2024屆湖北省鄂州市數學高一第二學期期末達標測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知圓與直線及都相切，圓心在直線上，則圓的方程為（）A． B．C． D．2．如圖為A、B兩名運動員五次比賽成績的莖葉圖，則他們的平均成績和方差的關系是（）A．， B．，C．， D．，3．已知數列是等比數列，若，且公比，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知向量，滿足：則A． B． C． D．5．已知直線，，若，則（）A．2 B． C． D．16．在中，，則的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形7．下列說法正確的是（）A．銳角是第一象限的角，所以第一象限的角都是銳角;B．如果向量，則；C．在中，記，，則向量與可以作為平面ABC內的一組基底；D．若，都是單位向量，則.8．袋中裝有紅球3個、白球2個、黑球1個，從中任取2個，則互斥而不對立的兩個事件是A．至少有一個白球；都是白球 B．至少有一個白球；至少有一個紅球C．至少有一個白球；紅、黑球各一個 D．恰有一個白球；一個白球一個黑球9．已知向量滿足.為坐標原點，.曲線，區域.若是兩段分離的曲線，則()A． B． C． D．10．等比數列中,,,則公比()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數列{an}的前n項和為Sn，滿足：a2＝2a1，且Sn＝+1（n≥2），則數列{an}的通項公式為_______．12．在中，角、、所對應邊分別為、、，，的平分線交于點，且，則的最小值為______13．過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，則________.14．不等式的解集是_________________15．某市三所學校有高三文科學生分別為500人，400人，300人，在三月進行全市聯考后，準備用分層抽樣的方法從三所高三文科學生中抽取容量為24的樣本，進行成績分析，則應從校高三文科學生中抽取_____________人．16．若，且，則的最小值為_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知等比數列的前n項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）記，求的前n項和.18．某城市交通部門為了對該城市共享單車加強監管，隨機選取了100人就該城市共享單車的推行情況進行問卷調查，并將問卷中的這100人根據其滿意度評分值（百分制）按照分成5組，制成如圖所示頻率分直方圖.（1）求圖中x的值；（2）求這組數據的平均數和中位數；（3）已知滿意度評分值在內的男生數與女生數3:2，若在滿意度評分值為的人中隨機抽取2人進行座談，求2人均為男生的概率.19．已知圓.（1）求圓的半徑和圓心坐標；（2）斜率為的直線與圓相交于、兩點，求面積最大時直線的方程.20．如圖長方體中，，分別為棱，的中點（1）求證:平面平面；（2）請在答題卡圖形中畫出直線與平面的交點（保留必要的輔助線），寫出畫法并計算的值（不必寫出計算過程）．21．的內角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

由平行線間的距離公式求出圓的直徑，然后設出圓心，由點到兩條切線的距離都等于半徑，求出,即可求得圓的方程.【題目詳解】因為兩條直線與平行,所以它們之間的距離即為圓的直徑,所以,所以.設圓心坐標為,則點到兩條切線的距離都等于半徑,所以,,解得,故圓心為,所以圓的標準方程為.故選：.【題目點撥】本題主要考查求解圓的方程,同時又進一步考查了直線與圓的位置關系,圓的切線性質等.本題也注重考查審題能力,分析問題和解決問題的能力.難度較易.2、D【解題分析】

根據題中數據，直接計算出平均值與方差，即可得出結果.【題目詳解】由題中數據可得，，，所以；又，，所以.故選D【題目點撥】本題主要考查平均數與方差的比較，熟記公式即可，屬于基礎題型.3、C【解題分析】

由可得，結合可得結果.【題目詳解】，，，，，，故選C.【題目點撥】本題主要考查等比數列的通項公式，意在考查對基礎知識的掌握與應用，屬于基礎題.4、D【解題分析】

利用向量的數量積運算及向量的模運算即可求出．【題目詳解】∵||=3，||=2，|+|=4，∴|+|2=||2+||2+2=16，∴2=3，∴|﹣|2=||2+||2﹣2=9+4﹣3=10，∴|﹣|=，故選D．【題目點撥】本題考查了向量的數量積運算和向量模的計算，屬于基礎題．5、D【解題分析】

當為,為,若,則,由此求解即可【題目詳解】由題,因為,所以,即,故選:D【題目點撥】本題考查已知直線垂直求參數問題,屬于基礎題6、B【解題分析】

將,分別代入中,整理可得,即可得到,進而得到結論【題目詳解】由題可得,即在中,,,即又,是直角三角形,故選B【題目點撥】本題考查三角形形狀的判定,考查和角公式,考查已知三角函數值求角7、C【解題分析】

可舉的角在第一象限，但不是銳角，可判斷A；考慮兩向量是否為零向量，可判斷B；由不共線，推得與不共線，可判斷C；考慮兩向量的方向可判斷D，得到答案．【題目詳解】對于A，銳角是第一象限的角，但第一象限的角不一定為銳角，比如的角在第一象限，但不是銳角，故A錯誤；對于B，如果兩個非零向量滿足，則，若存在零向量，結論不一定成立，故B錯誤；對于C，在中，記，可得與不共線，則向量與可以作為平面內的一組基底，故C正確；對于D，若都是單位向量，且方向相同時，；若方向不相同，結論不成立，所以D錯誤．故選C．【題目點撥】本題主要考查了命題的真假判斷，主要是向量共線和垂直的條件，著重考查了判斷能力和分析能力，屬于基礎題．8、C【解題分析】

由題意逐一考查所給的事件是否互斥、對立即可求得最終結果.【題目詳解】袋中裝有紅球3個、白球2個、黑球1個，從中任取2個，逐一分析所給的選項：在A中，至少有一個白球和都是白球兩個事件能同時發生，不是互斥事件，故A不成立．在B中，至少有一個白球和至少有一個紅球兩個事件能同時發生，不是互斥事件，故B不成立；在C中，至少有一個白球和紅、黑球各一個兩個事件不能同時發生但能同時不發生，是互斥而不對立的兩個事件，故C成立；在D中，恰有一個白球和一個白球一個黑球兩個事件能同時發生，不是互斥事件，故D不成立；本題選擇C選項.【題目點撥】“互斥事件”與“對立事件”的區別：對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件．9、A【解題分析】

不妨設，由得出點的坐標，根據題意得出曲線表示一個以為圓心，為半徑的圓，區域表示以為圓心，內徑為，外徑為的圓環，再由是兩段分離的曲線，結合圓與圓的位置關系得出的取值.【題目詳解】不妨設則，所以，則曲線表示一個以為圓心，為半徑的圓因為區域，所以區域表示以為圓心，內徑為，外徑為的圓環由于是兩段分離的曲線，則該兩段曲線分別為上圖中的要使得是分離的曲線，則所在的圓與圓相交于不同的兩點所以，即故選：A【題目點撥】本題主要考查了集合的應用以及由圓與圓的位置關系確定參數的范圍，屬于中檔題.10、B【解題分析】

將與用首項和公比表示出來，解方程組即可.【題目詳解】因為，且，故：，且，解得：，即，故選：B.【題目點撥】本題考查求解等比數列的基本量，屬基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

推導出a1＝1，a2＝2×1＝2，當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1，即，由此利用累乘法能求出數列{an}的通項公式．【題目詳解】∵數列{an}的前n項和為Sn，滿足：a2＝2a1，且Sn1（n≥2），∴a2＝S2﹣S1＝a2+1﹣a1，解得a1＝1，a2＝2×1＝2，∴，解得a3＝4，，解得a4＝6，當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1，即，∴n≥2時，22n﹣2，∴數列{an}的通項公式為．故答案為：．【題目點撥】本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的通項公式與前n項和公式的關系，考查運算求解能力，分類討論是本題的易錯點，是基礎題．12、18【解題分析】

根據三角形面積公式找到的關系，結合基本不等式即可求得最小值.【題目詳解】根據題意，，因為的平分線交于點，且，所以而所以，化簡得則當且僅當，即，時取等號，即最小值為.故答案為：【題目點撥】本題考查三角形面積公式和基本不等式，考查計算能力，屬于中等題型13、【解題分析】

討論斜率不存在和斜率存在兩種情況，分別計算得到答案.【題目詳解】拋物線的焦點F為，當斜率不存在時，易知，故；當斜率存在時，設，故，即，故，.綜上所述：.故答案為：.【題目點撥】本題考查了拋物線中線段長度問題，意在考查學生的計算能力和轉化能力.14、【解題分析】

可先求出一元二次方程的兩根，即可得到不等式的解集.【題目詳解】由于的兩根分別為：，，因此不等式的解集是.【題目點撥】本題主要考查一元二次不等式的求解，難度不大.15、8【解題分析】

利用分層抽樣中比例關系列方程可求.【題目詳解】由已知三所學校總人數為500+400+300=1200，設從校高三文科學生中抽取x人，由分層抽樣的要求及抽取樣本容量為24，所以，，故答案為8.【題目點撥】本題考查分層抽樣，考查計算求解能力，屬于基本題.16、【解題分析】

將變換為，展開利用均值不等式得到答案.【題目詳解】若，且，則時等號成立.故答案為【題目點撥】本題考查了均值不等式，“1”的代換是解題的關鍵.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）直接利用等比數列公式計算得到答案.（2），，利用錯位相減法計算得到答案.【題目詳解】（1）設等比數列的首項為，公比為，顯然.，.兩式聯立得:，，.（2），所以.則，①，②，①-②得：.所以.【題目點撥】本題考查了等比數列通項公式，錯位相減法，意在考查學生對于數列公式方法的靈活運用.18、（1）0.02（2）平均數77，中位數（3）.【解題分析】

（1）由頻率分布直方圖的性質列方程能求出x．（2）由頻率分布直方圖能求出這組數據的平均數和中位數．（3）滿意度評分值在[50，60）內有5人，其中男生3人，女生2人，記“滿意度評分值為[50，60）的人中隨機抽取2人進行座談，2人均為男生”為事件A，利用古典概型能求出2人均為男生的概率．【題目詳解】（1）由，解得.（2）這組數據的平均數為.中位數設為m，則，解得.（3）滿意度評分值在內有人，其中男生3人，女生2人.記為記“滿意度評分值為的人中隨機抽取2人進行座談，2人均為男生”為事件A則總基本事件個數為10個，A包含的基本事件個數為3個，利用古典概型概率公式可知.【題目點撥】本題考查頻率平均數、中位數、概率的求法，考查頻率分布直方圖的性質、古典概型等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．19、（1）圓的圓心坐標為，半徑為；（2）或．【解題分析】

（1）將圓的方程化為標準方程，可得出圓的圓心坐標和半徑；（2）設直線的方程為，即，設圓心到直線的距離，計算出直線截圓的弦長，利用基本不等式可得出的最大值以及等號成立時對應的的值，利用點的到直線的距離可解出實數的值.【題目詳解】（1）將圓的方程化為標準方程得，因此，圓的圓心坐標為，半徑為；（2）設直線的方程為，即，設圓心到直線的距離，則，且，的面積為，當且僅當時等號成立，由點到直線的距離公式得，解得或.因此，直線的方程為或．【題目點撥】本題考查圓的一般方程與標準方程之間的互化，以及直線截圓所形成的三角形的面積，解題時要充分利用幾何法將直線截圓所得弦長表示出來，在求最值時，可利用基本不等式、函數的單調性來求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.20、(1)見證明；(2)；畫圖見解析【解題分析】

（1）推導出平面，得出，得出，從而得到，進而證出平面，由此證得平面平面．（2）根據通過輔助線推出線面平行再推出線線平行，再根據“一條和平面不平行的直線與平面的公共點即為直線與平面的交點”得到點位置，然后計算的值．【題目詳解】（1）證明：在長方體中，，分別為棱，的中點，所以平面，則，在中，，在中，，所以，因為在中，，所以，所以，又因為，所以平面，因為平面，所以平面平面（2）如圖所示：設，連接，取中點記為，過作，且，則.證明：因為為中點，所以且；又因為，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，則；又因為，所以，且平面，所以平面；又因為，則，平面，即點為直線與平面的交點；因為，所以，則；且有上述證明可知：四邊形為平行四邊形，所以，所以，因為，.【題目點撥】本題考查線面位置關系的判定與證明，熟練掌握空間中線面位置關系的定義、判定、幾何特征是解答的關鍵，其中垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型：(1)證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行；(2)證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直；(3)證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直．21、(1);(2).【解題分析】

(1)利用正弦定理化簡題中等式，得到關于B的三