微分方程模型5.1掃雪時間模型5.2交通流量模型5.3人口預測和控制模型5.4傳染病模型5.5軍備競賽模型5.6動物群體關系模型5.7持續捕魚方案5.8戰爭模型5.9穩定性的基本知識微分方程模型是應用十分廣泛的數學模型之一，除了傳統的在幾何、物理、力學等方面的應用之外，微分方程的應用現已深入到自然科學、工程技術及社會科學的眾多學科之中.建立微分方程模型解決實際問題大體上可以按以下幾步進行：

(1)根據實際要求確定要研究的量(自變量、未知函數、必要的參數等)并確定坐標系；

(2)找出這些量所滿足的基本規律(物理的、幾何的、化學的或生物學的等等)；

(3)運用這些規律列出方程和定解條件.常見的列微分方程的方法有下述幾種：

(1)按規律直接列方程.此方法主要是利用各學科中已知的定理或定律來建立方程，如力學中的牛頓第二運動定律、萬有引力定律，熱學中的牛頓冷卻定律、傅立葉傳熱定律，彈性變形中的虎克定律，流體力學中的托里拆里定律、阿基米德原理，電學中的基爾霍夫定律，放射性問題中的衰變率，以及生物學、經濟學、人口問題中的增長率等.

(2)微元分析法與任意區域上取積分的方法.自然界中也有許多現象所滿足的規律是通過變量的微元之間的關系式來表達的.對于這類問題，我們不能直接列出自變量和未知函數及其變化率之間的關系式，而是通過微元分析法，利用已知的規律建立一些變量(自變量與未知函數)的微元之間的關系式，然后再通過取極限的方法，或等價地通過任意區域上取積分的方法來建立微分方程.

(3)模擬近似法.在生物、經濟等學科中，許多現象所滿足的規律并不很清楚而且相當復雜，因而需要根據實際資料或大量的實驗數據提出各種假設.在一定的假設下，給出實際現象所滿足的規律，然后利用適當的數學方法列出微分方程.這個過程往往是近似的，因此用此法建立微分方程模型后，要分析其解的有關性質，在此基礎上同實際情況對比，看所建立的模型是否符合實際，必要時要對假設或模型進行修改.在實際的微分方程建模過程中，往往是綜合應用上述方法.不論應用哪種方法，通常要根據實際情況做出一定的假設與簡化，并要把模型的理論或計算結果與實際情況進行對照驗證，以修改模型使之更準確地描述實際問題并進而達到預測預報的目的.

建立了微分方程模型后，通過求解這類模型可以得到變量在動態過程每個瞬時的性態，但有些模型要了解的不是與時間有關的遷移性態，而是要研究在某種意義下與時間無關的平衡性態，或研究當時間充分大之后動態過程的變化趨勢.要解決這類問題，就要用到微分方程的定性理論.微分方程的定性理論是微分方程的重要組成部分.作為具有很強的應用背景的微分方程，所描述的是物質系統的運動規律.從物理過程提出的微分方程，人們只可能考慮到影響該過程的主要因素，而不得不忽略那些看起來比較次要的因素，這些次要因素即干擾因素.這種干擾因素可以瞬時地起作用，也可以持續地起作用.從數學上來看，前者引起初值條件的變化，而后者引起微分方程本身的變化.因此，研究初值條件或微分方程本身的微小變化是否只引起對應解的微小變化就具有了重要的理論和實際意義，這就是微分方程的穩定性問題.以下幾節將給出一些重要的微分方程模型和穩定性模型，而在本章的最后一節，即5.9節中將專門介紹穩定性的一些基本知識.

一個冬天的早晨開始降雪，且降雪以恒定的速率持續了一整天.一臺掃雪機從上午8點開始在公路上掃雪，到9點前進了2千米，到10點前進了3千米.假定掃雪機每小時掃去積雪的體積為常數，則是何時開始下雪的?

5.1掃雪時間模型

1.問題分析與模型建立

分析題目，可得如下主要信息：

(1)雪以恒定的速率下降；

(2)掃雪機每小時掃去積雪的體積為常數；

(3)掃雪機從8點到9點前進了2千米，到10點前進了3千米.上述主要信息用數學語言表示如下：

設h(t)為開始下雪起到t時刻時的積雪深度，則由(1)得

；設x(t)為掃雪機從下雪開始起到t時刻走過的距離，那么根據(2)可得：

，k為比例常數.以T表示下雪開始的時刻，則根據(3)有：

t＝T，x＝0

t＝T＋1，x＝2

t＝T＋2，x＝3

于是我們可得問題的數學模型為：

(5.1.1)2.模型求解

根據以上分析，只要找出x(t)與t的函數關系，就可以利用x(T)求出T，進而，由T就可求出開始下雪的時間.

由

可得h＝Ct＋C1.因t＝0時h＝0，故C1＝0，從而h＝Ct.將其代入

得

為常數.由分離變量法得：

x＝Alnt＋B(B為任意常數) (5.1.2)

將x(T)＝0，x(T＋1)＝2，x(T＋2)＝3代入式(5.1.2)得：

從上面三式消去A，B得:

即

T2＋T－1＝0

解此一元二次方程，得

小時≈37分鐘5秒.因此，掃雪機開始工作的時間離下雪的時間約為37分鐘5秒.由于掃雪機是上午8點開始工作的，故是上午7點22分55秒開始下雪的，如圖5-1所示.

圖5-1

交通問題長期以來一直是困擾人們的社會問題之一.盡管可以通過擴建公路或建立交橋、高架橋、地鐵的方法來有效地緩解交通，但對運用科學分析的方法來研究和處理交通問題依然不能有任何輕視.為此，這里將介紹有關交通流的數學模型，為了簡單起見，僅研究單向車道上車流的情況.5.2交通流量模型

1.問題分析與假設

假設車輛沿一條無窮長且同一方向的單軌道運動，公路沿途沒有岔路口及其他入口或出口，單車道內不允許超車，以x軸表示公路，x軸正向為車輛運行方向.對于每一時刻t及每一點x，引入以下三個函數來描述車流：

流量q(x，t)，表示t時刻單位時間內通過點x的車輛數；

密度ρ(x，t)，表示t時刻點x處單位長度內的車輛數；

速度u(x，t)，表示t時刻通過點x的車流速度.這三個函數之間存在密切的關系：單位時間內通過某點x處的車輛數等于單位長度內的車輛數與車流速度的乘積，即

q(x，t)＝u(x，t)·ρ(x，t)；q(x，0)＝0

這個等式稱為車輛變量的基本關系.為了便于研究交通流的規律，根據對公路交通的觀察和了解，作如下簡化假設：

(1)汽車速度僅依賴于車流密度，即u＝u(ρ)，由于車流密度的增加不會導致車速的加快，從而有

；

(2)當路上車輛很少時，汽車將以其可能的最大速度行駛，設此時的車輛密度為ρc，故有u(ρc)＝um，稱ρc為臨界密度；

(3)當密度達到ρm(道路擁擠以致于堵塞時的密度)時，汽車將停止不動，此時u(ρm)＝0，ρm是車幾乎發生碰撞時的密度，且有ρm≤L－1，其中L是汽車的平均長度.

在前面的假設下，根據車流基本關系式有:

q＝ρu＝ρu(ρ)該關系式給出了車流與密度的關系.根據經驗，如果路上沒有汽車(即ρ＝0)，則流量q＝0；如果密度ρ＝ρm，則汽車將停止不動，此時有u(ρm)＝0.對于其他的密度ρ(0≤ρ≤ρm)，q一定是正的.因此，它一定在某個密度上達到最大值.進一步觀察還可以發現，當ρ較小時，隨ρ的增大，q也增大；當ρ較大時，q將隨ρ的增大而減小.綜合以上分析，可得流量與密度之間的關系如圖5-2所示.在交通流模型中，流量與密度關系常用二次函數表述，即

(5.2.1)

又由式(5.2.1)可得

，顯然q的最大點位于ρ*＝0.5ρm處.

圖5-2流量-密度曲線圖

2.連續交通流模型

為了用交通流變量q，ρ，u描述交通流的動態，也就是建立交通流的模型，我們試圖用微分方程來描述它們之間的關系.為此，設q(x，t)，ρ(x，t)，u(x，t)關于(x，t)都是連續可微的.

考慮x軸的任意區間［a，b］和任意時刻t，單位時間內通過a，b點的流量分別為q(a，t)和q(b，t)，因為t時刻在區間［a，b］內的車輛數為 ，其變化率為 ，在公路沒有岔路的假設條件下，區間［a，b］內的車輛數守恒，于是

這是積分形式的車輛守恒方程，它并不要求函數ρ(x，t)對x連續.在q和p的解析假設下

于是化守恒方程為：

由于區間［a，b］是任意的，故：

(5.2.2)式(5.2.2)稱為車輛守恒方程或連續交通流方程，這是一個偏微分方程.如果把汽車速度看成是其密度的已知函數q＝q(ρ)，則導數

也是已知函數，記作φ(ρ)，于是由求導法得：

于是車輛守恒方程化為：

(5.2.3)

其中f(x)為初始密度.這是一階擬線性偏微分方程，其解描述了任意時刻公路上各點處的車流分布狀況，再由q(ρ)即可得到流量函數.

3.連續交通流模型的分析

考慮方程(5.2.3)，利用擬線性偏微分方程的有關方法可求得其解為：

(5.2.4)

式(5.2.4)有著明顯的幾何意義，在x－t坐標系中，第二式表示一簇直線，它與x軸交點坐標為x0，斜率為k＝［φ(f(x0))］－1，當函數φ、f給定后，k隨x0改變，這簇直線稱為方程(5.2.4)的特征線，如圖5-3所示.

圖5-3方程的特征線式(5.2.4)表明，沿著每一條特征線x＝x(t)，車流密度ρ(x，t)為常數f(x0)，當然在不同的特征線上f(x0)隨x0不同而不同.

從形式上看，只要流量函數q(ρ)和初始密度f(x)給定，式(5.2.3)的解就完全由式(5.2.4)所決定.但實際上，利用特征線分析法可以得到：只有當密度函數f(x)為減函數時才是這種情況，而當f(x)為增函數時，方程(5.2.3)已不能反映此時的交通狀況，因為此時交通實際上出現了阻塞，需要用其他方程來描述.其實際意義是：當f(x)為減函數時，沿車輛行駛的方向(即x軸正向)前面車流密度小，后而密度大，汽車可以加速行駛，這時交通流的幾個函數的連續、可微的假設是成立的；而f(x)為增函數則表明沿車輛行駛的方向后面車流密度小，前面密度大，這相當于前面出現了阻塞，于是后面的車速比前面大.當速度快的汽車追上速度慢的汽車又不允許超車時，其速度就會突然停下來，并引起后面車輛的連鎖反應，一輛接一輛地突然減速，車流速度u(x，t)的突變像水波一樣向后傳播.速度的突變必然導致密度ρ(x，t)和流量q(x，t)的突變，這意味著函數ρ(x，t)和q(x，t)在某些(x，t)處出現了間斷，這時函數ρ(x，t)和q(x，t)連續、可微的假設不再成立，因而不能再用方程(5.2.4)描述車流的分布.

4.間斷交通流模型

當f(x)為減函數時，根據實際情況，假定車流密度函數在x軸上的間斷點是孤立的，即設在任一時刻t，間斷點(在x－t平面上為間斷線)x＝xs(t)在x軸上是孤立的，于是可以取積分區間［a，b］，使a<xs<b，在［a，xs)，(xs，b］內交通流方程的積分形式仍然成立.于是有：

(5.2.5)

其中x－s(t)和x＋s(t)分別表示從小于和大于xs(t)一側趨向xs(t)時的極限值.在這種趨向下ρ(x，t)和q(x，t)的極限值記為

ρ和q在間斷點xs(t)處的跳躍值記為：

［ρ］＝ρ＋－ρ－［q］＝q＋－q－

當a→x－s(t)，b→x＋s(t)時，式(5.2.5)中的

(5.2.6)

這就是間斷線x＝xs(t)應滿足的方程.其中［q］和［ρ］可以用連續交通流方程解得的q和ρ在間斷點處取極限值算出.利用以上得到的方程可以分析紅綠燈下的交通流情況，這里不再作詳細討論.

關于人口問題模型的研究，并不是現在才開始的，緒論中已介紹了兩種描述人口變化的模型，即Malthus模型和Logistic模型，這兩個模型都是常微分方程模型，它們有著根本的缺點，即把群體中的每一個個體都視為同等地位，這原則上只能用于低等動物，而對人群來說，必須考慮不同個體之間的差別，特別是年齡因素的影響，人口的數量不但和時間t有關，還應和年齡有關，同時，出生率和死亡率等都明顯地和年齡有關.因此，5.3人口預測和控制模型可以將人口按年齡分成若干組，對每一組中的個體一視同仁來對待，這就可以得到一個用常微分方程組來描述的模型.但一個更合適的辦法是考慮年齡的連續變化的影響，這就推導出一個用偏微分方程來描述的模型.

1.問題分析與模型建立

由于偏微分方程求解的困難，在此僅考慮較簡單的情形，即考慮一個穩定社會的人口發展過程.設人口的數量不僅和時間t有關，還和年齡p有關，用連續函數x(t，p)來描述人口在任意給定時刻t按年齡p的分布密度，其意義如下：在時刻t年齡在［p，p＋dp］中的人口數等于x(t，p)dp，因此在時刻t時的人口總數為：

其中，x(t)就是前面緒論中提到的常微分方程模型中的x(t)，而積分上限A是人的最大壽命，即當p≥A時x(t，p)＝0.記d(t，p)為時刻t年齡為p的人的死亡率，其含義是，在時刻t年齡在［p，p＋dp］內死亡的人數等于d(t，p)x(t，p)dp.

為了得到x(t，p)滿足的方程，注意到時間的增量與年齡的增量相等這一特點，于是有：在時刻t＋dt時年齡在［p，p＋dp］中的人數為x(t＋dt，p)dp減去在時刻t時年齡在［p－dt，p＋dp－dt］中的人數x(t，p－dt)dp，應等于在時段［t，t＋dt］中，年齡在［p－dt，p＋dp－dt］中的死亡數d(t，p－dt)x(t，p－dt)dpdt，故

x(t＋dt，p)dp－x(t，p－dt)dp＝－d(t，p－dt)x(t，p－dt)dpdt

因此x(t，p)應滿足方程

(5.3.1)

這是x(t，p)所滿足的一階偏微分方程.下面給出x(t，p)應滿足的定解條件：

(1)初始條件：設初始人口密度分布為x0(p)，則

t＝0，x＝x0(p) (5.3.2)

(2)邊界條件：在推導方程時只考慮了死亡，沒有考慮出生，而出生的嬰兒數應該作為p＝0時的邊界條件.為導出邊界條件，記女性性別比函數為k(t，p)，即時刻t年齡在［p，p＋dp］中的女性人數為k(t，p)x(t，p)dp，將這些女性在單位時間內平均每人的生育數記作b(t，p)，設育齡區間為［p1，p2］，則

令b(t，p)＝β(t)h(t，p)，其中h(t，p)滿足

于是

(5.3.3)

由以上可知，β(t)的直接含義是時刻t平均每個育齡女性的生育數.如果所有女性在她的育齡期內都保持這個生育數，則β(t)也表示平均每一個女性一生所生的總胎數.稱h(t，p)為生育模式，在穩定的環境下可以近似地認為它與t無關，這樣h表示了在哪些年齡生育率高，哪些年齡生育率低.為了做出合理的理論分析，人們常常取h為概率論中的Γ-分布，即并取

，這時可以看出生育率的最高峰為p1＋n－2附近.這樣，提高p1意味著晚婚，而增加n意味著晚育.

定解問題式(5.3.1)、(5.3.2)和式(5.3.3)構成了人口問題的偏微分方程模型.而模型中的生育率β(t)和生育模式h(t，p)則是可以用于控制人口發展過程的兩種手段，β(t)可以控制生育的多少，h(t，p)可以控制生育的早晚和疏密.我國的計劃生育政策正是通過這兩種手段實施的.

2.模型的分析與討論

這個模型的進步就是考慮了年齡的因素，能更精確地描述人口分布的年齡結構以及發展過程.事實上，對式(5.3.1)關于p從0到A積分得

記

于是得到

又由初始條件式(5.3.2)得到

若設B，D與t無關，即是Malthus模型，可見上述模型是Malthus模型的推廣.

如果考慮到競爭因素模型就更為困難，在此就不再討論了.

隨著人類文明的不斷發展，衛生設施的改善和醫療水平的提高，以前曾經肆虐全球的一些傳染性疾病已經得到了有效的控制，但是，伴隨著經濟的增長，一些新的傳染性疾病，如2003年時曾給世界人民帶來深重災難的SARS病毒和如今依然在世界范圍蔓延的艾滋病毒，仍在危害著全人類的健康.長期以來，建立傳染病模型來描述傳染病的傳播過程，分析受感染人數的變化規律，預報傳染病高潮的到來等，一直是各國專家學者關注的課題.5.4傳染病模型為考慮問題簡單起見，下面假定在傳染病傳播期間所考察地區的總人數N不變，即不考慮自然生死，也不考慮遷移，并且時間以天為計量單位.5.4.1模型Ⅰ——SI模型

1.模型的假設條件

SI模型有下面兩個假設條件：

(1)人群分為易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)兩類(取兩個單詞的第一個字母，稱之為SI模型).以下簡稱為健康者和病人，t時刻這兩類人在總人數中所占的比例分別記作s(t)和i(t).

(2)每個病人每天有效接觸的平均人數是常數λ，λ稱為日接觸率，當病人與健康者有效接觸時，使健康者受感染變為病人.

2.模型的建立與求解

根據假設，總人數為N，每個病人每天可使λs(t)個健康者變為病人，因為病人人數為Ni(t)，所以每天共有λNs(t)i(t)個健康者被感染，于是λNs(t)i(t)就是病人數Ni(t)的增加率，即有

(5.4.1)

又因為

s(t)＋i(t)＝1 (5.4.2)

再記初始時刻(t＝0)病人的比例為i0，則有

(5.4.3)

方程(5.4.3)是Logistic模型，它的解為

(5.4.4)

i(t)~t和

的圖形如圖5-4所示.

圖5-4

3.模型的分析討論

由式(5.4.3)、(5.4.4)及圖5-4可知:

(1)當

時，

達到最大值

，這個時刻為

(5.4.5)

這時病人人數增加得最快，預示著傳染病高潮的到來，是醫療衛生部門關注的時刻.tm與λ成反比，因為日接觸率λ表示該地區的衛生水平，λ越小衛生水平越高，所以改善保健設施，提高衛生水平可以推遲傳染病高潮的到來.

(2)當t→∞時，i→1，即所有人終將被感染，全變為病人，這顯然不符合實際情況，其原因是模型中沒有考慮到病人可以治愈.

為了修正上述結果必須重新考慮模型的假設.下面兩個模型中我們討論病人可以治愈的情況.5.4.2模型Ⅱ——SIS模型

有些傳染病如傷風、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定無免疫性，于是病人被治愈后變為健康者，健康者還可以再被感染變為病人，我們就這種情況建立的模型稱為SIS模型.

1.模型的假設

SIS模型的假設條件(1)、(2)與SI模型的假設相同，增加的條件(即條件(3))為:

(3)病人每天被治愈的占病人總數的比例為μ，稱為日治愈率，病人治愈后成為仍可被感染的健康者，則

是這種傳染病的平均傳染期.

2.模型的建立與求解

考慮到假設(3)，SI模型的式(5.4.1)應修正為：

(5.4.6)

式(5.4.2)不變，于是式(5.4.3)應改為：

(5.4.7)

方程(5.4.7)的解可表示為：

(5.4.8)

3.模型的分析討論

定義

(5.4.9)

注意到λ和

的含義可知，σ是一個傳染期內每個病人的有效接觸的平均人數，稱接觸數，由式(5.4.8)和(5.4.9)容易得到，當t→∞時，

(5.4.10)

根據式(5.2.8)~(5.2.10)可以畫出i(t)~t的圖形如圖5-5所示.

接觸數σ＝1是一個閾值，當σ≤1時病人比例i(t)越來越小，最終趨于零，這是由于傳染期內經有效接觸從而使健康者變為病人的人數不超過原來病人人數的緣故；當σ>1時，i(t)的增減性取決于i(0)的大小，但其極限值i(∞)＝1－1σ隨σ的增加而增加.

SI模型可視為本模型的特例.

圖5-55.4.3模型Ⅲ——SIR模型

1.模型的假設

大多數傳染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很強的免疫力，所以治愈后的人既非健康者(易感染者)也不是病人(已感染者)，他們已經退出傳染系統.這種情況下的模型假設條件為：

(1)人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者(Removed)三種，稱SIR模型.三類人在總人數N中所占的比例分別為s(t)、i(t)和r(t)；

(2)病人的日接觸率為λ，日治愈率為μ，σ＝λ/μ.

2.模型的建立與求解

由條件(1)，有

s(t)＋i(t)＋r(t)＝1 (5.4.11)

根據條件(2)，方程(5.4.6)仍成立.對于病愈免疫的移出者而言，應有

(5.4.12)

再記初始時刻的健康者和病人的比例分別是s0(>0)和i0(>0)(不妨設移出者的初始值r0＝0)，則由式(5.4.6)、(5.4.11)和(5.4.12)，SIR模型的方程可以寫為：

(5.4.13)

方程(5.4.13)無法求出s(t)和i(t)的解析解，我們轉到相平面s~i上來討論解的性質.相軌線的定義域(s，i)∈D應為：

D＝{(s，i)|s≥0，i≥0，s＋i≤1} (5.4.14)

在方程(5.4.13)中消去dt，并利用式(5.4.9)，可得

(5.4.15)

容易求出方程(5.4.15)的解為：

(5.4.16)

則在定義域D內，相軌線如圖5-6所示.圖中箭頭表示了隨著時間t的增加s(t)和i(t)的變化趨向.

圖5-63.模型的分析討論

下面根據式(5.4.13)、(5.4.16)和圖5-6分析t→∞時s(t)、i(t)和r(t)的變化情況(它們的極限值分別記作s∞，i∞和r∞).

(1)首先，由式(5.4.13)，

，而s(t)≥0，故s∞存在；由式(5.4.12)知，

，而r(t)≤1，故r∞存在；再由式(5.4.11)知i∞存在.

其次，若i∞＝ε>0，則由式(5.4.12)，對于充分大的t，有

，這將導致r∞＝∞，與r∞存在相矛盾.故不論初始條件s0，i0如何，病人終將消失，即

i∞＝0 (5.4.17)

從圖5-6上看，不論相軌線從p1或從p2出發，它終將與s軸相交.

(2)最終未被感染的健康者比例是s∞，在式(5.4.16)中令i＝0，得到s∞是方程

(5.4.18)

在

內的單根，在圖5-6中s∞是相軌線與s軸在

內交點的橫坐標.

(3)若

，則i(t)先增加，當

時，i(t)達到最大值

然后i(t)減小且趨于零，s(t)則單調減小至s∞.

(4)若

，則i(t)減小且趨于零，s(t)則單調減小至s∞.

可以看出，如果僅當病人比例i(t)有一段增長的時期才認為傳染病在蔓延，那么

是一個閾值，當

時傳染病就會蔓延.而減小傳染期接觸數σ，即提高閾值

，使得

，傳染病就不會蔓延(健康者比例的初始值s0是一定的，通常可認為s0≈1)，我們注意到在

中，人們的衛生水平越高，日接觸率λ越小，醫療水平越高，日治愈率μ越大，于是σ越小，所以提高衛生水平和醫療水平有助于控制傳染病的蔓延.從另一方面看，

是傳染期內一個病人傳染的健康者的平均數，稱為交換數，其含義是一個病人被σs個健康者交換.所以當

，即σs0≤1時，必有σs≤1.既然交換數不超過1，病人比例i(t)絕不會增加，傳染病就不會蔓延.

我們看到在SIR模型中接觸數σ是一個重要參數.σ可以由實際數據估計，因為病人比例的初始值i0通常很小，在式(5.4.18)中略去i0可得

(5.4.19)

于是當傳染病結束而獲得s0和s∞以后，由式(5.4.19)能算出σ.另外，對血樣作免疫檢驗也可以根據對檢驗無反應和有反應，估計出s0和s∞，然后計算σ.

4.模型驗證

本世紀初在印度孟買發生的一次瘟疫中幾乎所有病人都死亡了.死亡相當于移出傳染系統，有關部門記錄了每天移出者的人數，依此實際數據，Kermack等人用這組數據對SIR模型作了驗證.

首先，由方程(5.4.11)、(5.4.13)可以得到

(5.4.20)

(5.4.21)

當

時，取式(5.4.21)右端e－σr泰勒展開的前3項，在初始值r0＝0下的解為：

(5.4.22)

其中

.從式(5.4.22)容易算出

(5.4.23)

然后取定參數s0、σ等，畫出式(5.4.23)的圖形，如圖5-7中的曲線，實際數據在圖中用圓點表示.可以看出，理論曲線與實際數據吻合得相當不錯.

圖5-7

5.SIR模型的應用

下面介紹SIR模型的兩個應用.

1)被傳染比例的估計

在一次傳染病的傳播過程中，被傳染人數的比例是健康者人數比例的初始值s0與t→∞的極限值s∞之差，記作x，假定i0很小，s0接近于1，由式(5.4.18)可得

(5.4.24)

取對數函數泰勒展開的前兩項有

(5.4.25)

記

，δ可視為該地區人口比例超過閾值

的部分.當

時式(5.4.25)給出

(5.4.26)

這個結果表明，被傳染人數比例約為δ的2倍.對一種傳染病，當該地區的醫療和衛生水平不變，即σ不變時，這個比例就不會改變.而當閾值

提高時，δ減小，于是這個比例就會降低.

2)群體免疫和預防

根據對SIR模型的分析，當

時傳染病不會蔓延.所以為制止蔓延，除了提高衛生和醫療水平，使閾值

變大以外，另一個途徑是降低s0，這可以通過如預防接種使群體免疫的辦法做到.忽略病人比例的初始值i0，有s0＝1－r0，于是傳染病不會蔓延的條件

可以表示為:

(5.4.27)

這就是說，只要通過群體免疫使初始時刻的移出者比例(即免疫者比例)r0滿足式(5.4.27)，就可以制止傳染病的蔓延.

這種辦法生效的前提條件是免疫者要均勻分布在全體人口中，實際上這是很難做到的，據估計在印度等國天花傳染病的接觸數σ≈5，由式(5.4.27)知至少要有4/5的人接受免疫才行.據世界衛生組織報告，即使花費大量資金提高r0，也因很難做到免疫者的均勻分布，使得天花直到1977年才在全世界根除.而有些傳染病的σ更高，根除就更加困難.

甲乙兩國互相敵對，為了保障各自的安全，彼此不斷擴充軍事實力，這就是軍備競賽問題.1939年，里查森(L.F.Rihardson)經過研究以后給出了關于軍備競賽的數學模型，并用該模型分析了第一次世界大戰前法俄聯盟和德奧匈聯盟之間軍備競賽的情況.下面介紹里查森的軍備競賽模型.5.5軍備競賽模型以x(t)表示甲方的軍事潛力或軍備，y(t)表示乙方的軍備.t＝0為開始進行軍備競賽的時間.根據里查森的觀點，影響x(t)的變化率的因素有：

(1)乙方的軍備y(t)越大，dx/dt越大；

(2)甲方的經濟實力的限制，x(t)越大，經濟對x(t)的制約越厲害；

(3)雙方的敵視程度，敵視或領土爭端增大了擴充軍備的固有潛力.以上對甲方的分析同樣適用于乙方，其中因素(1)、(2)可看成線性關系.于是得到里查森軍備競賽模型為:

(5.5.1)

其中α，β，k，l，g，h為非負常數.

對于軍備競賽，人們主要關心的是競賽的結局，即時間充分長以后x(t)、y(t)的變化趨勢，從數學上來看就是討論方程的平衡點處的穩定情況.根據微分方程穩定性理論，方程組的平衡點可以由方程組

(5.5.2)

解出.易得平衡點為：

方程的系數矩陣為

，則

p＝－(α＋β)，q＝|A|＝αβ－kl

因α，β非負，所以p<0.于是根據穩定性準則，只要q>0，也即αβ>kl時，平衡點(x0，y0)是穩定的，否則是不穩定的.這就是說，經過足夠長的時間以后，雙方的軍備將分別趨向有限值，軍備競賽是穩定的.

1.模型的定性解釋

(1)相互和解，雙方裁軍可達持久和平.

設g＝h＝0，即雙方沒有仇恨，也無領土要求，則此時x(t)＝y(t)＝0為方程組的平衡解，即如果x，y，g，h全為0，則x(t)、y(t)永遠為0.在現實中可理解為由于裁軍和相互和解而達到持久和平.

(2)未經和解的雙方裁軍不會持久.

假設在t＝t0時，x＝y＝0，于是方程化為

如果雙方未和解，g，h都是正數，則x，y不會保持為0.

(3)單方面裁軍不會持久.

設乙國單方面裁軍，即在t＝t0時y＝0；此時方程組的第二式成為

，如果x和h為正數，即乙國對甲國還有仇恨，且甲國有軍備，則y不會保持為0，因此單方面裁軍決不會持久.

(4)過分強調“防御”，將促使軍備競賽，引起戰爭.

如果方程組中的防御項占優勢時，就會出現軍備競賽，此時方程組為

(5.5.3)

如果|A|為正數，則x(t)和y(t)都將趨于無窮大，此無窮大可理解為戰爭.

2.模型參數的估計

為了利用式(αβ>kl)來判斷軍備競賽是否會趨于穩定，需確定α，β，k，l的數值，這是一件困難的事情.下面是里查森提出的一種方法.

1)k、l的估計

設g＝0，y＝y1，x(0)＝0，于是在t不太大時，方程組中的αx較小，忽略后可得

，設x(τ)＝y1，則由上式得：k－1＝τ，這說明k－1是甲方軍備從零到趕上乙方軍備的時間.例如德國從1933年開始重整軍備，只用了約3年的時間就趕上了其鄰國.假設其增加軍備的固有潛力g被約束效應抵消，則可認為其k－1＝3年，即k＝0.3，l可以類似估計，或合理假定它與國家經濟實力成正比，這樣若英國的經濟實力是德國的2倍，則可估計l＝0.6.

2)α、β的估計

設g＝0，y＝0，則由方程組可得：

x(t)＝x(0)e－αt

以t＝α－1代入上式可以算出：

x(α－1)＝x(0)e－1

這表示α－1是在乙方無軍備時甲方軍備減少到原來的1/e所需的時間.里查森認為，這大概是一個國家議會的任期，對于任期5年的國家來說，α≈0.2.

在人口問題模型中，我們建立了人口數量增長的Malthus模型和Logistic模型，這兩個模型雖然是針對人提出的，但它們實際上也適用于單種群的生物.在自然界中，更多的生物是雜居在一起的，各種生物根據其生理特點、食物來源分成了不同的層次，各層次之間及同一層次的生物種群之間有著各種各樣的聯系，尤其是相互之間影響非常大的生物種群，需要放在一起進行討論，這就是多種群生物群體關系模型.我們這里以兩動物種群為例進行建模和討論.5.6動物群體關系模型以x(t)、y(t)分別表示兩種群在t時刻的數量，由于只考慮相互聯系的兩種群的數量，故我們假設每一種群的相對增長率僅與雙方數量有關系，于是可以建立如下模型：

(5.6.1)其中，右端函數f1(x)、g2(y)分別表示兩種群各自的發展規律所引起的自身相對增長率；g1(y)、f2(x)分別表示另一種群對本種群的影響.這四個函數都依賴于具體對象和環境.

如果f1(x)、f2(x)、g1(y)、g2(y)都是線性函數，則得到相互作用的兩種群的Volterra模型為：

(5.6.2)

在以上模型中，a1、a2分別是種群x、y的內稟增長率，即食物和環境不受限制的條件下的自然增長率，其正負由它們各自的食物來源而確定.例如當x種群的食物是y種群以外的自然資源時，a1≥0；而當種群x僅以y種群的生物為食時，a1≤0.b1x2和c2y2反映的是各種群內部的數量制約因素即種內競爭，故b1≤0，c2≤0，c1xy、b2xy是兩種群間的相互作用.c1和b2的正負號要根據這兩種群之間相互作用的形式而定，一般分為以下三種情況.

(1)互惠共存型：即兩種群的存在都對對方有利，對對方的數量增長起促進作用，如蜜蜂與花，此時c1≥0，b2≥0.

(2)捕食與被捕食型：即種群y以種群x為食物來源(或相反)，此時種群x的存在對種群y的增長有利，而種群y的存在對x不利，如狼與兔子，此時c1≤0，b2≥0.

(3)相互競爭型：兩種群或相互殘殺，或競爭同一種食物資源，各自的存在對對方的增長都不利，因而c1≤0，b2≤0.當模型(5.6.2)的參數具體給出時，可用數值方法求近似解.在只給出參數符號或變化范圍時，我們可以用本節的自治系統穩定性理論研究各種群的變化趨勢.下面以相互競爭型為例，研究兩種群數量的變化趨勢，互惠共存型及捕食與被捕食型也可類似討論.

1.相互競爭的兩種群模型的建立

假定兩種群的數量符合Logistic規律，它們共同生活的環境對種群x的承載力為N1，對y的承載力為N2，它們的內稟增長率為r1，r2.由于相互競爭(食物、資源)，每一方的數量給對方的數量將造成不利影響.因此相互競爭的兩種群模型可以表示為：

(5.6.3)其中，λ1、λ2表示消耗其中一方的資源對另一方的影響.例如，λ1>1表示在消耗供養x的資源中，y的消耗多于x，因而對增長的阻滯作用y大于x，即y的競爭力強于x.λ2>1也是同樣的道理.

一般地說，λ1與λ2之間無確定關系，但比較常見和典型的一種情況是兩個種群在消耗資源中對x增長的阻滯作用與對y增長的阻滯作用相同.此時，因為單位數量的x和y消耗的供養x的食物之比為1∶λ1，消耗的供養y的食物量之比為λ2∶1，所謂阻滯作用相同，即1∶λ1＝λ2∶1，所以這種情況可定量表示為λ1λ2＝1，即λ1、λ2互為倒數.可以簡單地理解為如果一個y消耗的食物是一個x的λ1＝k倍，則一個x消耗的食物是一個y的λ2＝1k.

下面利用穩定性理論討論兩種群的結局，此時仍認為λ1、λ2相互獨立.

2.相互競爭的兩種群模型的穩定性分析

令

(5.6.4)

(5.6.5)

由

可解得如下四個平衡點：

因為僅當平衡點位于平面坐標系的第一象限時(x，y≥0)才有意義，故對P3要求λ1、λ2同時小于1，或同時大于1.令

利用四個平衡點p、q的結果，根據穩定性理論可獲得種群競爭模型的平衡點及穩定性結果(見表5-1).

表5-1

3.結果解釋

根據λ1、λ2的意義，說明P1、P2、P3在生態學上的意義如下:

(1)λ1<1，λ2>1時，λ1<1表明在供養x的資源的競爭中y不如x，λ2>1表明在供養y的資源的競爭中x強于y，于是種群y將滅絕，種群x趨向最大容量，即x(t)、y(t)趨于平衡點P1(N1，0).

(2)λ1>1，λ2<1時，情況與(1)正好相反.

(3)λ1>1，λ2<1時，因為在競爭x的資源中y不如x，但在競爭y的資源中x不如y，使雙方可以達到一個共存的穩定的平衡狀態P3.這種情況比較少見.

4.生態學中的競爭排斥原理

生態學中有關兩競爭種群存在這樣的原理：若兩種群的單個成員消耗的資源差不多相同，而環境能承受的種群x的最大容量比y大，那么P1終將滅亡.下面用模型式(5.6.3)予以解釋.

將式(5.6.3)改寫為如下形式：

競爭排斥原理的兩個條件相當于

，

＝1，N1>N2.由這三個條件可得λ1<1，λ2>1.此即P1穩定而y滅絕的條件.

漁業資源是一種再生資源，再生資源要注意適度開發，不能為了一時的高產“竭澤而漁”，應該在持續穩產的前提下追求最高產量或最優的經濟效益.這是一類可再生資源管理與開發的模型，這類模型的建立一般先考慮在沒有收獲的情況下的資源自然增長模型，然后再考慮收獲策略對資源增長情況的影響.5.7持續捕魚方案

1.無捕撈條件的模型

考慮某種魚的種群的動態，為簡單起見，假設：

(1)魚群生活在一個穩定的環境中，即其增長率與時間無關；

(2)種群的每個個體是同素質的，即在種群增長的過程中每個個體的性別、年齡、體質等的差異可看成是等同的；

(3)種群的增長是種群個體死亡與繁殖共同作用的結果；

(4)種群總數隨時間是連續變化的，而且充分光滑.記時刻t漁場中魚量為x(t)，在上面的假設下，類似于人口模型的建立，可以得到所滿足的Logistic模型:

(5.7.1)

其中r為魚的自然增長率，N是環境容許的最大魚量.上式可以用分離變量法求得

2.有捕撈的產量模型

建立一個在捕撈情況下漁場魚量遵從的方程，分析魚量穩定的條件，并且在穩定的前提下，討論如何控制捕撈使持續產量或經濟效益達到最大.設對魚的捕撈是持續的，并假定單位時間內的捕魚量與漁場魚量成正比，即捕撈量h＝Ex(t)，其中E稱為捕撈強度，用可以控制的參數如出海漁船數來度量.根據以上假設，可以得到捕撈情況下，漁場魚量滿足的方程為：

(5.7.2)

這是一個一階非線性方程，且是黎卡提型的，也稱為Scheafer模型.

我們希望知道漁場的穩定魚量和保持穩定的條件，即現在關心的問題是如何確定E，使E達到最大的情況下魚量保持穩定.為此，我們利用微分方程穩定性理論討論這個問題.首先從方程中可求得其平衡點：令

，得平衡點為：

(5.7.3)

如圖5-8所示.

圖5-8易求得f′(x0)＝E－r，f′(x1)＝r－E.根據微分方程穩定性理論知，E<r時x0為穩定平衡點，x1是不穩定的平衡點；E>r，x0是不穩定平衡點，x1為穩定平衡點.

由上可知，只要E<r，即捕撈強度小于魚的增長率，就可使漁場魚量穩定在x0，從而獲得持續產量h(x0)＝Ex0，而當捕撈過度時，即E>r時，漁場魚量將減至x1＝0，當然不能獲得持續產量了.進一步考慮在漁場魚量穩定在x0的前提下如何確定捕撈強度，使持續產量最大.令

(5.7.4)

下面在x－y坐標系中討論以上問題.

由于f′(0)＝r即y＝f(x)在原點切線為y＝rx，根據前面的討論，只要捕魚量函數y＝h(x)，斜率E<r，漁場魚量即可保持穩定.從圖5-8可以看出滿足E<r且使E最大的點在p*點，即拋物曲線頂點.此時

.

由此可知，保持漁場魚量穩定且使單位時間的持續產量達到最大的捕撈強度為

，即捕撈強度控制在魚自然增長率一半時，可獲最大持續捕撈量，且此時最大持續產量為

.

3.經濟效益模型

當今，對魚類資源的開發和利用已經成為人類經濟活動的一部分.其目的不是追求最大的漁產量而是最大的經濟收益.因而一個自然的想法就是進一步分析經濟學行為對魚類資源開發利用的影響.

若經濟效益用捕撈所得收入扣除開支后的利潤來衡量，并且簡單地假設魚的銷售單價p為常數.單位捕撈強度費用為常數c，那么單位時間的收入T和費用S分別為:

T＝ph(x)，S＝cE

單位時間產生的利潤為：

R＝T－S＝ph(x)－cE

在穩定條件x＝x0下的利潤為：

(5.7.5)

用微分法易求得使R(E)達最大的捕撈強度為：

(5.7.6)

最大利潤下漁場的穩定魚量xmax及單位時間的持續產量hmax為：

(5.7.7)

(5.7.8)

從以上結果容易看出，在最大效益原則下捕撈強度和持續產量都有所減少，而漁場穩定魚量有所增加，并且減少或增加的比例隨捕撈成本c的增長而變大，隨售價p的增長而變小，這顯然是符合實際情況的.

４.捕撈過度的情況

上面的效益模型是以計劃捕撈(或稱為封閉捕撈)為基礎的，即漁場由單獨的經營者有計劃地捕撈，可以追求最大利潤.如果漁場向眾多的盲目的經營者開放，比如在公海上無規則地捕撈，那么，即使只有微薄的利潤，經營者也會蜂擁而去，這種情況稱為盲目捕撈(或開放式捕撈)，這種捕撈方式將導致捕撈過度.下面討論這種情況.在式(5.7.5)中，令R(E)＝0，可得

(5.7.9)

當E<Es時利潤R(E)>0，盲目的經營者們會加大捕撈強度；若E>Es，利潤R(E)<0，他們則要減小強度，所以Es是盲目捕撈下的臨界強度.由式(5.7.9)容易知道利潤存在(即Es>0)的必要條件為:

(5.7.10)

即售價大于(相對于總量而言)成本，并且由式(5.7.9)可知，成本越低，售價越高，則Es越大.并且可得盲目捕撈下的漁場穩定魚量為:

(5.7.11)

xs完全由成本-價格比決定，隨著價格的上升和成本的下降，xs將迅速減少，出現捕撈過度.比較式(5.7.6)和式(5.7.9)可知Es＝2Emax，即盲目捕撈強度比最大效益下的捕撈強度大一倍.

早在第一次世界大戰期間，F.W.Lanchester就提出了幾個預測戰爭結局的數學模型，其中包括作戰雙方均為正規部隊；作戰雙方均為游擊隊；作戰的一方為正規部隊，另一方為游擊隊.后來人們對這些模型作了改進和進一步的解釋，用以分析歷史上一些著名的戰爭，如第二次世界大戰中的美日硫磺島之戰和1975年的越南戰爭.影響戰爭勝負的因素有很多，兵力的多少和戰斗力的強弱是兩個主要的因素.士兵的數量會隨著戰爭的進行而減少，5.8戰爭模型這種減少可能是因為陣亡、負傷與被俘，也可能是因為疾病與開小差，分別稱之為戰斗減員與非戰斗減員.士兵的數量也可隨著增援部隊的到來而增加.從某種意義上來說，當戰爭結束時，如果一方的士兵人數減少為零，那么另一方就取得了勝利.

1.一般戰爭模型

記甲乙雙方士兵人數在t時刻分別為x(t)和y(t)，假設：

(1)每一方的戰斗減員率取決于雙方的兵力和戰斗力，甲乙雙方的戰斗減員率分別用f(x，y)和g(x，y)表示；

(2)雙方的非戰斗減員率(比如疾病或逃跑等)只與本方的兵力(即士兵人數)成正比，減員率系數分別為α，β；

(3)雙方的增援率是給定的函數，分別用u(t)和v(t)表示.

由此可得x(t)和y(t)滿足的微分方程組為：

(5.8.1)

下面針對不同的戰爭類型討論戰斗減員率的具體表示形式和影響戰爭結局的因素.

2.正規戰模型

設甲乙雙方都用正規部隊作戰，模型假設如下：

(1)雙方士兵公開活動.甲方士兵公開活動，處于乙方每個士兵的監視和殺傷范圍之內.一旦甲方某個士兵被殺傷，乙方的火力立即集中在其余士兵身上，所以甲方士兵的戰斗減員僅與乙方士兵人數有關.于是可得甲方士兵戰斗減員率為ay(t)，其中a表示乙方平均每個士兵的殺傷率(即單位時間的殺傷數).a可進一步分解為a＝rypy，ry為乙方士兵的射擊率(每個士兵單位時間的射擊次數)，py表示每次射擊的命中率.同理，用b表示甲方士兵對乙方士兵的殺傷率，即b＝rxpx.

(2)雙方的非戰斗減員率僅與本方兵力成正比.減員率系數分別為α，β.

(3)設雙方的兵力增援率為u(t)和v(t).

由以上假設，系統(5.8.1)可改寫為:

(5.8.2)

由于與戰斗減員相比，非戰斗減員這項很小，分析戰爭結局時可忽略不計，若再假設雙方都沒有增援，則方程組(5.8.2)又可改寫為：

(5.8.3)

其中x0，y0為雙方戰前的初始兵力.由方程組(5.8.3)的前兩式相除，得

若令

，分離變量并積分得

k＝ay2－bx2

當k＝0時，雙方打成平局.當k>0時，乙方獲勝.當k<0時，甲方獲勝.這樣，乙方要想取得戰斗勝利，就要使k>0，即

考慮到假設(1)，上式可寫為:

(5.8.4)

式(5.8.4)是乙方占優勢的條件.若交戰雙方都訓練有素，且都處于良好的作戰狀態，則rx與ry，px與py相差不大，式(5.8.4)右邊近似為1.式(5.8.4)左邊表明，初始兵力比例被平方地放大了，即雙方初始兵力之比y0x0以平方的關系影響著戰爭的結局.比如說，如果乙方的兵力增加到原來的2倍，甲方兵力不變，則影響著戰爭的結局的能力將增加4倍.此時，甲方要想與乙方抗衡，需把其士兵的射擊率增加到原來的4倍(其他值均不變).由于這個原因正規戰爭模型稱為平方律模型.以上是研究雙方之間兵力的變化關系.下面將討論每一方的兵力隨時間的變化關系.對式(5.8.3)兩邊關于t求導，得

即

(5.8.5)

初始條件為

解之得

同理可求得y(t)的表達式為3.游擊戰模型

設甲乙雙方都用游擊部隊作戰，此時，正規戰模型中的假設(1)應修改為：

(1)乙方士兵看不見甲方士兵，甲方士兵在某個面積為xs的區域內活動.乙方士兵不是向甲方士兵射擊，而是向該區域射擊.此時，甲方士兵的戰斗減員不僅與乙方兵力有關，而且隨著甲方兵力增加而增加.因為在一個有限區域內，士兵人數越多，被殺傷的可能性越大.可設甲方的戰斗減員率為f＝cxy，其中c為乙方戰斗效果系數，

，其中ry仍為射擊率，命中率py為乙方一次射擊的有效面積sry與甲方活動面積sx之比.游擊戰模型的假設(2)和(3)同正規戰模型的假設(2)、(3).

類似地有g＝dxy，

，于是在這個模型中方程組(5.8.1)應改寫為：

dxdt＝－cxy－αx＋u(t)dydt＝－dxy－βy＋v(t)(5.8.6)

忽略αx和βy，并設u＝v＝0，在初始條件下方程組(5.8.6)改寫為：

(5.8.7)

兩式相除，得

(5.8.8)

令l＝cy0－dx0，上式可化為：

cy－dx＝l

(5.8.9)

當l＝0，雙方打成平局.當l>0時，乙方獲勝.當l<0時，甲方獲勝.乙方獲勝的條件可以表示為:

(5.8.10)

即初始兵力之比

以線性關系影響戰斗的結局.當雙方的射擊率與有效射擊面積sy一定時，增加活動面積與增加初始兵力y0起著同樣的作用.這個模型又稱為線性率模型.

4.混合戰模型

設甲方為游擊隊，乙方為正規部隊.

借鑒上述正規戰模型與游擊戰模型的思想，此時f(x，y)＝cxy，g＝bx，在同樣的條件下，系統(5.8.1)可改為：

(5.8.11)

令m＝cy20－2bx0，可得方程組(5.8.11)的相軌線為： cy2－2bx＝m

(5.8.12)經驗表明，只有當兵力之比y0x0遠遠大于1時，正規部隊乙才能戰勝游擊隊.當m>0時，乙方勝，此時，

(5.8.13)

一般來說，正規部隊以火力強而見長，游擊隊以機動靈活、活動范圍大而見長.這可以通過一些具體數據進行計算.

不妨設x0＝100，命中率px＝0.1，火力

，活動區域的面積sx＝106m2，乙方有效射擊面積sry＝1m2，則由式(5.8.13)，乙方取勝的條件為：

(5.8.14)

由于

，故乙方的兵力是甲方的10倍.在越南戰爭中，美國人根據類似于上面的計算以及四五十年代發生在馬來西亞、菲律賓、印尼、老撾等地的混合戰爭的實際情況估計出，正規部隊一方要想取勝必須至少投入8倍于游擊部隊一方的兵力，而美國至多只能派出6倍于越南的兵力.越南戰爭的結局是美國不得不接受和談并撤軍，越南人民取得最后的勝利.

５.一個戰爭實例

J.H.Engel用二次大戰末期美日硫磺島戰役中的美軍戰地記錄，對正規戰爭模型進行了驗證，發現模型結果與實際數據吻合得很好.硫磺島位于東京以南660英里的海面上，是日軍的重要空軍基地.美軍在1945年2月開始進攻，激烈的戰斗持續了一個月，雙方傷亡慘重，日方守軍21500人全部陣亡或被俘，美方投入兵力73000人，傷亡20265人，戰爭進行到28天時美軍宣布占領該島，實際戰斗到36天才停止.美軍的戰地記錄有按天統計的戰斗減員和增援情況.日軍沒有后援，戰地記錄則全部遺失.用A(t)和J(t)分別表示美軍和日軍第t天的人數，忽略雙方的非戰斗減員，則

(5.8.15)

美軍戰地記錄給出增援率u(t)為：

(5.8.16)

并可由每天傷亡人數算出A(t)，t＝1，2，…，36.下面要利用這些實際數據代入式(5.8.15)，算出A(t)的理論值，并與實際值比較.利用給出的數據，對參數a，b進行估計.對(6.8.15)式兩邊積分，并用求和來近似代替積分，有

(5.8.17)

(5.8.18)

為估計