第一章空間向量與立體幾何

1.3空間向量及其運算的坐標表示

1.3.1空間直角坐標系

例1如圖1.3-6,在長方體。鉆中，0A=3,0C=4,0。'=2,以

麗7)為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz.

圖1.3-6

(1)寫出以，C,A',8'四點坐標；

(2)寫出向量了萬，兩，五，苑的坐標.

解：(1)點皿在z軸上，且QD'=2,所以亦=0)+21.

所以點用的坐標是(0,0,2).

同理，點C的坐標是(0,4,0).

點A'在x軸、y軸、z軸上的射影分別為A,O,供,它們在坐標軸上的坐標分別為3,

0,2,所以點A的坐標是(3,0,2).

點B在x軸、)，軸、z軸上的射影分別為4,C,以，它們在坐標軸上的坐標分別為3,

4.2,所以點所的坐標是(3,4,2).

(2)^=OC=07+47+0^=(0,4,0)：

WB=-Oiy=6i+0j-2k=(Q,Q,-2)；

AV=A?D;+57C7=-37+47+0^=(-3,4,())；

AC=AO+OC+CC=-3i+4j+2k=(-3,4,2).

練習

1.在空間直角坐標系中標出下列各點：

A(0,2,4),8(1,0,5),C(0,2,0),0(1,3,4).

【答案】答案見解析

【解析】

【分析】建立空間直角坐標，然后標注點即可.

【詳解】建立如下圖如示的空間直角坐標系，根據每一個點的特點標注如下圖.

2.在空間直角坐標系。Qz中，

(1)哪個坐標平面與x軸垂直？哪個坐標平面與y軸垂直？哪個坐標平面與z軸

垂直？

(2)寫出點尸(2,3,4)在三個坐標平面內的射影的坐標.

(3)寫出點尸(1,3,5)關于原點成中心對稱的點的坐標.

【答案】(1)平面*z與X軸垂直，平面MZ與y軸垂直，平面xoy與z軸垂直；(2)

點?(2,3,4)在平面wz的射影的坐標尸，(0,3,4),點尸(2,3,4)在平面X”的射影的坐

標尸'(2,3,0)；點尸(2,3,4)在平面xoz的射影的坐標戶(2,0,4)；(3)點3,5)關

于原點對稱點的坐標是3,-5).

【解析】

【分析】(1)利用空間直角坐標系求解；

(2)利用點的射影的定義求解；

(3)利用點關于原點對稱的求法求解.

【詳解】（1）平面yoz與X軸垂直，平面XOZ與y軸垂直，平面xoy與z軸垂直；

（2）點尸（2,3,4）在平面yoz的射影的坐標P'（（）,3,4）.

點尸（2,3,4）在平面my的射影的坐標尸'（2,3,0）.

點P（2,3,4）在平面MZ的射影的坐標P（2,（）,4）.

（3）點尸（1,3,5）關于原點成中心對稱的點的坐標是3,-5）.

3.在長方體。鉆C—O'A'8'C中.OA=3,OC=4,OD'=3,AC與B7X相交

于點P,建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz.

（1）寫出點C,B',尸的坐標;

（2）寫出向量麗，衣的坐標.

【答案】(1)C(0,4,0),^(3,4,3),pf1,2,3I(2)麗=(0,0,3),正=(—3,4,0).

【解析】

【分析】（1）根據條件可直接寫出答案;

（2）根據坐標算出答案即可.

【詳解】（1）因為。4=3,OC=4,OD'=3,

所以C（0,4,0）,B'（3,4,3）,P（|,2,3）

(2)因為O'=(0,0,3),A(3,0,0)

而="=(0,0,3),M=/=(-3,4,0)

4.已知點8是點A(3,4,5)在坐標平面。町內的射影，求畫.

【答案】5

【解析】

【分析】先求得點4(3,4,5)在坐標平面Oxy內的射影，再利用兩點間的距離求解.

【詳解】因為點4(3,4,5)在坐標平面Oxy內的射影是8(3,4,0),

所以阿|=」32+42+0=5.

1.3.2空間向量運算的坐標表示

例2如圖138,在正方體ABCO-AMGA中，E,F分別是84，的中點.求

證：EF±DA1.

圖1.3-8

分析：要證明EF，。4,只要證明喬，甌，即證喬?函.=().我們只要用坐標表

示彷，函，并進行數量積運算即可.

證明：不妨設正方體棱長為1,建立如圖1.3-8所示的空間直角坐標系Qxyz,則

又4(1,0,1),。(0,0,0),

所以萬《=(1,0,1).

所以麗?西=(-：,一3，￡].(1,0,1)=0.

所以而，兩，即EbLDA-

例3如圖1.3-9,在棱長為1的正方體ABC?！?4G〃中，M為Bq的中點，E,,月

分別在棱4與，C2上，

圖1.3-9

（1）求AM的長.

（2）求與力片所成角的余弦值.

分析：（1）利用條件建立適當的空間直角坐標系，寫出點A,M的坐標，利用空間兩點間

的距離公式求出40的長.（2）8耳與。”所成的角就是西，。心所成的角或它的補

角.因此，可以通過國，。耳的坐標運算得到結果.

解：（1）建立如圖1.3-9所示的空間直角坐標系Oxyz,則點A的坐標為（1,0,0）,點M的

（2）由已知，得

8（1,1,0）,,z）（o,o,o）,

國=乎，回卜限

所以

—?—?(\1A15

BE,-DF.=0x0+——x-+1x1=—.

11I416

所以

—15

8位甌=部=雷近哈

44

所以，BE,與DF｝所成角的余弦值是.

練習

5.己知2=(-3,2,5),^=(1,5,-1),求：

(1)a+b;

(2)65；

(3)3a-b;

(4)a-b

【答案】(1)(-2,7,4),(2)(-18,12,30),(3)(-10,1,16),(4)2.

【解析】

【分析】根據空間向量的坐標運算算出答案即可.

【詳解】因為之=(一3,2,5),萬=(1,5,-1)

(1)所以&+區=(-2,7,4),

(2)65=(-18,12,30)

(3)35-^=(-9,6,15)-(1,5,-1)=(-10,1,16)

(4)a-b=—3+10—5=2

6.已知。=(2,—1,3)，h=(-4,2,JV)>且QJ_Z?,求x的值.

【答案】y

【解析】

【分析】解方程2x(-4)+(T)x2+3x=0即得解.

【詳解】因為】jJ，所以］/=0，

所以2x(-4)+(T)x2+3x=0,

所以x號.

7.在z軸上求一點M,使點”到點A0,0,2)與點8(1,-3,1)的距離相等.

【答案】(0,0,-3)

【解析】

【分析】設出點M的坐標，然后利用兩點間的距離公式求解即可

【詳解】解：設點”(0,0,⑼，

因為M到點4。,0,2)與點的距離相等，

所以J12+()2+(〃L2)2=jF+32+(加—If,解得加=—3,

所以點M的坐標為(0,0,-3)

8.如圖，正方體O4BC-O'AB'C的棱長為八點N,M分別在AC,BC'上,

AN=2CN,BM=2MC',求MN的長.

【答案】迤

3

【解析】

【分析】先寫出點M,N的坐標，然后算出答案即可.

【詳解】因為正方體。鉆C-O'A'B'C'的棱長為服點N,“分別在AC,BC'±.,

AN=2CN,BM=2MC,

a2a}孑爭。，

所以M~yai~|，N

33J

a24a2_y[5a

所以|MN|=\0+

~9

9.如圖，在正方體A88-A6C2中，”是AB的中點，求與CM所成角的

余弦值.

【答案】叵

15

【解析】

【分析】以。為原點，D4為X軸，0c為y軸，。。為Z軸，建立空間直角坐標系,

利用向量法即可得到答案.

【詳解】以。為原點，94為X軸，0c為y軸，。2為z軸，建立空間直角坐標系,

如圖,

設正方體ABC?！?8GA的棱長為2,則M（2,l,0）,C（0,2,0）,0（0,0,0）,

4（2,2,2）,

遇=（2,2,2）,GW=（2,-1,0）,

函.兩_4—2+0_V15

設直線。片與直線CM所成角為。，則cos6=

|函，麗「灰?石—15

所以直線DBI與直線CM所成角的余弦值為叵.

15

習題1.3

復習鞏固

10.在空間直角坐標系。孫Z中，三個非零向量心B，m分別平行于X軸、y軸、Z

軸，它們的坐標各有什么特點？

【答案】答案見解析.

【解析】

【分析】直接利用向量與坐標軸的關系，寫出結果即可.

【詳解】向量日，B，1分別平行于％軸，＞軸，z軸，

所以向量M的橫坐標不為0,縱坐標為0,豎坐標為0；

向量石的橫坐標為0,縱坐標不為0,豎坐標為0；

向量的橫坐標為0,縱坐標為0,豎坐標不為0；

11.M（x,y,z）是空間直角坐標系。Q，z中的一點，寫出滿足下列條件的點的坐標;

（1）與點M關于x軸對稱的點；

（2）與點M關于y軸對稱的點；

（3）與點/關于z軸對稱的點；

（4）與點M關于原點對稱的點.

【答案】（1）（x,-y,-z）,（2）（-x,y,-z）,（3）（-x,-y,z）,（4）（一蒼-y,-z）.

【解析】

【分析】（1）根據空間直角坐標系的知識直接寫出答案即可；

（2）根據空間直角坐標系的知識直接寫出答案即可；

（3）根據空間直角坐標系的知識直接寫出答案即可；

（4）根據空間直角坐標系的知識直接寫出答案即可；

【詳解】若"（x,y,z）是空間直角坐標系Oxyz中的一點，則

（1）與點M關于％軸對稱的點為z）

（2）與點M關于y軸對稱的點為（-羽％-z）

（3）與點M關于z軸對稱的點為（-X,-y,z）

（4）與點Af關于原點對稱的點為（一z）

12.如圖，正方體。鉆C-O'AB'C'的棱長為mE,F,G,H,I,1/分別是棱

CD,DA'A'A，AB,BC,CC'的中點，寫出正六邊形EFG”〃各頂點的坐

【答案】E（O，|，aJ,尸K，O，aJ，6（。,0,向，”［吟0）,喧,叫，中丐）.

【解析】

【分析】根據圖形寫出各點的坐標即可.

【詳解】因為正方體。LBC—O'45'C的棱長為a,E,F,G,H,I,?/分別是棱C'。'，

DA,A'A，AB,BC,CC'的中點

所以怎（期|,a）,喉QM），GM，。,?，川吟0）,/,,a,0）,J10,.

13.先在空間直角坐標系中標出A,8兩點，再求它們之間的距離：

（1）A（2,3,5）,3（3,1,4）；

（2）A（6,0,l）,3（3,5,7）.

【答案】（1）限,作圖見解析；

（2）屈,作圖見解析.

【解析】

【分析】（1）先在空間直角坐標系內畫出兩點，再利用空間兩點間距離公式直接求

解即可；

（2）先在空間直角坐標系內畫出兩點，再利用空間兩點間距離公式直接求解即可.

【小問1詳解】

兩點在空間直角坐標系內位置如圖所示：

由空間兩點間距離公式可得:

AB=J(2-3『+(3-1)2+(5_41=瓜.

【小問2詳解】

兩點在空間直角坐標系內位置如圖所示:

由空間兩點間距離公式可得：

AB=J(6-3)2+(0_5>+(1-7)2二屈.

14.已知"=(2,-3,1),1=(2,0,3),1=(0,0,2).求：

(1)a-(B+c)；

(2)a+6b-Sc-

【答案】⑴9,(2)(14,-3,3)

【解析】

【分析】(1)先求出力+3再利用數量積運算性質求解即可;

(2)直接利用向量坐標的加減法運算性質求解

【詳解】解：(1)因為B=(2,0,3),"=(0,0⑵,

所以1+"=(2,0,5)，

因為￡=(2,-3,1),

所以￡@+'=2X2+(_3)X0+1X5=9,

(2)因為5=(2,—3,1),1=(2,0,3),"=(0,0,2),

所以￡+62—8"=(2,-3,1)+6(2,0,3)-8(0,0,2)

=(2,-3,1)+(12,0,18)-(0,0,16)

=(14,-3,3)

綜合運用

15.求證：以4(4,1,9),6(10,-1,6),C(2,4,3)為頂點的三角形是等

腰直角三角形.

【答案】見證明

【解析】

【分析】利用空間間兩點的距離公式分別求AB,AC,BC,進而可得三角形的形狀.

【詳解】/(4,1,9),6(10,-1,6),C(2,4,3),

AB=1(4-10)2+(1+1)2+(9-6)2=7,

AC=J(4-2)2+(1-4)2+(9-3)2=7,

B(=,J(10-2)2+(-l-4)2+(6-3)2=7后,

：.A〃+Ad=B?,AB=AC,

...△/阿為等腰直角三角形.

【點睛】本題主要考查了空間中兩點距離的求解，利用三角形的長度關系判斷三角

形的形狀，屬于基礎題.

16.已知A(3,5,—7),8(—2,4,3),求而，麗，線段AB的中點坐標及線段A3

的長.

【答案】AB=(-5,-l,10),麗=(5,1,TO),線段A3的中點坐標為線

段A3的長為3m.

【解析】

【分析】根據點A,B的坐標求出答案即可.

【詳解】因為A（3,5,—7）,B（-2,4,3）,

所以而=（一5,-1/0）,54=（5,1,-10）

線段的中點坐標為,

線段AB的長為V25+1+100=3V14

17.如圖，在正方體A3CO-中，M,N分別為棱AA和gB的中點，求

C