第13講立體圖形的直觀圖【學習目標】1、學會畫水平放置的平面圖形．2、學會直觀圖的有關知識．【考點目錄】考點一：水平放置的平面圖形直觀圖的畫法考點二：幾何體的直觀圖畫法考點三：與直觀圖還原有關的計算問題【基礎知識】知識點一：用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖的步驟（1）在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O，畫直觀圖時，把它們畫成對應的x′軸和y′軸，兩軸相交于點O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它們確定的平面表示水平面．（2）已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段．（3）已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度變為原來地一半．知識點詮釋：用斜二測畫法畫圖的關鍵是在原圖中找到決定圖形位置與形狀的點并在直觀圖中畫出．一般情況下，這些點的位置都要通過其所在的平行于x、y軸的線段來確定，當原圖中無需線段時，需要作輔助線段．知識點二：用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖的步驟（1）畫底面，這時使用平面圖形的斜二測畫法即可．（2）畫z′軸，z′軸過點O′，且與x′軸的夾角為90°，并畫出高線（與原圖高線相等，畫正棱柱時只需要畫側棱即可），連線成圖．（3）擦去輔助線，被遮線用虛線表示．知識點三：斜二測畫法保留了原圖形中的三個性質①平行性不變，即在原圖中平行的線在直觀圖中仍然平行；②共點性不變，即在原圖中相交的直線仍然相交；③平行于x，z軸的長度不變．【考點剖析】考點一：水平放置的平面圖形直觀圖的畫法例1．（2023·全國·高一課時練習）用斜二測畫法畫出下列水平放置的平面圖形的直觀圖（尺寸自定），并由此探尋直觀圖面積與原圖形面積之間的關系.（1）矩形；（2）平行四邊形；（3）正三角形；（4）正五邊形【解析】（1）解：根據斜二測畫法的規則，可得：設，，則，直觀圖中邊邊上的高為，因此，設直觀圖和原圖形的面積分別為、，則.（2）解：根據斜二測畫法的規則，可得：設，，則，直觀圖中邊邊上的高為，因此，設直觀圖和原圖形的面積分別為、，則.（3）解：根據斜二測畫法的規則，可得：設，，則，直觀圖中邊邊上的高為，因此，設直觀圖和原圖形的面積分別為、，則.（4）解：根據斜二測畫法的規則，可得：設，，則，的邊邊上的高為，所以，，同理可得，，，，設五邊形的面積為，直觀圖五邊形的面積為，則.例2．（2023·全國·高一）用斜二測畫法畫出下列平面圖形水平放置的直觀圖.【解析】解：（1）畫，軸，使，在軸上截取，在軸上截取．過作軸的平行線，且取線段長度為2，連接，，，，則四邊形的直觀圖即為四邊形；（2）

畫，軸，使，在軸上截取，在軸過、分別作的平行線，與在軸上過作軸的平行線分別交于，，連接，，，．則四邊形的直觀圖即為四邊形．考點二：幾何體的直觀圖畫法例3．（2023·全國·高二課時練習）用斜二測畫法畫出各棱長都為5的正三棱錐的直觀圖.【解析】分兩個步驟完成：（1）先畫出水平放置的邊長為的正三角形的直觀圖：1°在正三角形中，設的中點為，取中心為原點，過且與平行的直線為軸，以為軸建立直角坐標系，如圖：，則，，2°作出斜坐標系，使，在軸正半軸上取使，在軸負半軸上取點，使，過作軸的平行線，使得，連，則三角形就是水平放置的邊長為的正三角形的直觀圖，如圖：（2）過作軸，在軸正半軸上取點，使，連，可得各棱長都為5的正三棱錐的直觀圖，如圖：考點三：與直觀圖還原有關的計算問題例4．（2023·山東聊城·高一期末）如圖，是用斜二測畫法畫出的直觀圖，則的周長為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】作出的直觀圖如下圖所示：由圖可得，，因此，的周長為.故選：C.例5．（2023·湖北省廣水市實驗高級中學高二期中）如圖，邊長為2的正方形是一個水平放置的平面圖形的直觀圖，則圖形的面積是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由三視圖知原平面圖形是平行四邊形，，，且，所以面積為．故選：A．例6．（2023·廣東·東莞市新世紀英才學校高一階段練習）正方形的邊長為1，利用斜二測畫法得到直觀圖，其周長等于___________．【答案】3【解析】根據斜二測畫法的原則可得：直觀圖中，x方向長度不變，y方向長度減半，如圖所示：所以的周長為.故答案為：3【真題演練】1．（2023·廣東佛山·高一階段練習）如圖，水平放置的的斜二測直觀圖為，已知，則的周長為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由直觀圖可還原如下圖所示，其中，，，，的周長為.故選：C.2．（2023·江蘇省江陰市第一中學高一階段練習）如圖，是一個平面圖形的直觀圖，若，則這個平面圖形的面積是（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】由已知得中，直角邊，，則平面圖中該三角形，對應底面邊長不變為，三角形的高應為，則平面三角形的面積為.故選：C3．（2023·浙江·高一期中）已知的面積為，下圖是的直觀圖，已知，，過作軸于，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設三角形直觀圖的面積為，顯然，又，解得.故選：4．（2023·江西省萬載中學高一階段練習（文））如圖，是水平放置的△ABC的斜二測畫法的直觀圖，其中，則△ABC是（）A．鈍角三角形 B．等腰三角形，但不是直角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】C【解析】將其還原成原圖，設，則可得，，從而，所以，即，故是等腰直角三角形.故選：C.5．（2023·福建省福州格致中學高一期末）如圖，是用斜二測畫法畫出的直觀圖，則是（

）A．銳角 B．直角 C．鈍角 D．無法判斷【答案】C【解析】根據斜二測畫法的規則，將直觀圖還原為平面圖如圖所示，所以，是鈍角.故選：C6．（2023·上海市七寶中學高一期末）如下圖所示，梯形是水平放置的平面圖形的直觀圖（斜二測畫法），若，，則四邊形的面積是_____．【答案】10【解析】根據直觀圖畫法的規則，直觀圖中平行于軸，，所以原圖中，從而得出AD⊥DC，且，直觀圖中，，所以原圖中，，即四邊形ABCD上底和下底邊長分別為4，6，高為2，故其面積.故答案為：10.7．（2023·浙江省杭州學軍中學高一期中）已知三角形ABC的斜二側畫法的直觀圖是邊長為2的正三角形如圖所示，則C的坐標為__________【答案】【解析】在直觀圖中，在軸上取點，使得軸，如下圖：則，由正弦定理可得，又，可得，，故將直觀圖還原為平面圖如下圖：在平面直角坐標系中如圖所示，連接,,.故故答案為：8．（2023·安徽池州·高一期中）一水平位置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個底平行于軸，底角為，兩腰和上底長均為2的等腰梯形，則這個平面圖形的面積是__________．【答案】【解析】由已知斜二測直觀圖根據斜二測化法規則畫出原平面圖形，如圖所示：這個平面圖形的面積：．故答案為：．9．（2023·全國·高一課時練習）如圖所示，平行四邊形是四邊形的直觀圖，若，，則原四邊形的周長為______．【答案】10【解析】由四邊形的直觀圖可知該四邊形是矩形，如圖，且，，所以原四邊形的周長為．故答案為：10.10．（2023·全國·高一課時練習）如圖，在斜二測畫法下被畫成正三角形，請畫出的真正圖形．【解析】如圖，即為所求圖形．作圖過程：過C作CD⊥AB于D，延長DA到O，使得DO＝DC，連接OC，則∠COD＝45°．過O作Oy⊥OB，并以Oy作為y軸，OB作為x軸，在y軸正半軸取，使得，連接、，則根據斜二測畫法的原理可知即為真正的圖形．【過關檢測】一、單選題1．（2023·全國·高一課時練習）關于斜二測畫法，下列說法錯誤的是（

）A．平行直線的直觀圖仍然是平行直線B．垂直直線的直觀圖仍然是垂直直線C．直觀圖中分別與兩條坐標軸重合的直線，實際的位置是相互垂直的D．線段的中點在直觀圖中仍然是中點【答案】B【解析】對于A，平行直線在直觀圖中長度可能會變化，但平行關系不變，A正確；對于B，平行于軸和軸的兩條直線，在直觀圖中夾角為，B錯誤；對于C，直觀圖中與兩條坐標軸重合的直線，還原后與平面直角坐標系中的軸重合，實際位置互相垂直，C正確；對于D，線段的中點在直觀圖中依然會是該線段直觀圖畫法中的中點，D正確.故選：B.2．（2023·全國·高一課時練習）如圖，這是一個平面圖形的直觀圖，則它的實際形狀（四邊形）為（

）A．平行四邊形 B．梯形 C．菱形 D．矩形【答案】D【解析】由，得，由邊的平行關系可知，原圖形為矩形故選：D3．（2023·全國·高一課時練習）已知水平放置的的直觀圖如圖所示，，，則邊上的中線的實際長度為（

）A．5 B． C． D．【答案】C【解析】的實際圖形應是直角三角形，兩條直角邊長分別是4和3，斜邊上的中線長度為故選：C4．（2023·全國·高一課時練習）已知等邊三角形ABC的邊長為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖①②所示的實際圖形和直觀圖.由斜二測畫法可知，，，在圖②中作于，則.所以.故選：D.5．（2023·河北張家口·高一階段練習）如圖所示，矩形是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中，，則原圖形是（

）A．面積為的矩形 B．面積為的矩形C．面積為的菱形 D．面積為的菱形【答案】C【解析】，所以，故在原圖中，，，所以四邊形為菱形(如圖所示)，，則面積為.故選：C6．（2023·全國·高一課時練習）如圖，正方形的邊長為1，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是（

）A．6 B．8 C． D．【答案】B【解析】作出該直觀圖的原圖形，因為直觀圖中的線段軸，所以在原圖形中對應的線段CB平行于x軸且長度不變，點和在原圖形中對應的點C和B的縱坐標是的2倍，則，所以，則四邊形的周長為．故選：B．7．（2023·全國·高一課時練習）對于用斜二測畫法畫水平放置的圖形的直觀圖來說，下列描述錯誤的是（

）A．三角形的直觀圖仍然是一個三角形B．的角的直觀圖會變為的角C．與y軸平行的線段長度變為原來的一半D．由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同【答案】B【解析】對于A，根據斜二測畫法特點知，相交直線的直觀圖仍是相交直線，因此三角形的直觀圖仍是一個三角形，故A正確；對于B，的角的直觀圖會變為或的角，故B錯誤；對于C，D，由斜二測畫法的特點可知，C，D顯然正確．故選：B．8．（2023·黑龍江·哈爾濱三中高一期末）若水平放置的四邊形按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中，，，，則原四邊形中的長度為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】過點作,垂足為.因為，，，；，所以原四邊形中的長度為2.故選：B二、多選題9．（2023·吉林長春·高一期末）用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，下列結論正確的是（

）A．相等的線段在直觀圖中仍然相等B．平行的線段在直觀圖中仍然平行C．一個角的直觀圖仍是一個角D．相等的角在直觀圖中仍然相等【答案】BC【解析】由斜二測畫法原則：平行依舊垂改斜，橫等縱半豎不變，平行于x軸且相等的線段在直觀圖中仍相等，而不是所有相等線段都能相等，A錯誤；平行線段在直觀圖中仍然平行，B正確；一個角在直觀圖中也是一個角的形式出現，C正確；如直角梯形在直觀圖中與直角對應的兩個角不相等，D錯誤.故選：BC10．（2023·全國·高一課時練習）（多選）下列說法中正確的有（

）A．畫直觀圖時與x軸、y軸對應的軸、軸之間的夾角應為或B．長方體直觀圖的長、寬、高與原長方體的長、寬、高的比例相同C．水平放置的矩形的直觀圖是平行四邊形D．水平放置的圓的直觀圖是橢圓【答案】ACD【解析】由斜二測畫法規則知，選項A，C正確；長方體直觀圖的長、高與原長方體的長、高的比例相同，但在直觀圖中的寬只是原來的一半，B錯誤；水平放置的圓的直觀圖是橢圓，D正確.故選：ACD11．（2023·全國·高一課時練習）如圖所示，是水平放置的的斜二測直觀圖，其中，則以下說法正確的是（

）A．是鈍角三角形B．的面積是的面積的2倍C．是等腰直角三角形D．的周長是【答案】CD【解析】根據斜二測畫法可知，在原圖形中，O為的中點，，因為，所以，則是斜邊為4的等腰直角三角形，如圖所示：所以的周長是，面積是4，故A錯誤，C，D正確.由斜二測畫法可知，的面積是的面積的倍，故B錯誤.故選：CD.12．（2023·湖南衡陽·高一期末）如圖，四邊形ABCD的斜二測直觀圖為等腰梯形，已知，則（

）A．B．C．四邊形ABCD的周長為D．四邊形ABCD的面積為6【答案】ACD【解析】由已知等腰梯形中，,,所以，由斜二測畫法得，在原圖直角梯形ABCD中，．∠BAD=，易得，所以四邊形ABCD的周長為，面積為．故選：ACD.三、填空題13．（2023·全國·高一課時練習）如圖所示，是利用斜二測畫法畫出的的直觀圖，已知軸，，且的面積為16，過作軸，則的長為______．【答案】【解析】因為，，所以，即.故答案為：.14．（2023·山東臨沂·高一期末）如圖，正方形是一水平放置的平面圖形ABCD在斜二測畫法下的直觀圖.若，則平面圖形ABCD的面積是______.【答案】【解析】由斜二測畫法的規則知與軸平行或重合的線段與軸平行或重合，其長度不變，所以,與軸平行或重合的線段與軸平行或重合，其長度變成原來的一半.正方形的對角線在軸上，可求得其長度為，如圖所示：平面圖中，在軸上，且其長度變為原來的2倍，即.則平面圖形ABCD的面積.故答案為：15．（2023·河南信陽·高一期末）在中，，用斜二測畫法畫出的直觀圖，則該直觀圖的面積為______.【答案】【解析】如圖所示，作出底邊上的高，則，所以，所以該直觀圖的面積.故答案為：.16．（2023·全國·高一課時練習）已知正方形的面積為4，其直觀圖是四邊形，則四邊形的面積是____________．【答案】【解析】按照斜