第一章緒論

1-1.20℃的水2。5m;當溫度升至80℃時，其體積增加多少？

［解］溫度變化前后質量守恒，即夕M=2匕

又20℃時，水的密度乃=998.23必/加

80℃時，水的密度0=971.83匕//

%=/=2.5679m3

-P2

則增加的體積為△丫=匕一匕=0.0679w3

1—2.當空氣溫度從0℃增加至20℃時，運動粘度增加15%,重度減少10%,問此時動力粘度增加多少(百分

數)？

［解］=(1+0.15)〃原(1-0.1)。原

=1.035丫原。原=1-035〃原

...L°35〃原—〃原=0035

〃原〃原

此時動力粘度增加了3.5%

1-3.有一矩形斷面的寬渠道，其水流速度分布為u=0.0020.5/)/〃，式中、分別為水的密度和

動力粘度，為水深。試求〃=0.5加時渠底(產0)處的切應力。

［解］,/半=0.002處(/?-y)/〃

dy

：.r-//—=0.002pg(/?-y)

dy

當=0.5m,y=0時

T=0.002xlOOOx9.807(0.5-0)

=9.8074

1—4.一底面積為45X50cn?,高為1cm的木塊，質量為5kg,沿涂有潤滑油的斜面向下作等速運動，木

塊運動速度u=lm/s,油層厚1cm,斜坡角22。62°(見圖示),求油的粘度。

［解］木塊重量沿斜坡分力F與切力T平衡時，等速下滑

mgsin0=T=/nA-

dy

_mgs\r\0_5x9.8xsin22.62

〃==i

A-0.4x0.45x——

§0.001

//=0.1047Pa?s

1-5.已知液體中流速沿y方向分布如圖示三種情況，試根據牛頓內摩擦定律7=〃左，定性繪出切應力沿

dy

y方向的分布圖。

1-6.為導線表面紅絕緣，將導線從充滿絕緣涂料的模具中拉過。已知導線直徑0。9mm,長度20mm，涂

料的粘度=0.02Pa.s。若導線以速率50m/s拉過模具，試求所需牽拉力。（1。01N）

［解］???A=㈤/=3.14x0.8x10-3x20x10-3=5.024x1()7機2

乙=，A=0.02x———~~-x5.024xl0-5=1.01^

h0.05x10-3

1—7.兩平行平板相距0。5mm，其間充滿流體，下板固定,上板在2Pa的壓強作用下以0。25m/s勻速移動,

求該流體的動力粘度.

［解1根據牛頓內摩擦定律，得

du

//=r/—

dy

f)75

〃=2/,=4X1(T3&.

0.5x10-3

1-8.一圓錐體繞其中心軸作等角速度0=162外旋轉。錐體與固定壁面間的距離=lmm,用〃=0.1汽b

的潤滑油充滿間隙。錐體半徑R=0.3m,高H=0.5m。求作用于圓錐體的阻力矩.（39。6N?m）

［解］

微元面積:dA=2TTT,dl=2"?—也-

cosB

E_ducor-G

切應力：T=/Ll—=/Li---

ayo

阻力:=

阻力矩：dM=dTr

A/=JdM-JrdT-JrrdA

H■,

=［rr-2^r-----dh

*cos。

1H

〃—27r?Jr3dh(r=tg0-h)

5cos。o

H

".色?2萬.1

8cos。

0

2p力次3H4_^O.1X16XO.54XO.63

X39.6Nm

43cos6103x0.857x2

1-9.一封閉容器盛有水或油，在地球上靜止時，其單位質量力為若干?當封閉容器從空中自由下落時，其

單位質量力又為若干？

［解］在地球上靜止時：

fx=fv=0；f：=一g

自由下落時:

fx=fy=0：fz=_g+g=0

第二章流體靜力學

2—1.一密閉盛水容器如圖所示,U形測壓計液面高于容器內液面h=1.5m,求容器液面的相對壓強。

［解］Po=P“+Pgh

pe=PQ-Pa==1000x9.807xl.5=\4.7kPa

2—2.密閉水箱，壓力表測得壓強為4900Pao壓力表中心比A點高0。5m,A點在液面下1.5m。求

液面的絕對壓強和相對壓強。

［解］PA=PC。5Pg

pa-pA-1.5/^=p&-pg=4900-1000x9.8=-4900Pa

p'a=pa+pa=-4900+98000=93100Pa

2-3.多管水銀測壓計用來測水箱中的表面壓強。圖中高程的單位為m.試求水面的絕對壓強pabso

［解］Po+。水g(3.0-1-4)-。汞g(2.5-1.4)+&g(2.5-1.2)=pa+夕汞g(2.3-1.2)

Po+L6夕水g-1?1。汞g+132水g=A”+1.1。耒g

33

Po=p,,+2.22末8—2.92水8=98000+2.2x13.6x10x9.8-2.9x10x9.8=362.8kPa

2-4.水管A、B兩點高差hi=0。2m,U形壓差計中水銀液面高差h?=0.2m。試求A、B兩點的壓

強差。(22.736N/m2)

［解］4+夕水8(〃|+砧=，3+2水銀"2

/.PA-PB=夕水銀g4一夕水g(九+為)=13.6xl03x9.8x0.2—IO3x9.8x(0.2+0.2)=22736Pa

2—5.水車的水箱長3m,高1。8m,盛水深1.2m,以等加速度向前平駛，為使水不溢出,加速度a的允許

值是多少？

［解］坐標原點取在液面中心,則自由液面方程為:

a

zo=----x

g

當工=一,二一1.5加時，z()=1.8—1.2=0.6m,此時水不溢出

2

9.8x0.6c二八，2

.??。=-"=---------=3.92m/s2

x—1.5

2-6.矩形平板閘門AB一側擋水。已知長/=2m,寬6=lm,形心點水深6=2m,傾角=45,閘門上緣A處設

有轉軸，忽略閘門自重及門軸摩擦力。試求開啟閘門所需拉力。

［解］作用在閘門上的總壓力：

P=p,A=0g〃,?A=lOOOx9.8x2x2xl=39200N

j2—xlx23

作用點位置:yD=yc+――=--------+--------=2.946加

sin450_^x2xl

sin45"

,/y.-———L=-1-----=1.828m

sina2sin4502

o

Tx/cos45=P(.yD-y/1)

39200x(2.946-1.828)

T、P(%〉A)=30.9%N

Zcos45°2xcos450

2—7.圖示繞較鏈。轉動的傾角=60°的自動開啟式矩形閘門，當閘門左側水深hi=2m,右側水深hz=0.4m

時，閘門自動開啟，試求錢鏈至水閘下端的距離X。

［解］左側水作用于閘門的壓力：

F〃=pg%iA\=pg%x~^—b

2sin60

右側水作用于閘門的壓力：

-pgh,A=0g包x—卜---b

12-2sin600

廠/14、17/1為、

plX-3sin600-7,23sin600

」~14h,b14、

npghb{x--------!-)=pg———--*1b7(x--------=-)

2sin60°3sin6002sin6003sin60°

.2/1%、i2/1%\

(X----------)=(X--------—)

”3sin600-3sin60c

=>22X(X--——)=0.42x(x---°-4-)

3sin6003sin600

x-0.795/“

2-8.一扇形閘門如圖所示，寬度b=1.0m,圓心角=45°,閘門擋水深h=3m,試求水對閘門的作用力及方向

［解］水平分力:

Fxpg&A,=pggxh-b=lOOOx9.81x—x3=44.145kN

壓力體體積：

V=囪'——h)+-h2]--(卜>

sin45°28sin45°

=[3x(———3)+lx32]--(—)2

sin45°28sin45°

=1.1629/，

鉛垂分力：

Fp：=pgV=\OOOx9.81x1.1629=11.4MN

合力：

22

Fp=+Fj=744.145+11.41=45.595AN

方向：

F1141

0=arctan—=arctan——:——=14.5°

Fv44.145

2-9.如圖所示容器，上層為空氣，中層為「石油=8170N/m3的石油，下層為「甘油=12550N/m3的甘油,

試求：當測壓管中的甘油表面高程為9.14m時壓力表的讀數。

［解］設甘油密度為，石油密度為，做等壓面1--1,則有

Pi=/?］g(V9.14—V3.66)=a+夕2g(V7.62—V3.66)

5.48qg=PG+3.9602g

々=5.48gg-3.960g

=12.25x5.48-8.17x3.96

=34.78kN/m2

2—10.某處設置安全閘門如圖所示，閘門寬b=0。6m,高h尸1m,校接裝置于距離底h2=0.4m,閘門可繞

A點轉動，求閘門自動打開的水深h為多少米。

［解］當心〈力一兒時，閘門自動開啟

j,—bh^..

hD=hc+—^--(A--)+-$------=h---1------

%A2"m212A-6

將代入上述不等式

h--+―-—</?-0.4

212//-6

―5—<0.1

12A-6

4/、

得h>—(m)

2-11.有一盛水的開口容器以的加速度3.6m/s2沿與水平面成30"夾角的斜面向上運動，試求容器中水面的傾

角。

［解］由液體平衡微分方程

dp=<出+fydy+工dz)

<=-acos30°,fv=(),工=—(g+asin30°)

在液面上為大氣壓,d〃=0

-acos30°dx-(g+asin300)dz=0

dzacos30"

-----=tana=0.269

drg+asin30°

...a=15°

2-12.如圖所示盛水U形管，靜止時，兩支管水面距離管口均為h,當U形管繞OZ軸以等角速度3旋轉時,

求保持液體不溢出管口的最大角速度3max。

［解］由液體質量守恒知，1管液體上升高度與II管液體下降高度應相等，且兩者液面同在一等壓面

上，滿足等壓面方程：

c,o2r2-

---------z=C

2g

液體不溢出，要求Zj-zn<2h,

以八=匕分別代入等壓面方程得:

a>b

2—13.如圖，。=60°,上部油深加=1.0111,下部水深〃2=2.001,油的重度=8.01<14/|113,求：平板〃6單位寬度上

的流體靜壓力及其作用點。

［解］合力

P=Q〃

，油"磊7水為岳+，油4焉

=46.2kN

作用點：

%—^=4.62左N

2Asin60°

hy=2.69m

ih

P)=—/水以一J=23.09AN

22,水與sin60。

月=0.77m

h

制一^=18.48^

油sin60。

4=1.155m

對B點取矩：Pfy+PJ4+鳥/=PhD

//D=1.115m

hD-3-hDsin60°=2.03m

2—14.平面閘門AB傾斜放置，已知a=45。，門寬b=lm,水深Hi=3m,H2=2m,求閘門所受水靜壓力的大

小及作用點。

I解］閘門左側水壓力：

P-Lpgh._^L_/,=lxl000x9.807x3x---xl=62.4btN

'21sina2sin450

作用點：

%=—L=__—=1.414/〃

3sina3sin45°

閘門右側水壓力：

P-,=-x^/z,--^-/?=-xl000x9.8x2x——xl=27.74^

22'sina2sin450

作用點：

%=———=------=0.9437〃

-3sina3sin45"

總壓力大小：尸=［一鳥=62.41—27.74=34.67々N

對B點取矩：

—PM=PhD

62.41x1.414-27.74x0.943=34.67/?D

&,=1.79m

2-15.如圖所示，一個有蓋的圓柱形容器，底半徑R=2m,容器內充滿水，頂蓋上距中心為r0處開一個小孔通

大氣.容器繞其主軸作等角速度旋轉。試問當r0多少時，頂蓋所受的水的總壓力為零.

［解］液體作等加速度旋轉時，壓強分布為

2?

r~、「

P=P8（-----z）+C

2g

積分常數C由邊界條件確定:設坐標原點放在頂蓋的中心，則當r=加z=0時，p=p“（大氣

壓），于是,

2

2

P-Pu=Pg[—^r-r^-z]

2g

在頂蓋下表面,z=0,此時壓強為

〃一〃“=；0小（產一短）

頂蓋下表面受到的液體壓強是P，上表面受到的是大氣壓強是P“，總的壓力為零，即

（R1222

（P-Pa）2"df=aJ。（r-6）2mdr=0

積分上式，得

2-16.已知曲面為半圓柱面，寬度為lm,O=3m,試求AB柱面所受靜水壓力的水平分力R和豎直分力R.

［解］水平方向壓強分布圖和壓力體如圖所示：

=-x9810x32xl=33109^

8

B

314，

=9810x-^x32xl=17327^

16

2-17.圖示一矩形閘門，已知及，求證〉

2hh

［證明］形心坐標——a—

則壓力中心的坐標為

,J,

ZD=hD=Zc+—

J=—B/23;A=B/J

'12

?h、h2

zz=(H-a-----)H----------------------

DD1012(H—a—h/10)

14

當”—a>z0,閘門自動打開，即—〃

第三章流體動力學基礎

2

3—1.檢驗？=2d+y,uv=2y+z,L=T(x+y)z+盯不可壓縮流體運動是否存在?

［解］(1)不可壓縮流體連續方程

duxdudu..

dxdydz

(2)方程左面項

dududu..、

-x=；---4y；—2=-4(x+^)

oxdyoz

(2)方程左面二方程右面，符合不可壓縮流體連續方程，故運動存在。

3—2.某速度場可表示為％.=x+%uy=-y4-Z；%=0,試求：(1)加速度；(2)流線；(3)t=0時通過x

=—l,y=l點的流線;(4)該速度場是否滿足不可壓縮流體的連續方程？

［解］⑴/=l+x+f

ay=1+寫成矢量即。=(1+元+，)i+(l+y-1)j

az=0

(2)二維流動，由上=殳，積分得流線:ln(x+f)=—ln(y—f)+G

U\Uy

即(x+r)(yT)=C2

(3)r=0,x=—i,y=i,代入得流線中常數。2=-1

流線方程:肛=-1,該流線為二次曲線

(4)不可壓縮流體連續方程：W+一+二=0

ax.oyoz.

己知管=1信=-1愛=。，故方程滿足。

3—3.已知流速場〃=(4x3+2y+D)i+(3x-y3+z?,試問：(1)點(1,1,2)的加速度是多少?(2)是幾元

流動？(3)是恒定流還是非恒定流？(4)是均勻流還是非均勻流？

［解］

ux=4/+2y+孫

uy=3x+/+z

uz=0

dududududu

a=--r=--v4-w-Y-+w-v-+-Y-

Ydtdtrdxyvdydz

=0+(4_?+2y+個)(12/+y)+(3尤一y3+z)(2+x)+0

代入(1,1,2)

=>?x=0+(4+2+l)(12+l)+(3-l+2)(2+l)+0

=>%=103

同理：

=>a=9

因此(1)點(1』，2)處的加速度是a=103：+9]

(2)運動要素是三個坐標的函數，屬于三元流動

(3)一=0,屬于恒定流動

dt

(4)由于遷移加速度不等于0，屬于非均勻流.

3—4.以平均速度丫=0。15m/s流入直徑為D=2cm的排孔管中的液體，全部經8個直徑啟1mm

的排孔流出,假定每孔初六速度以次降低2%,試求第一孔與第八孔的出流速度各為多少？

Y73

/OQ。。。。。-n-rD

42345678“

［解］由題意％,—=0.15X-X0.022=O.(M7x10-3m3/5=0.047L/5

44

27

v2=0.98^；v3=0.98V1；......;v8=0.98Vj

27

qv=，(匕+0.98v,+0.98V1+…+0.98匕)=弓-vlSn

式中S1,為括號中的等比級數的n項和.

由于首項a|=1,公比q=0o98,項數n=8。于是

《4(1—4〃)1—0.988

、^3_-_______^3________=7.462

"一\-q~1-0.98

4外14x0047x10-3

v=8.04m/5

i壽W%XO0012X7.462

77

v8=0.98V,=0.98X8.04=6.98/M/5

3-5.在如圖所示的管流中，過流斷面上各點流速按拋物線方程：二)2]對稱分布，式中管道半

徑ro=3cm,管軸上最大流速心，”=0.15m/s，試求總流量Q與斷面平均流速外

［解］總流量：Q=fudA=fr<，w［l-(-)2］2^r

JAJOmaxG

2-43

=-2"mIT,IdxX婚U=-2x0.15x0.03=2.12X10W/5

四2

On"maxF“

斷面平均流速：v=^=~—o—=」"=0.075m/s

裕裕2

3—6.利用皮托管原理測量輸水管中的流量如圖所示.己知輸水管直徑d=200mm,測得水銀差壓計讀書hP

二60mm，若此時斷面平均流速r=0o84〃max,這里人”為皮托管前管軸上未受擾動水流的流速，問輸水管

中的流量Q為多大?(3.85m/s)

2

［解］

Pg2gPg

??等導興分吹…

uA=J2gxi2.6/=72x9.807x12.6x0.06=3.85m/s

Q=ld2v^-x0.22x0.84x3.85=0.1Q2m3Is

44

3—7.圖示管路由兩根不同直徑的管子與一漸變連接管組成。己知4=200mm,心=40Omm,A點相對壓強

0“=68。6kPa,B點相對壓強ps=39.2kPa,B點的斷面平均流速VB=Im/s,A、B兩點高差△z=l。2m。

試判斷流動方向，并計算兩斷面間的水頭損失幾。

［解J???-d}vA=^VB

d］.,400、2...

=—Yv?=(---)xl=4/〃/s

d1200

假定流動方向為A-B,則根據伯努利方程

22

7.PA._PavB

ZA+—+~~-Z7B+—B+-B~+h盤

Pg2gpg2g

其中ZB-ZA=AZ,=aBx1.0

h.=PB+-味_法

Pg2g

68600-3920042-12.

-------------1----------1.2o

98072x9.807

2.56m>0

故假定正確。

3-8.有一漸變輸水管段，與水平面的傾角為45°,如圖所示。已知管徑4=20Omm,d100mm,兩斷面

的間距/=2m。若1-1斷面處的流速內=2m/s,水銀差壓計讀數力產20cm,試判別流動方向，并計算兩

斷面間的水頭損失心和壓強差p1—p2。

當［(^)2>2=8，小

假定流動方向為1-2,則根據伯努利方程

旦+也=八畝45。+以+咤+人,

Pg2gPg2g

其中Rf一/sin45°=(2_1)〃=12.6/?",取%%。1.0

PSP

v2—v~4-64-

???h=12.6/z+=12.6x0.2+--------=-0.54m<0

卬P2g2x9.807

故假定不正確，流動方向為2—1。

由-P2一/sin45°=(2—1)〃,,=12.6/%

PgP

得一〃2=4?(12.6/z,,+/sin450)

=9807x(12.6x0.2+2sin45")=38.58kPa

3-9.試證明變截面管道中的連續性微分方程為四+J■久逆2=0,這里s為沿程坐標.

otAds

［證明］取一微段ds,單位時間沿s方向流進、流出控制體的流體質量差△ms為

.（\dp1w.1SA\dp11SA

2os2ds2ds2ds2ds2os因密聲

=一絲她（略去高階項）

os

變化引起質量差為

dp

AA772c=——Ads

pdt

由于△〃?，=Amp

8a（夕〃A）

-2―Ads=---------as

dtds

二勿?13（p“A）_O

dtAds

3-10.為了測量石油管道的流量，安裝文丘里流量計，管道直徑d產200mm,流量計喉管直徑J2=100mm,

石油密度0=850kg/n?,流量計流量系數4=0。95現測得水銀壓差計讀數力p=150mm。問此時管中流

量Q多大？

［解］

3—11.離心式通風機用集流器A從大氣中吸入空氣。直徑d=200mm處，接一根細玻璃管,管的下端插入

水槽中.己知管中的水上升"=150mm,求每秒鐘吸入的空氣量Q。空氣的密度。為1.29kg/m3.

［解］p2+P水gh=P”=>〃2=Pu~夕水g〃

0+人+0=0+&+二上-，，-2州+工

P氣g夕氣g2gPrg夕氣g2g

n式="心"怪甌聲巨國還=47.757向s

2gp氣R2氣V1.29

7id~3.14X0.22X47.757

=1.5/n3/s

品=丁匕=4

3-12.已知圖示水平管路中的流量qi，=2。5L/s,直徑4=5Omm,〃2=25mm,,壓力表讀數為9807P

a，若水頭損失忽略不計，試求連接于該管收縮斷面上的水管可將水從容器內吸上的高度ho

［解］

ml：欣；4q_4x2.5xlQ-3

%=才斗=丁匕『v=1.273m/s

嬴—3.14x0.052

4?4x2.5x10-3

=5.093m/.v

3.14x0.0252

0|四=0|P2—P"I%?二8+（2一，2）一嶺2一，；

pg2g屋2gpg2g

P“—P2_嶺2yj_且_5.0932-1.27329807

=0.2398m//2O

pg2gpg2g1000x9.807

p2+pgh=pa=>h=—~—=0.2398mH,0

Pg

3-13.水平方向射流，流量Q=36L/s,流速y=30m/s,受垂直于射流軸線方向的平板的阻擋，截去流量Qi=

12L/s,并引起射流其余部分偏轉，不計射流在平板上的阻力，試求射流的偏轉角及對平板的作用力。(3

0°;456。6kN)

［解］取射流分成三股的地方為控制體，取x軸向右為正向，取y軸向上為正向，列水平即x方向的動量方程,

可得：

-F'=pcjV2v2cosa-pqvv0

y方向的動量方程:

vv

0=pqvly2sina-PQv\\=>Qv22sina=qvxv[

.外因12%

=>sina==-----=0.5

如2V224%

na=30。

不計重力影響的伯努利方程：

12廠

P+-pv'=C

控制體的過流截面的壓強都等于當地大氣壓p“，因此W尸叫=V2

-F=1000x24xl0-3x30cosa-1000x36xl0-3x30

=>-F'=—456.5N

=>F=456.5N

3-14.如圖（俯視圖）所示,水自噴嘴射向一與其交角成60。的光滑平板。若噴嘴出口直徑g25mm，噴射流

量Q=33。4L/s,,試求射流沿平板的分流流量。卜。2以及射流對平板的作用力廠.假定水頭損失可忽略不

計。

X方向的動量方程：

0=兇因+pQ2（~v2）-p。%COS60°

=>2,=02+QCOS6O。

=>。-。2=。2+0?5。

=>22=0.252=8.351/5

=>0=Q—Q=0-75Q=25O5L/S

y方向的動量方程：

F=0一聞（―％sin60。）

=>F'=pQv。sin60。=1969.12N

3-15.圖示嵌入支座內的一段輸水管，其直徑從力=1500mm變化到小=1000mm。若管道通過流量。

=1。8m3/s時，支座前截面形心處的相對壓強為392kPa,試求漸變段支座所受的軸向力F.不計水頭損失。

［解］由連續性方程:

red：7cd\

%4V,4彩

nu-4%4x1.81八與.4x1.8-2.

c■"A?\.J!LiA9v_%

V2一,22

3.14xl.52nd?3.14xl.O''

伯努利方程：

22

0+&+±=0+匹+2

Pg2gpg2g

22jco2o0c2

=02=A+P-V|"V~=392Xio3+IOOOX-~~~—=389.898&Pa

動量方程：

FFF

Pl-'-P2=PQv(V2-Vi)

P1^~=PQV^2-V^

ecc“、，3.14X1.52.,，3.14X1.02…occ-、C、

=>392xIO,*----------F'-3o8o9n.8o9n8oxlO3x---------=1i0n0n0nxl.8x(2.29-1.02)

44

=>F'=692721.18-306225.17-2286

nF'=38221kN

3-16.在水平放置的輸水管道中，有一個轉角a=45°的變直徑彎頭如圖所示，已知上游管道直徑

4=600mm,下游管道直徑4=300加利，流量%=0.425n?/s,壓強8=140A網,求水流對這段彎頭的

作用力，不計損失.

［解］(1)用連續性方程計算和

4qv4x0.4251_4Q4x0.425

=---=1.5m%=6.02m/s

兀d、7tx0.67td，l^x0..32

(2)用能量方程式