7.4二項分布與超幾何分布

7.4.1二項分布第七章新課程標準素養風向標1.理解n重伯努利試驗模型及二項分布.2.會求滿足二項分布的隨機變量的期望和方差.1.會求n重伯努利試驗中事件A恰好發生k次的概率.(數學運算)2.能用二項分布的概率模型解決實際問題.(數學建模)3.會求服從二項分布的隨機變量的期望和方差.(數學運算)基礎預習初探主題1

二項分布連續擲一枚圖釘3次,用Ai(i=1,2,3)表示事件“第i次擲得針尖向上”,且每次針尖向上的概率為p,Bk(k=0,1,2,3)表示出現k次針尖向上,回答下列問題:(1)事件A1,A2,A3是否是相互獨立事件?提示:是相互獨立事件.

結論:1.n重伯努利試驗的特征(1)同一個伯努利試驗重復做n次;(2)各次試驗的結果相互獨立.2.二項分布一般地,在n重伯努利試驗中,設每次試驗中事件A發生的概率為p(0<p<1),用X表示事件A發生的次數,則X的分布列為P(X=k)=_____________,k=0,1,2,…,n.

如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,則稱隨機變量X服從二項分布,記作_____________.

X~B(n,p)

主題2

二項分布的期望與方差若隨機變量X~B(n,p),(1)當n=1時,E(X)=

,D(X)=

.

提示:當n=1時,X的分布列為:P(X=0)=1-p,P(X=1)=p,所以E(X)=p,D(X)=p(1-p).答案:p

p(1-p)(2)當n=2時,E(X)=

,D(X)=

.

提示:當n=2時,X的分布列為P(X=0)=(1-p)2,P(X=1)=2p(1-p),P(X=2)=p2,所以均值和方差分別為E(X)=0×(1-p)2+1×2p(1-p)+2×p2=2p,D(X)=02×(1-p)2+12×2p(1-p)+22×p2-(2p)2=2p(1-p).答案:2p

2p(1-p)結論:

一般地,若X~B(n,p),那么E(X)=___,D(X)=_____________.np(1-p)np

2.已知隨機變量ξ+η=8,若ξ~B(10,0.4),則E(η),D(η)分別是 (

)A.4和2.4 B.2和2.4 C.6和2.4 D.4和5.6【解析】選A.因為ξ~B(10,0.4),所以E(ξ)=10×0.4=4,D(ξ)=10×0.4×0.6=2.4,因為η=8-ξ,所以E(η)=E(8-ξ)=4,D(η)=D(8-ξ)=2.4.核心互動探究探究點一

二項分布【典例1】現有一款智能學習APP,學習內容包含文章學習和視頻學習兩類,且這兩類學習互不影響,已知該APP積分規則如下:每閱讀一篇文章積1分,每日上限積5分;觀看視頻累計3分鐘積2分,每日上限積6分,經過抽樣統計發現,文章學習積分的概率分布表如表1所示,視頻學習積分的概率分布表如表2所示.表1文章學習積分12345概率表2視頻學習積分246概率(1)現隨機抽取1人了解學習情況,求每日學習積分不低于9分的概率;(2)現隨機抽取3人了解學習情況,設積分不低于9分的人數為ξ,求ξ的概率分布.【思維導引】(1)根據表格,文章學習積分與視頻學習積分之和不低于9,計算相應的概率,然后求和,可得結果.(2)根據ξ服從二項分布,寫出ξ的所有取值,并計算相應的概率,列出分布列.【解析】(1)由題意,獲得的積分不低于9分的情況有:文章學習積分3455視頻學習積分6646

ξ0123P【延伸探究】

本題條件不變,求隨機變量ξ的均值和方差.【解析】由隨機變量ξ的概率分布列為ξ0123P

【類題通法】二項分布的解題步驟(1)判斷隨機變量X是否服從二項分布:看兩點:①是否為n重伯努利試驗;②隨機變量是否是這n重伯努利試驗中某事件發生的次數;(2)建立二項分布模型;(3)確定X的取值并求出相應的概率;(4)寫出分布列.【定向訓練】1.某一智力游戲玩一次所得的積分是一個隨機變量X,其概率分布如下表,數學期望E(X)=2.(1)求a和b的值;(2)某同學連續玩三次該智力游戲,記積分X大于0的次數為Y,求Y的概率分布.X036Pab

Y0123P

X01234P

Y05101520P

【類題通法】(1)二項分布的均值求解方法首先根據二項分布的特點判斷隨機變量的分布屬于哪一類分布,若屬于二項分布,則代入二項分布的均值公式,計算出變量的均值.(2)常見分布列方差的求法①用定義:用方差的定義求解,適用于所有概率模型.②用公式:若明確隨機變量服從二項分布,可直接利用方差的計算公式求出.

ξ的分布列為ξ0