C’中,①AB=A’B’②BC=B’C’③AC=A’C’④∠A=∠A’,⑤∠B=∠B’⑥∠C=∠C’那么不能證出△ABC≌△A’B’C’的條件是( )A、①②③ B、①②⑤ C、①②④ D、②⑤⑥13、如圖,∠AOP=∠BOP=15°,PC//OA,PD⊥OA,假設PC=4,那么PD等于〔〕A、4 B、3 C、2 D、1〔第16題〕〔第16題〕第13題第14題14、如圖,AD=AE,BE=CD,∠1=∠2=110°,∠BAC=80°,那么∠CAE的度數是〔〕A、20° B、30° C、40° D、50°15、,并且,那么直線一定通過〔〕.A.第一、第二象限B.第二、第三象限 C.第三、第四象限 D.第一、第四象限16、如圖,在△中,點在上,于,于.假設,那么等于〔〕.A.55° B.60°C.65° D.70°三、從生活中學數學,應用數學到生活中。ADBCEF17、如圖,在△ABC中,AB=AC,點D、E、F分別在BC、AB、AC邊上,且ADBCEF〔1〕求證:△DEF是等腰三角形;〔2〕當∠A=40°時,求∠DEF的度數;〔3〕△DEF可能是等腰直角三角形嗎?為什么?18、如圖,直線:y=2x+1、直線:y=-x+7,直線、分別交x軸于B、C兩點,、相交于點A。(1)求A、B、C三點坐標;(2)求△ABC的面積。19、如圖,在△ABC中,∠BAC為直角,AB=AC,D為AC上一點,CE⊥BD于E.〔1〕假設BD平分∠ABC,求證CE=EQ\F(1,2)BD;〔2〕假設D為AC上一動點,∠AED如何變化,假設變化,求它的變化范圍;假設不變,求出它的度數,并說明理由。20、設關于x的一次函數與,那么稱函數〔其中〕為此兩個函數的生成函數.〔1〕當x=1時,求函數與的生成函數的值;〔2〕假設函數與的圖象的交點為,判斷點P是否在此兩個函數的生成函數的圖象上,并說明理由.解:〔1〕當x=1時,,∵,∴.〔2〕點P在此兩個函數的生成函數的圖象上.設點P的坐標為〔a,b〕, ∵,,∴當x=a時,,即點P在此兩個函數的生成函數的圖象上.21、我市某鎮組織20輛汽車裝運完A、B、C三種臍橙共100噸到外地銷售。按方案,20輛汽車都要裝運,每輛汽車只能裝運同一種臍橙,且必須裝滿。根據下表提供的信息,解答以下問題:臍橙品種ABC每輛汽車運載量〔噸〕654每噸臍橙獲得〔百元〕121610〔1〕設裝運A種臍橙的車輛數為,裝運B種臍橙的車輛數為,求與之間的函數關系式;〔2〕如果裝運每種臍橙的車輛數都不少于4輛,那么車輛的安排方案有幾種?并寫出每種安排方案;〔3〕假設要使此次銷售獲利最大,應采用哪種安排方案?并求出最大利潤的值.解:〔1〕根據題意,裝運A種臍橙的車輛數為,裝運B種臍橙的車輛數為,那么裝運C種臍橙的車輛數為,那么有:整理得:〔2〕由〔1〕知,裝運A、B、C三種臍橙的車輛數分別為、、,由題意得:,解得:4≤≤8,因為為整數,所以的值為4、5、6、7、8,所以安排方案共有5種。方案一:裝運A種臍橙4車,B種臍橙12車,C種臍橙4車;方案二:裝運A種臍橙5車,B種臍橙10車,C種臍橙5車;方案三:裝運A種臍橙6車,B種臍橙8車,C種臍橙6車;方案四:裝運A種臍橙7車,B種臍橙6車,C種臍橙7車;方案五:裝運A種臍橙8車,B種臍橙4車,C種臍橙8車;〔3〕設利潤為W〔百元〕那么:∵∴W的值隨的增大而減小要使利潤W最大,那么,應選方案一=1408〔百元〕=14.08〔萬元〕答:當裝運A種臍橙4車,B種臍橙12車,C種臍橙4車時,獲利最大,最大利潤為14.08萬元.22、有依次排列的3個數:3,9,8,對任意相鄰的兩個數,都用右邊的數減去左邊的數,所得之差寫在這兩個數之間,可產生一個新數串:3,6,9,,8,這稱為第一次操作;做第二次同樣的操作后也可產生一個新數串:3,3,6,3,9,,,9,8,繼續依次操作下去,問:從數串3,9,8開始操作第100次以后所產生的那個新數串的所有數之和是多少?解:一個依次排列的n個數組成一個n數串:
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