廣東省廣州市南沙區第一中學2024屆數學高二下期末質量跟蹤監視試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若均為第二象限角，滿足，，則（）A． B． C． D．2．觀察下列各式：3272112152……據此規律.所得的結果都是8的倍數.由此推測可得（）A．其中包含等式：1032-1=10608 B．C．其中包含等式：532-1=2808 D．3．下列關于積分的結論中不正確的是（）A． B．C．若在區間上恒正，則 D．若，則在區間上恒正4．已知直線，，點為拋物線上的任一點，則到直線的距離之和的最小值為（）A．2 B． C． D．5．若，，0，1，2，3，…，6，則的值為()A． B． C．1 D．26．已知函數f(x)=lnx+ln(a-x)的圖象關于直線A．0 B．1 C．lna D．7．可以整除（其中）的是（）A．9 B．10 C．11 D．128．從裝有4粒大小、形狀相同，顏色不同的玻璃球的瓶中，隨意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），則倒出奇數粒玻璃球的概率比倒出偶數粒玻璃球的概率（）A．小 B．大 C．相等 D．大小不能確定9．設，則在下列區間中，使函數f(x)有零點的區間是（）A．[0,1]B．[1,2]C．[-2,-1]D．[-1,0]10．函數有極值的充要條件是（）A． B． C． D．11．已知高一（1）班有48名學生，班主任將學生隨機編號為01，02，……，48，用系統抽樣方法，從中抽8人，若05號被抽到了，則下列編號的學生被抽到的是（）A．16B．22C．29D．3312．已知直線的傾斜角為，直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，且都垂直于軸（其中分別為雙曲線的左、右焦點），則該雙曲線的離心率為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復數（，為常數，）是復數的一個平方根，那么復數的兩個平方根為______.14．在直角坐標系中，已知，，若直線上存在點，使得，則實數的取值范圍是______．15．一個口袋中裝有2個白球和3個紅球，每次從袋中摸出兩個球，若摸出的兩個球顏色相同為中獎，否則為不中獎，則中獎的概率為_________．16．已知雙曲線的左、右焦點分別為，,過作圓的切線，交雙曲線右支于點，若，則雙曲線的漸近線方程為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，且當時，函數取得極值為.（1）求的解析式；（2）若關于的方程在上有兩個不同的實數解，求實數的取值范圍.18．（12分）若數列的前項和為，且，.（1）求，，；（2）猜想數列的通項公式，并用數學歸納法加以證明.19．（12分）已知函數（I）求在（為自然對數的底數）處的切線方程.（II）求的最小值.20．（12分）已知函數，，若曲線和曲線在處的切線都垂直于直線．（Ⅰ）求，的值．（Ⅱ）若時，，求的取值范圍．21．（12分）從某市主辦的科技知識競賽的學生成績中隨機選取了40名學生的成績作為樣本，已知這40名學生的成績全部在40分至100分之間，現將成績按如下方式分成6組，第一組[40,50)；第二組[50,60)；…；第六組[90,100]，并據此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求成績在區間[80,90)內的學生人數；（2）從成績大于等于80分的學生中隨機選取2名，求至少有1名學生的成績在區間[90,100]內的概率．22．（10分）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

利用同角三角函數的基本關系求得cosα和sinβ的值，兩角和的三角公式求得cos（α+β）的值．【題目詳解】解：∵sinα，cosβ，α、β均為第二象限角，∴cosα，sinβ，∴cos（α+β）＝cosαcosβ-sinαsinβ?（），故答案為B【題目點撥】本題主要考查同角三角函數的基本關系，兩角和的余弦公式，屬于基礎題．2、A【解題分析】

先求出數列3,7,11,15，……的通項，再判斷得解.【題目詳解】數列3,7,11,15，……的通項為an當n=26時，a26故選：A【題目點撥】本題主要考查歸納推理，考查等差數列的通項的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.3、D【解題分析】

結合定積分知識，對選項逐個分析可選出答案.【題目詳解】對于選項A，因為函數是R上的奇函數，所以正確；對于選項B，因為函數是R上的偶函數，所以正確；對于選項C，因為在區間上恒正，所以圖象都在軸上方，故正確；對于選項D，若，可知的圖象在區間上，在軸上方的面積大于下方的面積，故選項D不正確.故選D.【題目點撥】本題考查了定積分，考查了函數的性質，屬于基礎題.4、C【解題分析】分析：由拋物線的定義可知P到直線l1，l1的距離之和的最小值為焦點F到直線l1的距離．詳解：拋物線的焦點為F（﹣1，0），準線為l1：x=1．∴P到l1的距離等于|PF|，∴P到直線l1，l1的距離之和的最小值為F（﹣1，0）到直線l1的距離．故選：C．點睛：本題主要考查了拋物線定義的應用，屬于基礎題.5、C【解題分析】

根據題意，采用賦值法，令得，再將原式化為根據二項式定理的相關運算，求得，從而求解出正確答案．【題目詳解】在中，令得，由，可得，故．故答案選C．【題目點撥】本題考查二項式定理的知識及其相關運算，考查考生的靈活轉化能力、分析問題和解決問題的能力．6、A【解題分析】

利用對稱列方程解得a，從而求出f(1)。【題目詳解】由題意得x1+xf所以f(x)=lnx+【題目點撥】本題主要考查了函數對稱軸的問題，即在函數上任意兩點x1,x2關于直線7、C【解題分析】分析：，利用二項展開式可證明能被11整除.詳解：.故能整除（其中）的是11.故選C.點睛：本題考查利用二項式定理證明整除問題，屬基礎題.8、B【解題分析】試題分析：四種不同的玻璃球，可設為，隨意一次倒出一粒的情況有4種，倒出二粒的情況有6種，倒出3粒的情況有4種，倒出4粒的情況有1種，那么倒出奇數粒的有8種，倒出偶數粒的情況有7種，故倒出奇數粒玻璃球的概率比倒出偶數粒玻璃球的概率大.考點：古典概型.9、D【解題分析】試題分析：函數f（x）在區間[a，b]上有零點，需要f（x）在此區間上的圖像連續且兩端點函數值異號，即f（a）f（b）≤0，把選擇項中的各端點值代入驗證可得答案D．考點：零點存在定理10、C【解題分析】因為，所以，即，應選答案C．11、C【解題分析】

根據系統抽樣的定義求出樣本間隔即可.【題目詳解】樣本間隔為48÷18=6，則抽到的號碼為5+6（k﹣1）=6k﹣1，當k=2時，號碼為11，當k=3時，號碼為17，當k=4時，號碼為23，當k=5時，號碼為29，故選：C．【題目點撥】本題主要考查系統抽樣的定義和方法，屬于簡單題．12、D【解題分析】

根據題意設點，，則，又由直線的傾斜角為，得，結合點在雙曲線上，即可求出離心率.【題目詳解】直線與雙曲線的左、右兩支分別交于、兩點，且、都垂直于軸，根據雙曲線的對稱性，設點，，則，即，且，又直線的傾斜角為，直線過坐標原點，，，整理得，即，解方程得，（舍）故選D.【題目點撥】本題考查雙曲線的幾何性質、直線與雙曲線的位置關系及雙曲線離心率的求法，考查化簡整理的運算能力和轉化思想，屬于中檔題.圓錐曲線離心率的計算，常采用兩種方法：1、通過已知條件構建關于的齊次方程，解出.根據題設條件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面幾何相似，直角三角形性質等）借助之間的關系，得到關于的一元方程，從而解得離心率.2、通過已知條件確定圓錐曲線上某點坐標，代入方程中，解出.根據題設條件，借助表示曲線某點坐標，代入曲線方程轉化成關于的一元方程，從而解得離心率.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、,【解題分析】

由題可知,再對開根號求的兩個平方根即可.【題目詳解】由題,故,即,故復數的兩個平方根為與故答案為：,【題目點撥】本題主要考查了復數的基本運算,運用即可聯系與的關系,屬于基礎題型.14、【解題分析】

設點的坐標為，根據條件求出動點的軌跡方程，可得知動點的軌跡為圓，然后將問題轉化為直線與動點的軌跡圓有公共點，轉化為圓心到直線的距離不大于半徑，從而列出關于實數的不等式，即可求出實數的值.【題目詳解】設點的坐標為，，即，化簡得，則動點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，由題意可知，直線與圓有公共點，則，解得或.因此，實數的取值范圍是.故答案為：.【題目點撥】本題考查動點的軌跡方程，同時也考查了利用直線與圓的位置關系求參數，解題的關鍵就是利用距離公式求出動點的軌跡方程，考查化歸與轉化思想的應用，屬于中等題.15、【解題分析】試題分析：口袋中五個球分別記為從中摸出兩球的方法有：共種，其中顏色相同的有共四種，有古典概率的求法可知．考點：古典概率的求法．16、【解題分析】

先計算，在中，根據勾股定理得得到漸近線方程.【題目詳解】如圖所示：切點為，連接，過作于是中點，在中，根據勾股定理得：漸近線方程為：故答案為【題目點撥】本題考查了雙曲線的漸近線，作輔助線是解題的關鍵，也可以直接利用正弦定理和余弦定理計算得到答案.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2).【解題分析】分析：(1)先根據導數幾何意義得，再與函數值聯立方程組解得的解析式；(2)先化簡方程得，再利用導數研究函數在上單調性，結合函數圖像確定條件，解得結果.詳解：（1），由題意得，，即，解得，∴.（2）由有兩個不同的實數解，得在上有兩個不同的實數解，設，由，由，得或，當時，，則在上遞增，當時，，則在上遞減，由題意得，即，解得，點睛：涉及函數的零點問題、方程解的個數問題、函數圖像交點個數問題，一般先通過導數研究函數的單調性、最大值、最小值、變化趨勢等，再借助函數的大致圖象判斷零點、方程根、交點的情況，歸根到底還是研究函數的性質，如單調性、極值，然后通過數形結合的思想找到解題的思路.18、（1）；（2），證明見解析【解題分析】

（1）由已知條件分別取，能依次求出，，的值；（2）猜想.證明當是否成立，假設時，猜想成立，即：，證明當也成立，可得證明【題目詳解】解：（1）由題意：，，當時，可得，可得同理當時：，可得當時：，可得（2）猜想.證明如下：①時，符合猜想，所以時，猜想成立.②假設時，猜想成立，即：.（），，兩式作差有：，又，所以對恒成立.則時，，所以時，猜想成立.綜合①②可知，對恒成立.【題目點撥】本題主要考查數列的遞推式及通項公式的應用，數學歸納法的證明方法的應用，考查學生的計算能力與邏輯推理能力，屬于中檔題.19、（I）；（II）【解題分析】

（I）對函數求導，把分別代入導數與原函數中求出，，由點斜式即可得到切線方程；（II）求出函數的定義域，分別令導數大于零和小于零，結合定義域，解出的范圍即可得到函數的單調區間，由此求出的最小值。【題目詳解】（I），故，又故在處的切線方程為：,即.（II）由題可得的定義域為，令，故在上單減，在上單增，【題目點撥】本題主要考查利用導數求函數上某點切線方程，以及函數單調區間和最值，在求單調區間注意結合定義域研究，屬于基礎題。20、（Ⅰ），（Ⅱ）的取值范圍是．【解題分析】試題分析：（Ⅰ）根據導數的幾何意義求解即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）設，則，故只需證即可．由題意得，即，又由，得，，分，，三種情況分別討論判斷是否恒成立即可得到結論．試題解析：（I）∵，∴，，由題意得，，解得，．∴，．（II）由（I）知，，設，則，由題設可得，即，令，得，．（i）若，則，從而當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，故在的最小值為，而，故當時，，即恒成立．（ii）若，則，從而當時，，即在單調遞增，而，故當時，，即恒成立．（iii）若，，則在上單調遞增，而，從而當時，不可能恒成立，綜上可得的取值范圍是．21、（1）4;（2）P(A)=3【解題分析】試題分析：(Ⅰ)由各組的頻率和等于1直接列式計算成績在[80,90)的學生頻率,用40乘以頻率可得成績在[80,90)的學生人數;

(試題解析：（1）因為各組的頻率之和為1，所以成績在區間[80,90)內的頻率為所以選取的40名學生中成績在區間[80,90)內的學生人數為（2）設A表示事件“在成績大于等于80分的學生中隨機選取2名，至少有1名學生的成績在區間[90,100]內”，由（1）可知成績在區間[80,90成績在區間[90,100]內的學生有0.005×10×40=2（人），記這2名學生分別為