人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第五章相交線與平行線5.3平行線的性質(zhì)5.3.1平行線的性質(zhì)導(dǎo)入新課回顧窗戶內(nèi)窗的兩條豎直的邊是平行的，在推動(dòng)過程中，兩條豎直的邊與窗戶外框形成的兩個(gè)角∠1，∠2有什么數(shù)量關(guān)系？利用同位角相等，或者內(nèi)錯(cuò)角相等，或者同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可以判定兩條直線平行．反過來，如果兩條直線平行，同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角各有什么關(guān)系呢？探究新知知識(shí)點(diǎn)平行線兩條平行線被第三條直線截得的同位角具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

思考

如圖，已知直線a∥b

，c是截線.bac12345678角∠1∠2∠3∠4度數(shù)角∠5∠6∠7∠8度數(shù)100°80°100°80°100°80°100°80°探究∠1，∠2，···，∠8中，哪些是同位角？它們的度數(shù)之間有什么關(guān)系？由此猜想：兩條平行線被第三條直線截得的同位角有什么關(guān)系？相等bac12345678再任意畫一條截線d，同樣度量并比較各對(duì)同位角的度數(shù)，你的猜想還成立嗎？bac12345678d成立性質(zhì)1兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同位角相等.思考如圖，直線a∥b

，c

是截線，那么

1與

2相等嗎？為什么？根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”，可得∠2=∠3.而∠3與∠1互為對(duì)頂角，所以∠3=∠1.所以∠1=∠2.bac321性質(zhì)2兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等.簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.性質(zhì)3兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ).簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).類似地，知識(shí)歸納平行線的性質(zhì)：性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．例題與練習(xí)例1

如圖，是一塊梯形鐵片的殘余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外兩個(gè)角分別是多少度？解：因?yàn)樘菪紊稀⑾聝傻譇B∥CD，根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，可得∠A與∠D互補(bǔ)，∠B與∠C互補(bǔ)．于是∠D=180°－∠A

=180°－100o=80°，

∠C=180°－∠B=180°－115°=65°．所以，梯形的另外兩個(gè)角分別是80°，65°．例2

如圖，已知DB∥FG∥EC，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC，∠PAG＝12°，求∠ABD的度數(shù)．解：∵FG∥EC，∴∠CAG＝∠ACE＝36°，∴∠PAC＝∠CAG＋∠PAG＝36°＋12°＝48°.∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠PAC＝48°.∵DB∥FG，∴∠ABD＝∠BAG＝∠BAP＋∠PAG＝48°＋12°＝60°.例3如圖，已知AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點(diǎn)M，N，MP平分∠EMA，NQ平分∠MNC，那么MP∥NQ，為什么？解：∵AB∥CD，∴∠EMA＝∠MNC.∵M(jìn)P平分∠EMA，NQ平分∠MNC，∴∠EMP＝∠EMA，∠MNQ＝∠MNC，∴∠EMP＝∠MNQ，∴MP∥NQ.例題與練習(xí)練習(xí)1.如圖，直線a∥b，∠1=54°，∠2，∠3，∠4各是多少度？解：∵a∥b，∠1=54°，∴∠4=∠1=54°（兩直線平行，同位角相等）.∠3=180°－∠4=180°－54°=126°，∠2與∠1是對(duì)頂角，∴∠2=∠1=54°.2.如圖，在△ABC

中，D

是AB

上一點(diǎn)，E

是AC

上一點(diǎn)，∠ADE=60°，∠B=60°，∠AED=40°.（1）DE

與BC

平行嗎？為什么？（2）∠C

是多少度？為什么？解：（1）∵∠ADE=∠B，∴DE∥BC（同位角相等，兩直線平行）（2）∵DE∥BC，∴∠C=∠AED=40°（兩直線平行，同位角相等）3．下列圖形中，根據(jù)AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是()B4．如圖，若∠1＋∠2＝180°，∠3＝110°，則∠4＝_______．110°5．如圖，CD⊥AB于點(diǎn)D，E是BC上一點(diǎn)，EF⊥AB于點(diǎn)F，∠1＝∠2，試說明∠AGD＝∠ACB的理由．解：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴∠EFB＝∠CDB＝90°，∴CD∥EF，∴∠1＝∠3.又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴DG∥BC，∴∠AGD＝∠ACB.課堂小結(jié)圖形已知結(jié)果理由a∥b∠1=∠3∠2=∠4a∥b兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行，同位角相等a∥b兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等∠2+∠3=180°bac1234人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第五章相交線與平行線5.3平行線的性質(zhì)5.3.2命題、定理、證明導(dǎo)入新課圖形已知結(jié)果理由a∥b∠1=∠3∠2=∠4a∥b兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行，同位角相等a∥b兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等∠2+∠3=180°bac1234回顧平行線的判定和性質(zhì)2．如圖，直線a，b被直線c所截，則下列說法正確的是()思考完成并交流展示．A．當(dāng)∠1＝∠2時(shí)，一定有a∥bB．當(dāng)a∥b時(shí)，一定有∠1＝∠2C．當(dāng)a∥b時(shí)，一定有∠2－∠1＝90°D．當(dāng)∠1＋∠2＝180°時(shí)，一定有a∥bD探究新知知識(shí)點(diǎn)命題（1）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；（2）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（3）對(duì)頂角相等；（4）等式兩邊都加同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是等式．像這樣判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題（proposition）.思考（1）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.（2）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ).（3）如果兩個(gè)角的和是90o，那么這兩個(gè)角互余.（4）等式兩邊都加同一個(gè)數(shù)，

結(jié)果仍是等式.（5）兩點(diǎn)之間，線段最短.下列各組命題是由幾部分組成的？命題的結(jié)構(gòu)命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成.許多數(shù)學(xué)命題常可以寫成“如果……，那么……”的形式．“如果”后面連接的部分是題設(shè)，“那么”后面連接的部分是結(jié)論．已知事項(xiàng)由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)上面練習(xí)題中哪些命題是正確的，哪些命題是錯(cuò)誤的？（1）兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（2）等式兩邊都加同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是等式；（3）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；（4）同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（5）對(duì)頂角相等．√××√√思考命題的真假真命題：假命題：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做真命題．如果題設(shè)成立時(shí)，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做假命題．練習(xí)1.指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論：（1）如果AB⊥CD

，垂足為O

，那么∠AOC=90°.題設(shè)：如果AB⊥CD

，垂足為O

，結(jié)論：∠AOC=90°.（2）如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3.題設(shè)：如果∠1=∠2，∠2=∠3，結(jié)論：∠1=∠3.題設(shè)：如果兩條直線平行，結(jié)論：同位角相等.（3）兩直線平行，同位角相等.2.判斷下列命題哪些是真命題？哪些是假命題？（1）在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么也垂直于另一條；（2）如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么它們是鄰補(bǔ)角；（3）如果|a|=|b|，那么a=b

；（4）經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行；（5）兩點(diǎn)確定一條直線．真命題假命題假命題真命題真命題知識(shí)點(diǎn)定理與證明上面練習(xí)第2題中的（1）（4）（5）它們的正確性是經(jīng)過推理證實(shí)的，這樣得到的真命題叫做定理（theorem）．定理也可以作為繼續(xù)推理的依據(jù)．在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過推理，才能作出判斷，這個(gè)推理過程叫做證明.命題1在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么它也垂直于另一條．請(qǐng)判斷下列兩個(gè)命題的真假，并思考如何判斷命題的真假．命題2相等的角是對(duì)頂角．題設(shè)：命題1：在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么它也垂直于另一條．（1）這個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是什么呢？結(jié)論：在同一平面內(nèi)，一條直線垂直于兩條平行線中的一條；這條直線也垂直于兩條平行線中的另一條．（2）命題1是真命題還是假命題？真命題命題1：在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么它也垂直于另一條．（3）你能畫出圖形，寫出已知、求證并證明它是真命題嗎？已知：b∥c，

a⊥b．求證：a⊥c．bca證明：∵

a⊥b（已知），∴∠1=90o（垂直的定義）.又∵

b∥c（已知），∴∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等）.∴∠2=∠1=90o（等量代換）.

∴

a⊥c（垂直的定義）.1b2ca例

如圖，已知：直線b∥c，a⊥b.求證：a⊥c.歸納證明中的每一步推理都要有根據(jù)，這些根據(jù)可以是已知條件，也可以是定義、基本事實(shí)、定理等.題設(shè)：（1）這個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是什么呢？命題2：相等的角是對(duì)頂角．（2）判斷這個(gè)命題的真假.假命題結(jié)論：兩個(gè)角相等.這兩個(gè)角互為對(duì)頂角.你能否舉例說明“相等的角是對(duì)頂角”是假命題？如圖，OC是∠AOB

的平分線，∠1=∠2，但它們不是對(duì)頂角.判斷一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)例子(反例)，它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論就可以了.知識(shí)歸納1．命題的定義及構(gòu)成：表示判斷性的語(yǔ)句叫命題，命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)；命題通常寫成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論；有些命題沒有寫成“如果……那么……”的形式，題設(shè)與結(jié)論不明顯，這時(shí)要分清命題判斷了什么事情，有什么已知事項(xiàng)，再改寫成“如果……那么……”的形式．命題的真假命題分為真命題和假命題，如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題叫做真命題．如果題設(shè)成立，不能保證結(jié)論一定成立的命題叫做假命題．定理及證明定理是經(jīng)過推理證實(shí)的真命題，是在今后推理中經(jīng)常作為依據(jù)的一種真命題．但不是所有經(jīng)過推理證實(shí)的真命題都把它當(dāng)作定理；在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過推理才能作出判斷，這個(gè)推理過程就叫證明．例題與練習(xí)例指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論：①如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的和為0；②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；③等式的兩邊同乘以一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是等式；④絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)相等；⑤如果AB⊥CD，垂足是O，那么∠AOC＝90°.解：①題設(shè)：兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)；結(jié)論：這兩個(gè)數(shù)的和為0；②題設(shè)：兩直線平行；結(jié)論：內(nèi)錯(cuò)角相等；③題設(shè)：等式兩邊同乘以一個(gè)數(shù)；結(jié)論：結(jié)果仍是等式；④題設(shè)：兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等；結(jié)論：這兩個(gè)數(shù)相等；⑤題設(shè)：AB⊥CD，垂足是O；結(jié)論：∠AOC＝90°.例判斷下列命題是真命題還是假命題．(1)若a>b，則a2>b2；(2)如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么它們是鄰補(bǔ)角；(3)兩點(diǎn)之間，線段最短；(4)任意兩個(gè)直角都相等．解：(1)(2)是假命題，(3)(4)是真命題．2．判斷一個(gè)命題的真假，只要舉出一個(gè)______，它符合命題的______，但不滿足結(jié)論就可以了．