如果別人思考數學的真理像我一樣深入持久，他也會找到我的發現。——高斯

28.1銳角三角函數

選擇題

1.計算sii??。。+COS260°的結果為（）

1

A-2BC.1D.

-I4

2.在RtZ\ABC中,ZC=90°,COSA=A,則sinA=()

5

4

A-4B，37D.

3.在RtZ\ABC中,銳角A的對邊和斜邊同時擴大100倍，sinA的值（)

A.擴大100倍B.縮小C.不變D.不能確定

4.如圖，在中，ZC=90°，AB—4,AC=3,則cosB=^~=()

AB

A.3

B.4D.3.

54

5.下列式子正確的是()

A.cos600=返B.cos600+tan45°=1

2

_122

C.tan60°.=0D.sin30°+COS30°=一

tanSO4

6.規定：sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,cos(x+y)=cosxcosy-siarsiny,給出以

下四個結論:

sin(-30°)=-A；

(1)

2

(2)COS2X=COS2X-sin2x；

(3)cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny；

cosl5。=近返.

(4)

4

其中正確的結論的個數為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

7.如圖，在6X6的正方形網格中，△A8C的頂點都在小正方形的頂點上，則tan/AAC的

8.若角a,0都是銳角，以下結論：

①若aV0,貝！Jsina〈sin0；②若a〈0,則cosa<cos0；③若a<0,貝ijtana<tan0；(4)

若a+0=9O°,則sina=cos0.其中正確的是()

A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④

9.在AABC中，N4,都是銳角，tanA=l,sinB=返，你認為△A8C最確切的判斷是

2

()

A.等腰三角形B.等腰直角三角形

C.直角三角形D.銳角三角形

10.因為cos60°=工，cos240°=-工，所以cos240°=cos(180°+60°)=-cos60°；

22

由此猜想、推理知：當a為銳角時有cos(180°+a)=-cosa,由此可知：cos210°=

()

A.-AB.-返C.-返D.-^3

222

二.填空題

11.已知a是銳角，且sin(a+15°)=義2,那么tana=.

2

12.如圖，已知RtZVIBC中，斜邊AB的長為機，ZB=40°,則直角邊AC的長是.

13.如圖，邊長為1的小正方形網格中，點4,B,C,D,E均在格點上，半徑為2的

與BC交于點F,貝Ijtan/QEF=

14.在RtZ\ABC中，NC=90°,cosA=Z,貝UBC：AC：AB=

3

15.如圖，4。是正五邊形ABCDE的一條對角線，則N8AO=.

三.解答題

16.計算：3tan30°+cos230°-2sin60°

17.如圖，在RtZ\A8C中，NC=90°，tanA=工，BC=2,求AB的長.

18.(1)在△ABC中，ZB=45°,cosA=X求NC的度數.

2

(2)在直角三角形A8C中，已知sinA=匹，求tanA的值.

5

參考答案

選擇題

1.解：sin230°+COS260°=(―)2+(A)2

22

44

=工

~2

故選：A.

2.解：Vsin2A+cos2A=1,BPsin2A+(―)2=1,

5

.".sin2A=-^-.

25

，sinA=W或--(舍去)，

55

o

siiiA=—.

5

故選：C.

3.解：銳角A的三角函數值隨著NA角度的變化而變化，而角的大小與邊的長短沒有關系,

因此sinA的值不會隨著邊長的擴大而變化，

故選：C.

4.解：；在RtZXABC中，ZC=90°，AB=4,4c=3,

??BC=^^2_g2=5/7，

cosB=更_=2/Z..

AB4

故選：C.

5.解：A.cos60°=工，故本選項不符合題意；

2

B.cos60°+tan45°=_1+1=1_L,故本選項不符合題意；

22

C.tan60°------J—=A/§-?=0，故本選項符合題意；

tan30y_3_

~3~

D.sin230°+COS230°=1,故本選項不符合題意；

故選：C.

6.解：⑴sin(-30°)=-sin300=等故此結論正確；

(2)cos2x=cos(x+x)=cosxcosx-sirL￥sinx=cos2x-sin2x,故此結論正確；

(3)cos(x-y)=cos[x+(-y)]=cosxcos(-y)-sirtvsin(-y)=cosxcosy+sinxsiny,

故此結論正確；

(4)cos15°=cos(450-30°)=cos45°cos300+sin45°sin300=

工^義1?十立L乂工=義&二^=史上2，故此結論錯誤.

2222444

所以正確的結論有3個，

故選：C.

7.解：如圖，過點8作8Q_LAC,交AC延長線于點。，

則tan/8AC=^L=3,

AD4

故選：C.

8.解：①?.?sina隨a的增大而增大，.,?若aV0,則sinaVsin,此結論正確;

(2)Vcosa隨a的增大而減小，，若a<0,則cosa>cosp,此結論錯誤；

③,ana隨a的增大而增大，，若aV0,則tanaVtan,此結論正確；

④若a+0=9O°,則sina=cos0,此結論正確；

綜上，正確的結論為①③④，

故選：C.

9.解：由題意，得

NA=45°,NB=45°.

ZC=180°-NA-ZB=90°,

故選：B.

10.解：Vcos(180°+a)=-cosa,

；.cos210°=cos(180°+30°)=-cos30°=-返.

2

故選：c.

二.填空題

II.解：Vsin60°=返,

2

，a+15°=60°,

解得，a=45°,

tana=tan45°=1,

故答案為：1.

12.解：在RtZXABC中,sin2=旭,

AB

.,.AC=i4B*sinB=A/2sin40o,

故答案為：wsin40°.

13.解：由題意可得：NDBC=NDEF,

則tan/QEF=tan/DBC=^=1

BD2

故答案為：1.

2

14.解：在RtZ\ABC中，ZC=90°,

COSA=2=^>,

3AB

設AC=2xf則AB=3x,

BC=VAB2-AC2=A^V,

：.BC：AC：AB=后:2：3.

15.解：?.?正五邊形ABCDE的內角和為(5-2)X180°=540°

?.ZE=Ax540°=108°,ZBAE=108°

5

又；EA=ED,

.,.NE4O=工X(180°-108°)=36°,

2

；.NBAD=/BAE-NEAD=72°,

故答案為：72°.

三.解答題

=V3^-V3

=3_

T

17.解：：在Rt/XABC中，ZC=90°,

.,.tanA=^>=工.

AC3

,:BC=2,

AC=6.

AC3

'：AB2=AC2+BC2=40,

?-AB-2A/10-

18.解：（1）,在△ABC中，COSA=A,

2

AZA=6O°,

VZB=45°,

AZC=1800-ZB-ZA=75°；

（2）VsinA=^2.=A,

AB5

設BC=4x,AB=5x,

AC~~3x,

/.tanA=區《=&>=A.

AC3x3

28.2解直角三角形及其應用

（滿分120分;時間：120分鐘）

一、選擇題（本題共計10小題，每題3分，共計30分，）

cosA=-

5

1.在AABC中，4C=90。，,AC=6f則AB的長度為（）

A.8B,10c.12D.14

2.在高為1°0米的樓頂測得地面上某目標的俯角為Q,那么樓底到該目標的水平距離是（）

AlOOtanaBlOOcotaclOOsinaDlOOcosa

tarvl=_

3.如圖，利用標桿BE測量建筑物DC的高度，如果標桿BE長為1.2米，若一<BC=8,4

A.6.3米B.7.5米c.8米D.6.5米

4.如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東300方向，距離燈塔印海里的4處，它沿正南方向航

行一段時間后，到達位于燈塔2的南偏東45°方向上的8處，這時，海輪所在的8處與燈塔P的

距離為（）

A.40e海里B.40V3海里C奧海里D.40遍海里

tarul=-

2

5.在直角△ABC中，乙。=90。，BC=lf,下列判斷正確的是（）

AC=-

2

A.U=30°B,C.AB=2DAC=2

6.如圖，AC=BC=lQcrr9rB=15°,AD_LBC于點D,則40的長為（）

A

BD

A3C77B.4CTTC.5c"D￡C"

7.如圖，為了測量小河人石的寬度，小明從河邊的點％處出發沿著斜坡AB行走260米至坡頂

B處，斜坡AB的坡度為JL2.4,在點B處測得小河對岸建筑物DE頂端點D的俯角"BD=

11°,已知建筑物。石的高度為37.5米，則小河AE的寬度約為（精確到1米，參考數據：sinll?

=0.19cosll^O,98,tanll°=0.2C）（）

A.89米B.73米C.53米D.43米

8.如圖，等腰△ABC的底角為30。，底邊上的高AD=5,則腰AB、AC的值為（）

A.20B.15D.7.5

9.在中，AD是斜邊BC上的高，如果8C=a,4=a,那么40等于（）

A.asin2aB.acos2aCasinacosaDasinatana

10.如圖，小明同學在東西方向的環海路A處，測得海中燈塔P在北偏東60°方向上，在人處

東500米的B處，測得海中燈塔P在北偏東30°方向上，則燈塔P到環海路的距離PC=（）

A.250B.5OOC.250V3D.500>/3

二、填空題（本題共計10小題，每題3分，共計30分，）

11.小明同學從A地出發沿北偏東30°的方向到B地，再由B地沿南偏西40°的方向到c地，則

￡ABC=°,

12.在△ABC中，乙4=120°,AB=2,AC=4,貝/小8的值是

13.在RtAABC中，“=Rtz,若tanB=2,a=1,則b=

14.一次綜合實踐活動中，小明同學拿到一只含45°角的三角板和一只含30°角的三角板,

D

一

如圖放置恰好有一邊重合，則又。DCSAOM的值為___

tarvB=-

15.如圖，已知4D是等腰AABC底邊上的高，且4.”《上有一點七，滿足

AE-.CE=2-，l那么tanUDE的值是________.B~DC

16.某市為了美化環境，計劃在如圖所示的三角形空地上種植草皮，已知這種草皮每平方

米售價為a元，則購買這種草皮至少需要元.

17.如圖，水平面上有一個坡度》=1：2的斜坡AB,矩形貨柜DEFG放置在斜坡上，己知

DE=2.5]EF=2m,BF=3.5m,則點°離地面的高D"為m.（結果保留根號）

18.如圖，測量河寬AB（河的兩岸平行），在C點測得UCB=3々FC=60m則河寬A8

約為.m.（用科學計算器計算,

19.如圖，設“OC=a,zBOC=0,P為射線℃上一點，PD1Q4于D,PE1°B于E,則

PD

港等于（用46的三角函數表示）°

20.如圖，某飛機于空中A處探測得地面目標C此時飛行高度AC=/i米，從飛機上看地面

三、解答題（本題共計6小題，共計60分，）

21.如圖，在AABC中，”CB=90。，CD是高，乙4=30。，求證:

22.一艘輪船由西向東航行，在A處測得小島P的方位角是北偏東75°,又航行7海里后，在8

處測得小島P的方位角是北偏東60°,若小島周圍3?褊里內有暗礁，則該船一直向東航行有

無觸礁的危險？

23.某航班在某日凌晨°：4（從甲地（記為不起飛，沿北偏東35°方向出發，以870km/力的

速度直線飛往乙地，但飛機在當日凌晨1：2（左右在B處突然改變航向，沿北偏西71°方向飛到

C處消失，如果此航班在C處發出求救信號，又測得C在幺的北偏西25。方向，求力與求救點C的

sin74"?=sin46"

距離（結果保留整數，參考數據：25,

24.如圖，某中心廣場燈柱4B被鋼纜CD固定，已知CB=5米，且

E

(l)求鋼纜CD的長度；

(2)若AD=2米，燈的頂端E距離A處1.6米，且11-0°,則燈的頂端后距離地面多少

米？

JR_V3

25.已知：在四邊形ABCD中，￡ABC=90°,zC=60,一~2,BC=1+V3,

b

CD=

(1)求tanUBD的值；

(2)求AD的長.

26.某校興趣小組想測量一座大樓AB的高度.如圖，大樓前有一段斜坡BC,已知BC的長為

12米，它的坡度1=1：百，在離C點40米的D處，用測角儀測得大樓頂端4的仰角為3歲,測角

儀DE的高為L5米，求大樓AB的高度約為多少米？（結果精確到04米）

(參考數據：5in38°x0.62,cos38°a0.79,tan38°-0.78,V3宓1.73.)

□

□

□

□

□

□

EJ

DC

參考答案

一、選擇題（本題共計10小題，每題3分，共計30分）

1.

【答案】

B

【解答】

解：在△ABC中，“=90。，、

.AC3

..c°s4=

?,

AB="x6=10

故選B.

2.

【答案】

B

【解答】

?LBAC=a，5C—100m，

AB=BC-cota—lOOcotam

3.

【答案】

B

【解答】

3

tan4=-

解：如圖，???在A4E8中，zABE=90°,BE=L2米，4,

AB=々=苧=1工

tan4i,

?（米）.

又BC=8.4米，

4c=AB+BC=10米

3

taa4="

又；在直角AACD中，zC=90。,4

CD—AC-taaA=10X-=7.5

4（米）

故選：B.

4.

【答案】

A

【解答】

解：過點P作PCUB于點C,

由題意可得出："=30。，zB=45。，”=80（海里），

CP=UP=4。

故2（海里），

PB=黑=40收

則E（海里）.

故選4

5.

【答案】

D

【解答】

.1BC

.___cic八/tan4="tariA=—

在直角△ABC中，“=90,BC=1,2,ac,

AC=等=2=2

tarU1

「?2,

AB=VAC?+BC，=V22+12=Vs,

taa4=；tan30°=?

?.23

??LAh30°，

6.

【答案】

C

【解答】

解：AC=BC,

??=乙BAC=15°，

,?￡ACD=LB+LBAC=150+15°=30°，

ADLBC

AD=Uc=ixl0=5cm

22

故選c.

7.

【答案】

B

【解答】

作BH1EA交EA的延長線于H,作DG18H于G,

則四邊形DEHG為矩形，

DG=EHGH=DE=37.5

設BH=x米，

斜坡4B的坡度為i=l：2.4,

AH=2.4殊，

由勾股定理得，(24x)2+/=26()2,

解得，4=100,

BH=100米，AH=240米，

BG=BH-G/f=100-37.5=62.5,

tan乙BDG=—

在Rt△BDG中,

CLBG62.5r/cr

DG=---------*—=312.5

則tanz.BDG0.2

4E=312.5-240=72.5?73（米），

8.

【答案】

C

【解答】

解：等腰△ABC的底角為30。，底邊上的高AD=5,

??AB=AC=2AD=2xS=10?

故選C.

9.

【答案】

C

【解答】

解：AD=AB-sina=BC-cosa-sina=asinacosa

故選C.

10.

【答案】

c

【解答】

解：；zPAB=90。-60。=30°,zPBC=90。-30°=60,

又^PBC=￡PAB+LAPB,

LPAB=￡APB=30°

PB=AB

PC=PBsin600=500xy=250V3

在直角APBC中,

故選c

二、填空題（本題共計10小題，每題3分，共計30分）

11.

【答案】

10

【解答】

由題意知，41=30。，42=40。,

,?iABC=z.2-zl=10°.

故答案為：1°.

12.

【答案】

V2I

【解答】

解：作CD1AB于D,如圖，

■LA=i2(r,

,?Z.CAD=60"，

在R%C4。中，4c=4,

rn

sinz.CylD=sin60°=—

?9

CD=4x：=2百

,,，

coszC/4D=cos60°=—

AD=iX4=2

.2

??，

??BD=AB+AD=2+2=4，

在RfBDC中，3。=麗麗=，（2助+42=2。

.DCD2目標

.51nB=寶=初=亍

13.

【答案】

2

【解答】

解：在Rt"BC中，

?LC=90°，

A3為斜邊.

b=AC?tanB

=a?tanB

=2.

14.

【答案】

3+V3

【解答】

解：作OH1BC于H,如圖,

設。，=x,

在RtAOBH中，?.乙OBH=30°,

BH=遍OH=V3x,

在山△0cH中，?.乙OCH=45。,

??CH=OH=x,

BC=(V3+1)A,

D.D__CD=?BC=?(V3+1”

在RtASCO中，33'}

在R"BC中，48=苧①=苧(6+1”

S^OCD=S&BCD-S&OBC=：(V3+l)x-y(\/3+1)%-^(V3+1)%-%=

S40AB=St1ABe—sSBC=1-y(V3+1)X*+l)x—(V3+1)X-X=#2

SAODQAOAB=?=?

故答案為

15.

【答案】

8

9

【解答】

解：作EF140于F,如圖,

AABC為等腰三角形，AD為高,

??zB=Z.C，

tanC=U

4DC

設AD=3t,DC=4￡,

AC=\IAD2+CD2=5t,

而AE：CE=2：：f

AE=2tf

；EF//CD

△AEFsUCD,

EF_AF_AE"_AF_2t

.而一而一元，即石一7?一短,

AF=UEF=

??，，

FD=AD-AF=^9t

??，

8

ET

5

-=丁

?cbtanrFDE=F*1

在Rt△DEF中，5*

g

tanzjlDE=-

16.

【答案】

150a

【解答】

解：如圖，作員4邊的高CD,設與BA的延長線交于點D,

D

MC=150°,

乙DAC=30°

CD1BD，AC=30m，

CD=15m9

AB=20m,

11o

S￡,ABC=2AB^CD=-x20x15=150m2

??，

每平方米售價a元，

二購買這種草皮的價格為150a元.

故答案為：150a.

17.

【答案】

2V5

【解答】

解：作1BC,垂足為“，且與AB相交于5.

?△DGS=4BHS，LDSG=LBSH，

??△GDS=￡SBH，

GS_1

.GD^2

??，

*DG=EF=2m，

??GS=Im，

??.DS=>Jl2+22=y/5m,BS=BF+F5=3.5+(2.5-l)=5m,

設H5=xm,則BH=2xm,

%2+(2x)2=52,

x=y/5mf

【答案】

37.5

△ABC中，:LB=90°BC=60??!,乙C=32°,

AB=BC-tan32°a60X0.625a37.5m

故答案為37.5.

19.

【答案】

sina

sinj?

【解答】

解：??PD1。4于。，PE1OB于E,

dDO="E°=90。,

PDPE

s?ma=?-—?smpz?=-

POPO

PD_sina

故答案為:

20.

【答案】

sina

【解答】

sinB=—

解：在直角AABC中，*=a,順,

AB=^=±

6asma

三、解答題（本題共計6小題，每題10分，共計60分）

21.

【答案】

證明：；CDLAB,LA=30。，

??d）CB=30°9

??BC=2BD，

?乙4=30°，44cB=90°，

??AB=2BC，

,?AB=ABD，

?AB=AD+BD,

AD=3BD.

【解答】

證明：；

CDLAByU=30°,

??LDCB=30°，

??BC=2BD，

??LA=300，乙ACB=90°，

,,AB=2BC，

,?AB=4BD，

AB=AD+BD

AD=3BD.

22.

【答案】

解：如圖所示：

由題意可得：41=75°,42=60°,

則㈤B=15°,LPBC=30。，

故UPB=15。，

則AB=PB=7（海里），

PC=*B=3.5

可得:海里＜3.f海里.

則該船一直向東航行有觸礁的危險.

【解答】

解：如圖所示:

由題意可得：41=75。，42=60°,

則血8=15°,LPBC=30。,

故UPB=15。，

則AB=PB=7（海里）,

PC=\PB=3.5一

可得：2海里＜3」海里.

則該船一直向東航行有觸礁的危險.

23.

【答案】

解：過點B作于點

AB=870x^=580(fo?0…"，八

由題意可得：60，，㈤4c=35。+25。=60。,

BD=ABrin6(P=580x?=290VJ(knOAD=\AB=290km

則2-2

LCBA=180。-71。-35。=74°

LC=180°-60°-74°=46°

Sin46°”微

巴_290百_18

正一SC-25

3625^3.

BC=---km

則CD=VBC2-BD2=157157267?4時

CA=CD+AD=774km

【解答】

解：過點B作BDJ.AC于點D,

AB=870x^=580(fcwO…"

由題意可得：60,^AC=350+25°=60°

BD=ABrin60°=580x^=290V3(km)AD=\AB=290km

則2—,2,

LCBA=180°-71°-35°=74°,

zC=180°-60°-74。=46。

sin46°a微

SO_290百_18

正一SC-25

BC=^^-km

則CD=《BC2-BD2=15,157267a484.

CA=CD+AD=774km

24.

【答案】

sin￡DCB=—=-

解：（1）在一△DCB中，

設DB=4x,DC=5x,

（4X）2+25=（5/2,

解得I!

CD=-DB=

3米，

（2）如圖，過點E作EFJ.AB于點F.

血5=120°,血F=60°

AF=AE-COSZEJ4F=1.6X-=0.8

2（米）,

FB=AF+AD+DB=Q.8+2+-=—

■■■315（米）.

142

燈的頂端廊巨離地面M米.

【解答】

sinziJCB=—=i

解：（1）在RtADCB中，DC5,

...設DB=4%,DC=5xf

（4x）2+25=（5x）2,

（2）如圖，過點后作EFJ.AB于點￡

,￡EAB=120°,?.?LEAF=60°，

AF=AE-COSZ￡J4F=1.6X-=0.8

2（米），

FB=AF+AD+DB=Q.8+2+-=—

■-315（米）.

142

燈的頂端后距離地面斗米.

25.

【答案】

解：（1）如圖，作DELBC于點E.

在RtACDE中，LC=60°,C