北京市密云區2024屆數學高一第二學期期末質量跟蹤監視試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數，且不等式的解集為，則函數的圖象為（）A． B．C． D．2．已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（）A．若則 B．若則C．若則 D．若則3．《孫子算經》是中國古代重要的數學著作．其中的一道題“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．問：得幾何？”意思是：“有一塊棱長為3尺的正方體方木，要把它作成邊長為5寸的正方體枕頭，可作多少個？”現有這樣的一個正方體木料，其外周已涂上油漆，則從切割后的正方體枕頭中任取一塊，恰有一面涂上油漆的概率為()A． B． C． D．4．在△中，已知，，，則△的面積等于()A．6 B．12 C． D．5．已知點A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直線y＝ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是（）A．（0，1） B． C． D．6．已知點是直線上一動點、是圓的兩條切線，、是切點，若四邊形的最小面積是，則的值為（）A． B． C． D．7．已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點與底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的體積等于()A．π B．πC．16π D．32π8．若，則的最小值為（）A． B． C． D．9．直線經過點和，則直線的傾斜角為（）A． B． C． D．10．已知各項均不為零的數列，定義向量，，．下列命題中真命題是()A．若對任意的，都有成立，則數列是等差數列B．若對任意的，都有成立，則數列是等比數列C．若對任意的，都有成立，則數列是等差數列D．若對任意的，都有成立，則數列是等比數列二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，為測量山高，選擇和另一座山的山頂為測量觀測點，從點測得的仰角，點的仰角以及；從點測得；已知山高，則山高__________．12．在直角坐標系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在，此時圓上一點P的位置在，圓在x軸上沿正向滾動．當圓滾動到圓心位于時，的坐標為________．13．已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，的面積等于，則外接圓的面積為______．14．在等差數列中，若，則的前13項之和等于______.15．已知向量、滿足：，，，則_________.16．方程，的解集是__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖所示，在三棱柱中，與都為正三角形，且平面，分別是的中點.求證：（1）平面平面；（2）平面平面.18．總書記在黨的十九大報告中指出，要在“幼有所育、學有所教、勞有所得、病有所醫、老有所養、住有所居、弱有所扶”上不斷取得新進展，保證全體人民在共建共享發展中有更多獲得感．現S市政府針對全市10所由市財政投資建設的敬老院進行了滿意度測評，得到數據如下表：敬老院ABCDEFGHIK滿意度x（%）20342519262019241913投資原y（萬元）80898978757165626052（1）求投資額關于滿意度的相關系數；（2）我們約定：投資額關于滿意度的相關系數的絕對值在0.75以上（含0.75）是線性相關性較強，否則，線性相關性較弱.如果沒有達到較強線性相關，則采取“末位淘汰”制（即滿意度最低的敬老院市財政不再繼續投資，改為區財政投資）.求在剔除“末位淘汰”的敬老院后投資額關于滿意度的線性回歸方程（系數精確到0.1）參考數據：，，，，.附：對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：.線性相關系數.19．已知函數.（1）求證：；（2）若角滿足，求銳角的取值范圍.20．某“雙一流A類”大學就業部從該校2018年已就業的大學本科畢業生中隨機抽取了100人進行問卷調查，其中一項是他們的月薪收入情況，調查發現，他們的月薪收入在人民幣1.65萬元到2.35萬元之間，根據統計數據分組，得到如下的頻率分布直方圖：（1）為感謝同學們對這項調查工作的支持，該校利用分層抽樣的方法從樣本的前兩組中抽出6人，各贈送一份禮品，并從這6人中再抽取2人，各贈送某款智能手機1部，求獲贈智能手機的2人月薪都不低于1.75萬元的概率；（2）同一組數據用該區間的中點值作代表.（i）求這100人月薪收入的樣本平均數x和樣本方差s2（ii）該校在某地區就業的本科畢業生共50人，決定于2019國慶長假期間舉辦一次同學聯誼會，并收取一定的活動費用，有兩種收費方案：方案一：設Ω=[x-s-0.018,x+s+0.018)，月薪落在區間Ω左側的每人收取400元，月薪落在區間方案二：按每人一個月薪水的3%收取；用該校就業部統計的這100人月薪收入的樣本頻率進行估算，哪一種收費方案能收到更多的費用？參考數據：174≈13.221．在中，角，，所對的邊分別為，，，．（1）求角的大小；（2）若，的面積為，求及的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】本題考查二次函數圖像，二次方程的根，二次不等式的解集三者之間的關系.不等式的解集為,所以方程的兩根是則解得所以則故選B2、D【解題分析】

A項，可能相交或異面,當時，存在，，故A項錯誤；B項，可能相交或垂直,當

時，存在，，故B項錯誤；C項，可能相交或垂直,當

時，存在，，故C項錯誤；D項，垂直于同一平面的兩條直線相互平行，故D項正確,故選D.本題主要考查的是對線，面關系的理解以及對空間的想象能力.考點：直線與平面、平面與平面平行的判定與性質；直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質.3、C【解題分析】

有一塊棱長為3尺的正方體方木，要把它作成邊長為5寸的正方體枕頭，可作216個，由正方體的結構及鋸木塊的方法，可知一面帶有紅漆的木塊是每個面的中間那16塊，共有6×16＝96個，由此能求出從切割后的正方體枕頭中任取一塊，恰有一面涂上油漆的概率．【題目詳解】有一塊棱長為3尺的正方體方木，要把它作成邊長為5寸的正方體枕頭，可作216個，由正方體的結構及鋸木塊的方法，可知一面帶有紅漆的木塊是每個面的中間那16塊，共有6×16＝96個，∴從切割后的正方體枕頭中任取一塊，恰有一面涂上油漆的概率：p．故選C．【題目點撥】本題考查概率的求法，考查古典概型、正方體的結構特征等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．對于古典概型，要求事件總數是可數的，滿足條件的事件個數可數，使得滿足條件的事件個數除以總的事件個數即可.4、C【解題分析】

通過A角的面積公式,代入數據易得面積．【題目詳解】故選C【題目點撥】此題考查三角形的面積公式，代入數據即可，屬于簡單題目．5、B【解題分析】

先求得直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的交點為M（，0），由0可得點M在射線OA上．求出直線和BC的交點N的坐標，①若點M和點A重合，求得b；②若點M在點O和點A之間，求得b；③若點M在點A的左側，求得b＞1．再把以上得到的三個b的范圍取并集，可得結果．【題目詳解】由題意可得，三角形ABC的面積為1，由于直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的交點為M（，0），由直線y＝ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，可得b＞0，故0，故點M在射線OA上．設直線y＝ax+b和BC的交點為N，則由可得點N的坐標為（，）．①若點M和點A重合，如圖：則點N為線段BC的中點，故N（，），把A、N兩點的坐標代入直線y＝ax+b，求得a＝b．②若點M在點O和點A之間，如圖：此時b，點N在點B和點C之間，由題意可得三角形NMB的面積等于，即，即，可得a0，求得b，故有b．③若點M在點A的左側，則b，由點M的橫坐標1，求得b＞a．設直線y＝ax+b和AC的交點為P，則由求得點P的坐標為（，），此時，由題意可得，三角形CPN的面積等于，即?（1﹣b）?|xN﹣xP|，即（1﹣b）?||，化簡可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．由于此時b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2．兩邊開方可得（1﹣b）1，∴1﹣b，化簡可得b＞1，故有1b．綜上可得b的取值范圍應是，故選B．【題目點撥】本題主要考查確定直線的要素，點到直線的距離公式以及三角形的面積公式的應用，還考查了運算能力以及綜合分析能力，分類討論思想，屬于難題．6、D【解題分析】

作出圖形，可知，由四邊形的最小面積是，可知此時取最小值，由勾股定理可知的最小值為，即圓心到直線的距離為，結合點到直線的距離公式可求出的值.【題目詳解】如下圖所示，由切線長定理可得，又，，且，，所以，四邊形的面積為面積的兩倍，圓的標準方程為，圓心為，半徑為，四邊形的最小面積是，所以，面積的最小值為，又，，由勾股定理，當直線與直線垂直時，取最小值，即，整理得，，解得.故選：D.【題目點撥】本題考查由四邊形面積的最值求參數的值，涉及直線與圓的位置關系的應用，解題的關鍵就是確定動點的位置，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.7、B【解題分析】

作軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，外接球的截面是圓為球的大圓是的外接圓，由圖可得球的半徑與圓錐的關系．【題目詳解】如圖，作軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，的外接圓是球的大圓，設該圓錐的外接球的半徑為R，依題意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的體積V＝πR3＝π×23＝π，故選B．【題目點撥】本題考查球的體積，關鍵是確定圓錐的外接球與圓錐之間的關系，即球半徑與圓錐的高和底面半徑之間的聯系，而這個聯系在其軸截面中正好體現．8、D【解題分析】

根據對數運算可求得且，，利用基本不等式可求得最小值.【題目詳解】由得：且，（當且僅當時取等號）本題正確選項：【題目點撥】本題考查利用基本不等式求解和的最小值的問題，關鍵是能夠利用對數運算得到積的定值，屬于基礎題.9、D【解題分析】

算出直線的斜率后可得其傾斜角.【題目詳解】設直線的斜率為，且傾斜角為，則，根據，而，故，故選D.【題目點撥】本題考查直線傾斜角的計算，屬于基礎題.10、A【解題分析】

根據向量平行的坐標表示，得到，利用累乘法，求得，從而可作出判定，得到答案．【題目詳解】由題意知，向量，，，當時，可得，即，所以，所以數列表示首項為，公差為的等差數列．當，可得，即，所以，所以數列既不是等差數列，也不是等比數列.故選A．【題目點撥】本題主要考查了向量的平行關系的坐標表示，等差數列的定義，以及“累乘法”求解通項公式的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】在△ABC中，，，在△AMC中，，由正弦定理可得，解得，在Rt△AMN中.12、【解題分析】

設滾動后圓的圓心為C，切點為A，連接CP．過C作與x軸正方向平行的射線，交圓C于B（2，1），設∠BCP=θ，則根據圓的參數方程，得P的坐標為（1+cosθ，1+sinθ），再根據圓的圓心從（0，1）滾動到（1，1），算出，結合三角函數的誘導公式，化簡可得P的坐標為，即為向量的坐標．【題目詳解】設滾動后的圓的圓心為C，切點為，連接CP，過C作與x軸正方向平行的射線，交圓C于，設，∵C的方程為，∴根據圓的參數方程，得P的坐標為，∵單位圓的圓心的初始位置在，圓滾動到圓心位于，，可得，可得，，代入上面所得的式子，得到P的坐標為，所以的坐標是.故答案為：.【題目點撥】本題考查圓的參數方程,平面向量坐標表示的應用，解題的關鍵是根據數形結合找到變量的角度，屬于中等題.13、4π【解題分析】

利用三角形面積公式求解,再利用余弦定理求得,進而得到外接圓半徑,再求面積即可.【題目詳解】由，解得．．解得．，解得．∴△ABC外接圓的面積為4π．故答案為：4π．【題目點撥】本題主要考查了解三角形中正余弦與面積公式的運用,屬于基礎題型.14、【解題分析】

根據題意，以及等差數列的性質，先得到，再由等差數列的求和公式，即可求出結果.【題目詳解】因為是等差數列，，所以，即，記前項和為，則.故答案為：【題目點撥】本題主要考查等差數列前項和的基本量的運算，熟記等差數列的性質以及求和公式即可，屬于基礎題型.15、.【解題分析】

將等式兩邊平方得出的值，再利用結合平面向量的數量積運算律可得出結果.【題目詳解】，，，因此，，故答案為.【題目點撥】本題考查利用平面向量數量積來計算平面向量的模，在計算時，一般將平面向量的模平方，利用平面向量數量積的運算律來進行計算，考查運算求解能力，屬于中等題.16、【解題分析】

用正弦的二倍角公式展開,得到,分兩種情況討論得出結果.【題目詳解】解：即,即：或.①由,,得.②由,,得或.綜上可得方程,的解集是：故答案為【題目點撥】本題考查正弦函數的二倍角公式,以及特殊角的正余弦值.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析.(2)見解析.【解題分析】

（1）由分別是的中點，證得，由線面平行的判定定理，可得平面，平面，再根據面面平行的判定定理，即可證得平面平面.（2）利用線面垂直的判定定理，可得平面，再利用面面垂直的判定定理，即可得到平面平面.【題目詳解】（1）在三棱柱中，因為分別是的中點，所以，根據線面平行的判定定理，可得平面，平面又，∴平面平面.（2）在三棱柱中，平面，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面.【題目點撥】本題考查線面位置關系的判定與證明，熟練掌握空間中線面位置關系的定義、判定、幾何特征是解答的關鍵，其中垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型：(1)證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行；(2)證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直；(3)證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直．18、(1)0.72；(2)【解題分析】

（1）由題意，根據相關系數的公式，可得的值，即可求解；（2）由（1）可知，得投資額關于滿意度沒有達到較強線性相關，利用公式求得的值，即可得出回歸直線的方程.【題目詳解】（1）由題意，根據相關系數的公式，可得.（2）由（1）可知，因為，所以投資額關于滿意度沒有達到較強線性相關，所以要“末位淘汰”掉K敬老院.重新計算得，，，，所以，.所以所求線性回歸方程為.【題目點撥】本題主要考查了回歸分析的應用，同時考查了回歸系數的計算，以及回歸直線方程的求解，其中解答中利用公式準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.19、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）根據函數的解析式化簡計算可得出；（2）由（1）得，由，可得，并推導出函數為上的增函數，可得出，由為銳角可得出，由此可得出銳角的取值范圍.【題目詳解】（1），；（2）任取、，且，，，，，所以，函數是上的增函數，由（1）知：即，由，得，又，即有，故有，即，為銳角，則，，的取值范圍是.【題目點撥】本題考查利用解析式化簡計算，同時也考查了利用函數的單調性解不等式，涉及三角不等式的求解，考查計算能力，屬于中等題.20、（1）23；（2）（i）2，0.0174【解題分析】

（1）根據頻率分布直方圖求出前2組中的人數，由分層抽樣得抽取的人數，然后把6人編號，可寫出任取2人的所有組合，也可得出獲贈智能手機的2人月薪都不低于1.75萬元的所有組合，從而可計算出概率．（2）根據頻率分布直方圖計算出均值和方差，然后求出區間Ω，結合頻率分布直方圖可計算出兩方案收取的費用．【題目詳解】（1）第一組有0.2×0.1×100=2人，第二組有1.0×0.1×100=10人.按照分層抽樣抽6人時，第一組抽1人，記為