3.4二元一次方程組的應用第三章一次方程與方程組逐點導講練課堂小結作業提升學習目標課時講解1課時流程2列二元一次方程組解應用題的基本步驟列方程組解應用題的常見題型建立二元一次方程組的模型對實際問題進行判斷或方案設計知1－講感悟新知知識點列二元一次方程組解應用題的基本步驟11.基本思想方法

(1)列方程組解應用題是把“未知”轉化成“已知”的過程.關鍵是把未知量與已知量聯系起來，找出題目中的等量關系列方程組.(2)一般情況下，有幾個未知量就必須列出幾個方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示的是同類量；②同類量的單位要統一；③方程兩邊的數值要相等.感悟新知知1－講特別解讀1.一般設幾個未知數就列幾個方程；2.設未知數和寫答案時，都要寫清單位名稱.感悟新知2.列二元一次方程組解應用題的一般步驟審→設→找→列→解→答(1)審：通過審題，把實際問題抽象成數學問題；(2)設：分析已知量和未知量，并用字母表示其中的兩個未知量(設元)；(3)找：找出題意的兩個等量關系；(4)列：根據等量關系列出方程組；知1－講感悟新知(5)解：解這個方程組，求出未知數的值；(6)答：檢驗所求解是否符合實際意義，寫出答案.知1－講知1－練感悟新知某船的載質量為300噸，容積為1200立方米，現有甲、乙兩種貨物要運，其中甲種貨物每噸體積為6立方米，乙種貨物每噸體積為2立方米，要充分利用這艘船的載質量和容積，甲、乙兩種貨物應各裝多少噸？例1知1－練解法提醒列方程組解應用題的關鍵是準確地找出題中的等量關系，正確地列出方程組.找等量關系的方法：(1)

抓住題目中的關鍵詞，常見的關鍵詞有：“比”“是”“等于”等；知1－練(2)

根據常見的數量關系，如體積關系、面積關系等，找等量關系；(3)

挖掘題目中的隱含條件，如飛機沿同一航線航行，順風航行與逆風航行的路程相等；(4)

借助列表格、畫線段示意圖等方法找等量關系.知1－練感悟新知解題秘方：分析題目中已知量和未知量，找準題目中的等量關系，列出方程組解決問題.已知量：(1)甲種貨物每噸體積為6立方米；(2)乙種貨物每噸體積為2立方米；(3)船的載質量為300噸；(4)船的容積為1200立方米.未知量：甲、乙兩種貨物應各裝的質量.若用x，

y分別表示它們的噸數，則甲種貨物的體積為6x

立方米，乙種貨物的體積為2y

立方米.知1－練感悟新知等量關系：“要充分利用這艘船的載質量和容積”的意思是“貨物的總質量等于船的載質量”且“貨物的總體積等于船的容積”，即：知1－練

感悟新知知2－講知識點列方程組解應用題的常見題型2根據在實際問題中等量關系的不同類型，歸納出應用題幾種常見題型(1)和、差、倍、分問題；(2)數字問題；

(3)配套問題；(4)銷售問題；

(5)行程問題；(6)百分比問題；(7)古代算術問題；(8)圖形面積問題.知2－講感悟新知特別提醒1.不同類型的問題中都有各自的代表性詞語，如配套問題中的“配套”，銷售問題中的“售價”“標價”“折扣”等等.2.不同類型的問題中都有不同的等量關系.感悟新知知2－練

例2

知2－練方法點撥設未知數時，一般是求什么，設什么，并且所列方程的個數與未知數的個數相等.解和、差、倍、分問題的應用題，要抓住題中反映數量關系的關鍵字：和、差、倍、幾分之幾、比、大、小、多、少、增加、減少等，明確各種反映數量關系的關鍵字的含義.知2－練感悟新知解題秘方：緊扣人數之間的數量關系，關鍵是和、差、倍、分關系，建立已知量與未知量的等量關系.知2－練感悟新知

感悟新知知2－練有一個三位數，現將最左邊的數字移到最右邊，則比原來的數小45；又知原百位上的數字的9倍比原三位數去掉百位上的數字后的兩位數小3，求原三位數.例3知2－練感悟新知解題秘方：設出數位上的數字，利用數位上的數字表示出數，根據題目中的數量關系列出方程組.知2－練感悟新知解法提醒1.解決這類題的關鍵在于正確地用式子表示一個多位數：如一個三位數，當它的百位數字為a，十位數字為b，個位數字為c時，這個三位數可表示為100a+10b+c.2.在數字問題中，應注意：(1)數字與數的區別，怎樣用數字表示數；(2)根據數字的特點，求得的解應是小于10的非負整數(最高位上的數字不能為0).知2－練感悟新知

知2－練感悟新知技巧點撥：利用方程組解決數字問題時，一般不直接設這個數，而是設這個數的數位上的數字，再根據數的表示方法表示出這個數.感悟新知知2－練某服裝廠生產一批某種款式的秋裝，已知每2m的某種布料可做衣身3個或衣袖5只，現計劃用132m這種布料生產這批秋裝(不考慮布料的損耗)，應分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？例4

知2－練感悟新知解題秘方：緊扣配套規則列方程，如本題衣身與衣袖(恰好配套)的數量比是1∶2.知2－練感悟新知

知2－練感悟新知技巧點撥解決配套問題的技巧：制作的工件由若干零件組成，如a

件甲產品和b件乙產品配成一套，那么甲產品的件數∶乙產品的件數=a∶b，即b×甲產品的件數=a×乙產品的件數.感悟新知知2－練某商場購進甲、乙兩種商品后，甲商品加價50%、乙商品加價40%作為標價，適逢元旦，商場舉辦促銷活動，甲商品打八折銷售，乙商品打八五折銷售.某顧客購買甲、乙商品各1件，共付款538元，已知商場共盈利88元，求甲、乙兩種商品的進價各是多少元.例5知2－練感悟新知解題秘方：緊扣銷售問題中，每個量的意義及各個量之間的數量關系，列出方程組，解決問題.知2－練感悟新知

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感悟新知知2－練[期中·杭州]甲、乙兩城相距1120千米，一列快車從甲城出發120千米后，另一列動車從乙城出發開往甲城，2小時后兩車相遇．已知快車平均每小時行駛的路程比動車平均每小時行駛的路程的一半還多5千米，動車與快車平均每小時各行駛多少千米？例6

知2－練感悟新知解題秘方：分析相遇問題中兩車運動的路程、速度、時間，列出方程組，解決問題．知2－練感悟新知

知2－練感悟新知方法點撥1.“相向而遇”時，兩者所走的路程之和等于他們原來的距離；2.“同向追及”時，快者所走的路程減去慢者所走的路程等于他們原來的距離.感悟新知知2－練某人騎自行車從A地出發去B

地，先以每小時12km的速度下坡，再以每小時9km的速度在平路上行駛至B

地，共用55min；回來時他以每小時8km的速度通過平路后，再以每小時4km的速度上坡至A地，共用1.5h.求

A，B

兩地之間的路程.例7感悟新知知2－練特別提醒解本題的關鍵是弄清從A地到B

地的下坡路程，在從B地到A

地時變為上坡路程，以時間為等量關系建立方程組.知2－練感悟新知解題秘方：上、下坡路程的往返問題中，雖然每段路程不變，但速度發生了改變.根據時間總量列出方程組解決問題.知2－練感悟新知

感悟新知知2－練[中考·百色]一艘輪船在相距90km的甲、乙兩地之間勻速航行，從甲地到乙地順流航行用6h，逆流航行比順流航行多用4h．例8

知2－練感悟新知

知2－練感悟新知解題秘方：本題的關鍵是找到各速度之間的關系：順速=靜速+水速，逆速=靜速-水速，再結合公式“路程=速度×時間”列方程(組)求解.感悟新知知2－練(1)

求該輪船在靜水中的速度和水流速度；

知2－練感悟新知(2)若在甲、乙兩地之間建立丙碼頭，使該輪船從甲地到丙地和從乙地到丙地所用的航行時間相同，問甲、丙兩地相距多少千米？感悟新知知2－練

感悟新知知2－練一列載客火車和一列運貨火車分別在兩條平行的鐵軌上行駛，載客火車長150m，運貨火車長250m.若兩車相向而行，從車頭相遇到車尾離開共需10s；若載客火車從后面追趕運貨火車，從車頭追上運貨火車到車尾完全超過運貨火車共需100s，試求兩車的速度.例9知2－練感悟新知解題秘方：這是一道特殊的相遇與追及結合的應用題.①兩車相向而行是相遇問題，兩車所行的路程總和=兩車車長之和；②載客火車從后面追趕運貨火車是追及問題，追及時兩車所行的路程差=兩車車長之和.知2－練感悟新知

知2－練感悟新知技巧點撥行車問題屬于特殊的行程問題，它與行程問題的主要區別如下：行程問題不考慮車本身的長，而行車問題要考慮車本身的長；與行車問題類似的還有過橋問題、過隧道問題等.感悟新知知2－練在當地農業技術部門的指導下，李明家增加種植菠蘿的投資，使今年的菠蘿喜獲豐收.如圖3.4-1是李明和他的爸爸、媽媽的一段對話.請你用所學過的知識幫助李明算出他家今年菠蘿的收入.(收入－投資=凈賺)例10

知2－練感悟新知解題秘方：緊扣今年與去年的收入和投資之間的數量關系解題.知2－練感悟新知

知2－練感悟新知方法點撥在此類等量關系比較復雜的題目中，僅靠想象尋找等量關系或列方程組時，難免會出現顧此失彼的錯誤，如果能借助于表格分析，將會幫助我們理清解題思路，列出比較便于解題的方程組.收入/元投資/元凈賺/元去年xy8000今年(1+35%)x(1+10%)y11800

感悟新知知2－練[中考·鎮江]《九章算術》被歷代數學家尊為“算經之首”．下面是其卷中記載的關于“盈不足”的一個問題：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．問人數、金價各幾何？這段話的意思是：今有人合伙買金，每人出400錢，會剩余3400錢；每人出300錢，會剩余100錢．合伙人數、金價各是多少？請解決上述問題．例11知2－練感悟新知解題秘方：對比通俗的文字理解古代算術題的文字敘述，再找等量關系，列方程組解決問題.

知2－練感悟新知另解設共x人合伙買金，根據總金額不變，可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出x

的值，再將其代入(400x－3400)即可求出金價．設共x人合伙買金.依題意，得400x－3400=300x－100，解得x=33.400x－3400=400×33－3400=9800．答：共33人合伙買金，金價為9800錢.感悟新知知2－練小敏做拼圖游戲時發現：8個一樣大小的小長方形恰好可以拼成一個大的長方形，如圖3.4－2所示.小穎看見了，也來試一試，結果拼成了如圖3.4－3所示的正方形，不過中間留下一個空白，恰好是一個邊長為2cm的小正方形，請你算出每個小長方形的長和寬各是多少嗎？例12知2－練感悟新知解題秘方：根據拼圖方式得到小長方形的長和寬之間的數量關系.知2－練感悟新知

知2－練感悟新知思路點撥在圖3.4－2中大長方形的長有兩種表示形式，一種是5個小長方形的寬的和，另一種是3個小長方形的長的和.在圖3.4－3中大正方形的邊長也有兩種表示形式，一種是1個小長方形的長和2個小長方形的寬的和，另一種從中間看為2個小長方形的長和一個小正方形的邊長的和，由此可設未知數列出方程組求解.感悟新知知3－講知識點建立二元一次方程組的模型對實際問題進行判斷或方案設計3建立二元一次方程組的模型就是為了解決實際問題.對某個問題要進行判斷或設計方案時，關鍵之處在于

(1)要分析解決此問題時需要解決哪幾個未知量，然后根據需要設未知數；(2)方程組的解是否符合實際問題的限制條件.知3－講感悟新知特別提醒設計方案問題應從不同角度去考慮，先考慮多種可能的方案，再根據結果合理地選擇方案.知3－練感悟新知[中考·遂寧]某超市舉行店慶活動，對甲、乙兩種商品實行打折銷售.打折前，購買3件甲商品和1件乙商品需要190元；購買2件甲商品和3件乙商品需要220元.而店慶期間，購買10件甲商品和10件乙商品僅需735元，這比打折前少花多少錢？例13知3－練感悟新知解題秘方：分析解決問題的關鍵點是求甲、乙兩商品的單價，采取間接設未知數的方法解決問題.知3－練感悟新知

知3－練方法點撥對某個實際問題進行判斷時，先分析解決問題的關鍵點，即需要設出的未知數是哪兩個，然后根據題目中給出的等量關系列出二元一次方程組.知3－練感悟新知某地生產一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元；經粗加工后銷售，每噸利潤可達4500元；經精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元.當地一家公司收購這種蔬菜140噸，該公司的