概率論-數理統計的基本概念匯報人：AA2024-01-19目錄contents概率論基本概念數理統計基本概念常用離散型隨機變量及其分布常用連續型隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布大數定律和中心極限定理概率論基本概念01樣本空間與事件事件必然事件樣本空間的子集，即某些可能結果的集合。包含樣本空間中所有樣本點的事件。樣本空間基本事件不可能事件所有可能結果的集合，常用大寫字母S表示。只包含一個樣本點的事件。不包含任何樣本點的事件。概率定義及性質概率定義表示事件發生的可能性大小的數值，常用P(A)表示事件A發生的概率。概率性質非負性、規范性（必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0）、可加性（互斥事件的概率之和等于它們并的概率）。條件概率在已知另一事件B發生的條件下，事件A發生的概率，記作P(A|B)。要點一要點二事件的獨立性如果事件A的發生與否對事件B發生的概率沒有影響，則稱事件A與事件B相互獨立。條件概率與獨立性全概率公式如果事件B1,B2,...,Bn構成一個完備事件組，且都有正概率，則對任意一個事件A，有P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)。貝葉斯公式在全概率公式的條件下，可以求出事件Bi已發生的條件下，事件A發生的概率，即P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)/[P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)]。全概率公式與貝葉斯公式數理統計基本概念0203樣本容量樣本中包含的個體數目，用n表示。01總體研究對象的全體個體組成的集合，通常用一個概率分布來描述。02樣本從總體中隨機抽取的一部分個體組成的集合，用于推斷總體的性質。總體與樣本樣本的函數，用于描述樣本的特征，如樣本均值、樣本方差等。統計量統計量的概率分布，描述了統計量在多次抽樣中的分布情況。抽樣分布正態分布、t分布、F分布、卡方分布等。常用抽樣分布統計量與抽樣分布點估計用樣本統計量的某個值來估計總體參數的方法，如樣本均值估計總體均值。區間估計根據樣本統計量的抽樣分布，構造一個包含總體參數的置信區間，并給出該區間的置信水平。評價估計量的標準無偏性、有效性、一致性等。參數估計方法原假設與備擇假設原假設是研究者想要拒絕的假設，備擇假設是研究者想要接受的假設。顯著性水平與第一類錯誤顯著性水平是事先設定的一個概率值，用于控制第一類錯誤（即錯誤地拒絕原假設）的概率。第二類錯誤與功效函數第二類錯誤是指當原假設不成立時，未能正確地拒絕原假設的錯誤。功效函數描述了在不同參數值下，檢驗能夠正確地拒絕原假設的概率。檢驗統計量與拒絕域檢驗統計量是用于判斷原假設是否成立的統計量，拒絕域是檢驗統計量取值的范圍，當檢驗統計量落入拒絕域時，我們拒絕原假設。假設檢驗原理常用離散型隨機變量及其分布03定義二項分布是一種離散型概率分布，描述了在n次獨立重復的伯努利試驗中成功次數的概率分布。概率質量函數P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示組合數，即從n個不同元素中取出k個元素的組合數。期望和方差二項分布的期望E(X)=n*p，方差D(X)=n*p*(1-p)。二項分布泊松分布是一種離散型概率分布，用于描述在給定時間間隔或給定區域內某一事件發生的次數的概率分布。定義P(X=k)=λ^k*e^(-λ)/k!，其中λ表示單位時間或單位面積內事件發生的平均次數。概率質量函數泊松分布的期望E(X)=λ，方差D(X)=λ。期望和方差泊松分布概率質量函數P(X=k)=(1-p)^(k-1)*p，其中p表示每次試驗成功的概率。期望和方差幾何分布的期望E(X)=1/p，方差D(X)=(1-p)/p^2。定義幾何分布是一種離散型概率分布，描述了在伯努利試驗中首次成功所需要的試驗次數的概率分布。幾何分布超幾何分布是一種離散型概率分布，描述了在不放回的抽樣中抽取到指定數量成功樣本的概率分布。定義概率質量函數期望和方差P(X=k)=C(m,k)*C(N-m,n-k)/C(N,n)，其中N表示總體樣本數，m表示總體中成功樣本數，n表示抽取的樣本數。超幾何分布的期望E(X)=n*m/N，方差D(X)=n*m*(N-m)*(N-n)/[N^2*(N-1)]。超幾何分布常用連續型隨機變量及其分布04在概率論和統計學中，均勻分布也叫矩形分布，它是對稱概率分布，在相同長度間隔的分布概率是等可能的。定義均勻分布由兩個參數a和b定義，它們是數軸上的最小值和最大值，通常縮寫為U(a,b)。性質均勻分布指數分布是一種連續概率分布。指數分布可以用來表示獨立隨機事件發生的時間間隔，比如旅客進機場的時間間隔等。定義許多電子產品的壽命分布一般服從指數分布。有的系統的壽命分布也可用指數分布來近似。它在可靠性研究中是最常用的一種分布形式。指數分布是伽瑪分布和威布爾分布的特殊情況。性質指數分布正態分布正態分布，也稱“常態分布”，又名高斯分布，最早由A.棣莫弗在求二項分布的漸近公式中得到。C.F.高斯在研究測量誤差時從另一個角度導出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性質。是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的概率分布，在統計學的許多方面有著重大的影響力。定義正態曲線呈鐘型，兩頭低，中間高，左右對稱因其曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為鐘形曲線。性質t分布在概率論和統計學中，t-分布用于根據小樣本來估計呈正態分布且方差未知的總體的均值。如果總體方差已知，則應該用正態分布來估計總體均值。F分布是1924年英國統計學家Ronald.A.Fisher爵士提出，并以其姓氏的第一個字母命名的。它是一種非對稱分布，且位置不可互換。F分布有著廣泛的應用，如在方差分析、回歸方程的顯著性檢驗中都有著重要的地位。卡方分布是概率論與統計學中常用的一種概率分布。k個獨立的標準正態分布變量的平方和服從自由度為k的卡方分布。F分布χ^2分布t分布、F分布和χ^2分布多維隨機變量及其分布05二維隨機變量設$X$和$Y$是兩個隨機變量，由它們構成的二維數組$(X,Y)$稱為二維隨機變量。聯合分布函數對于任意實數$x,y$，二元函數$F(x,y)=P{Xleqx,Yleqy}$稱為二維隨機變量$(X,Y)$的聯合分布函數。聯合概率密度函數如果存在非負函數$f(x,y)$，使得對于任意實數$x,y$，有$F(x,y)=int_{-infty}^{x}int_{-infty}^{y}f(u,v)dudv$，則稱$f(x,y)$為二維隨機變量$(X,Y)$的聯合概率密度函數。010203二維隨機變量及其聯合分布第二季度第一季度第四季度第三季度邊緣分布函數邊緣概率密度函數條件分布函數條件概率密度函數邊緣分布與條件分布二維隨機變量$(X,Y)$關于$X$和關于$Y$的分布函數分別稱為$(X,Y)$關于$X$和關于$Y$的邊緣分布函數，記作$F_X(x)$和$F_Y(y)$。設二維隨機變量$(X,Y)$的概率密度函數為$f(x,y)$，則$(X,Y)$關于$X$和關于$Y$的邊緣概率密度函數分別為$f_X(x)=int_{-infty}^{infty}f(x,y)dy$和$f_Y(y)=int_{-infty}^{infty}f(x,y)dx$。設$(X,Y)$的聯合分布函數為$F(x,y)$，邊緣分布函數分別為$F_X(x)$和$F_Y(y)$，則對于任意給定的實數$x_0$和$y_0$，條件分布函數定義為$F_{X|Y}(x|y_0)=frac{F(x,y_0)}{F_Y(y_0)}$和$F_{Y|X}(y|x_0)=frac{F(x_0,y)}{F_X(x_0)}$。設$(X,Y)$的聯合概率密度函數為$f(x,y)$，邊緣概率密度函數分別為$f_X(x)$和$f_Y(y)$，則對于任意給定的實數$x_0$和$y_0$，條件概率密度函數定義為$f_{X|Y}(x|y_0)=frac{f(x,y_0)}{f_Y(y_0)}$和$f_{Y|X}(y|x_0)=frac{f(x_0,y)}{f_X(x_0)}$。相互獨立隨機變量如果對于任意實數$x,y$，都有$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，則稱二維隨機變量$(X,Y)$是相互獨立的。協方差與相關系數設$(X,Y)$是二維隨機變量，若$E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}$存在，則稱它為$(X,Y)$的協方差，記作$text{Cov}(X,Y)$。若$text{Cov}(X,Y)=0$，則稱$(X,Y)$是不相關的。若$rho_{XY}=frac{text{Cov}(X,Y)}{sqrt{D(X)}sqrt{D(Y)}}$存在且不為零，則稱它為$(X,Y)$的相關系數。協方差矩陣設$(X_1,ldots,X_n)$是一個多維隨機變量，則其協方差矩陣是一個對稱矩陣，其元素為$text{Cov}(X_i,X_j)$。相互獨立隨機變量和協方差矩陣VS如果多維隨機變量的概率密度函數可以表示為$frac{1}{(2pi)^{n/2}|Sigma|^{1/2}}exp[-frac{1}{2}(X-mu)^TSigma^{-1}(X-mu)]$，其中$muinmathbb{R}^n,Sigmainmathbb{R}^{ntimesn}$是正定矩陣，則稱該多維隨機變量服從多維正態分布，記作$N(mu,Sigma)$。多維正態分布性質多維正態分布具有許多重要的性質，如線性變換不變性、邊緣分布仍為正態分布等。這些性質使得多維正態分布在實際應用中具有廣泛的應用價值。多維正態分布定義多維正態分布簡介大數定律和中心極限定理06123大數定律是描述隨機事件在大量重復試驗中呈現出的規律性，即當試驗次數足夠多時，隨機事件的頻率趨于一個穩定值。含義常見的大數定律有伯努利大數定律、辛欽大數定律和切比雪夫大數定律等。種類在保險、金融、醫學等領域中，大數定律被廣泛應用于風險評估和決策分析。應用大數定律含義中心極限定理是指當隨機變量的數量足夠多時，這些隨機變量的和的分布將近似于正態分布，而與這些隨機變量本身的分布無關。前提條件要求隨機變量相互獨立且具有有限的期望和方差。應用中心極限定理在統計學中具有重要地位，被廣泛應用于參數估計和假設檢驗等。中心極限