第4課時空間向量與空間距離（選學）雙基達標限時20分鐘1．若O為坐標原點，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3，2，8)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(0，1，0)，則線段AB的中點P到點C的距離為()．A.eq\f(\r(165),2)B．2eq\r(14)C.eq\r(53)D.eq\f(\r(53),2)解析由題意eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝(2，eq\f(3,2)，3)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝(－2，－eq\f(1,2)，－3)，|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝eq\r(4＋\f(1,4)＋9)＝eq\f(\r(53),2).答案D2．已知平面α的一個法向量n＝(－2，－2，1)，點A(－1，3，0)在a內，則P(－2，1，4)到α的距離為()．A．10B．3C.eq\f(8,3)D.eq\f(10,3)解析設點P到α的距離為h，則h＝eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(10,3).答案D3．長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，則D1到直線AC的距離為A.eq\r(3)aB.eq\f(\r(3)a,2)C.eq\f(2\r(2)a,3)D.eq\f(3\r(2)a,2)解析連結BD，AC交于點O，則D1O＝eq\r(（2a）2＋（\f(\r(2),2)a）2)＝eq\f(3\r(2),2)a為所求．答案D4．二面角α-l-β的平面角為60°，A、B∈l，AC?α，BD?β，AC⊥l，BD⊥l，若AB＝AC＝BD＝1，則CD的長為________．解析∵eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))，AC⊥l，BD⊥l，A，B∈l.∴eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\r(CA→2＋AB→2＋BD→2＋2CA→·BD→)＝eq\r(3－2×\f(1,2))＝eq\r(2).答案eq\r(2)5．正方形ABCD與ABEF邊長都為a，若二面角E-AB-C的大小為30°，則EF到平面ABCD的距離為________．解析直線EF到平面ABCD的距離即為點E到平面ABCD的距離，∴d＝eq\f(a,2).答案eq\f(a,2)6．已知直線l過點A(1，－1，2)，和l垂直的一個向量為n＝(－3，0，4)，求P(3，5，0)到l的距離．解∵eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－2，－6，2)．∴eq\o(PA,\s\up6(→))·n＝(－2，－6，2)·(－3，0，4)＝14，|n|＝eq\r(32＋42)＝5.∴點P到直線l的距離為eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(14,5).綜合提高（限時25分鐘）7．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D1的距離是A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),4)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)解析以D為坐標原點，以DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則有D1(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)．因O為A1C1的中點，所以O(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，1)，eq\o(C1O,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，0)，設平面ABC1D1的法向量為n＝(x，y，z)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(AD1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋z＝0，,y＝0，))取n＝(1，0，1)∴O到平面ABC1D1的距離為：d＝eq\f(|\o(C1O,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(\f(1,2),\r(2))＝eq\f(\r(2),4).答案B8．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，底面是邊長為2的正方形，高為4，則點A1到截面AB1D1的距離為A.eq\f(8,3)B.eq\f(3,8)C.eq\f(4,3)D.eq\f(3,4)解析如圖，建立空間直角坐標系D－xyz，則A(2，0，0)，A1(2，0，4)，B1(2，2，4)，D1(0，0，4)，∴eq\o(D1B1,\s\up6(→))＝(2，2，0)，eq\o(D1A,\s\up6(→))＝(2，0，－4)，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(0，0，4)，設n＝(x，y，z)是平面AB1D1的法向量，則n⊥eq\o(D1B1,\s\up6(→))，n⊥eq\o(D1A,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(D1B1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(D1A,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋2y＝0，,2x－4z＝0，))令z＝1，則平面AB1D1的一個法向量為n＝(2，－2，1)．由eq\o(AA1,\s\up6(→))在n上的投影可得A1到平面AB1D1的距離為d＝eq\f(|\o(AA1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(4,3).答案C9．直角△ABC的兩條直角邊BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝eq\f(9,5)，則點P到斜邊AB的距離是________．解析以C為坐標原點，CA、CB、CP為x軸、y軸、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系．則A(4，0，0)，B(0，3，0)，P(0，0，eq\f(9,5))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4，3，0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－4，0，eq\f(9,5))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))在AB上的投影長為eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(16,5)，所以P到AB的距離為d＝eq\r(|AP|2－（\f(16,5)）2)＝eq\r(16＋\f(81,25)－\f(256,25))＝3.答案310．已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，BB1＝3，則點B1到平面A1BC1的距離為______．解析如圖所示，建立空間直角坐標系，則A1(4，0，3)，B1(4，6，3)，B(4，6，0)，C1(0，6，3)，eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝(－4，6，0)，eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(0，6，－3)，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(－4，0，3)，eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝(0，6，0)，設平面A1BC1的法向量為n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(A1C1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(A1B,\s\up6(→))＝0，))解得n＝(1，eq\f(2,3)，eq\f(4,3))．∴d＝eq\f(|\o(A1B1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(12\r(29),29).答案eq\f(12\r(29),29)11．已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分別為AB，BC的中點．(1)求點D到平面PEF的距離；(2)求直線AC到平面PEF的距離．解(1)建立以D為坐標原點，DA，DC，DP分別為x軸，y軸，z軸的空間直角坐標系，如圖所示．則P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，eq\f(1,2)，0)，F(eq\f(1,2)，1，0)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，0)，eq\o(PE,\s\up6(→))＝(1，eq\f(1,2)，－1)，設平面PEF的法向量n＝(x，y，z)，則n·eq\o(EF,\s\up6(→))＝0，且n·eq\o(PE,\s\up6(→))＝0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(1,2)y＝0，,x＋\f(1,2)y－z＝0.))令x＝2，則y＝2，，z＝3，所以n＝(2，2，3)，所以點D到平面PEF的距離為d＝eq\f(|\o(DE,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(|2＋1|,\r(4＋4＋9))＝eq\f(3,17)eq\r(17)，因此，點D到平面PEF的距離為eq\f(3,17)eq\r(17).(2)因為eq\o(AE,\s\up6(→))＝(0，eq\f(1,2)，0)，所以點A到平面PEF的距離為d＝eq\f(|\o(AE,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(1,\r(17))＝eq\f(\r(17),17)，所以AC到平面PEF的距離為eq\f(\r(17),17).12．(創新拓展)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為4，M、N、E、F分別為A1D1、A1B1、C1D1、B1C1的中點，求平面AMN與平面EFBD解如圖所示，建立空間直角坐標系D-xyz，則A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)，從而eq\o(EF,\s\up6(→))＝(2，2，0)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(2，2，0)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(－2，0，4)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝(－2，0，4)，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))，∴EF∥MN，AM∥EF，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M.∴平面AMN∥平面EFBD.設n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，從而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(MN,\s\up6(→))＝2x＋2y＝0，