第二章邏輯代數基礎2.1邏輯代數中的幾個概念2.2邏輯代數的基本運算2.3邏輯代數的基本定理及規則2.4邏輯函數的性質2.5邏輯函數的化簡2.1邏輯代數中的幾個概念

邏輯代數是邏輯電路分析與設計的數學基礎。下面介紹幾個常用的概念，希望同學逐步、深入的理解。邏輯代數專指用數學的方法研究邏輯問題，由英國數學家布爾（GeorgeBoole，1815~1864）于1847年在《邏輯的數學分析：論演繹推理的演算法》一書中率先提出，因此后人又稱邏輯代數為布爾代數。1938年，ClaudeE.Shannon將布爾代數應用于繼電器電路的分析與描述，形成二值布爾代數，即開關代數，又稱為邏輯代數。邏輯命題一段描述邏輯問題的有用的文字。邏輯狀態●在一定條件下，事物的某種性質只表現為兩種互不相容的狀態，稱為邏輯狀態。例如：信號的有與無、開關的通與斷、事件的真與假、電平的高與低、晶體管的導通與截止…●這兩種狀態必出現且僅出現一種，一種狀態是另一種狀態的反狀態。●用符號0、1分別表示這兩種邏輯狀態

0狀態（0-state)：一般表示邏輯條件的假或無效。

1狀態（1-state)：一般表示邏輯條件的真或有效。●0和1不是數，不表示數的大小，而是代表狀態的符號。邏輯變量條件的變化，表示事物狀態的邏輯狀態也隨之變化，這種未予確定的邏輯狀態稱為邏輯變量。●邏輯變量反映邏輯狀態的變化；●邏輯變量僅能取值“0”或“1”；邏輯電平在二值邏輯電路中，把物理量離散成兩種電平（相對于參考地的電壓值），即高電平（H）和低電平（L）。邏輯常量邏輯代數是二值運算，常量只有“0”和“1”。工藝邏輯電平LHTTL0V~0.40V3.0V~5.0VCMOS0V~0.80V2.0V~5.0V不同工藝器件定義的邏輯電平（5V）●高、低電平之間存在邏輯不確定區間——噪音區。如果輸入、輸出電平穩定于噪音區，稱為邏輯模糊，在邏輯電路中認為出錯。●H電平也可表示在規定時間內一定幅度的正脈沖出現；

L電平也可表示在規定時間內沒有脈沖，或負脈沖出現。●總之，邏輯電平是表示邏輯狀態的物理特性。正、負邏輯規定（約定）器件的輸入、輸出都用物理量表示，通常用邏輯電平表示，而器件的功能又是用邏輯狀態表示，因此必須規定邏輯電平和邏輯狀態之間的關系。邏輯電平邏輯狀態L0H1邏輯電平邏輯狀態L1H0正邏輯規定（約定）負邏輯規定（約定）確定了邏輯規定（約定）后，各種物理量都轉化為邏輯狀態含義，可用邏輯變量表示，可用各種數學或邏輯方法對數字電路進行分析和表達。邏輯表達式由邏輯變量、邏輯常量0和1、邏輯運算符和括號組成的代數表達式稱為邏輯表達式。邏輯運算符邏輯運算有一元運算，稱為非運算或反運算；有二元運算，稱為與運算、或運算。邏輯函數邏輯網絡A1A2...AnF設某一邏輯網絡的輸入變量為A1、A2、…、An，輸出邏輯變量為F，當A1、A2、…、An的取值確定后，F的值就唯一的被確定下來，則稱F是A1、A2、…、An的邏輯函數，記為：F=f(A1、A2、…、An)●邏輯函數反映了可用邏輯變量描述的因果關系●邏輯函數也可作為另一邏輯網絡的邏輯變量若F、G都是某n個邏輯變量的邏輯函數，在這n個變量的2n種組合中的任意一組輸入，F、G均有相同的輸出，則稱邏輯函數F和G相等。記為F=G。邏輯函數的相等邏輯函數的表示方法邏輯真值表、卡諾圖、邏輯表達式、邏輯圖、波形圖以及硬件描述語言。●邏輯真值表由邏輯變量的所有可能取值組合及其對應的邏輯函數值所構成的表格。abF000110110001●n個變量，2n種組合，2n行，列在左邊。一般采用二進制編碼順序給出。●對應的邏輯函數值列在右邊。關于真值表的填寫

要求同學們共同遵守一個在教學活動中的工程約定：真值表中輸入變量在左側，輸出變量在右側；輸入變量按字母順序從左到右排列，其取值按照二進制數的大小，由小到大、從上到下順排。下圖是三變量真值表，右圖是四變量真值表。ABCF000001010011100101110111ABCDF0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111●邏輯表達式由邏輯變量、邏輯常量、三種邏輯運算符（與、或、非）和括號構成的代數表達式。●卡諾圖真值表的變形，由表示邏輯變量所有可能組合的小方格構成的圖形。●波形圖反映輸入、輸出波形變化的圖形稱為波形圖，又稱為時序圖。波形圖能清晰、直觀地反映出變量間的時間關系和函數值隨時間變化的規律。對于一個給定的邏輯函數，其真值表和卡諾圖表示法是唯一的，而其邏輯表達式可以有多種形式。●硬件描述語言（HardwareDescriptionLanguage）是現代數字系統設計中基于EDA平臺的最基本的電路描述工具。●邏輯圖用邏輯符號來表示邏輯函數的運算關系稱為函數的邏輯圖。邏輯圖和數字集成器件有明顯的對應關系，便于構成實際數字電路。&&

≥1ABCDF2.2邏輯代數的基本運算2.2.1與運算（邏輯乘）FAB串聯開關電路是與邏輯的典型實例。只有開關A、B都閉合，燈F才會亮；只要有一個開關不閉合，燈F就不會亮。與運算又稱為“邏輯乘”（LogicMultiplication），其運算結果稱為“邏輯積”（LogicProduct）。在邏輯問題中，如果決定某一事件的多個條件必須同時具備，事件才能發生，則這種因果關系稱之為“與”邏輯。如果將“條件”和“結果”的各種可能性列成表格，則可得到與邏輯關系表。開關A開關B燈F斷開斷開滅斷開閉合滅閉合斷開滅閉合閉合亮ABF000110110001設開關閉合狀態為“1”，斷開狀態為“0”；燈亮狀態為“1”，燈滅狀態為“0”。可得到對應的邏輯狀態關系表——真值表。與邏輯的邏輯表達式，記為：顯然，若上述開關電路中有4個開關A、B、C、D串聯，則有F=ABCD。數字電路中，實現與邏輯功能的電路稱為“與門”（ANDGate），其邏輯符號為：&ABF與門定性符ABF小規模集成電路74LS08集成了4個雙輸入與門2.2.2或運算（邏輯加）或運算又稱為“邏輯加”（LogicAddition），其運算結果稱為“邏輯和”（LogicSum）。在邏輯問題中，如果決定某一事件的多個條件中，只要有一個或一個以上條件具備，事件就發生，則這種因果關系稱之為“或”邏輯。FAB并聯開關電路是或邏輯的典型實例。只要開關A、B有一個閉合，燈F就亮；只有開關都斷開，燈F才不亮。如果將“條件”和“結果”的各種可能性列成表格，則可得到或邏輯關系表。開關A開關B燈F斷開斷開滅斷開閉合亮閉合斷開亮閉合閉合亮ABF000110110111設開關閉合狀態為“1”，斷開狀態為“0”；燈亮狀態為“1”，燈滅狀態為“0”。可得到對應的邏輯狀態關系表——真值表。或邏輯的邏輯表達式，記為：顯然，若上述開關電路中有4個開關A、B、C、D并聯，則有F=A+B+C+D。數字電路中，實現或邏輯功能的電路稱為“或門”（ORGate），其邏輯符號為：≥1ABF或門定性符ABF小規模集成電路74LS32集成了4個雙輸入或門2.2.3非運算（邏輯非）非運算又稱為“邏輯非”（LogicNegation），或稱為“求補”（Complement）。在邏輯問題中，如果決定某一事件的條件滿足時，事件不發生；反之事件發生，則這種因果關系稱之為“非”邏輯。RFAE開關和燈并聯電路是非邏輯的實例。只要開關A閉合，燈F就不亮；只有開關A斷開，燈F才會亮。如果將“條件”和“結果”的各種可能性列成表格，則可得到非邏輯關系表。開關A燈F斷開亮閉合滅設開關閉合狀態為“1”，斷開狀態為“0”；燈亮狀態為“1”，燈滅狀態為“0”。可得到對應的邏輯狀態關系表——真值表。AF0110非邏輯的邏輯表達式，記為：數字電路中，實現非邏輯功能的電路稱為“非門”（NOTGate）或稱為“反相器”，其邏輯符號為：非門定性符1AFAF小規模集成電路74LS04集成了6個非門邏輯表達式、真值表與邏輯符號國標邏輯符號真值表邏輯表達式&XZY≥1XZYXZ1復合邏輯電路符號：&XZY≥1XZY≥1ZY2.3邏輯代數的基本定理及規則2.3.1邏輯代數的基本公理用真值表證明&BFC≥1A≥1≥1&BCAG由真值表已證明一個邏輯函數可以用不同的邏輯表達式、邏輯圖描述，但它的真值表是唯一的。2.3.2邏輯代數的基本定理吸收定理1（吸收律）吸收定理2（消因律）吸收定理3（鄰接律、合并律）反演定理

（摩根定理——Morgan定理）用真值表證明：用基本公理證明摩根定理的過程，見教材P31。摩根定理是一個十分重要的定理，它證明了變量進行“與”和“或”運算時的互補效應。常用于邏輯函數的化簡及邏輯變換。它提供了將原變量與運算的非改成反變量或運算的簡便方法。它提供了將原變量或運算的非改成反變量與運算的簡便方法。多余項定理

（包含律）關于（a）的證明：該包含律說明：如果與或表達式中，兩個與項分別包含同一因子的原變量和反變量，而兩與項的剩余因子包含在第三個與項中，則第三個與項是多余的。2.3.3邏輯代數的基本規則

●代入規則任何一個含有變量x的邏輯等式，如果將所有出現x的地方都代之以一個邏輯函數H，則此等式仍然成立。利用代入規則可以證明n變量的摩根定理，即：證明等式（b）成立以此類推，則得應用：將較復雜邏輯函數中的某一部分或公共部分代之以變量，達到簡化的目的，便于分析。

●反演規則（香農定理——Shannon定理）從原函數求反函數的過程稱之為反演。求任何函數的反函數時，可將該函數的所有變量取反；并將函數中“0”變成“1”，“1”變成“0”；且運算符“+”變成“?”，“?”變成“+”；即可得反函數。在使用反演規則時應注意：（1）必須保持原有的運算次序，必要時添加各種括號。（2）不屬于單個變量上的非號保留，而非號下面的函數式按反演規則變換。解：利用反演規則可得：也可利用反演律求得：其結果與直接利用反演規則的運算結果相同。注意：反演律是邏輯運算中使用的定律公式，可以獲得多種反函數的表達形式；反演規則是求反函數的一種簡便方法。例：已知利用反演規則，其反函數為

●對偶規則對偶函數：對于任何邏輯函數F，將該函數中的所有變量保持不變；并將函數中“0”變成“1”，“1”變成“0”；且運算符“+”變成“?”，“?”變成“+”；得到的新函數稱為原函數的對偶函數，記為F'。對偶規則：如果函數F'是函數F的對偶函數，那么F也是F'的對偶函數。如果函數F、G相等，它們的對偶函數F'、G'也相等，即若F=G，則F'=G'。前面討論的公理、定理中式（a）和式（b）均為對偶的。因此，若式（a）成立，按對偶規則，式（b）必定成立。利用對偶規則，使需要證明和記憶的公式減少一半，且為函數的形式變換和簡化帶來方便。求對偶函數時，也應適當地添加括號，以保持原函數中的運算順序不變。有些邏輯函數的對偶函數就是原函數本身，即F’=F。此時，稱函數F為自對偶函數。例：F=A，則

F’=A練習1：已知F=則反函數=對偶函數=如果一個函數的表達式中，含有⊕、☉運算符：利用反演規則求反函數時或利用對偶規則求對偶函數時在求對偶函數時不要對求出的對偶式再進行變換！注意：按對偶規則寫出其對偶式：例.已知函數☉⊕☉☉⊕2.4邏輯函數的性質前面討論的與、或、非三種基本邏輯運算，可以組合起來實現任何邏輯函數；采用對應的與門、或門、非門可以組合起來構造具有各種邏輯功能的邏輯電路。實際工程設計中的基本要求是：最少的門電路、最少的門的輸入端、最少的門電路類型。顯然，僅采用與門、或門、非門構造邏輯電路，不能滿足工程設計的基本要求。所以，在實際應用的基本邏輯器件中，還有與非門、或非門、與或非門、異或門等，稱為復合邏輯門。2.4.1復合邏輯1.與非邏輯（NAND）與非邏輯是“與”和“非”的復合邏輯，它的邏輯表達式為：邏輯功能：只有輸入端全為1時，輸出才為0。只要有一個變量取值為0，F就為1；只有所有變量均取值為1，F才為0。ABCF00000101001110010111011111111110與非邏輯真值表與非門的邏輯符號(三變量)&ABCFABCF小規模集成電路74LS00集成了4個雙輸入與非門結論：有了與非門，就可構成實現各種邏輯功能的電路。&AB&F1“1”&AF2&&B“1”&AF3“1”2.或非邏輯（NOR）或非邏輯是“或”和“非”的復合邏輯，其邏輯表達式為：只要有一個變量取值為1，F就為0；只有所有變量均取值為0，F才為1。ABCF00000101001110010111011110000000或非邏輯真值表或非門的邏輯符號(三變量)≥1ABCFABCF邏輯功能：只有輸入端全為0時，輸出才為1。小規模集成電路74LS02集成了4個雙輸入或非門結論：有了或非門，就可構成實現各種邏輯功能的電路。≥1AB≥1F2“0”≥1AF1≥1≥1B“0”≥1AF3“0”3.與或非邏輯（AOI）與或非邏輯是“與”、“或”和“非”的復合邏輯，其邏輯表達式為：僅當每個“與項”均為0，Y才為1；否則，Y為0。顯然，用單一的與或非門可以實現與、或、非三種基本邏輯運算。與或非門的邏輯符號&ABCDEF&&≥1YABCDEFY結論：用與或非門，可構成實現各種邏輯功能的電路，但不經濟。小規模集成電路74LS51集成了2個與或非門4.異或邏輯（XOR）異或邏輯——對于二輸入變量問題，當輸入變量取值相異時，輸出為1；當輸入變量取值相同時，輸出為0。其邏輯表達式為：ABF000110110110異或邏輯真值表異或門的邏輯符號=1ABFABF異或邏輯可實現“模2加”運算小規模集成電路74LS86集成了4個雙輸入異或門由異或邏輯可推出下列等式：異或邏輯的應用：加法電路實現減法運算、輸入變量非一致性判斷…加法電路加數=1=1=1=1加數0時，加法1時，減法M利用代入規則，可得到三變量的異或邏輯表達式：ABCF00000101001110010111011101101001三變量異或邏輯真值表重要特性：當輸入變量為1的個數是奇數時，輸出為1；偶數時，輸出為0。可推廣到n個變量的異或邏輯中。這一特性常用于奇偶校驗邏輯電路中=1ABC=1F異或邏輯的反函數稱為同或邏輯（符合邏輯）。.同或邏輯——對于二輸入變量問題，當輸入變量取值相同時，輸出為1；當輸入變量取值相異時，輸出為0。其表達式為：同或門的邏輯符號=1ABFABF同或邏輯的應用：常用于比較器電路中的一致性判定，也可用于奇偶校驗。ABF000110111001同或邏輯真值表

74LS266集成了4個同或門（集電極開路）觀察二變量異或邏輯、同或邏輯的真值表：對于多輸入變量，用代入法可證明：偶數個變量的異或邏輯和同或邏輯之間具有互補關系。ABF000110111001ABF000110110110同或邏輯真值表異或邏輯真值表...三變量同或邏輯真值表ABCF00000101001110010111011101101001三變量異或邏輯真值表ABCF00000101001110010111011101101001觀察三變量異或邏輯、同或邏輯的真值表：對于多輸入變量，用代入法可證明：奇數個變量的異或邏輯和同或邏輯之間具有相等關系。...關于異或運算、同或運算的基本代數性質：0-1律交換律分配律結合律調換律.............調換律是異或運算、同或運算的特有性質，可用于函數的化簡。強調異或運算和與、或運算的順序：先做與運算，后做異或運算。先做異或運算，后做或運算。異或運算的代數性質：0-1律：重疊律：2.4.2邏輯函數的基本表達式一個給定的邏輯函數，其真值表是唯一的，但其邏輯表達式具有多種形式。與或式或與式分配律、吸收定理2與非式還原律、摩根定理或非式還原律、摩根定理與或非式摩根定理與或式、或與式是邏輯表達式中最基本的兩種形式，其它形式的表達式都可以轉換成這兩種形式。一般與或表達式（積之和表達式）一個邏輯表達式中，用邏輯加的形式將若干與項相連在一起，這樣的表達式稱為與或式。（若干“與項”進行“或”運算構成的表達式。）一般或與表達式（和之積表達式）一個邏輯表達式中，由邏輯與的形式將若干或項相連在一起，這樣的表達式稱為或與式。（若干“或”項進行“與”運算構成的表達式）2.4.3邏輯函數的標準表達式一個邏輯函數可以用真值表、邏輯表達式、卡諾圖、邏輯圖、波形圖、硬件描述語言等多種方式來描述。真值表是最基本的表達方式，由真值表導出的邏輯函數表達式是一種標準的形式——最小項之和表達式

——最大項之積表達式由此引出兩個重要的概念：最小項和最大項1.最小項（minterm）最規則的形式，其中每個與項具有如下特點：包含該函數的全部變量（兩個），每個變量或以原變量（A,B）形式出現，或以反變量（）形式出現，且僅出現一次。最小項的定義最小項是一個含有全部邏輯變量，且每個變量僅以原變量或反變量形式出現一次且僅出現一次的與項。此與項稱之為n個變量的最小項。對于n個變量，可以構成2n個最小項。例如：三個變量A,B,C可構成8個最小項常用符號

mi

表示最小項。下標i的取值規則：當變量順序確定后，用“1”代替原變量，用“0”代替反變量，得到一個二進制數，該二進制數對應的十進制數即為下標

i的取值。2.最大項（maxterm）最大項的定義設有n個邏輯變量，它們組成的或項中，每個變量或以原變量形式或以反變量形式出現一次，且僅出現一次，此或項稱之為n個變量的最大項。對于n個變量，可以構成2n個最大項。常用符號

Mi

表示最大項。下標i的取值規則：當變量順序確定后，用“0”代替原變量，用“1”代替反變量，得到一個二進制數，該二進制數對應的十進制數即為下標

i的取值。例如：三個變量A,B,C構成的8個最大項記為常用符號

Mi

表示最大項。下標i的取值規則：當變量順序確定后，用“0”代替原變量，用“1”代替反變量，得到一個二進制數，該二進制數對應的十進制數即為下標

i的取值。3.最小項的性質以三個變量為例：性質2：對于任一組變量的取值，任意兩個最小項之積為0。性質3：n變量的全部最小項之和為1。性質1：對于任意一個最小項，只有一組變量的取值使其值為1。（即只有最小項下標對應的一組變量的取值使其為1）最小項的性質：性質4：n個變量的任一最小項，都有n個相鄰最小項。相鄰最小項：只有一個變量互為相反，其余均相同。以三個變量為例：4.最大項的性質性質1：對于任意一個最大項，只有一組變量的取值使其值為0。（即只有最大項下標對應的一組變量的取值使其為0）性質2：對于任一組變量的取值，任意兩個最大項之和為1。性質3：n變量的全部最大項之積為0。性質4：n個變量的任一最大項，都有n個相鄰最大項。最大項的性質相鄰最大項：只有一個變量互為相反，其余均相同。變量個數相同、變量順序相同時，下標相同的最小項和最大項具有互補特性。5.函數的最小項標準式如果函數的與或表達式中，每一個與項均為最小項，則稱之為最小項標準式。由n變量組成的任何邏輯函數均可以表示成最小項標準式，且這種表示是唯一的。最小項表達式中必須標明變量數。如果給定的函數為一般與或表達式，可反復使用公式，轉換成最小項之和的形式。如果給定函數用真值表表示，則真值表每一種變量組合對應一個最小項。例如：F=f(A,B,C)函數值為1對應的最小項相“或”構成原函數的最小項標準式。（或的疊加性）函數值為0對應的最小項相“或”構成反函數的最小項標準式。通過以上分析，可知：對于n個變量的函數，共有2n個最小項，這些最小項不是包含在F