二、極限的四則運算法則三、復合函數的極限運算法則一、無窮小運算法則第六節極限運算法則1精選2021版課件時,有一、無窮小運算法則定理1.有限個無窮小的和還是無窮小.證:考慮兩個無窮小的和.設當時,有當時,有取則當因此這說明當時,為無窮小量.機動目錄上頁下頁返回結束2精選2021版課件說明:

無限個無窮小之和不一定是無窮小!例如，機動目錄上頁下頁返回結束類似可證:有限個無窮小之和仍為無窮小.3精選2021版課件定理2.

有界函數與無窮小的乘積是無窮小.

證:設又設即當時,有取則當時,就有故即是時的無窮小.推論1

.常數與無窮小的乘積是無窮小.推論2

.有限個無窮小的乘積是無窮小.機動目錄上頁下頁返回結束4精選2021版課件例1.求解:

由定理2可知說明:

y=0是的漸近線.機動目錄上頁下頁返回結束5精選2021版課件二、極限的四則運算法則則有證:因則有(其中為無窮小)于是由定理1可知也是無窮小,再利用極限與無窮小的關系定理,知定理結論成立.可推廣到有限個.定理3.

若機動目錄上頁下頁返回結束6精選2021版課件定理4

.若則有提示:利用極限與無窮小關系定理及本節定理2證明.說明:定理4可推廣到有限個函數相乘的情形.推論1.(C為常數)推論2.(n為正整數)例2.設

n次多項式試證證:機動目錄上頁下頁返回結束7精選2021版課件為無窮小(詳見P44)定理5.

若且B≠0,則有證:因有其中設因此由極限與無窮小關系定理,得為無窮小,機動目錄上頁下頁返回結束8精選2021版課件定理6

.

若則有提示:因為數列是一種特殊的函數,故此定理可由定理3,4,5直接得出結論.機動目錄上頁下頁返回結束9精選2021版課件例3.

設有分式函數其中都是多項式,試證:證:說明:若不能直接用商的運算法則.例4.若機動目錄上頁下頁返回結束10精選2021版課件例5.

求解:

x=1時分母=0,分子≠0,但因機動目錄上頁下頁返回結束11精選2021版課件例6

.

求解:時,分子分子分母同除以則分母“抓大頭”原式機動目錄上頁下頁返回結束12精選2021版課件一般有如下結果：為非負常數)機動目錄上頁下頁返回結束13精選2021版課件三、復合函數的極限運算法則定理7.設且x滿足時,又則有證:

當時,有當時,有對上述取則當時故①因此①式成立.機動目錄上頁下頁返回結束14精選2021版課件定理7.設且x滿足時,又則有

說明:若定理中則類似可得機動目錄上頁下頁返回結束15精選2021版課件例7.求解:令已知∴原式=機動目錄上頁下頁返回結束16精選2021版課件例8.求解:機動目錄上頁下頁返回結束17精選2021版課件內容小結1.極限運算法則(1)無窮小運算法則(2)極限四則運算法則(3)復合函數極限運算法則注意使用條件！2.求函數極限的方法(1)分式函數極限求法時,用代入法(分母不為0)時,對型,約去公因子時,分子分母同除最高次冪(2)復合函數極限求法設中間變量機動目錄上頁下頁返回結束18精選2021版課件思考題19精選2021版課件思考題解答不能保證.例有20精選2021版課件作業P20.A:1,3，5,7,9B:221精選2021版課件二、兩個重要極限一、極限存在準則第七節機動目錄上頁下頁返回結束極限存在準則及兩個重要極限22精選2021版課件一、極限存在準則1.夾逼準則證23精選2021版課件上兩式同時成立,上述數列極限存在的準則可以推廣到函數的極限24精選2021版課件注意:準則Ⅰ和準則Ⅰ'稱為夾逼準則.25精選2021版課件例1解由夾逼定理得26精選2021版課件2.單調有界準則單調增加單調減少單調數列幾何解釋:27精選2021版課件例2證(舍去)28精選2021版課件二、兩個重要極限(1)29精選2021版課件30精選2021版課件例3解31精選2021版課件(2)定義32精選2021版課件類似地,33精選2021版課件34精選2021版課件35精選2021版課件例4解例5解36精選2021版課件例6.

求解:原式=機動目錄上頁下頁返回結束37精選2021版課件三、小結1.兩個準則2.兩個重要極限夾逼準則;單調有界準則.38精選2021版課件思考題求極限39精選2021版課件思考題