PAGEPAGE1湖北省騰●云聯盟2024屆高三上學期12月聯考數學試題一、選擇題1.已知復數z滿足，則（）A.2 B.4 C.8 D.16〖答案〗A〖解析〗由于，所以，故，故選：A.2.下列函數是R上的單調遞增函數且為奇函數的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗對于A,的定義域為，故不符合題意，對于B，故為奇函數，且當時，，為上的單調遞增函數，進而可得在上的單調遞增，故B滿足題意，對于C，為非奇非偶函數，故不符合題意，對于D，為周期函數，故不是R上的單調遞增函數，故不符合題意，故選：B3.已知，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，又，所以為銳角，且.∴.故選：C4.如圖，“楊輝三角”是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，在我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳析九章算法》一書中出現，比歐洲發現早500年左右．現從楊輝三角第20行隨機取一個數，該數大于2023的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由楊輝三角的性質知第20行的數為，一共有21個數，其中，由楊輝三角的對稱性可知，第20行中大于2023的數的個數為，故所求概率.故選：A.5.在中，“”是“為直角三角形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗D〖解析〗在中，若，則，故，或，或，故充分性不成立，令，，不符合，故必要性不成立，故選：D6.已知為數列的前n項和，，下列說法正確的是（）A.B.C.當數列的前n項積最大時，或者D.數列的前n項和為〖答案〗D〖解析〗A選項，當時，，當時，，因為，故，A錯誤；B選項，，，，由于，B錯誤；C選項，由A知，，故，當時，，綜上，當時，數列的前n項積最大，C錯誤；D選項，由A選項，，，故的前n項和為，D正確.故選：D7.已知某正四棱錐高為h，底面ABCD邊長為a，內切球半徑為r，外接球半徑為R，下列說法中不正確的是（）A.得到a，h的值，可以確定唯一的RB.得到a，h的值，可以確定唯一的rC.得到a，R值，可以確定唯一的hD.得到a，r的值，可以確定唯一的h〖答案〗C〖解析〗在正四棱錐中，當底面邊長以及四棱錐的高確定時，此時正四棱錐是唯一確定的，因此此時正四棱錐的內切球以及外接球均唯一確定，故AB正確，如圖，，為，的中點，,由題意，為正四棱錐，底邊長為，根據等體積法可得,化簡可得，的值，可以確定唯一的h，D正確,設外接球球心為,連接，,化簡可得，當時，此時有兩個不相等的實數根，所以得到a，的值，不可以確定唯一的h，C錯誤，故選：C．8.橢圓C：（）的左右焦點分別為，，B為橢圓C的下頂點，延長交橢圓C于另一點A，若，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由橢圓的定義可得，根據題意可得，所以，解得,所以，所以，所以，所以，所以，故選：B二、選擇題9.已知，是全集的兩個非空真子集，下列說法中一定正確的是（）A.B.C.D.〖答案〗BCD〖解析〗如圖所示，，A選項錯誤；，，，BCD選項正確；故選：BCD.10.已知m，n為異面直線，平面，平面．若直線l滿足，，，，則下列說法中正確的是（）A. B.C.若，則 D.〖答案〗AC〖解析〗A選項，因為平面，則存在，使得且，因為，由線面平行判定可得，A正確；B選項，如圖1，滿足題目條件，但不垂直，B錯誤；C選項，如圖2，因為，所以，平面，，故，平面，，故，又，，故，C正確；D選項，假設，因為平面，所以，則與矛盾，D錯誤.故選：AC11.已知數列滿足，，下列說法中正確的是（）A.B.，且，滿足C.（）D.記的前n項積為，則〖答案〗AD〖解析〗A選項，由可得，若，則，以此類推，，…，，與已知條件矛盾，故，此時，且滿足，所以A正確．B選項，由可得，因為，若，則，以此類推，，…，，與已知條件矛盾．故，又，所以恒成立．則，故是遞減數列，所以B錯．C選項，假設（），則，將代入中得，，或者取驗證可知C不成立，所以C錯．D選項，由，，利用累乘法可得：，因為，所以，則．所以D正確．另解AB選項：由，左右兩邊同時取對數，，令，則，設，故，故，故為等比數列，首項為，公比為2，故，故，代入，則．顯然，故A正確，因為函數單調增函數，且大于0恒成立，則單調遞減，則數列為遞減數列，則不存在，且，滿足，所以B錯誤；故選：AD.12.函數的圖象稱為牛頓三叉戟曲線．若關于x的方程有3個實根，，，，且，則下列說法中正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗由題意可知：的定義域為，，令，解得或；令，解得；則在和單調遞減，單調遞增，且，令，解得或，可得的圖象如圖所示：對于A：若關于x的方程有3個實根，由函數圖象可知，符合題意，故A正確；對于B：由圖可知，則，，因為在上單調遞增，由，可得，所以，故B錯誤；對于C：由可得，由圖象可知，即，解得，故C錯誤；對于D：由，令，則（），構造（），則，令，解得；令，解得；則在單調遞減，單調遞增，所以，即，故D正確．三、填空題13.函數在點處的切線方程為________________．〖答案〗〖解析〗，，故在點處的切線方程為，即.故〖答案〗為：14.2023年10月5日晚，杭州亞運會女籃決賽在杭州奧體中心體育館打響，中國女籃戰勝日本女籃，以6戰全勝的戰績強勢奪冠，第7次獲得亞運會金牌.中國隊6場比賽得分依次為101，101，111，104，100，74，則中國隊6場比賽得分的第75百分位數是__________．〖答案〗104〖解析〗由題意知：將場比賽得分從小到大排列為：，，，，，，因為，所以可得場比賽得分第百分位數為第位的數：.故〖答案〗為：.15.（），若存在，使得，則正實數的取值范圍為__________．〖答案〗〖解析〗當時，，故由可得，因此存在，使得，由于，（），則，因此，解得，故〖答案〗為；16.MN是棱長為2的正方體的內切球的一條直徑，點E為的中點，若空間內動點Р滿足AP⊥CE，則的最小值為__________．〖答案〗〖解析〗設內切球的球心為,連接，可得，取,的中點為，連接，由于E為的中點，所以又,所以,因此,故,又,所以,又平面，平面，所以平面，因此點在平面上不同于點處運動，故當平面時，此時最小，建立如圖所示的空間坐標系，則,,設平面法向量為，則，取，則，故到平面的距離為所以的最小值為，故〖答案〗為：四、解答題17.在中，，，，為的平分線．（1）求的面積；（2）求．解：（1）在中用余弦定理，，則，所以；（2）因為為的平分線，所以，則，解得，因為為的平分線，在和中分別用正弦定理可得，，因為，所以所以，又，所以，在中用正弦定理，，解得．18.如圖，已知兩個正四棱錐與的所有棱長均為2．（1）設平面與平面的交線為l，證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：由正四棱錐可知，平面，平面，所以平面，平面平面，平面，所以．又因為平面且平面，由線面平行的判定定理，平面．（2）解：由題設知，是正方形，所以．由正四棱錐的性質，平面，取中心為O，分別以直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系（如圖），由題設條件，相關各點的坐標分別是，，，，所以，，，設平面QAB的法向量為，由，取．設與平面所成角為，則．所以PA與平面QAB所成角的正弦值為．19.甲，乙兩學校進行體育比賽，比賽共設兩個項目，每個項目勝方得分，負方得分，平局各得分．兩個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在兩個項目中獲勝的概率分別為，，甲學校在兩個項目中平局的概率分別為，．各項目的比賽結果相互獨立．（1）求甲學校兩場比賽后獲得冠軍的概率；（2）用表示甲學校兩場比賽的總得分，求的分布列與期望．解：（1）甲獲勝分三種情況：勝勝，勝平，平勝，則甲獲勝的概率為（2）所有可能取值為，，，，，，，，，，，，其分布列如下表.20.記數列的前項和為，滿足，且．（1）求的通項公式：（2）記，求數列的前項和．解：（1）由已知，當時，，解得，當時，，則，即，則當時，，即，，所以，則，，又，滿足上式，所以，；（2）由（1）得，又當時，，即，當時，，即，設數列的前項和為，則當時，；當，，綜上所述，.21.已知．（1）若恒成立，求實數的取值范同：（2）設表示不超過的最大整數，已知的解集為，求．（參考數據：，，）解：（1）由，得，令得，當時，，當時，．所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，因為恒成立，所以，即，解得；（2）由，得，則，設函數，，令，可得，所以當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，所以，即，則當時，即時，由（1）得在單調遞增，恒成立，且當時，；當時，即時，由（1）知在單調遞減，，不符合題意；當時，易知有解；因為的解集為，則，所以，即．22.已知拋物線C：（）的準線方程為．動點P在上，過P作拋物線C的兩條切線，切點為M，N．（1）求拋物線C的方程：（2）當面積的最大值時，求點P的坐標．（O為