2024屆遼寧省葫蘆島市第一中學數學高一下期末學業水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知銳角△ABC的面積為，BC=4，CA=3，則角C的大小為（）A．75° B．60° C．45° D．30°2．已知點和點，且，則實數的值是（）A．5或-1 B．5或1 C．2或-6 D．-2或63．已知，其中，若函數在區間內有零點，則實數的取值可能是（）A． B． C． D．4．設,為兩條不同的直線，,為兩個不同的平面，給出下列命題:①若，，則；②若，，則；③若，，，則；④若，，則與所成的角和與所成的角相等.其中正確命題的序號是()A．①② B．①④ C．②③ D．②④5．書架上有2本數學書和2本語文書，從這4本書中任取2本，那么互斥但不對立的兩個事件是（）A．“至少有1本數學書”和“都是語文書”B．“至少有1本數學書”和“至多有1本語文書”C．“恰有1本數學書”和“恰有2本數學書”D．“至多有1本數學書”和“都是語文書”6．化成弧度制為（）A． B． C． D．7．在中，，，，，則（）A．或 B． C． D．8．某班有男生30人，女生20人，按分層抽樣方法從班級中選出5人負責校園開放日的接待工作．現從這5人中隨機選取2人，至少有1名男生的概率是（）A． B． C． D．9．圓與圓的位置關系是()A．相切 B．內含 C．相離 D．相交10．設等差數列{an}的前n項的和Sn，若a2+a8＝6，則S9＝（）A．3 B．6 C．27 D．54二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，，則的最小值為________．12．已知x，y滿足，則z＝2x+y的最大值為_____.13．等比數列中前n項和為，且，，，則項數n為____________．14．如圖，邊長為2的菱形的對角線相交于點，點在線段上運動，若，則的最小值為_______.15．已知，則________．16．等差數列中，公差.則與的等差中項是_____（用數字作答）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知公差不為零的等差數列中，，且成等比數列．（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）令，求數列的前項和．18．如圖，在處有一港口，兩艘海輪同時從港口處出發向正北方向勻速航行，海輪的航行速度為20海里/小時，海輪的航行速度大于海輪．在港口北偏東60°方向上的處有一觀測站，1小時后在處測得與海輪的距離為30海里，且處對兩艘海輪，的視角為30°．（1）求觀測站到港口的距離；（2）求海輪的航行速度．19．如圖所示，在中，點在邊上，，，，.（1）求的值；（2）求的面積.20．已知是第三象限角，．（1）化簡；（2）若，求的值．21．為了加強“平安校園”建設，有效遏制涉校案件的發生，保障師生安全，某校決定在學校門口利用一側原有墻體，建造一間墻高為3米，底面為24平方米，且背面靠墻的長方體形狀的校園警務室．由于此警務室的后背靠墻，無需建造費用，甲工程隊給出的報價為：屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體報價為每平方米300元，屋頂和地面以及其他報價共計14400元．設屋子的左右兩面墻的長度均為x米(3≤x≤6)．（Ⅰ）當左右兩面墻的長度為多少時，甲工程隊報價最低？并求出最低報價．（Ⅱ）現有乙工程隊也要參與此警務室的建造競標，其給出的整體報價為1800a(1+x)x元(a>0)，若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標成功，試求a

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】試題分析：由三角形的面積公式，得，即，解得，又因為三角形為銳角三角形，所以.考點：三角形的面積公式.2、A【解題分析】

根據空間中兩點間距離公式建立方程求得結果.【題目詳解】解得：或本題正確選項：【題目點撥】本題考查空間中兩點間距離公式的應用，屬于基礎題.3、D【解題分析】

求出函數，令，，根據不等式求解，即可得到可能的取值.【題目詳解】由題：，其中，令，，若函數在區間內有零點，則有解，解得：當當當結合四個選項可以分析，實數的取值可能是.故選：D【題目點撥】此題考查根據函數零點求參數的取值范圍，需要熟練掌握三角函數的圖像性質，求出函數零點再討論其所在區間列不等式求解.4、D【解題分析】

根據線面平行的性質和面面垂直的判定可知②④正確.【題目詳解】對于①，若，，或，故①錯；對于②，過作一個平面，它與平面交于，則，因為，故，因為，故，故②成立；對于③，由面面垂直的性質定理可知前提條件缺少，故③錯；對于④，如圖所示，如果分別于平面斜交，且斜足分別為，在直線上分別截取斜線段、，使得，過分別作平面的垂線，垂足分別為，連接，則分別為與平面所成的角、與平面所成的角，因為，故，所以，故.當分別垂直于時，；當分別平行于時，；故與所成的角和與所成的角相等，故④正確.故選D.【題目點撥】本題考查空間中的點、線、面的位置關系，正確判斷這些命題的真假的前提是熟悉公理、定理的前提條件，同時需要動態考慮它們的位置關系，觀察是否有不同的情況出現.5、C【解題分析】

兩個事件互斥但不對立指的是這兩個事件不能同時發生，也可以都不發生，逐一判斷即可【題目詳解】對于A：“至少有1本數學書”和“都是語文書”是對立事件，故不滿足題意對于B：“至少有1本數學書”和“至多有1本語文書”可以同時發生，故不滿足題意對于C：“恰有1本數學書”和“恰有2本數學書”互斥但不對立，滿足題意對于D：“至多有1本數學書”和“都是語文書”可以同時發生，故不滿足題意故選：C【題目點撥】本題考查互斥而不對立的兩個事件的判斷，考查互斥事件、對立事件的定義等基礎知識，是基礎題．6、A【解題分析】

利用角度化弧度公式可將化為對應的弧度數.【題目詳解】由題意可得，故選A.【題目點撥】本題考查角度化弧度，充分利用公式進行計算，考查計算能力，屬于基礎題.7、C【解題分析】

由三角形面積公式可得，進而可得解.【題目詳解】在中，，，,，可得，所以，所以【題目點撥】本題主要考查了三角形的面積公式，屬于基礎題.8、D【解題分析】

由題意，男生30人，女生20人，按照分層抽樣方法從中抽取5人，則男生為人，女生為，從這5人中隨機選取2人，共有種，全是女生的只有1種，所以至少有1名女生的概率為，故選D.9、D【解題分析】

寫出兩圓的圓心，根據兩點間距離公式求得兩圓心的距離，發現，所以兩圓相交。比較三者之間大小判斷位置關系。【題目詳解】兩圓的圓心分別為：，，半徑分別為：，，兩圓心距為：，所以，兩圓相交，選D。【題目點撥】通過比較圓心距和半徑和與半徑差直接的關系判斷，即比較三者之間大小。10、C【解題分析】

利用等差數列的性質和求和公式，即可求得的值，得到答案．【題目詳解】由題意，等差數列的前n項的和，由，根據等差數列的性質，可得，所以，故選：C．【題目點撥】本題主要考查了等差數列的性質，以及等差數列的前n項和公式的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解題分析】

由題意整體代入可得，由基本不等式可得．【題目詳解】由，，，則．當且僅當＝，即a＝3且b＝時，取得最小值1．故答案為：1．【題目點撥】本題考查基本不等式求最值，整體法并湊出可用基本不等式的形式是解決問題的關鍵，屬于基礎題．12、1.【解題分析】

先根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，表示直線在軸上的截距，只需求出可行域直線在軸上的截距最大值即可．【題目詳解】解：，在坐標系中畫出圖象，三條線的交點分別是，，，在中滿足的最大值是點，代入得最大值等于1．故答案為：1．【題目點撥】本題是考查線性規劃問題，本題主要考查了簡單的線性規劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題．13、6【解題分析】

利用等比數列求和公式求得，再利用通項公式求解n即可【題目詳解】，代入，，得，又，得．故答案為：6【題目點撥】本題考查等比數列的通項公式及求和公式的基本量計算，熟記公式準確計算是關鍵，是基礎題14、【解題分析】

以為原點建立平面直角坐標系，利用計算出兩點的坐標，設出點坐標，由此計算出的表達式，，進而求得最值.【題目詳解】以為原點建立平面直角坐標系如下圖所示，設，則①，由得②，由①②解得，故.設，則，當時取得最小值為.故填：.【題目點撥】本小題主要考查平面向量的坐標運算，考查向量數量積的坐標表示以及數量積求最值，考查二次函數的性質，考查數形結合的數學思想方法，屬于中檔題.15、【解題分析】

利用向量內積的坐標運算以及向量模的坐標表示，準確運算，即可求解．【題目詳解】由題意，向量，則，，所以．故答案為【題目點撥】本題主要考查了向量內積的坐標運算，以及向量模的坐標運算的應用，其中解答中熟記向量的數量積的運算公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．16、5【解題分析】

根據等差中項的性質，以及的值，求出的值即是所求.【題目詳解】根據等差中項的性質可知，的等差中項是，故.【題目點撥】本小題主要考查等差中項的性質，考查等差數列基本量的計算，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）解方程組即得，即得數列的通項公式；（Ⅱ）利用裂項相消法求數列的前項和．【題目詳解】（Ⅰ）由題意：,化簡得，因為數列的公差不為零，，故數列的通項公式為．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故數列的前項和．【題目點撥】本題主要考查等差數列通項的求法，考查裂項相消法求和，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.18、（1）海里；（2）速度為海里/小時【解題分析】

（1）由已知可知,所以在中，運用余弦定理易得OA的長．（2）因為C航行1小時到達C，所以知道OC的長即可，即求BC的長．在中，由正弦定理求得，在中，再由正弦定理即可求出BC．【題目詳解】（1）因為海倫的速度為20海里/小時，所以1小時后，海里又海里，，所以中，由余弦定理知：即即，解得：海里（2）中，由正弦定理知：解得：中，，，所以所以在中，由正弦定理知：，解得：所以答：船的速度為海里/小時【題目點撥】三角形中一般已知三個條件可求其他條件，用到的工具一般是余弦定理或者正弦定理．19、（1）（2）【解題分析】

（1）設，分別在和中利用余弦定理計算，聯立方程組，求得的值，再由余弦定理，即可求解的值；（2）由（1）的結論，計算，利用三角形的面積公式，即可求解.【題目詳解】（1），則，所以在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，解得，所以，由余弦定理得（2）由（1）求得，，所以，所以.【題目點撥】本題主要考查了余弦定理和三角形的面積公式的應用，其中在解有關三角形的題目時，要抓住題設條件和利用某個定理的信息，合理應用正弦定理和余弦定理列出方程是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.20、（1）；（2）．【解題分析】

（1）由誘導公式變形即得；（2）同樣用誘導公式化簡后，利用平方關系求值．【題目詳解】（1）；（2），，又是第三象限角，∴，∴．【題目點撥】本題考查誘導公式，考查同角間的三角函數關系．在用平方關系示三角函數值時，要注意確定角的范圍．21、（Ⅰ）4米時，28800元；（Ⅱ）0<a<12.25．【解題分析】

（Ⅰ）設甲工程隊的總造價為y元，先求出函數的解析式，再利用基