1第六章《平面向量及其應用》人教A版2019必修第二冊6.4.3第2課時正弦定理1.掌握正弦定理的概念與公式，理解正弦定理的推導過程，學會正弦定理在實際生活中的應用；2.會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題，達到數學運算與邏輯推理核心素養水平一的要求.3.通過觀察，討論，概括總結等活動，提高推理論證、運算求解等能力，感受數形結合等數學思想，培養數學抽象，空間想象，數學運算等數學學科核心素養。學習目標小明的家坐落在河岸的一側A處，河的對岸B處有一座電視塔，現在小明想測量他的家與電視塔的距離。但是他沒有辦法渡河，他的手邊只有測角儀與皮尺，那么他有辦法利用手邊的工具測得A與B之間的距離么？問題1：（1）在測量之前應該借助什么圖形來研究？

（2）在構造出的三角形中，哪些條件是已知條件？環節一：創設情境，引入課題探究

余弦定理及其推論分別給出了已知兩邊及其夾角、已知三邊直接解三角形的公式．如果已知兩角和一邊，是否也有相應的直接解三角形的公式呢？

在初中，我們得到了三角形中等邊對等角的結論.實際上，三角形中還有大邊對大角，小邊對小角的邊角關系.從量化的角度看，可以將這個邊、角關系轉化為∶在△ABC中，設A的對邊為a，B的對邊為b，求A，B，a，b之間的定量關系.如果得出了這個定量關系，那么就可以直接解決“在△ABC中，已知A，B，a，求b”的問題.

我們從熟悉的直角三角形的邊、角關系的分析入手.根據銳角三角函數，在Rt△ABC中（如圖6.4-9），有環節二：觀察分析，感知概念

對銳角三角形和鈍角三角形，以上關系是否任然成立？因為涉及三角形的邊、角關系，所以任然采用向量的方法來研究.

我們希望獲得△ABC中的邊a，b，c與它們所對角A，B，C的正弦之間的關系式．在向量運算中，兩個向量的數量積與長度、角度有關，這就啟示我們可以用向量的數量積來探究．

在直角三角形中，有

向量的數量積中出現的是角的余弦,而我們需要的是角的正弦，如何實現轉化？

由誘導公式可知，我們可以通過構造角之間的互余關系，把邊與角的余弦關系轉化為正弦關系.

下面先研究銳角三角形的情形.

如圖6.4-10，在銳角三角形ABC中，過點A作與垂直的單位向量，則與的夾角為，與的夾角為.BAC環節三：抽象概括，形成概念

當△ABC為鈍角三角形時，不妨設A為鈍角.

如圖6.4-11，過點A作與垂直的單位向量，則與的夾角為，與的夾角為.

如圖，在△ABC中，有所以

同理可得正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對的角的正弦的比相等，即問題：正弦定理有幾個等式，每個等式中有幾個元素？問題：利用正弦定理可以解決三角形的哪類問題？

正弦定理中有三個等式，每個等式中有四個元素（兩角及其對邊）.

利用正弦定理，我們可以解已知“兩角和一邊”和“兩邊和其中一邊的對角”的三角形.環節四：辨析理解，深化概念【解析】由三角形內角和定理可得，C=180°-(A+B)=120°

【例7】在△ABC中，已知A=15°，B=45°，

，解這個三角形．由正弦定理可得，環節五：課堂練習，鞏固運用解“已知兩角及和一邊”的三角形（1）已知兩角及其中一角的對邊，如A，B，a.①由A＋B＋C＝180°，求出C；②根據正弦定理

和

，分別求出邊b，c.（2）已知兩角及另外一角的對邊，如A，B，c.①由A＋B＋C＝180°，求出C；②根據正弦定理

和

，分別求出邊a，b.分析：這是已知三角形兩邊及其一邊的對角求解三角形的問題，可以利用正弦定理．為什么角C有兩個值？已知三角形中的三個元素解三角形：（1）已知兩邊及其夾角（SAS）；（2）已知三條邊（SSS）；（3）已知兩邊及一邊對角（SSA）；（4）已知兩角和一邊；注：已知兩邊或三邊的用余弦定理求解；

已知兩角的用正弦定理求解.---

用余弦定理求解---

用余弦定理求解---

用正、余弦定理都可解---

用正弦定理求解AABBCCaabbABCabAB1B2CaabABCba=bsinAABCba<bsinA若A為銳角時:若A為直角或鈍角時:考試中解答題不能直接用,需要給出證明ABCabcABCabcDABCabcD證法四：圖形證明2.正弦定理的外在形式是公式，它由三個等式組成即

每個等式都表示三角形的兩個角和它們的對邊的關系.1.三角形的三個內角及其對邊叫做三角形的元素，已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.環節六:歸納總結，反思提升3.利用正弦定理可以解決兩類解三角形的問題：一類是已知兩角和一邊解三角形；另一類是已知兩邊和其中一邊的對角解三角形.對于第二類問題，要注意確定解的個數.已知三角形中的三個元素解三角形：（1）已知兩邊及其夾角（SAS）；（2）已知三條邊（SSS）；（3）已知兩邊及一邊對角（SSA）