動態(tài)規(guī)劃硬幣問題匯報人：<XXX>2024-01-11問題描述動態(tài)規(guī)劃解決方案算法實現(xiàn)復(fù)雜度分析案例分析結(jié)論與展望目錄CONTENTS01問題描述硬幣面值問題假設(shè)有一系列不同面值的硬幣，我們要找出組合這些硬幣以最小數(shù)量來湊齊某個金額的方法。動態(tài)規(guī)劃的應(yīng)用動態(tài)規(guī)劃是一種通過將問題分解為子問題并存儲子問題的解來避免重復(fù)計算的技術(shù)。在硬幣面值問題中，我們可以使用動態(tài)規(guī)劃來找到最小的硬幣數(shù)量。問題背景目標(biāo)給定一個目標(biāo)金額和一系列不同面值的硬幣，找出組合這些硬幣以最小數(shù)量來湊齊目標(biāo)金額的方法。輸入目標(biāo)金額（整數(shù)），硬幣面值列表（整數(shù)列表）。輸出最小硬幣數(shù)量（整數(shù)）。問題定義02動態(tài)規(guī)劃解決方案動態(tài)規(guī)劃的定義動態(tài)規(guī)劃是一種通過將問題分解為子問題并將其結(jié)果存儲在表格中以避免重復(fù)計算的方法，從而有效地解決最優(yōu)化問題。在動態(tài)規(guī)劃中，我們定義狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程來描述當(dāng)前狀態(tài)如何轉(zhuǎn)移到下一個狀態(tài)，并使用最優(yōu)解的遞推關(guān)系來逐步構(gòu)建最終的解決方案。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程描述了如何從當(dāng)前狀態(tài)轉(zhuǎn)移到下一個狀態(tài)，它通常表示為dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1])+coins[i-1]*x[i-1]，其中dp[i][j]表示前i個硬幣能組成的最小數(shù)量，coins[i-1]表示第i個硬幣的面值，x[i-1]表示第i個硬幣的數(shù)量。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程最優(yōu)解的遞推關(guān)系是動態(tài)規(guī)劃的核心，它通過逐步構(gòu)建最優(yōu)解來解決問題。在硬幣問問題中，最優(yōu)解的遞推關(guān)系可以表示為dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-coins[i-1]*x[i-1]])，其中dp[i][j]表示前i個硬幣能組成的最小數(shù)量，coins[i-1]表示第i個硬幣的面值，x[i-1]表示第i個硬幣的數(shù)量。最優(yōu)解的遞推關(guān)系03算法實現(xiàn)03初始化一個變量total為目標(biāo)金額，用來存儲需要湊齊的金額。01初始化一個空數(shù)組dp，長度為n+1，用來存儲每種狀態(tài)的最優(yōu)解。02初始化一個空數(shù)組coins，長度為n，用來存儲硬幣的面值。初始化階段遍歷金額從1到total，對于每個金額i，遍歷硬幣從0到n-1，對于每個硬幣j，判斷使用該硬幣是否能湊齊金額i。如果能，則更新dp[i]為dp[i]和dp[i-coins[j]]+coins[j]中的較大值。在動態(tài)規(guī)劃過程中，需要記錄每個金額的最優(yōu)解，以便在回溯階段使用。動態(tài)規(guī)劃階段123從total開始向前回溯，對于每個金額i，如果dp[i]的值大于0，則表示可以使用某些硬幣湊齊金額i。在回溯過程中，需要記錄湊齊金額i所使用的硬幣面值和個數(shù)，以便輸出結(jié)果。回溯到金額為0時，表示已經(jīng)湊齊了所有需要的金額，此時輸出結(jié)果即可。回溯階段04復(fù)雜度分析在動態(tài)規(guī)劃中，最壞情況下的時間復(fù)雜度通常取決于問題的規(guī)模和狀態(tài)數(shù)量的最大值。對于硬幣兌換問題，最壞情況下的時間復(fù)雜度為O(n*m)，其中n為硬幣面額的最大值，m為總金額的位數(shù)。確定最壞情況下的時間復(fù)雜度時間復(fù)雜度的計算依據(jù)是狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的遞推關(guān)系和狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程中所需的時間。在硬幣兌換問題中，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程表示為dp[i][j]，其中i表示當(dāng)前硬幣面額，j表示當(dāng)前剩余金額。計算時間復(fù)雜度的依據(jù)時間復(fù)雜度確定最壞情況下的空間復(fù)雜度在動態(tài)規(guī)劃中，最壞情況下的空間復(fù)雜度通常取決于狀態(tài)數(shù)量的最大值。對于硬幣兌換問題，最壞情況下的空間復(fù)雜度為O(n*m)，其中n為硬幣面額的最大值，m為總金額的位數(shù)。計算空間復(fù)雜度的依據(jù)空間復(fù)雜度的計算依據(jù)是動態(tài)規(guī)劃過程中所需的狀態(tài)數(shù)組的大小。在硬幣兌換問題中，需要使用一個二維數(shù)組dp來保存狀態(tài)，因此空間復(fù)雜度為O(n*m)。空間復(fù)雜度05案例分析

硬幣面值組合硬幣面值組合硬幣面值組合是指給定一組硬幣，每種硬幣有不同的面值，我們需要找出使用這些硬幣來湊齊某個金額的所有可能組合。解決方案使用動態(tài)規(guī)劃算法來解決硬幣面值組合問題。通過定義狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，將問題分解為更小的子問題，并利用子問題的解來求解原問題。適用場景硬幣面值組合問題在現(xiàn)實生活中有廣泛的應(yīng)用，如支付、找零等場景。解決方案使用動態(tài)規(guī)劃算法來解決硬幣面值范圍問題。通過定義狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，將問題分解為更小的子問題，并利用子問題的解來求解原問題。硬幣面值范圍硬幣面值范圍是指給定的硬幣面值的上限和下限，我們需要找出在這個范圍內(nèi)的所有可能的硬幣面值組合。適用場景硬幣面值范圍問題在現(xiàn)實生活中有廣泛的應(yīng)用，如支付、找零等場景。硬幣面值范圍硬幣數(shù)量限制是指在使用硬幣時，每種面值的硬幣只能使用一定數(shù)量的次數(shù)。硬幣數(shù)量限制使用動態(tài)規(guī)劃算法來解決硬幣數(shù)量限制問題。通過定義狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，將問題分解為更小的子問題，并利用子問題的解來求解原問題。解決方案硬幣數(shù)量限制問題在現(xiàn)實生活中有廣泛的應(yīng)用，如支付、找零等場景。適用場景硬幣數(shù)量限制06結(jié)論與展望結(jié)論總結(jié)動態(tài)規(guī)劃是解決硬幣問題的有效方法，通過將問題分解為子問題并存儲子問題的解，避免了重復(fù)計算，提高了求解效率。在硬幣面值和數(shù)量不同的情況下，動態(tài)規(guī)劃能夠給出最優(yōu)解，即兌換過程中所需的最少硬幣數(shù)。動態(tài)規(guī)劃在解決硬幣問題時，具有時間復(fù)雜度低、空間復(fù)雜度適中的優(yōu)點，適用于大規(guī)模問題求解。考慮硬幣面值的限制01在實際應(yīng)用中，硬幣的面值可能存在限制，例如某些國家或地區(qū)可能不發(fā)行特定面值的硬幣。因此，在求解硬幣問題時，需要考慮硬幣面值的限制條件。硬幣數(shù)量的動態(tài)變化02在某些情況下，硬幣的數(shù)量可能會動態(tài)變化，例如某些自動售貨機可能會根據(jù)商品價格動態(tài)調(diào)整需要找零的硬幣數(shù)量。研究硬幣數(shù)量動態(tài)變化下的最優(yōu)解問題，具有重