MACROBUTTONAMEditEquationSection2SEQAMEqn\r\hSEQAMSec\r1c\hSEQAMChap\r3\h《高等結構動力學》課程大作業姓名：學號：電話：二〇二〇年十二月目錄三層建筑物動力學建模與分析 一．研究對象 二．研究方案 2.1、研究目的 2.2、研究方案 三．結構動力學建模 3.1.模型簡化 3.2、結構動力學建模 建模方法一：層模型 建模方法二：桿系模型 四．動力學特性分析 4.1.固有頻率與固有模態 4.2.阻尼矩陣 五.動力學響應分析 5.1.結構在ELCentro地震波下的反應 5.1.1.基于Runge-Kutta方法的動力學響應（方法1） 5.1.2.基于中心差分法方法的動力學響應（方法2） 5.2.結構在風載荷下的反應 三層建筑物動力學建模與分析一．研究對象在農村很多自建房都為三層結構，大多為自主設計，在地震中許多自建房由于地基不穩、結構和材料等原因損壞，現將三層混泥土結構房屋作為研究對象，進行動力學建模，分析建筑物在地震、風載荷激勵下的響應。建筑物由柱、梁、樓層板等組成。結構尺寸各地不同，一層樓高多少米其實就是我們所說的層高，指的是上下兩層樓面結構標高之間的垂直距離。中華人民共和國住房和城鄉建設部、國家質量監督檢驗檢疫總局聯合發布的《住宅設計規范》(GB50096-2011)規定，住宅層高宜為2.80米。為建模方便，長、寬取10米，除柱、梁、層板外，房間隔層部分不計。由于簡化后的建筑物由相同材料組成，均為鋼筋混泥土結構，故可認為結構的阻尼矩陣為比列阻尼矩陣。我國建筑抗震設計規范GB5001-2010推薦的結構阻尼比取值如表1.1所示，故結構阻尼比取0.05。表SEQ表\*ARABIC1.1結構阻尼比推薦值結構類型阻尼比依據的抗震規范條文鋼筋混凝土、磚、0.05木、石結構0.055.1.5除有專門規定，建筑結構的阻尼比應取0.05鋼結構0.02-0.058.2.2鋼結構抗震計算的阻尼比宜符合下列規定：1.多遇地震下的計算，高度不大于50m時取0.04:高度大于50m且小于200m時，可取0.03;高度不小于200m時，宜取0.02；2.在罕遇地震下的彈塑性分析，阻尼比可取0.05。消能減震結構>0.0512.3.3消能減震結構的總阻尼比應為結構阻尼比和消能部件附加給結構的有效阻尼比總和結構參數如下表1.2。表1.SEQ表\*ARABIC2三層建筑物基本參數對象參數構型三層建筑物尺寸（m)10*10*2.8材料混泥土外界激勵地震波、風載荷邊界條件底端固支阻尼比0.051-3層質量(kg)2762、2760、23001-3層剛度（*10^4N/m）1.921、1.522二．研究方案2.1、研究目的本項研究旨在通過對三層建筑物的動力學分析，掌握建筑物的動力學特性，獲取建筑物在地震、風載荷激勵條件下的動力學響應規律，為農村自建房的設計評估、研制等提供理論指導和設計參考。2.2、研究方案所有實際工程結構都有無限多個自由度，也就是說要完全確定結構在任一瞬時的位置，就必須有無數個坐標。質點、剛體是抽象的力學模型，只有在對實際工程結構進行了一定簡化的基礎上，才能夠獲得包含質點、剛體概念的簡化力學模型，從而將具有無限多個自由度的實際工程結構簡化為有限自由度的離散模型。通常稱這一過程為連續體動力模型的離散化。從實際工程出發，人們已提出了連續體動力模型離散化的多種途徑，但基本上仍可以歸為兩類:一類是從模型上對結構進行簡化;另一類是從數學處理上對動力學偏微分方程進行簡化。本文對建筑物從模型上對結構進行簡化，忽略建筑物內部結構如墻壁、樓梯等。簡化后采用集中質量法建立動力分析模型，包括層剪切模型和平面框架的桿系模型。假設結構承受地震波、風載荷作用，建立運動學方程分析其動力學特性，采用matlab計算動力學響應。三．結構動力學建模3.1.模型簡化將一個土木工程房屋結構用模型進行簡化表示，一方面可以將復雜的實際工程問題大幅度地加以簡化，降低問題的規模和難度另一方面還可以保留問題的本質特征，便于分析其力學性質。建筑結構物的重量是由恒荷載和活荷載組成的。恒荷載指組成建筑物的梁、柱、樓板、墻壁、基礎等構件的重量。活荷載是指建筑物內承受的人、家具、設備、器具等的重量，可以忽略活載荷。由于墻壁不是鋼筋混泥土澆筑，故可以忽略，只考慮板層及梁、柱的質量。以及假設地面是剛性的，建筑物框架結構各層的幾何、質量、剛度中心是重合的。三層建筑物的簡化結構如圖3-1所示。圖3-1三層建筑物結構簡化模型3.2、結構動力學建模建模方法一：層模型一般而言，不管建筑物的構造形式如何，建筑物的重量明顯地集中在各個樓板層上，屬于沿豎向重量參數分布明顯不均勻的結構。因此，建筑物動力分析中通常把1/2層高范圍內的全部重量集中到各自相應的樓板層上，這就是所謂的樓層集中質量模型，即層模型。層模型將結構各部分的質量集中在樓層，假設層間各構件的變形相等。層模型是以樓層為基本單元，將結構各豎向構件合并為一根豎桿，結構質量集中在各樓層，且假定樓板無限剛性。若假設結構各層的質心和剛心重合，且不計豎向構件的軸向變形，各層僅一個水平向位移x，結構簡化為圖3-2。特點：由于它忽略了樓板變形，因而只適用于高寬比較小梁板剛度較大的結構。層模型計算的自由度數較少，計算工作量小，但不能確定結構各構件的反應。圖3-2層剪切模型以一個三層的房屋為例，介紹其相關的概念和分析過程。房屋結構用樓板和柱構成，約束及受力如圖3-2所示。結構的質量簡化到各層的樓板處，用集中質量(m1，m2，m3)表示，樓板簡化為剛體，在結構運動過程中，各個樓板僅可產生水平方向的位移，各層間的側移如圖所示。結構的基礎部分用固定端約束表示，當結構受到地震激勵時，地震動加速度作用在該結構的基礎上從而對結構的振動產生影響。結構各層所受外荷載集中簡化作用在各層樓板處。結構在上述荷載作用下將產生運動和變形，由于樓板簡化為剛體，結構的變形主要表現在各層間的水平相對位移。為了建立層剪切模型的運動微分方程，首先應選定合適的運動自由度描述參數，在此選取各樓層相對基礎的水平位移，將定參考系與地球巖石核心相連，基礎相對于定參考系的運動用yg（t）表示，對應的地震動加速度激勵為，基于設定的參考坐標系，應用前述結構動力學方程的建立方法可以建立系統的運動方程，在此我們應用牛頓第二定律，分別對各層的樓板進行受力分析，建立各個樓層的運動方程，再綜合集成求得系統的運動方程組用動力平衡法列運動方程組。首層樓板的受力如圖3-3所示。圖3-3建筑結構首層受力圖參考該層的位移和變形，可以計算作用在該層樓板上的彈性恢復力和阻尼力，例如，第二層樓板對該層的彈性恢復力和阻尼力Fk2(t)和Fc2(t)分別為&同理，可得基礎對該層的彈性恢復力Fk1(t)=k2y1(t)和阻尼力Fc1(t)=c1(t)，用牛頓第二定律，列出該層的運動方程為m1y中間第2層樓板的受力如圖3-4所示。圖3-4第二層樓板受力圖層間作用力計算為&運動方程為miy頂層樓板受力如圖3-5所示。圖3-5頂層樓板受力圖層間作用力計算為&運動方程為 mn綜合，可得系統的運動方程m代入各層間力的計算式，并用矩陣的形式表達，則有MY(t)+C其中M= =K= 式中:M為質量矩陣，是一個對角矩陣，主對角線上的非零元素由各層的質量填充:C為阻尼矩陣，是一個三對角矩陣，采用Rayleigh阻尼矩陣，非零元素由各層的阻尼計算填充;K為剛度矩陣，也是一個三對角矩陣，非零元素由各層的剛度計算填充:H為一個數值全為1的列向量，表明地震動加速度激勵對結構的影響，稱之為位置影響列向量。值得說明的是，式(3-2)具有普遍的代表意義，也就是說，房屋建筑結構在地震和其他外荷載共同作用下的運動微分方程均可以用式(3-2)的形式表達，只是針對不同的問題推導所得的相關矩陣內容有所不同。例如，質量矩陣可能是滿陣，剛度矩陣和阻尼矩陣也不再是三對角矩陣。考慮式(3-2)，若令F(t)=0，則是結構受地震激勵作用的情況;若不計地震作用，僅考慮F(t)的影響，則是房屋建筑結構在外荷載作用下的運動，如風荷載的影響等;若將右側荷載全部忽略掉，則是自由振動情況。

建模方法二：桿系模型為了更加準確模擬結構體系，以結構各構件作為結構的基本單元，梁、柱均簡化為軸線表示的桿件，稱為桿系模型。這一模型的優點是能明確各構件在地震作用下每時刻的反應，但結構的自由度數目較大，計算速度慢。圖3-3平面框架的桿系模型桿系模型實質上是采用有限元法，將結構分為有限個單元，通過計算單個單元的質量和剛度矩陣，并適當疊加，就可得到整個結構的質量和剛度矩陣。總結一下，用有限元法確定的結構質量和剛度矩陣步驟如下:①離散化結構，將結構分解成單元和節點;②寫出每個單元的單元剛度矩陣和單元質量矩陣;③集成整體結構的剛度矩陣和質量矩陣。假定每個單元的質量集中在節點上，稱為集中質量矩陣，集中質量矩陣為對角線型。對等截面直桿的梁單元，集中質量矩陣為其中，m,l分別為單位長度的質量和梁長。四．動力學特性分析4.1.固有頻率與固有模態固有頻率與固有模態的matlab程序如下：function[M]=lumpMass(m)M=diag(m);function[K]=stiffnessShear(k)cn=length(k);K=zeros(cn);fori=1:cn-1;K(i,i)=k(i)+k(i+1);K(i,i+1)=-k(i+1);K(i+1,i)=-k(i+1);endK(cn,cn)=k(cn);clearall;m=[2762,2760,2300];k=[2.485,1.921,1.522].*1e4;[M]=lumpMass(m);[K]=stiffnessShear(k);[V,D]=eig(K,M);forj=1:3w(j)=sqrt(D(j,j));fori=1:3V(i,j)=V(i,j)/V(3,j);endend固有頻率與模態的計算結果：w= 1.29783.31744.7281V=0.3634-0.93232.58350.7455-0.6631-2.37811.00001.00001.0000

4.2.阻尼矩陣推導結構運動方程時，可直接得到結構的阻尼矩陣，這些阻尼矩陣由Ci組成，Ci為第i層阻尼。但實際上對于一個真實的結構，c很難確定，所以通常阻尼矩陣由實測的阻尼比確定，阻尼比與結構的材料特性有關，當組成結構的材料均一，得到的阻尼矩陣稱為比例阻尼矩陣，當組成結構的材料不同，得到的阻尼矩陣為非比例阻尼矩陣。建筑物結構視為均一混泥土材料，阻尼矩陣為比列阻尼矩陣，本文選取Rayleigh阻尼矩陣。Rayleigh阻尼矩陣函數為：function[C,T,V]=dampR(K,M,E,es,flag);%該函數求解Rayleigh阻尼矩陣;%輸入變量分別為結構的剛度矩陣K，質量矩陣M，外荷載位置矩陣E和結構的阻尼比es%外荷載的類型，若為地震波，flag=1，否則，flag=0;%輸出變量為結構的阻尼矩陣C，各階周期T和振型矩陣V;[V,D]=eig(K,M);%求結構的各階振型和頻率w=diag(sqrt(D));cn=length(w);C=zeros(cn);if(flag==0)%外荷載為一般荷載ix1=1;ix2=2;elsefori=l:cn%外荷載為地震作用M_star(i)=z(:,i)'*M*z(:,i);%選等效振型質量最大的兩個頻率r(i)=sum(z(:,i)'*M*E)./M_star(i);meq(i)=r(i)*r(i)*M_star(i);end[Meq,ix]=sort(meq);ix1=ix(length(ix));ix2=ix(length(ix)-1);enda=2*es*w(ix1)*w(ix2)/(w(ix1)+w(ix2));b=2*es/(w(ix1)+w(ix2));%求Rayleigh阻尼系數C=a.*M+b.*K;%求Rayleigh阻尼T=(2*pi)./w;%求結構各階周期clearall;%輸出Rayleigh阻尼矩陣m=[2762,2760,2300];k=[2.485,1.921,1.522].*1e4;[M]=lumpMass(m);[K]=stiffnessShear(k);E=ones(length(m),1);es=0.05;flag=0;[C,T,V]=dampR(K,M,E,es,flag);C=1.0e+03*1.2123-0.41620-0.41621.0035-0.32980-0.32980.5443

五.動力學響應分析5.1.結構在ELCentro地震波下的反應ELCentro地震波是世界上第一條成功記錄全過程數據的地震波，對于人類地震的研究有著重大的意義。ELCentro地震波的數據文件為‘elcentro.dat’，elcentro地震波峰值加速度為0.7m/s^2。地震波數據文件網上可查，用wave1讀取地震波數據后，再用waveForce得到外載荷矩陣。ELCentro地震波的加速度時程曲線。clearall;m=96.6;wavefile=char('elcentro.dat');ugmax=0.7;[ug,t,tf,dt]=wave1(wavefile,ugmax);[E,F]=waveForce(ug,m);plot(t,ug);xlabel('時間/s');ylabel('加速度/(ms-2)');計算結果如圖圖5-1ELCentro地震波的加速度時程曲線由式(3-2)，結構僅受地震激勵作用的情況時，系統的運動方程為MY對本算例，有H=15.1.1.基于Runge-Kutta方法的動力學響應（方法1）在調用rk_4函數時。需要寫入結構的初始狀態，由于將結構寫為狀態空間，所以結構初始為U0=（X基于上述分析，編寫elcentro_g.m程序。clearall;m=[2762,2760,2300];k=[2.485,1.921,1.522].*1e4;es=0.05;wavefile=char('elcentro.dat');%地震波數據ugmax=0.7;[ug,t,tf,dt]=wave1(wavefile,ugmax);[M]=lumpMass(m);[K]=stiffnessShear(k);[E,F]=waveForce(ug,M);flag=1;[C,T,z]=dampR(K,M,E,es,flag);%阻尼矩陣[A,B,D,L]=ssLinear(M,K,C);%運動方程寫為狀態方程cn=length(m);X0=zeros(2*cn,1);[d,v]=rk_4('stateSpaceEq',[0,tf],dt,X0,A,B,F);%RK法求解結構反應a=-inv(M)*C*v-inv(M)*K*d+inv(M)*F;%結構的加速度反應plot(t,d(1,:),'r-');xlabel('時間/s'),ylabel('位移/m');holdonplot(t,d(2,:),'k-');xlabel('時間/s'),ylabel('位移/m');holdonplot(t,d(3,:),'g-');xlabel('時間/s'),ylabel('位移/m');legend('第一層位移','第二層位移','第三層位移')結構響應如圖圖5-2R-K法結構在地震載荷下各層響應曲線5.1.2.基于中心差分法方法的動力學響應（方法2）中心差分法方法求解結構動力反應函數：%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~function[d,v,a]=centralDifference(m,k,c,dt,F,X0)%該函數用中心差分法計算結構反應%輸入參數:結構的質量，剛度和阻尼矩陣，分別表示為m,k,c;%時間步長dt%F為外荷載矩陣;%X0為結構的初始狀態值，X0為3n1的向量，分別為t-0時的位移、速度和加速度%輸出參數:d，v，a分別為結構的位移、速度和加速度反應cn=length(m);d(:,2)=X0(1:cn);v(:,1)=X0(cn+1:2*cn);a(:,1)=X0(2*cn+1:3*cn);d(:,1)=(eye(cn)-0.5.*dt.*dt.*inv(m)*k)*X0(1:cn)-(dt.*eye(cn)+0.5.*dt.*dt.*inv(m)*c)*v(:,1)+...0.5.*dt.*dt.*inv(m)*F(:,1);fori=2:length(F)d(:,i+1)=inv(1./dt./dt.*m+0.5./dt.*c)*(F(:,i)-(k-2./dt./dt.*m)*d(:,i)-...(1./dt./dt.*m-0.5./dt.*c)*d(:,i-1));v(:,i)=0.5./dt.*(d(:,i+1)-d(:,i-1));a(:,i)=1./dt./dt.*(d(:,i+1)-2.*d(:,i)+d(:,i-1));endd(:,1)=[];%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~應用中心差分法求結構的動力學響應：clearall;m=[2762,2760,2300];k=[2.485,1.921,1.522].*1e4;es=0.05;wavefile=char('elcentro.dat');%地震波數據ugmax=0.7;[ug,t,tf,dt]=wave1(wavefile,ugmax);[M]=lumpMass(m);[K]=stiffnessShear(k);[E,F]=waveForce(ug,M);flag=1;[C,T,z]=dampR(K,M,E,es,flag);%阻尼矩陣cn=length(m);