2024屆山西省平遙縣綜合職業技術學校數學高二下期末綜合測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在一組樣本數據不全相等的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數據的樣本相關系數為（）A．3 B．0 C． D．12．設，則二項式展開式的常數項是（）A．1120 B．140 C．-140 D．-11203．若f(x)=ln(x2-2ax+1+a)在區間上遞減,則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．4．已知隨機變量服從正態分布，若，則（）A． B． C． D．5．已知三棱錐的頂點都在球的球面上，平面，則球的表面積為（）A． B． C． D．6．已知的展開式中的系數為5，則（）A．4 B．3 C．2 D．-17．有六人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙、丙兩人必須相鄰，則滿足要求的排法有（）A．34種 B．48種C．96種 D．144種8．只用四個數字組成一個五位數，規定這四個數字必須同時使用，且同一數字不能相鄰出現，這樣的五位數有（）A． B． C． D．9．用反證法證明“如果a＜b，那么”，假設的內容應是（）A． B．C．且 D．或10．定義方程的實數根叫做函數的“新駐點”，若函數，，的“新駐點”分別為，則的大小關系為（）A． B． C． D．11．的展開式中的系數是（）A．58 B．62 C．52 D．4212．已知函數，其圖象關于直線對稱，為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象上的所有點（）A．先向左平移個單位長度，再把所得各點橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變B．先向右平移個單位長度，再把所得各點橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變C．先向右平移個單位長度，再把所得各點橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變D．先向左平移個單位長度，再把所得各點橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若點的柱坐標為，則點的直角坐標為______；14．李華經營了甲、乙兩家電動轎車銷售連鎖店，其月利潤(單位：元)分別為，(其中x為銷售輛數)，若某月兩連鎖店共銷售了110輛，則能獲得的最大利潤為______元．15．已知是第四象限角，，則_______；16．四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，則恰有兩個空盒的不同放法共有__________種.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，直線：，圓：（為參數），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求，的極坐標方程；（2）若直線的極坐標方程為，設，的交點為，，求的面積.18．（12分）某企業對設備進行升級改造，現從設備改造前后生產的大量產品中各抽取了100件產品作為樣本，檢測一項質量指標值，若該項指標值落在[20,40)內的產品視為合格品，否則為不合格品，圖1是設備改造前樣本的頻率分布直方圖，表1是設備改造后的頻數分布表.表1，設備改造后樣本的頻數分布表:質量指標值頻數2184814162（1）請估計該企業在設備改造前的產品質量指標的平均數；（2）企業將不合格品全部銷毀后，并對合格品進行等級細分，質量指標值落在[25，30)內的定為一等品，每件售價240元，質量指標值落在[20，25)或[30，35)內的定為二等品，每件售價180元，其它的合格品定為三等品，每件售價120元.根據表1的數據，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產品中抽到一件相應等級產品的概率，現有一名顧客隨機購買兩件產品，設其支付的費用為X（單位：元），求X得分布列和數學期望.19．（12分）如圖在直三棱柱中，，為中點．（Ⅰ）求證：平面．（Ⅱ）若，且，求二面角的余弦值．20．（12分）的展開式中第六項與第七項的系數相等，求和展開式中二項式系數最大的項.21．（12分）已知拋物線：，點為直線上任一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，（1）證明，，三點的縱坐標成等差數列；（2）已知當點坐標為時，，求此時拋物線的方程；（3）是否存在點，使得點關于直線的對稱點在拋物線上，其中點滿足，若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由.22．（10分）已知數列的前項和滿足,.（1）求數列的通項公式；（2）設，，求數列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據回歸直線方程可得相關系數．【題目詳解】根據回歸直線方程是可得這兩個變量是正相關，故這組樣本數據的樣本相關系數為正值，且所有樣本點（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直線上，則有|r|＝1，∴相關系數r＝1．故選：D．【題目點撥】本題考查了由回歸直線方程求相關系數，熟練掌握回歸直線方程的回歸系數的含義是解題的關鍵．2、A【解題分析】

分析：利用微積分基本定理求得，先求出二項式的展開式的通項公式，令的指數等于，求出的值，即可求得展開式的常數項.詳解：由題意，二項式為，設展開式中第項為，，令，解得，代入得展開式中可得常數項為，故選A.點睛：本題主要考查二項展開式定理的通項與系數，屬于簡單題.二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數）（2）考查各項系數和和各項的二項式系數和；（3）二項展開式定理的應用.3、B【解題分析】

由外函數對數函數是增函數，可得要使函數在上遞減，需內函數二次函數的對稱軸大于等于1，且內函數在上的最小值大于0，由此聯立不等式組求解．【題目詳解】解：令，其對稱軸方程為，外函數對數函數是增函數，要使函數在上遞減，則，即：．實數的取值范圍是．故選：．【題目點撥】本題主要考查了復合函數的單調性以及單調區間的求法．對應復合函數的單調性，一要注意先確定函數的定義域，二要利用復合函數與內層函數和外層函數單調性之間的關系進行判斷，判斷的依據是“同增異減”，是中檔題．4、C【解題分析】分析：先根據正態分布得再求最后求得=0.34.詳解：由正態分布曲線得所以所以=0.5-0.16=0.34.故答案為：C.點睛：（1）本題主要考查正態分布曲線的性質，意在考查學生對這些知識的掌握水平和數形結合思想和方法.（2）解答本題的關鍵是數形結合，要結合正態分布曲線的圖像和性質解答，不要死記硬背.5、D【解題分析】

根據題意畫出圖形，結合圖形把三棱錐補充為長方體，則該長方體的外接球即為三棱錐的外接球，計算長方體的對角線，求出外接球的直徑和表面積．【題目詳解】根據題意畫出圖形，如圖所示，

以AB、BD和CD為棱，把三棱錐補充為長方體，

則該長方體的外接球即為三棱錐的外接球，

且長方體的對角線是外接球的直徑；

，

外接球O的表面積為．

故選：D．【題目點撥】本題考查了三棱錐外接球表面積計算問題，將三棱錐補成長方體，是求外接球直徑的關鍵，屬于中檔題．6、D【解題分析】

將化簡為：分別計算的系數，相加為5解得.【題目詳解】中的系數為：的系數為：的系數為：故答案選D【題目點撥】本題考查了二項式定理的計算，分成兩種情況簡化了計算.7、C【解題分析】試題分析：,故選C.考點：排列組合.8、B【解題分析】

以重復使用的數字為數字為例，采用插空法可確定符合題意的五位數的個數；重復使用每個數字的五位數個數一樣多，通過倍數關系求得結果.【題目詳解】當重復使用的數字為數字時，符合題意的五位數共有：個當重復使用的數字為時，與重復使用的數字為情況相同滿足題意的五位數共有：個本題正確選項：【題目點撥】本題考查排列組合知識的綜合應用，關鍵是能夠明確不相鄰的問題采用插空法的方式來進行求解；易錯點是在插空時，忽略數字相同時無順序問題，從而錯誤的選擇排列來進行求解.9、D【解題分析】解：因為用反證法證明“如果a>b，那么>”假設的內容應是＝或<，選D10、A【解題分析】分析：分別對g（x），h（x），φ（x）求導，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），則它們的根分別為α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分別討論β、γ的取值范圍即可．詳解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=3x2，由題意得：α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，①∵ln（β+1）=，∴（β+1）β+1=e，當β≥1時，β+1≥2，∴β+1≤＜2，∴β＜1，這與β≥1矛盾，∴﹣1＜β＜1；②∵γ3﹣1=3γ2，且γ=0時等式不成立，∴3γ2＞0∴γ3＞1，∴γ＞1．∴γ＞α＞β．故選A．點睛：函數、導數、不等式密不可分，此題就是一個典型的代表，其中對對數方程和三次方程根的范圍的討論是一個難點．兩個式子比較大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性質得到大小關系，有時可以代入一些特殊的數據得到具體值，進而得到大小關系.11、D【解題分析】

由題意利用二項展開式的通項公式，賦值即可求出．【題目詳解】的展開式中的系數是.選D.【題目點撥】本題主要考查二項式定理的展開式以及賦值法求展開式特定項的系數．12、D【解題分析】

由函數的圖象關于直線對稱，得，進而得再利用圖像變換求解即可【題目詳解】由函數的圖象關于直線對稱，得，即，解得，所以，，故只需將函數的圖象上的所有點“先向左平移個單位長度，得再將橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變,得”即可.故選：D【題目點撥】本題考查三角函數的圖象與性質，考查圖像變換，考查運算求解能力，是中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由柱坐標轉化公式求得直角坐標?！绢}目詳解】由柱坐標可知，所以，所以直角坐標為。所以填?！绢}目點撥】空間點P的直角坐標(x,y,z)與柱坐標(ρ,θ,Z)之間的變換公式為。14、33000【解題分析】

設其中一家連鎖店銷售輛，則另一家銷售輛，再列出總利潤的表達式，是一個關于的二次函數，再利用二次函數的性質求出它的最大值即可．【題目詳解】依題意，可設甲這一家銷售了輛電動車，則乙這家銷售了輛電動車，總總利潤，所以，當時，取得最大值，且，故答案為.【題目點撥】本題考查函數模型的選擇與應用，考查二次函數最值等基礎知識，解題的關鍵在于確定函數的解析式，考查學生的應用能力，屬于中等題．15、【解題分析】

：由同角三角關系求解【題目詳解】：，設，由同角三角關系可得?！绢}目點撥】：三角正余弦值的定義為，。16、84【解題分析】分析：先選兩個空盒子，再把4個小球分為，兩組，分到其余兩個盒子里，即可得到答案.詳解：先選兩個空盒子，再把4個小球分為，兩組，故有.故答案為84.點睛：本題考查的是排列、組合的實際應用，考查了計數原理，注意這種有條件的排列要分兩步走，先選元素再排列.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)的極坐標方程為，的極坐標方程為.(2).【解題分析】分析：（1）直接利用可得的極坐標方程，：利用平方法消去參數，可得其普通方程，利用互化公式可得的極坐標方程；（2）將代入，得，利用極徑的幾何意義可得，由三角形面積公式可得結果.詳解：（1）因為，，∴的極坐標方程為，的極坐標方程為.（2）將代入，得，解得，，.因為的半徑為，則的面積.點睛：參數方程主要通過代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去參數化為普通方程，通過選取相應的參數可以把普通方程化為參數方程；利用關系式，等可以把極坐標方程與直角坐標方程互化，這類問題一般我們可以先把曲線方程化為直角坐標方程，用直角坐標方程解決相應問題．18、(1)30.2；(2)分布列見解析，400.【解題分析】

（1）每個矩形的中點橫坐標與該矩形的縱坐標、組距相乘后求和可得平均值；（2）的可能取值為：240，300，360,420,480，根據直方圖求出樣本中一、二、三等品的頻率分別為，利用獨立事件與互斥事件概率公式求出各隨機變量對應的概率，從而可得分布列，進而利用期望公式可得的數學期望.【題目詳解】(1)樣本的質量指標平均值為.根據樣本質量指標平均值估計總體質量指標平均值為30.2.（2）根據樣本頻率分布估計總體分布，樣本中一、二、三等品的頻率分別為，故從所有產品中隨機抽一件，是一、二、三等品的概率分別為，隨機變量的取值為：240，300，360,420,480，；，，所以隨機變量的分布列為：240300360420480.【題目點撥】本題主要考查直方圖的應用，互斥事件的概率公式、獨立事件同時發生的概率公式以及離散型隨機變量的分布列與數學期望，屬于中檔題.求解數學期望問題，首先要正確理解題意，其次要準確無誤的找出隨機變量的所有可能值，計算出相應的概率，寫出隨機變量的分布列，正確運用均值、方差的公式進行計算，也就是要過三關：（1）閱讀理解關；（2）概率計算關；（3）公式應用關.19、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解題分析】試題分析：（I）連結，由題意可證得，從而得為中點，所以，又由題意得得，所以得．（也可通過面面垂直證線面垂直）（II）由題意可得兩兩垂直，建立空間直角坐標系，求得平面和平面的法向量分別為，，由法向量夾角的余弦值可得二面角的余弦值．試題解析：（I）證明：連結，∵平面平面，平面，∴，∵為中點，∴為中點，∵，∴①，法一：由平面，平面，得，②，由①②及，所以平面．法二：由平面，平面，∴平面平面，又平面平面,所以平面．（II）解：由，得，由（I）知，又，得，∵，∴，∴兩兩垂直，以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，得，，設是平面的一個法向量，由，得,令，得，設為平面的一個法向量，由，得.令，得，∴根據題意知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為．點睛：向量法求二面角大小的兩種方法（1）分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，解題時要注意結合實際圖形判斷所求二面角為銳角還是鈍角．（2）分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小．20、,二項式系數最大的項為．【解題分析】

利用二項式定理的通項公式及其性質、排列與組合數的計算公式即可得出．【題目詳解】，，依題意有，，化為：，解得．所以的展開式中，二項式系數最大的項為．【題目點撥】本題考查二項