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文檔簡介
如果別人思考數(shù)學(xué)的真理像我一樣深入持久,他也會找到我的發(fā)現(xiàn)。——高斯
28.1銳角三角函數(shù)
選擇題
1.計算sii??。。+COS260°的結(jié)果為()
1
A-2BC.1D.
-I4
2.在RtZ\ABC中,ZC=90°,COSA=A,則sinA=()
5
4
A-4B,37D.
3.在RtZ\ABC中,銳角A的對邊和斜邊同時擴大100倍,sinA的值()
A.擴大100倍B.縮小C.不變D.不能確定
4.如圖,在中,ZC=90°,AB—4,AC=3,則cosB=^~=()
AB
A.3
B.4D.3.
54
5.下列式子正確的是()
A.cos600=返B.cos600+tan45°=1
2
_122
C.tan60°.=0D.sin30°+COS30°=一
tanSO4
6.規(guī)定:sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,cos(x+y)=cosxcosy-siarsiny,給出以
下四個結(jié)論:
sin(-30°)=-A;
(1)
2
(2)COS2X=COS2X-sin2x;
(3)cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny;
cosl5。=近返.
(4)
4
其中正確的結(jié)論的個數(shù)為()
A.1個B.2個C.3個D.4個
7.如圖,在6X6的正方形網(wǎng)格中,△A8C的頂點都在小正方形的頂點上,則tan/AAC的
8.若角a,0都是銳角,以下結(jié)論:
①若aV0,貝!Jsina〈sin0;②若a〈0,則cosa<cos0;③若a<0,貝ijtana<tan0;(4)
若a+0=9O°,則sina=cos0.其中正確的是()
A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④
9.在AABC中,N4,都是銳角,tanA=l,sinB=返,你認(rèn)為△A8C最確切的判斷是
2
()
A.等腰三角形B.等腰直角三角形
C.直角三角形D.銳角三角形
10.因為cos60°=工,cos240°=-工,所以cos240°=cos(180°+60°)=-cos60°;
22
由此猜想、推理知:當(dāng)a為銳角時有cos(180°+a)=-cosa,由此可知:cos210°=
()
A.-AB.-返C.-返D.-^3
222
二.填空題
11.已知a是銳角,且sin(a+15°)=義2,那么tana=.
2
12.如圖,已知RtZVIBC中,斜邊AB的長為機,ZB=40°,則直角邊AC的長是.
13.如圖,邊長為1的小正方形網(wǎng)格中,點4,B,C,D,E均在格點上,半徑為2的
與BC交于點F,貝Ijtan/QEF=
14.在RtZ\ABC中,NC=90°,cosA=Z,貝UBC:AC:AB=
3
15.如圖,4。是正五邊形ABCDE的一條對角線,則N8AO=.
三.解答題
16.計算:3tan30°+cos230°-2sin60°
17.如圖,在RtZ\A8C中,NC=90°,tanA=工,BC=2,求AB的長.
18.(1)在△ABC中,ZB=45°,cosA=X求NC的度數(shù).
2
(2)在直角三角形A8C中,已知sinA=匹,求tanA的值.
5
參考答案
選擇題
1.解:sin230°+COS260°=(―)2+(A)2
22
44
=工
~2
故選:A.
2.解:Vsin2A+cos2A=1,BPsin2A+(―)2=1,
5
.".sin2A=-^-.
25
,sinA=W或--(舍去),
55
o
siiiA=—.
5
故選:C.
3.解:銳角A的三角函數(shù)值隨著NA角度的變化而變化,而角的大小與邊的長短沒有關(guān)系,
因此sinA的值不會隨著邊長的擴大而變化,
故選:C.
4.解:;在RtZXABC中,ZC=90°,AB=4,4c=3,
??BC=^^2_g2=5/7,
cosB=更_=2/Z..
AB4
故選:C.
5.解:A.cos60°=工,故本選項不符合題意;
2
B.cos60°+tan45°=_1+1=1_L,故本選項不符合題意;
22
C.tan60°------J—=A/§-?=0,故本選項符合題意;
tan30y_3_
~3~
D.sin230°+COS230°=1,故本選項不符合題意;
故選:C.
6.解:⑴sin(-30°)=-sin300=等故此結(jié)論正確;
(2)cos2x=cos(x+x)=cosxcosx-sirL¥sinx=cos2x-sin2x,故此結(jié)論正確;
(3)cos(x-y)=cos[x+(-y)]=cosxcos(-y)-sirtvsin(-y)=cosxcosy+sinxsiny,
故此結(jié)論正確;
(4)cos15°=cos(450-30°)=cos45°cos300+sin45°sin300=
工^義1?十立L乂工=義&二^=史上2,故此結(jié)論錯誤.
2222444
所以正確的結(jié)論有3個,
故選:C.
7.解:如圖,過點8作8Q_LAC,交AC延長線于點。,
則tan/8AC=^L=3,
AD4
故選:C.
8.解:①?.?sina隨a的增大而增大,.,?若aV0,則sinaVsin,此結(jié)論正確;
(2)Vcosa隨a的增大而減小,,若a<0,則cosa>cosp,此結(jié)論錯誤;
③,ana隨a的增大而增大,,若aV0,則tanaVtan,此結(jié)論正確;
④若a+0=9O°,則sina=cos0,此結(jié)論正確;
綜上,正確的結(jié)論為①③④,
故選:C.
9.解:由題意,得
NA=45°,NB=45°.
ZC=180°-NA-ZB=90°,
故選:B.
10.解:Vcos(180°+a)=-cosa,
;.cos210°=cos(180°+30°)=-cos30°=-返.
2
故選:c.
二.填空題
II.解:Vsin60°=返,
2
,a+15°=60°,
解得,a=45°,
tana=tan45°=1,
故答案為:1.
12.解:在RtZXABC中,sin2=旭,
AB
.,.AC=i4B*sinB=A/2sin40o,
故答案為:wsin40°.
13.解:由題意可得:NDBC=NDEF,
則tan/QEF=tan/DBC=^=1
BD2
故答案為:1.
2
14.解:在RtZ\ABC中,ZC=90°,
COSA=2=^>,
3AB
設(shè)AC=2xf則AB=3x,
BC=VAB2-AC2=A^V,
:.BC:AC:AB=后:2:3.
15.解:?.?正五邊形ABCDE的內(nèi)角和為(5-2)X180°=540°
?.ZE=Ax540°=108°,ZBAE=108°
5
又;EA=ED,
.,.NE4O=工X(180°-108°)=36°,
2
;.NBAD=/BAE-NEAD=72°,
故答案為:72°.
三.解答題
=V3^-V3
=3_
T
17.解::在Rt/XABC中,ZC=90°,
.,.tanA=^>=工.
AC3
,:BC=2,
AC=6.
AC3
':AB2=AC2+BC2=40,
?-AB-2A/10-
18.解:(1),在△ABC中,COSA=A,
2
AZA=6O°,
VZB=45°,
AZC=1800-ZB-ZA=75°;
(2)VsinA=^2.=A,
AB5
設(shè)BC=4x,AB=5x,
AC~~3x,
/.tanA=區(qū)《=&>=A.
AC3x3
28.2解直角三角形及其應(yīng)用
(滿分120分;時間:120分鐘)
一、選擇題(本題共計10小題,每題3分,共計30分,)
cosA=-
5
1.在AABC中,4C=90。,,AC=6f則AB的長度為()
A.8B,10c.12D.14
2.在高為1°0米的樓頂測得地面上某目標(biāo)的俯角為Q,那么樓底到該目標(biāo)的水平距離是()
AlOOtanaBlOOcotaclOOsinaDlOOcosa
tarvl=_
3.如圖,利用標(biāo)桿BE測量建筑物DC的高度,如果標(biāo)桿BE長為1.2米,若一<BC=8,4
A.6.3米B.7.5米c.8米D.6.5米
4.如圖,一艘海輪位于燈塔P的北偏東300方向,距離燈塔印海里的4處,它沿正南方向航
行一段時間后,到達位于燈塔2的南偏東45°方向上的8處,這時,海輪所在的8處與燈塔P的
距離為()
A.40e海里B.40V3海里C奧海里D.40遍海里
tarul=-
2
5.在直角△ABC中,乙。=90。,BC=lf,下列判斷正確的是()
AC=-
2
A.U=30°B,C.AB=2DAC=2
6.如圖,AC=BC=lQcrr9rB=15°,AD_LBC于點D,則40的長為()
A
BD
A3C77B.4CTTC.5c"D£C"
7.如圖,為了測量小河人石的寬度,小明從河邊的點%處出發(fā)沿著斜坡AB行走260米至坡頂
B處,斜坡AB的坡度為JL2.4,在點B處測得小河對岸建筑物DE頂端點D的俯角"BD=
11°,已知建筑物。石的高度為37.5米,則小河AE的寬度約為(精確到1米,參考數(shù)據(jù):sinll?
=0.19cosll^O,98,tanll°=0.2C)()
A.89米B.73米C.53米D.43米
8.如圖,等腰△ABC的底角為30。,底邊上的高AD=5,則腰AB、AC的值為()
A.20B.15D.7.5
9.在中,AD是斜邊BC上的高,如果8C=a,4=a,那么40等于()
A.asin2aB.acos2aCasinacosaDasinatana
10.如圖,小明同學(xué)在東西方向的環(huán)海路A處,測得海中燈塔P在北偏東60°方向上,在人處
東500米的B處,測得海中燈塔P在北偏東30°方向上,則燈塔P到環(huán)海路的距離PC=()
A.250B.5OOC.250V3D.500>/3
二、填空題(本題共計10小題,每題3分,共計30分,)
11.小明同學(xué)從A地出發(fā)沿北偏東30°的方向到B地,再由B地沿南偏西40°的方向到c地,則
£ABC=°,
12.在△ABC中,乙4=120°,AB=2,AC=4,貝/小8的值是
13.在RtAABC中,“=Rtz,若tanB=2,a=1,則b=
14.一次綜合實踐活動中,小明同學(xué)拿到一只含45°角的三角板和一只含30°角的三角板,
D
一
如圖放置恰好有一邊重合,則又。DCSAOM的值為___
tarvB=-
15.如圖,已知4D是等腰AABC底邊上的高,且4.”《上有一點七,滿足
AE-.CE=2-,l那么tanUDE的值是________.B~DC
16.某市為了美化環(huán)境,計劃在如圖所示的三角形空地上種植草皮,已知這種草皮每平方
米售價為a元,則購買這種草皮至少需要元.
17.如圖,水平面上有一個坡度》=1:2的斜坡AB,矩形貨柜DEFG放置在斜坡上,己知
DE=2.5]EF=2m,BF=3.5m,則點°離地面的高D"為m.(結(jié)果保留根號)
18.如圖,測量河寬AB(河的兩岸平行),在C點測得UCB=3々FC=60m則河寬A8
約為.m.(用科學(xué)計算器計算,
19.如圖,設(shè)“OC=a,zBOC=0,P為射線℃上一點,PD1Q4于D,PE1°B于E,則
PD
港等于(用46的三角函數(shù)表示)°
20.如圖,某飛機于空中A處探測得地面目標(biāo)C此時飛行高度AC=/i米,從飛機上看地面
三、解答題(本題共計6小題,共計60分,)
21.如圖,在AABC中,”CB=90。,CD是高,乙4=30。,求證:
22.一艘輪船由西向東航行,在A處測得小島P的方位角是北偏東75°,又航行7海里后,在8
處測得小島P的方位角是北偏東60°,若小島周圍3?褊里內(nèi)有暗礁,則該船一直向東航行有
無觸礁的危險?
23.某航班在某日凌晨°:4(從甲地(記為不起飛,沿北偏東35°方向出發(fā),以870km/力的
速度直線飛往乙地,但飛機在當(dāng)日凌晨1:2(左右在B處突然改變航向,沿北偏西71°方向飛到
C處消失,如果此航班在C處發(fā)出求救信號,又測得C在幺的北偏西25。方向,求力與求救點C的
sin74"?=sin46"
距離(結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):25,
24.如圖,某中心廣場燈柱4B被鋼纜CD固定,已知CB=5米,且
E
(l)求鋼纜CD的長度;
(2)若AD=2米,燈的頂端E距離A處1.6米,且11-0°,則燈的頂端后距離地面多少
米?
JR_V3
25.已知:在四邊形ABCD中,£ABC=90°,zC=60,一~2,BC=1+V3,
b
CD=
(1)求tanUBD的值;
(2)求AD的長.
26.某校興趣小組想測量一座大樓AB的高度.如圖,大樓前有一段斜坡BC,已知BC的長為
12米,它的坡度1=1:百,在離C點40米的D處,用測角儀測得大樓頂端4的仰角為3歲,測角
儀DE的高為L5米,求大樓AB的高度約為多少米?(結(jié)果精確到04米)
(參考數(shù)據(jù):5in38°x0.62,cos38°a0.79,tan38°-0.78,V3宓1.73.)
□
□
□
□
□
□
EJ
DC
參考答案
一、選擇題(本題共計10小題,每題3分,共計30分)
1.
【答案】
B
【解答】
解:在△ABC中,“=90。,、
.AC3
..c°s4=
?,
AB="x6=10
故選B.
2.
【答案】
B
【解答】
?LBAC=a,5C—100m,
AB=BC-cota—lOOcotam
3.
【答案】
B
【解答】
3
tan4=-
解:如圖,???在A4E8中,zABE=90°,BE=L2米,4,
AB=々=苧=1工
tan4i,
?(米).
又BC=8.4米,
4c=AB+BC=10米
3
taa4="
又;在直角AACD中,zC=90。,4
CD—AC-taaA=10X-=7.5
4(米)
故選:B.
4.
【答案】
A
【解答】
解:過點P作PCUB于點C,
由題意可得出:"=30。,zB=45。,”=80(海里),
CP=UP=4。
故2(海里),
PB=黑=40收
則E(海里).
故選4
5.
【答案】
D
【解答】
.1BC
.___cic八/tan4="tariA=—
在直角△ABC中,“=90,BC=1,2,ac,
AC=等=2=2
tarU1
「?2,
AB=VAC?+BC,=V22+12=Vs,
taa4=;tan30°=?
?.23
??LAh30°,
6.
【答案】
C
【解答】
解:AC=BC,
??=乙BAC=15°,
,?£ACD=LB+LBAC=150+15°=30°,
ADLBC
AD=Uc=ixl0=5cm
22
故選c.
7.
【答案】
B
【解答】
作BH1EA交EA的延長線于H,作DG18H于G,
則四邊形DEHG為矩形,
DG=EHGH=DE=37.5
設(shè)BH=x米,
斜坡4B的坡度為i=l:2.4,
AH=2.4殊,
由勾股定理得,(24x)2+/=26()2,
解得,4=100,
BH=100米,AH=240米,
BG=BH-G/f=100-37.5=62.5,
tan乙BDG=—
在Rt△BDG中,
CLBG62.5r/cr
DG=---------*—=312.5
則tanz.BDG0.2
4E=312.5-240=72.5?73(米),
8.
【答案】
C
【解答】
解:等腰△ABC的底角為30。,底邊上的高AD=5,
??AB=AC=2AD=2xS=10?
故選C.
9.
【答案】
C
【解答】
解:AD=AB-sina=BC-cosa-sina=asinacosa
故選C.
10.
【答案】
c
【解答】
解:;zPAB=90。-60。=30°,zPBC=90。-30°=60,
又^PBC=£P(guān)AB+LAPB,
LPAB=£APB=30°
PB=AB
PC=PBsin600=500xy=250V3
在直角APBC中,
故選c
二、填空題(本題共計10小題,每題3分,共計30分)
11.
【答案】
10
【解答】
由題意知,41=30。,42=40。,
,?iABC=z.2-zl=10°.
故答案為:1°.
12.
【答案】
V2I
【解答】
解:作CD1AB于D,如圖,
■LA=i2(r,
,?Z.CAD=60",
在R%C4。中,4c=4,
rn
sinz.CylD=sin60°=—
?9
CD=4x:=2百
,,,
coszC/4D=cos60°=—
AD=iX4=2
.2
??,
??BD=AB+AD=2+2=4,
在RfBDC中,3。=麗麗=,(2助+42=2。
.DCD2目標(biāo)
.51nB=寶=初=亍
13.
【答案】
2
【解答】
解:在Rt"BC中,
?LC=90°,
A3為斜邊.
b=AC?tanB
=a?tanB
=2.
14.
【答案】
3+V3
【解答】
解:作OH1BC于H,如圖,
設(shè)。,=x,
在RtAOBH中,?.乙OBH=30°,
BH=遍OH=V3x,
在山△0cH中,?.乙OCH=45。,
??CH=OH=x,
BC=(V3+1)A,
D.D__CD=?BC=?(V3+1”
在RtASCO中,33'}
在R"BC中,48=苧①=苧(6+1”
S^OCD=S&BCD-S&OBC=:(V3+l)x-y(\/3+1)%-^(V3+1)%-%=
S40AB=St1ABe—sSBC=1-y(V3+1)X*+l)x—(V3+1)X-X=#2
SAODQAOAB=?=?
故答案為
15.
【答案】
8
9
【解答】
解:作EF140于F,如圖,
AABC為等腰三角形,AD為高,
??zB=Z.C,
tanC=U
4DC
設(shè)AD=3t,DC=4£,
AC=\IAD2+CD2=5t,
而AE:CE=2::f
AE=2tf
;EF//CD
△AEFsUCD,
EF_AF_AE"_AF_2t
.而一而一元,即石一7?一短,
AF=UEF=
??,,
FD=AD-AF=^9t
??,
8
ET
5
-=丁
?cbtanrFDE=F*1
在Rt△DEF中,5*
g
tanzjlDE=-
16.
【答案】
150a
【解答】
解:如圖,作員4邊的高CD,設(shè)與BA的延長線交于點D,
D
MC=150°,
乙DAC=30°
CD1BD,AC=30m,
CD=15m9
AB=20m,
11o
S£,ABC=2AB^CD=-x20x15=150m2
??,
每平方米售價a元,
二購買這種草皮的價格為150a元.
故答案為:150a.
17.
【答案】
2V5
【解答】
解:作1BC,垂足為“,且與AB相交于5.
?△DGS=4BHS,LDSG=LBSH,
??△GDS=£SBH,
GS_1
.GD^2
??,
*DG=EF=2m,
??GS=Im,
??.DS=>Jl2+22=y/5m,BS=BF+F5=3.5+(2.5-l)=5m,
設(shè)H5=xm,則BH=2xm,
%2+(2x)2=52,
x=y/5mf
【答案】
37.5
△ABC中,:LB=90°BC=60??!,乙C=32°,
AB=BC-tan32°a60X0.625a37.5m
故答案為37.5.
19.
【答案】
sina
sinj?
【解答】
解:??PD1。4于。,PE1OB于E,
dDO="E°=90。,
PDPE
s?ma=?-—?smpz?=-
POPO
PD_sina
故答案為:
20.
【答案】
sina
【解答】
sinB=—
解:在直角AABC中,*=a,順,
AB=^=±
6asma
三、解答題(本題共計6小題,每題10分,共計60分)
21.
【答案】
證明:;CDLAB,LA=30。,
??d)CB=30°9
??BC=2BD,
?乙4=30°,44cB=90°,
??AB=2BC,
,?AB=ABD,
?AB=AD+BD,
AD=3BD.
【解答】
證明:;
CDLAByU=30°,
??LDCB=30°,
??BC=2BD,
??LA=300,乙ACB=90°,
,,AB=2BC,
,?AB=4BD,
AB=AD+BD
AD=3BD.
22.
【答案】
解:如圖所示:
由題意可得:41=75°,42=60°,
則㈤B=15°,LPBC=30。,
故UPB=15。,
則AB=PB=7(海里),
PC=*B=3.5
可得:海里<3.f海里.
則該船一直向東航行有觸礁的危險.
【解答】
解:如圖所示:
由題意可得:41=75。,42=60°,
則血8=15°,LPBC=30。,
故UPB=15。,
則AB=PB=7(海里),
PC=\PB=3.5一
可得:2海里<3」海里.
則該船一直向東航行有觸礁的危險.
23.
【答案】
解:過點B作于點
AB=870x^=580(fo?0…",八
由題意可得:60,,㈤4c=35。+25。=60。,
BD=ABrin6(P=580x?=290VJ(knOAD=\AB=290km
則2-2
LCBA=180。-71。-35。=74°
LC=180°-60°-74°=46°
Sin46°”微
巴_290百_18
正一SC-25
3625^3.
BC=---km
則CD=VBC2-BD2=157157267?4時
CA=CD+AD=774km
【解答】
解:過點B作BDJ.AC于點D,
AB=870x^=580(fcwO…"
由題意可得:60,^AC=350+25°=60°
BD=ABrin60°=580x^=290V3(km)AD=\AB=290km
則2—,2,
LCBA=180°-71°-35°=74°,
zC=180°-60°-74。=46。
sin46°a微
SO_290百_18
正一SC-25
BC=^^-km
則CD=《BC2-BD2=15,157267a484.
CA=CD+AD=774km
24.
【答案】
sin£DCB=—=-
解:(1)在一△DCB中,
設(shè)DB=4x,DC=5x,
(4X)2+25=(5/2,
解得I!
CD=-DB=
3米,
(2)如圖,過點E作EFJ.AB于點F.
血5=120°,血F=60°
AF=AE-COSZEJ4F=1.6X-=0.8
2(米),
FB=AF+AD+DB=Q.8+2+-=—
■■■315(米).
142
燈的頂端廊巨離地面M米.
【解答】
sinziJCB=—=i
解:(1)在RtADCB中,DC5,
...設(shè)DB=4%,DC=5xf
(4x)2+25=(5x)2,
(2)如圖,過點后作EFJ.AB于點£
,£EAB=120°,?.?LEAF=60°,
AF=AE-COSZ£J4F=1.6X-=0.8
2(米),
FB=AF+AD+DB=Q.8+2+-=—
■-315(米).
142
燈的頂端后距離地面斗米.
25.
【答案】
解:(1)如圖,作DELBC于點E.
在RtACDE中,LC=60°,C
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