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文檔簡介

如果別人思考數學的真理像我一樣深入持久,他也會找到我的發現。——高斯

28.1銳角三角函數

選擇題

1.計算sii??。。+COS260°的結果為()

1

A-2BC.1D.

-I4

2.在RtZ\ABC中,ZC=90°,COSA=A,則sinA=()

5

4

A-4B,37D.

3.在RtZ\ABC中,銳角A的對邊和斜邊同時擴大100倍,sinA的值()

A.擴大100倍B.縮小C.不變D.不能確定

4.如圖,在中,ZC=90°,AB—4,AC=3,則cosB=^~=()

AB

A.3

B.4D.3.

54

5.下列式子正確的是()

A.cos600=返B.cos600+tan45°=1

2

_122

C.tan60°.=0D.sin30°+COS30°=一

tanSO4

6.規定:sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,cos(x+y)=cosxcosy-siarsiny,給出以

下四個結論:

sin(-30°)=-A;

(1)

2

(2)COS2X=COS2X-sin2x;

(3)cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny;

cosl5。=近返.

(4)

4

其中正確的結論的個數為()

A.1個B.2個C.3個D.4個

7.如圖,在6X6的正方形網格中,△A8C的頂點都在小正方形的頂點上,則tan/AAC的

8.若角a,0都是銳角,以下結論:

①若aV0,貝!Jsina〈sin0;②若a〈0,則cosa<cos0;③若a<0,貝ijtana<tan0;(4)

若a+0=9O°,則sina=cos0.其中正確的是()

A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④

9.在AABC中,N4,都是銳角,tanA=l,sinB=返,你認為△A8C最確切的判斷是

2

()

A.等腰三角形B.等腰直角三角形

C.直角三角形D.銳角三角形

10.因為cos60°=工,cos240°=-工,所以cos240°=cos(180°+60°)=-cos60°;

22

由此猜想、推理知:當a為銳角時有cos(180°+a)=-cosa,由此可知:cos210°=

()

A.-AB.-返C.-返D.-^3

222

二.填空題

11.已知a是銳角,且sin(a+15°)=義2,那么tana=.

2

12.如圖,已知RtZVIBC中,斜邊AB的長為機,ZB=40°,則直角邊AC的長是.

13.如圖,邊長為1的小正方形網格中,點4,B,C,D,E均在格點上,半徑為2的

與BC交于點F,貝Ijtan/QEF=

14.在RtZ\ABC中,NC=90°,cosA=Z,貝UBC:AC:AB=

3

15.如圖,4。是正五邊形ABCDE的一條對角線,則N8AO=.

三.解答題

16.計算:3tan30°+cos230°-2sin60°

17.如圖,在RtZ\A8C中,NC=90°,tanA=工,BC=2,求AB的長.

18.(1)在△ABC中,ZB=45°,cosA=X求NC的度數.

2

(2)在直角三角形A8C中,已知sinA=匹,求tanA的值.

5

參考答案

選擇題

1.解:sin230°+COS260°=(―)2+(A)2

22

44

=工

~2

故選:A.

2.解:Vsin2A+cos2A=1,BPsin2A+(―)2=1,

5

.".sin2A=-^-.

25

,sinA=W或--(舍去),

55

o

siiiA=—.

5

故選:C.

3.解:銳角A的三角函數值隨著NA角度的變化而變化,而角的大小與邊的長短沒有關系,

因此sinA的值不會隨著邊長的擴大而變化,

故選:C.

4.解:;在RtZXABC中,ZC=90°,AB=4,4c=3,

??BC=^^2_g2=5/7,

cosB=更_=2/Z..

AB4

故選:C.

5.解:A.cos60°=工,故本選項不符合題意;

2

B.cos60°+tan45°=_1+1=1_L,故本選項不符合題意;

22

C.tan60°------J—=A/§-?=0,故本選項符合題意;

tan30y_3_

~3~

D.sin230°+COS230°=1,故本選項不符合題意;

故選:C.

6.解:⑴sin(-30°)=-sin300=等故此結論正確;

(2)cos2x=cos(x+x)=cosxcosx-sirL¥sinx=cos2x-sin2x,故此結論正確;

(3)cos(x-y)=cos[x+(-y)]=cosxcos(-y)-sirtvsin(-y)=cosxcosy+sinxsiny,

故此結論正確;

(4)cos15°=cos(450-30°)=cos45°cos300+sin45°sin300=

工^義1?十立L乂工=義&二^=史上2,故此結論錯誤.

2222444

所以正確的結論有3個,

故選:C.

7.解:如圖,過點8作8Q_LAC,交AC延長線于點。,

則tan/8AC=^L=3,

AD4

故選:C.

8.解:①?.?sina隨a的增大而增大,.,?若aV0,則sinaVsin,此結論正確;

(2)Vcosa隨a的增大而減小,,若a<0,則cosa>cosp,此結論錯誤;

③,ana隨a的增大而增大,,若aV0,則tanaVtan,此結論正確;

④若a+0=9O°,則sina=cos0,此結論正確;

綜上,正確的結論為①③④,

故選:C.

9.解:由題意,得

NA=45°,NB=45°.

ZC=180°-NA-ZB=90°,

故選:B.

10.解:Vcos(180°+a)=-cosa,

;.cos210°=cos(180°+30°)=-cos30°=-返.

2

故選:c.

二.填空題

II.解:Vsin60°=返,

2

,a+15°=60°,

解得,a=45°,

tana=tan45°=1,

故答案為:1.

12.解:在RtZXABC中,sin2=旭,

AB

.,.AC=i4B*sinB=A/2sin40o,

故答案為:wsin40°.

13.解:由題意可得:NDBC=NDEF,

則tan/QEF=tan/DBC=^=1

BD2

故答案為:1.

2

14.解:在RtZ\ABC中,ZC=90°,

COSA=2=^>,

3AB

設AC=2xf則AB=3x,

BC=VAB2-AC2=A^V,

:.BC:AC:AB=后:2:3.

15.解:?.?正五邊形ABCDE的內角和為(5-2)X180°=540°

?.ZE=Ax540°=108°,ZBAE=108°

5

又;EA=ED,

.,.NE4O=工X(180°-108°)=36°,

2

;.NBAD=/BAE-NEAD=72°,

故答案為:72°.

三.解答題

=V3^-V3

=3_

T

17.解::在Rt/XABC中,ZC=90°,

.,.tanA=^>=工.

AC3

,:BC=2,

AC=6.

AC3

':AB2=AC2+BC2=40,

?-AB-2A/10-

18.解:(1),在△ABC中,COSA=A,

2

AZA=6O°,

VZB=45°,

AZC=1800-ZB-ZA=75°;

(2)VsinA=^2.=A,

AB5

設BC=4x,AB=5x,

AC~~3x,

/.tanA=區《=&>=A.

AC3x3

28.2解直角三角形及其應用

(滿分120分;時間:120分鐘)

一、選擇題(本題共計10小題,每題3分,共計30分,)

cosA=-

5

1.在AABC中,4C=90。,,AC=6f則AB的長度為()

A.8B,10c.12D.14

2.在高為1°0米的樓頂測得地面上某目標的俯角為Q,那么樓底到該目標的水平距離是()

AlOOtanaBlOOcotaclOOsinaDlOOcosa

tarvl=_

3.如圖,利用標桿BE測量建筑物DC的高度,如果標桿BE長為1.2米,若一<BC=8,4

A.6.3米B.7.5米c.8米D.6.5米

4.如圖,一艘海輪位于燈塔P的北偏東300方向,距離燈塔印海里的4處,它沿正南方向航

行一段時間后,到達位于燈塔2的南偏東45°方向上的8處,這時,海輪所在的8處與燈塔P的

距離為()

A.40e海里B.40V3海里C奧海里D.40遍海里

tarul=-

2

5.在直角△ABC中,乙。=90。,BC=lf,下列判斷正確的是()

AC=-

2

A.U=30°B,C.AB=2DAC=2

6.如圖,AC=BC=lQcrr9rB=15°,AD_LBC于點D,則40的長為()

A

BD

A3C77B.4CTTC.5c"D£C"

7.如圖,為了測量小河人石的寬度,小明從河邊的點%處出發沿著斜坡AB行走260米至坡頂

B處,斜坡AB的坡度為JL2.4,在點B處測得小河對岸建筑物DE頂端點D的俯角"BD=

11°,已知建筑物。石的高度為37.5米,則小河AE的寬度約為(精確到1米,參考數據:sinll?

=0.19cosll^O,98,tanll°=0.2C)()

A.89米B.73米C.53米D.43米

8.如圖,等腰△ABC的底角為30。,底邊上的高AD=5,則腰AB、AC的值為()

A.20B.15D.7.5

9.在中,AD是斜邊BC上的高,如果8C=a,4=a,那么40等于()

A.asin2aB.acos2aCasinacosaDasinatana

10.如圖,小明同學在東西方向的環海路A處,測得海中燈塔P在北偏東60°方向上,在人處

東500米的B處,測得海中燈塔P在北偏東30°方向上,則燈塔P到環海路的距離PC=()

A.250B.5OOC.250V3D.500>/3

二、填空題(本題共計10小題,每題3分,共計30分,)

11.小明同學從A地出發沿北偏東30°的方向到B地,再由B地沿南偏西40°的方向到c地,則

£ABC=°,

12.在△ABC中,乙4=120°,AB=2,AC=4,貝/小8的值是

13.在RtAABC中,“=Rtz,若tanB=2,a=1,則b=

14.一次綜合實踐活動中,小明同學拿到一只含45°角的三角板和一只含30°角的三角板,

D

如圖放置恰好有一邊重合,則又。DCSAOM的值為___

tarvB=-

15.如圖,已知4D是等腰AABC底邊上的高,且4.”《上有一點七,滿足

AE-.CE=2-,l那么tanUDE的值是________.B~DC

16.某市為了美化環境,計劃在如圖所示的三角形空地上種植草皮,已知這種草皮每平方

米售價為a元,則購買這種草皮至少需要元.

17.如圖,水平面上有一個坡度》=1:2的斜坡AB,矩形貨柜DEFG放置在斜坡上,己知

DE=2.5]EF=2m,BF=3.5m,則點°離地面的高D"為m.(結果保留根號)

18.如圖,測量河寬AB(河的兩岸平行),在C點測得UCB=3々FC=60m則河寬A8

約為.m.(用科學計算器計算,

19.如圖,設“OC=a,zBOC=0,P為射線℃上一點,PD1Q4于D,PE1°B于E,則

PD

港等于(用46的三角函數表示)°

20.如圖,某飛機于空中A處探測得地面目標C此時飛行高度AC=/i米,從飛機上看地面

三、解答題(本題共計6小題,共計60分,)

21.如圖,在AABC中,”CB=90。,CD是高,乙4=30。,求證:

22.一艘輪船由西向東航行,在A處測得小島P的方位角是北偏東75°,又航行7海里后,在8

處測得小島P的方位角是北偏東60°,若小島周圍3?褊里內有暗礁,則該船一直向東航行有

無觸礁的危險?

23.某航班在某日凌晨°:4(從甲地(記為不起飛,沿北偏東35°方向出發,以870km/力的

速度直線飛往乙地,但飛機在當日凌晨1:2(左右在B處突然改變航向,沿北偏西71°方向飛到

C處消失,如果此航班在C處發出求救信號,又測得C在幺的北偏西25。方向,求力與求救點C的

sin74"?=sin46"

距離(結果保留整數,參考數據:25,

24.如圖,某中心廣場燈柱4B被鋼纜CD固定,已知CB=5米,且

E

(l)求鋼纜CD的長度;

(2)若AD=2米,燈的頂端E距離A處1.6米,且11-0°,則燈的頂端后距離地面多少

米?

JR_V3

25.已知:在四邊形ABCD中,£ABC=90°,zC=60,一~2,BC=1+V3,

b

CD=

(1)求tanUBD的值;

(2)求AD的長.

26.某校興趣小組想測量一座大樓AB的高度.如圖,大樓前有一段斜坡BC,已知BC的長為

12米,它的坡度1=1:百,在離C點40米的D處,用測角儀測得大樓頂端4的仰角為3歲,測角

儀DE的高為L5米,求大樓AB的高度約為多少米?(結果精確到04米)

(參考數據:5in38°x0.62,cos38°a0.79,tan38°-0.78,V3宓1.73.)

EJ

DC

參考答案

一、選擇題(本題共計10小題,每題3分,共計30分)

1.

【答案】

B

【解答】

解:在△ABC中,“=90。,、

.AC3

..c°s4=

?,

AB="x6=10

故選B.

2.

【答案】

B

【解答】

?LBAC=a,5C—100m,

AB=BC-cota—lOOcotam

3.

【答案】

B

【解答】

3

tan4=-

解:如圖,???在A4E8中,zABE=90°,BE=L2米,4,

AB=々=苧=1工

tan4i,

?(米).

又BC=8.4米,

4c=AB+BC=10米

3

taa4="

又;在直角AACD中,zC=90。,4

CD—AC-taaA=10X-=7.5

4(米)

故選:B.

4.

【答案】

A

【解答】

解:過點P作PCUB于點C,

由題意可得出:"=30。,zB=45。,”=80(海里),

CP=UP=4。

故2(海里),

PB=黑=40收

則E(海里).

故選4

5.

【答案】

D

【解答】

.1BC

.___cic八/tan4="tariA=—

在直角△ABC中,“=90,BC=1,2,ac,

AC=等=2=2

tarU1

「?2,

AB=VAC?+BC,=V22+12=Vs,

taa4=;tan30°=?

?.23

??LAh30°,

6.

【答案】

C

【解答】

解:AC=BC,

??=乙BAC=15°,

,?£ACD=LB+LBAC=150+15°=30°,

ADLBC

AD=Uc=ixl0=5cm

22

故選c.

7.

【答案】

B

【解答】

作BH1EA交EA的延長線于H,作DG18H于G,

則四邊形DEHG為矩形,

DG=EHGH=DE=37.5

設BH=x米,

斜坡4B的坡度為i=l:2.4,

AH=2.4殊,

由勾股定理得,(24x)2+/=26()2,

解得,4=100,

BH=100米,AH=240米,

BG=BH-G/f=100-37.5=62.5,

tan乙BDG=—

在Rt△BDG中,

CLBG62.5r/cr

DG=---------*—=312.5

則tanz.BDG0.2

4E=312.5-240=72.5?73(米),

8.

【答案】

C

【解答】

解:等腰△ABC的底角為30。,底邊上的高AD=5,

??AB=AC=2AD=2xS=10?

故選C.

9.

【答案】

C

【解答】

解:AD=AB-sina=BC-cosa-sina=asinacosa

故選C.

10.

【答案】

c

【解答】

解:;zPAB=90。-60。=30°,zPBC=90。-30°=60,

又^PBC=£PAB+LAPB,

LPAB=£APB=30°

PB=AB

PC=PBsin600=500xy=250V3

在直角APBC中,

故選c

二、填空題(本題共計10小題,每題3分,共計30分)

11.

【答案】

10

【解答】

由題意知,41=30。,42=40。,

,?iABC=z.2-zl=10°.

故答案為:1°.

12.

【答案】

V2I

【解答】

解:作CD1AB于D,如圖,

■LA=i2(r,

,?Z.CAD=60",

在R%C4。中,4c=4,

rn

sinz.CylD=sin60°=—

?9

CD=4x:=2百

,,,

coszC/4D=cos60°=—

AD=iX4=2

.2

??,

??BD=AB+AD=2+2=4,

在RfBDC中,3。=麗麗=,(2助+42=2。

.DCD2目標

.51nB=寶=初=亍

13.

【答案】

2

【解答】

解:在Rt"BC中,

?LC=90°,

A3為斜邊.

b=AC?tanB

=a?tanB

=2.

14.

【答案】

3+V3

【解答】

解:作OH1BC于H,如圖,

設。,=x,

在RtAOBH中,?.乙OBH=30°,

BH=遍OH=V3x,

在山△0cH中,?.乙OCH=45。,

??CH=OH=x,

BC=(V3+1)A,

D.D__CD=?BC=?(V3+1”

在RtASCO中,33'}

在R"BC中,48=苧①=苧(6+1”

S^OCD=S&BCD-S&OBC=:(V3+l)x-y(\/3+1)%-^(V3+1)%-%=

S40AB=St1ABe—sSBC=1-y(V3+1)X*+l)x—(V3+1)X-X=#2

SAODQAOAB=?=?

故答案為

15.

【答案】

8

9

【解答】

解:作EF140于F,如圖,

AABC為等腰三角形,AD為高,

??zB=Z.C,

tanC=U

4DC

設AD=3t,DC=4£,

AC=\IAD2+CD2=5t,

而AE:CE=2::f

AE=2tf

;EF//CD

△AEFsUCD,

EF_AF_AE"_AF_2t

.而一而一元,即石一7?一短,

AF=UEF=

??,,

FD=AD-AF=^9t

??,

8

ET

5

-=丁

?cbtanrFDE=F*1

在Rt△DEF中,5*

g

tanzjlDE=-

16.

【答案】

150a

【解答】

解:如圖,作員4邊的高CD,設與BA的延長線交于點D,

D

MC=150°,

乙DAC=30°

CD1BD,AC=30m,

CD=15m9

AB=20m,

11o

S£,ABC=2AB^CD=-x20x15=150m2

??,

每平方米售價a元,

二購買這種草皮的價格為150a元.

故答案為:150a.

17.

【答案】

2V5

【解答】

解:作1BC,垂足為“,且與AB相交于5.

?△DGS=4BHS,LDSG=LBSH,

??△GDS=£SBH,

GS_1

.GD^2

??,

*DG=EF=2m,

??GS=Im,

??.DS=>Jl2+22=y/5m,BS=BF+F5=3.5+(2.5-l)=5m,

設H5=xm,則BH=2xm,

%2+(2x)2=52,

x=y/5mf

【答案】

37.5

△ABC中,:LB=90°BC=60??!,乙C=32°,

AB=BC-tan32°a60X0.625a37.5m

故答案為37.5.

19.

【答案】

sina

sinj?

【解答】

解:??PD1。4于。,PE1OB于E,

dDO="E°=90。,

PDPE

s?ma=?-—?smpz?=-

POPO

PD_sina

故答案為:

20.

【答案】

sina

【解答】

sinB=—

解:在直角AABC中,*=a,順,

AB=^=±

6asma

三、解答題(本題共計6小題,每題10分,共計60分)

21.

【答案】

證明:;CDLAB,LA=30。,

??d)CB=30°9

??BC=2BD,

?乙4=30°,44cB=90°,

??AB=2BC,

,?AB=ABD,

?AB=AD+BD,

AD=3BD.

【解答】

證明:;

CDLAByU=30°,

??LDCB=30°,

??BC=2BD,

??LA=300,乙ACB=90°,

,,AB=2BC,

,?AB=4BD,

AB=AD+BD

AD=3BD.

22.

【答案】

解:如圖所示:

由題意可得:41=75°,42=60°,

則㈤B=15°,LPBC=30。,

故UPB=15。,

則AB=PB=7(海里),

PC=*B=3.5

可得:海里<3.f海里.

則該船一直向東航行有觸礁的危險.

【解答】

解:如圖所示:

由題意可得:41=75。,42=60°,

則血8=15°,LPBC=30。,

故UPB=15。,

則AB=PB=7(海里),

PC=\PB=3.5一

可得:2海里<3」海里.

則該船一直向東航行有觸礁的危險.

23.

【答案】

解:過點B作于點

AB=870x^=580(fo?0…",八

由題意可得:60,,㈤4c=35。+25。=60。,

BD=ABrin6(P=580x?=290VJ(knOAD=\AB=290km

則2-2

LCBA=180。-71。-35。=74°

LC=180°-60°-74°=46°

Sin46°”微

巴_290百_18

正一SC-25

3625^3.

BC=---km

則CD=VBC2-BD2=157157267?4時

CA=CD+AD=774km

【解答】

解:過點B作BDJ.AC于點D,

AB=870x^=580(fcwO…"

由題意可得:60,^AC=350+25°=60°

BD=ABrin60°=580x^=290V3(km)AD=\AB=290km

則2—,2,

LCBA=180°-71°-35°=74°,

zC=180°-60°-74。=46。

sin46°a微

SO_290百_18

正一SC-25

BC=^^-km

則CD=《BC2-BD2=15,157267a484.

CA=CD+AD=774km

24.

【答案】

sin£DCB=—=-

解:(1)在一△DCB中,

設DB=4x,DC=5x,

(4X)2+25=(5/2,

解得I!

CD=-DB=

3米,

(2)如圖,過點E作EFJ.AB于點F.

血5=120°,血F=60°

AF=AE-COSZEJ4F=1.6X-=0.8

2(米),

FB=AF+AD+DB=Q.8+2+-=—

■■■315(米).

142

燈的頂端廊巨離地面M米.

【解答】

sinziJCB=—=i

解:(1)在RtADCB中,DC5,

...設DB=4%,DC=5xf

(4x)2+25=(5x)2,

(2)如圖,過點后作EFJ.AB于點£

,£EAB=120°,?.?LEAF=60°,

AF=AE-COSZ£J4F=1.6X-=0.8

2(米),

FB=AF+AD+DB=Q.8+2+-=—

■-315(米).

142

燈的頂端后距離地面斗米.

25.

【答案】

解:(1)如圖,作DELBC于點E.

在RtACDE中,LC=60°,C

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