第25講函數、不等式模型實際應用問題

1．考題展望函數、不等式模型及應用是新課標新增內容，因此新高考進一步加大了對應用意識和創新意識的考查力度．這些試題源于生活，背景公平，設問新穎，能很好地考查學生應用意識和創新意識以及分析問題和解決問題的能力．函數、不等式模型及應用通常是一小一大，求解時一般要利用導數或均值不等式等知識．從近幾年高考應用題來看，應用題大致分為兩類，一類是以實際生產生活問題構建試題背景，從已知中初步建立了數學模型，并且需依據問題情境，進一步構建或重組數學模型．并應用模型相關的數學基本知識來進行解模的實際應用問題．另一類是實際生產生活問題既構建了試題背景，又反映某種特定關系，需通過先建模，后解模的實際應用問題；從題目敘述上看，既有從“生活語言”到“數學語言”，又有從“數學語言”到“數學語言”的特征，并且試題文字較長，問題情境貼近學生而又新穎，對考生挑戰很大．【命題立意】本題考查函數建模的能力，運用數學知識分析問題，解決問題的能力．屬高考應用題中的容易題．【解析】(1)d＝|x

－3|＋|y－20|，y≥0，x∈R.(2)當點P(x，y)滿足P(3，1)時，其到三個居民區的“L路徑”長度值之和最小為45.【命題立意】本題考查函數建模的能力，絕對值函數的基本性質，分類與討論的數學思想，運用數學解決問題的能力．(1)寫出點P到居民區A的“L路徑”長度最小值的表達式(不要求證明)；(2)若以原點O為圓心，半徑為1的圓的內部是保護區，“L路徑”不能進入保護區．請確定點P的位置，使其到三個居民區的“L路徑”長度之和最小．2．數學模型建立的主要步驟(1)理解問題：通過閱讀理解、弄清問題的實際背景，明白問題反映的基本量和基本量之間的關系，并轉化為用數學語言來描述．(2)簡化假設：理解所給的實際問題之后，領悟背景中反映的基本量的實質，并對問題作必要的簡化，有時要給出一些恰當的假設，精選問題中關鍵詞和主要的變量．(3)數學建模：把握實際問題中的關鍵信息，通過恰當的聯想、化歸，根據實際問題實質建立變量或參數間的數學關系，實現實際問題數學化，通過引進數學符號，從而構建數學模型．常用的數學模型有方程、不等式、函數和數列等．(4)求解模型：以所學的數學知識為工具，對建立的數學模型進行求解．(5)檢驗評價：將所求的結果代回模型之中檢驗，并與實際情況比較，確定模型的有效性．【點評】本例第(1)小問依題設條件分段并利用不等式的解法解決實際應用問題，第(2)小問應用等差數列的基本知識與方法解決實際應用問題．3．解答數學應用題的關鍵有兩點：一是認真讀題，縝密審題，確切理解題意，明確問題的實際背景，然后進行科學地抽象、概括，將實際問題歸納為相應的數學問題；二是要合理選取參變量，設定變元后，就要尋找它們之間的內在聯系，選用恰當的代數式表示問題中的關系，建立相應的函數、方程模型，最終求解數學模型使實際問題獲解．AC李先生居住地2012年比2006年食品價格下降了7.5%，該家庭在2012年購買食品和2006年完全相同的情況下人均少支出75元，則該家庭2012年屬于(

)A．貧困B．溫飽C．小康D．富裕D【點評】本題考查分段函數模型及應用意識．D5．某人用10萬元買了一輛小汽車用來跑出租，已知這輛汽車從啟用的第一年起連續使用，第n年的保養維修費為2000(n－1)元，使用它直到“報廢最合算”(所謂“報廢最合算”是指使用的這輛汽車的年平均耗資最少)為止，則最佳報廢時間為____年．10

(1)若一次投放4個單位的藥劑，則有效治污時