2023-2024學年遼寧省鐵嶺市昌圖縣九年級（上）期末數學試卷一.選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）如圖所示的立體圖形是一個圓柱被截去四分之一后得到的幾何體，它的左視圖是（）A． B． C． D．2．（3分）如果2a＝5b（a，b均不為0），那么下列比例式中正確的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝3．（3分）在一個不透明的盒子里裝有只有顏色不同的黑、白兩種球共40個，小亮做摸球試驗，他將盒子內的球攪勻后從中隨機摸出一個球，不斷重復上述過程，對試驗結果進行統計后摸球的次數n10020030050080010001500摸到白球的次數m70128171302481599903摸到白球的頻率0.700.640.570.6040.6010.5990.602則下列結論中正確的是（）A．n越大，摸到白球的概率越接近0.7 B．當n＝2000時，摸到白球的次數m＝1200 C．當n很大時，摸到白球的頻率將會穩定在0.6附近 D．這個盒子中約有28個白球4．（3分）在四邊形ABCD中，AC、BD交于點O，在下列條件中（）A．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90° B．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，AC⊥BD D．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD5．（3分）如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點G（點G在CD，EF之間），CG＝2，GF＝4，則（）A． B． C． D．6．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0時，配方后正確的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝177．（3分）如圖，菱形ABCD中，E、F分別是AB、AC的中點，則菱形ABCD的周長為（）A．24 B．18 C．12 D．98．（3分）在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點坐標分別是O（0，0），A（8，0），B（8，6），C（0，6）．已知矩形OA1B1C1O與矩形OABC位似，位似中心是原點O，且矩形OA1B1C1的面積等于矩形OABC面積的4倍，則點B1的坐標為（）A．（8，6） B．（8，6）或（﹣8，﹣6） C．（16，12） D．（16，12）或（﹣16，﹣12）9．（3分）已知反比例函數y＝﹣，下列說法中正確的是（）A．該函數的圖象分布在第一、三象限 B．點（2，3）在該函數圖象上 C．y隨x的增大而增大 D．該圖象關于原點成中心對稱10．（3分）反比例函數y＝﹣與一次函數y＝kx﹣3在同一坐標系中的大致圖象可能是（）A． B． C． D．二.填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）方程x（x﹣1）＝x的解為．12．（3分）一天下午，小紅先參加了校運動會女子200m比賽，然后又參加了女子400m比賽，如圖所示，則小紅參加200m比賽的照片是．（填“圖1”或“圖2”）13．（3分）如圖，過x軸上任意點P作y軸的平行線，分別與反比例函數y＝（x＞0）（x＞0）的圖象交于A點和B點，若C為y軸任意一點．連接AB、BC．14．（3分）已知點P是線段AB的黃金分割點，AP＞BP，若AB＝6．15．（3分）正方形ABCD中，AB＝6，點E在直線AD上，且，線段BE的垂直平分線交CD邊于點F，則DF的長為．三.解答題（共8小題，共75分）16．（8分）解下列方程：（1）2x2﹣4x﹣1＝0；（2）（x﹣4）2＝2（x﹣4）．17．（8分）已知關于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0．（1）若方程有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍；（2）若x1，x2是方程的兩個不相等的實數根，且，求m的值．18．（10分）如圖，有四張背面相同的紙牌A、B、C、D，其正面分別畫有四個不同的幾何圖形（1）小紅從中隨機摸出一張，求摸出的牌面圖形是中心對稱圖形的概率為；（2）從這四張紙牌中隨機摸出一張，放回洗勻后再摸出一張，用樹狀圖或表格法19．（8分）如圖，在△ABC中，D是BC的中點，過點A作AF∥BC交CE的延長線于點F．（1）求證：FA＝BD；（2）連接BF，若AB＝AC，求證：四邊形ADBF是矩形．20．（9分）如圖，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函數y＝kx+b的圖象和反比例函數，直線AB與y軸交于點C．（1）求反比例函數和一次函數的關系式；（2）連接AO，求△AOC的面積；（3）不等式kx+b＜的解集是．21．（10分）公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規定．某頭盔經銷商統計了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；（2）若此種頭盔的進價為30元/個，測算在市場中，當售價為40元/個時，若在此基礎上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應定為多少元/個？22．（10分）如圖，?ABCD中，過點B作BE⊥CD于E，且∠BFE＝∠C．（1）求證：△ABF∽△EAD；（2）若AB＝3，AD＝2，∠BAE＝30°23．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°（1）如圖1，將線段AD繞著點A順時針旋轉90°，得到線段AE，判斷線段EB，BD，并證明；（2）在圖2中，在線段BD取一點F，使得DF＝DC，連接AG．①補全圖形；②判斷線段AG與AD的數量關系，并證明．

2023-2024學年遼寧省鐵嶺市昌圖縣九年級（上）期末數學試卷參考答案與試題解析一.選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）如圖所示的立體圖形是一個圓柱被截去四分之一后得到的幾何體，它的左視圖是（）A． B． C． D．【分析】根據從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案．【解答】解：從左邊看外邊是一個矩形，矩形中間有一條縱向的虛線，故選：C．【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖，注意看不到的線用虛線表示．2．（3分）如果2a＝5b（a，b均不為0），那么下列比例式中正確的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】由2a＝5b，根據比例的性質，即可求得答案．【解答】解：∵2a＝5b，（a，∴＝或＝或a＝．故選：C．【點評】此題考查了比例的性質．此題比較簡單，解題的關鍵是注意比例變形與比例的性質．3．（3分）在一個不透明的盒子里裝有只有顏色不同的黑、白兩種球共40個，小亮做摸球試驗，他將盒子內的球攪勻后從中隨機摸出一個球，不斷重復上述過程，對試驗結果進行統計后摸球的次數n10020030050080010001500摸到白球的次數m70128171302481599903摸到白球的頻率0.700.640.570.6040.6010.5990.602則下列結論中正確的是（）A．n越大，摸到白球的概率越接近0.7 B．當n＝2000時，摸到白球的次數m＝1200 C．當n很大時，摸到白球的頻率將會穩定在0.6附近 D．這個盒子中約有28個白球【分析】利用表格信息，可知當n很大時，摸到白球的頻率將會接近0.6，可以得到盒子內白球數24，黑球數16，由此即可判斷．【解答】解：當n很大時，摸到白球的頻率將會接近0.6，黑球數16；故A、D錯誤，m的值接近1200，故選：C．【點評】本題考查了用頻率估計概率的知識，解題的關鍵是能夠了解大量重復試驗中，事件發生的頻率約等于概率．4．（3分）在四邊形ABCD中，AC、BD交于點O，在下列條件中（）A．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90° B．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，AC⊥BD D．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD【分析】由平行四邊形的判定與性質、矩形的判定以及菱形的判定分別對各個選項進行判斷即可．【解答】解：A、∵AO＝CO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵∠BAD＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形，故選項A不符合題意；B、∵AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，故選項B不符合題意；C、∵∠ABC+∠BCD＝180°，∴AB∥CD，∵∠BAD＝∠BCD，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形，故選項C符合題意；D、∵∠BAD＝∠ABC＝90°，∴AD∥BC，在Rt△ABD和Rt△BAC中，，∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），∴AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，故選項D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質、矩形的判定、菱形的判定以及全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握矩形的判定和菱形的判定是解題的關鍵．5．（3分）如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點G（點G在CD，EF之間），CG＝2，GF＝4，則（）A． B． C． D．【分析】由AB∥CD∥EF，利用平行線分析線段成比例定理，可得出＝，再結合各邊的長度，即可得出的值．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，又∵AC＝3，CG＝2，∴CF＝CG+GF＝5+4＝6，∴＝＝．故選：A．【點評】本題考查了平行線分線段成比例，牢記“三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例”是解題的關鍵．6．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0時，配方后正確的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝17【分析】先把﹣1移到方程的右邊，然后方程兩邊都加4，再把左邊根據完全平方公式寫成完全平方的形式即可．【解答】解：∵x2﹣4x﹣6＝0，∴x2﹣6x＝1，∴x2﹣8x+4＝1+3，∴（x﹣2）2＝8．故選：C．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法：將一元二次方程配成（x+m）2＝n（n≥0）的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．7．（3分）如圖，菱形ABCD中，E、F分別是AB、AC的中點，則菱形ABCD的周長為（）A．24 B．18 C．12 D．9【分析】由三角形的中位線定理可得BC＝2EF＝6，即可求解．【解答】解：∵E、F分別是AB，∴BC＝2EF＝6，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝8，∴菱形ABCD的周長＝4×6＝24，故選：A．【點評】本題考查了菱形的性質，三角形中位線定理，是基礎題．8．（3分）在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點坐標分別是O（0，0），A（8，0），B（8，6），C（0，6）．已知矩形OA1B1C1O與矩形OABC位似，位似中心是原點O，且矩形OA1B1C1的面積等于矩形OABC面積的4倍，則點B1的坐標為（）A．（8，6） B．（8，6）或（﹣8，﹣6） C．（16，12） D．（16，12）或（﹣16，﹣12）【分析】根據位似圖形的性質求出兩個矩形的位似比，根據位似變換的性質計算，得到答案．【解答】解：∵矩形OA1B1C7O與矩形OABC位似，矩形OA1B1C3的面積等于矩形OABC面積的4倍，∴矩形OA1B8C1O與矩形OABC的位似比為2：2，∵矩形OA1B1C8O與矩形OABC位似，位似中心是原點O，6），∴點B1的坐標為（4×2，6×8）或（8×（﹣2），即（16，﹣12），故選：D．【點評】本題考查的是位似變換的概念和性質，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或﹣k．9．（3分）已知反比例函數y＝﹣，下列說法中正確的是（）A．該函數的圖象分布在第一、三象限 B．點（2，3）在該函數圖象上 C．y隨x的增大而增大 D．該圖象關于原點成中心對稱【分析】根據反比例函數的解析式得出函數的圖象在第二、四象限，函數的圖象在每個象限內，y隨x的增大而增大，再逐個判斷即可．【解答】解：A．∵反比例函數y＝﹣，∴該函數的圖象在第二、四象限；B．把（2得：左邊＝3，左邊≠右邊，所以點（2，6）不在該函數的圖象上；C．∵反比例函數y＝﹣，∴函數的圖象在每個象限內，y隨x的增大而增大；D．反比例函數y＝﹣、四象限，故本選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了反比例函數的圖象和性質，能熟記反比例函數的性質是解此題的關鍵．10．（3分）反比例函數y＝﹣與一次函數y＝kx﹣3在同一坐標系中的大致圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】分別利用k的取值，進而分析一次函數與反比例函數圖象的位置，進而得出答案．【解答】解：當k＞0時，一次函數y＝kx﹣3的圖象經過第一、三，反比例函數y＝﹣、四象限，當k＜2時，一次函數y＝kx﹣3的圖象經過第二、三，反比例函數y＝﹣、三象限，四個選項中只有C符合，故選：C．【點評】此題主要考查了一次函數與反比例函數的圖象，關鍵是熟練掌握兩個函數圖象的性質．二.填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）方程x（x﹣1）＝x的解為x1＝0，x2＝2．【分析】移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x（x﹣1）＝x，x（x﹣1）﹣x＝3，x（x﹣1﹣1）＝5，x＝0，x﹣1﹣5＝0，x1＝6，x2＝2．故答案為：x2＝0，x2＝5．【點評】本題考查了解一元二次方程的應用，能把一元二次方程轉化成一元一次方程是解此題的關鍵．12．（3分）一天下午，小紅先參加了校運動會女子200m比賽，然后又參加了女子400m比賽，如圖所示，則小紅參加200m比賽的照片是圖2．（填“圖1”或“圖2”）【分析】通過比較人的影子的長短可判斷時間的先后順序．【解答】解：圖1中的人的影子比較長，所以圖1中反映的時間比圖8中反映的時間要晚，所以小紅參加200m比賽的照片為圖2．故答案為圖2．【點評】本題考查了平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽光的照射下形成的影子就是平行投影．13．（3分）如圖，過x軸上任意點P作y軸的平行線，分別與反比例函數y＝（x＞0）（x＞0）的圖象交于A點和B點，若C為y軸任意一點．連接AB、BC．【分析】設出點P坐標，分別表示點A、B坐標，表示△ABC面積．【解答】解：設點P坐標為（a，0）則點A坐標為（a，），B點坐標為（a，﹣）∴S△ABC＝S△APC+S△CPB＝+＝＝．故答案為：．【點評】本題考查反比例函數系數k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點分別向兩條坐標軸作垂線，與坐標軸圍成的矩形面積就等于|k|．14．（3分）已知點P是線段AB的黃金分割點，AP＞BP，若AB＝69﹣3．【分析】根據黃金分割的定義得到AP＝AB，再把把AB＝6代入可計算出AP的長，然后計算AB﹣AP即可．【解答】解：∵點P是線段AB的黃金分割點，∴AP＝AB＝6×﹣5，∴BP＝AB﹣AP＝6﹣（3﹣3）＝9﹣3．故答案為9﹣3．【點評】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC＝AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．15．（3分）正方形ABCD中，AB＝6，點E在直線AD上，且，線段BE的垂直平分線交CD邊于點F，則DF的長為或．【分析】以B為原點，BC所在直線為x軸，建立直角坐標系，連接BF，EF，分兩種情況：①當E在AD延長線上時，可得E（9，6），根據線段BE的垂直平分線交CD邊于點F，設F（6，m），有62+m2＝（9﹣6）2+（6﹣m）2，即可解得F（6，），故DF＝6﹣＝；②當E在線段AD上時，同理可得DF＝．【解答】解：以B為原點，BC所在直線為x軸，連接BF，①當E在AD延長線上時，如圖：∵正方形ABCD中，AB＝6，∴BC＝6＝AD，直線CD解析式為x＝6，∵DE＝AE，∴DE＝AD＝3，∴AE＝6，∴E（9，6），∵線段BE的垂直平分線交CD邊于點F，∴BF＝EF，設F（6，m）2+m2＝（7﹣6）2+（2﹣m）2，解得m＝，∴F（6，），∵D（6，6），∴DF＝8﹣＝；②當E在線段AD上時，如圖：∵DE＝AE，∴DE＝AD＝，∴AE＝，∴E（，6），設F（5，n），由BF＝EF可得62+n3＝（6﹣）2+（n﹣6）8，解得n＝，∴F（6，），∵D（6，6），∴DF＝8﹣＝；故答案為：或．【點評】本題考查正方形的性質及應用，涉及勾股定理及應用，平面直角坐標系等知識，解題的關鍵是建立平面直角坐標系，求出點F的坐標．三.解答題（共8小題，共75分）16．（8分）解下列方程：（1）2x2﹣4x﹣1＝0；（2）（x﹣4）2＝2（x﹣4）．【分析】（1）根據公式法解一元二次方程，即可求解；（2）根據因式分解法解一元二次方程，即可求解．【解答】解：（1）2x2﹣8x﹣1＝0，∴a＝6，b＝﹣4，Δ＝b2﹣2ac＝16+8＝24，∴，解得：；（2）（x﹣4）3＝2（x﹣4），∴（x﹣3）2﹣2（x﹣4）＝0，∴（x﹣4）（x﹣5﹣2）＝0，∴x﹣7＝0或x﹣6＝5，解得x1＝4，x7＝6．【點評】本題考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法、公式法及配方法是解題的關鍵．17．（8分）已知關于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0．（1）若方程有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍；（2）若x1，x2是方程的兩個不相等的實數根，且，求m的值．【分析】（1）根據根與系數的關系求出答案即可；（2）根據根與系數的關系求出兩根之和與兩根之積，將轉化為關于m的方程求解即可．【解答】解：（1）由題意可知Δ＝b2﹣4ac＝[﹣2（m﹣1）]2﹣8m2＞0，化簡得Δ＝[﹣3（m﹣1）]2﹣4m2＝﹣8m+7＞0，解得；（2）由題意知，，∵，∴，即，化簡得m2+m﹣1＝2，解得m＝，∵，∴m＝．【點評】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握根與系數的關系是解題的關鍵．18．（10分）如圖，有四張背面相同的紙牌A、B、C、D，其正面分別畫有四個不同的幾何圖形（1）小紅從中隨機摸出一張，求摸出的牌面圖形是中心對稱圖形的概率為；（2）從這四張紙牌中隨機摸出一張，放回洗勻后再摸出一張，用樹狀圖或表格法【分析】（1）直接根據概率公式計算即可．（2）首先畫出樹狀圖或列表列出可能的情況，再根據中心對稱圖形的概念可知，當摸出圓和平行四邊形時為中心對稱圖形，除以總情況數即可．【解答】解：（1）共有4張牌，正面是中心對稱圖形的情況有2種；故答案為：；（2）列樹狀圖得：共產生16種結果，每種結果出現的可能性相同，∴P（兩張都是中心對稱圖形）＝＝．【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗．正確利用樹狀圖分析兩次摸牌所有可能結果是關鍵，區分中心對稱圖形是要點．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．19．（8分）如圖，在△ABC中，D是BC的中點，過點A作AF∥BC交CE的延長線于點F．（1）求證：FA＝BD；（2）連接BF，若AB＝AC，求證：四邊形ADBF是矩形．【分析】（1）證明△AEF≌△DEC（AAS），由全等三角形的性質得出AF＝DC，則可得出結論；（2）證出四邊形ADBF是平行四邊形，由等腰三角形的性質得出AD⊥BC，則可得出結論．【解答】（1）證明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，又∵E為AD的中點，∴AE＝DE，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF＝DC，又∵D為BC的中點，∴BD＝CD，∴AF＝BD；（2）證明：∵AF＝BD，AF∥BD，∴四邊形ADBF是平行四邊形，∵AB＝AC，D為BC的中點，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四邊形ADBF是矩形．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定，等腰三角形的性質，矩形的判定，證明△AEF≌△DEC是解題的關鍵．20．（9分）如圖，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函數y＝kx+b的圖象和反比例函數，直線AB與y軸交于點C．（1）求反比例函數和一次函數的關系式；（2）連接AO，求△AOC的面積；（3）不等式kx+b＜的解集是x＜﹣2或0＜x＜1．【分析】（1）把B點坐標代入反比例函數解析式可求得反比例函數解析式，則可求得A點坐標，再由A、B兩點坐標可求得一次函數解析式；（2）根據一次函數解析式可求得C點的坐標，則可求得OC的長度，且根據A點的坐標可求得A到OC的距離，可求得△AOC的面積；（3）根據兩函數圖象的交點即可求出反比例函數的值大于一次函數的值時x的取值范圍．【解答】解：（1）∵B點（1，4）在反比例函數，∴m＝8×4＝4，∴反比例函數解析式為y＝，∵A點（n，﹣2）在反比例函數y＝，∴n＝﹣6，即A點坐標為（﹣2，又∵A、B兩點在一次函數圖象上，∴代入一次函數解析式y＝kx+b可得，解得．∴一次函數解析式為y＝2x+2；（2）在y＝8x+2中，令x＝0可得y＝3，∴C點坐標為（0，2），∴OC＝4，又∵A為（﹣2，﹣2），∴A到OC的距離為4，∴S△AOC＝×2×2＝2；（3）∵由一次函數與反比例函數的圖象可知，當x＜﹣4或0＜x＜1時反比例函數的圖象在一次函數圖象的上方，∴當x＜﹣5或0＜x＜1時，反比例函數的值大于一次函數的值，即不等式kx+b＜的解集是x＜﹣8或0＜x＜1，故答案為x＜﹣5或0＜x＜1．【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，要求學生能夠熟練運用待定系數法求得函數的解析式；能夠運用數形結合的思想觀察兩個函數值的大小關系．21．（10分）公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規定．某頭盔經銷商統計了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；（2）若此種頭盔的進價為30元/個，測算在市場中，當售價為40元/個時，若在此基礎上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應定為多少元/個？【分析】（1）設該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，根據該品牌頭盔4月份及6月份的月銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（2）根據月銷售利潤＝每個頭盔的利潤×月銷售量，即可得出關于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出結論．【解答】解：（1）設該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，依題意，得：150（1+x）2＝216，解得：x6＝0.2＝20%，x6＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%．（2）設該品牌頭盔的實際售價為y元，依題意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，整理，得：y7﹣130y+4000＝0，解得：y1＝80（不合題意，舍去），y2＝50，答：該品牌頭盔的實際售價應定為50元．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．22．（10分）如圖，?ABCD中，過點B作BE⊥CD于E，且∠BFE＝∠C．（1）求證：△ABF∽△EAD；（2）若AB＝3，AD＝2，∠BAE＝30°【分析】（1）由平行四邊形的性質結合條件可得到∠BAF＝∠AED，∠AFB＝∠EDA，據此即可證得結論；（2）由平行線的性質可知∠ABE＝90°，在Rt△ABE中，由含30°角直角三角形的性質及勾股定理可求得AE，再根據相似三角形的性質即可解答．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴∠C+∠EDA＝180°，∠BAF＝∠AED，∵∠BFE＝∠C，∠BFE+∠AFB＝180°，∴∠AFB＝∠EDA，∴△ABF∽△EAD；（2）解：∵AB∥CD，BE⊥CD，∴∠ABE＝∠BEC＝90°，∵∠BAE＝30°，∴，在Rt△ABE中，AE8＝AB2+BE2，AB＝8，得，解得或﹣2，舍去），∵△ABF∽△EAD，∴，得，解得，故BF的長為．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質、平行四邊形的性質、30°角的直角三角形的性質、勾股定理等知識，掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．23．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°（1）如圖1，將線段AD繞著點A順時針旋轉90°，得到線段AE，判斷線段EB，BD，并證明；（