《6.2.1排列及排列數》考點講解

【思維導圖】

一般地，從n個不同元素中取出m(mWn)個元素，按照一定的順序排

【常見考點】

考點一排列的概念

［例1］下列問題是排列問題的是()

A.從10名同學中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法？

B.10個人互相通信一次，共寫了多少封信？

C.平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？

D.從1,2,3,4四個數字中，任選兩個相加，其結果共有多少種？

(2)從3個不同的數字中取出2個：①相加；②相減；③相乘；④相除：⑤一個為被開方

數，一個為根指數.則上述問題為排列問題的個數為()

A.2B.3C.4D.5

【一隅三反】

1.判斷下列問題是否為排列問題.

(D會場有50個座位，要求選出3個座位有多少種方法？若選出3個座位安排三位客人，

又有多少種方法？

(2)從集合M={1,2,…，9}中，任取兩個元素作為a,b,可以得到多少個焦點在x軸上的

2222

橢圓方程與+￡=1?可以得到多少個焦點在X軸上的雙曲線方程占一￡=1?

abab

(3)從1,3,5,7,9中任取3個數字，有多少種方法？若這3個數字組成沒有重復的三位數，

又有多少種方法？

2.下列問題是排列問題的是()

A.從8名同學中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法？

B.10個人互相通信一次，共寫了多少封信？

C.平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？

D.從1,2,3,4四個數字中，任選兩個相乘，其結果共有多少種？

考點二排列數

【例2】⑴若片=20,則"?=()

A.5B.6C.7D.8

(2)若用,=2%,則m的值為()

A.5B.3C.6D.7

(3)不等式A；」—〃<7的解集為()

A.{n|-l<n<5}B.{1,2,3,4}C.{3,4}D.{4}

【一隅三反】

1.對于滿足〃213的正整數n,(〃—5)("-6)…5—12)=()

A.<12B.ALC.<5D.心

2.已知3&T=4圍一2,則〃=()

A.5B.7C.10D.14

3.給出下列四個關系式：

n\m-l_-D!

1③4"④

①6誓②…二(n-nt)!""(m-n)!

其中正確的個數為()

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.(1)解不等式A；＜6A/；⑵證明：A：、—A：=，〃A；i.

考點三排隊問題

【例3】有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數.

(1)選5人排成一排；

⑵排成前后兩排，前排3人，后排4人；

(3)全體排成一排，女生必須站在一起；

(4)全體排成一排，男生互不相鄰；

(5)全體排成一排，其中甲不站最左邊，也不站最右邊；

（6）全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊.

【一隅三反】

1.甲、乙、丙、丁四名同學和一名老師站成一排合影留念.若老師站在正中間，則不同站

法的種數有（）

A.12種B.18種C.24種D.60種

2.參加完某項活動的6名成員合影留念，前排和后排各3人，不同排法的種數為（）

A.360B.720C.2160D.4320

3.某單位有8個連在一起的車位，現有4輛不同型號的車需要停放，如果要求剩余的4個

車位中恰好有3個連在一起，則不同的停放方法的種數為（）

A.240B.360C.480D.720

考點四數字問題

【例4】現有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十個數字.

（1）可以組成多少個無重復數字的三位數？

（2）組成無重復數字的三位數中，315是從小到大排列的第幾個數？

（3）可以組成多少個無重復數字的四位偶數？

【一隅三反】

1.由0,1,2,3,4,5共6個不同數字組成的6位數，要求0不能在個位數，奇數恰好

有2個相鄰，則組成這樣不同的6位數的個數是（）

A.144B.216C.288D.432

2.用數字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數，其中比40000大的偶數共有

A.144個B.120個C.96個D.72個

3.用數字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數字的四位數.

（1）可組成多少個不同的四位數？

（2）可組成多少個不同的四位偶數？

答案解析

考點一排列的概念

【例1】（1）下列問題是排列問題的是（）

A.從10名同學中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法？

B.10個人互相通信一次，共寫了多少封信？

C.平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？

D.從1,2,3,4四個數字中，任選兩個相加，其結果共有多少種？

(2)從3個不同的數字中取出2個：①相加；②相減；③相乘；④相除；⑤一個為被開方

數，一個為根指數.則上述問題為排列問題的個數為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】(1)B(2)B

【解析】(1)排列問題是與順序有關的問題，四個選項中只有B中的問題是與順序相關

的，其他問題都與順序無關，所以選B.

(2)排列與順序有關，故②④⑤是排列.

【一隅三反】

1.判斷下列問題是否為排列問題.

(1)會場有50個座位，要求選出3個座位有多少種方法？若選出3個座位安排三位客人，

又有多少種方法？

(2)從集合M={1,2,…，9}中，任取兩個元素作為a,b,可以得到多少個焦點在x軸上的

X2V2X2V2

橢圓方程F+%=1?可以得到多少個焦點在X軸上的雙曲線方程F-9=1?

abab

(3)從1,3,5,7,9中任取3個數字，有多少種方法？若這3個數字組成沒有重復的三位數，

又有多少種方法？

【答案】見解析

【解析】(1)第一問不是排列問題，第二問是排列問題.“入座”問題同“排隊”問題與順

序有關，故選3個座位安排三位客人是排列問題.

22

⑵第一問不是排列問題，第二問是排列問題.若方程當+3=1表示焦點在x軸上的橢

ab

x2Y2

圓，則必有a〉b,a,b的大小關系一定；在雙曲線F—?=1中，不管a>b還是a〈b,方程

ab

22

與一改=1均表示焦點在X軸上的雙曲線，且是不同的雙曲線，故是排列問題.

ab

(3)第一問不是排列問題，第二問是排列問題.從5個數中取3個數，與順序無關；若這3

個數組成不同的三位數，則與順序有關.

2.下列問題是排列問題的是()

A.從8名同學中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法？

B.10個人互相通信一次，共寫了多少封信？

C.平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？

D.從1,2,3,4四個數字中，任選兩個相乘，其結果共有多少種？

【答案】B

【解析】排列問題是與順序有關的問題，四個選項中只有B中的問題是與順序有關的,

其他問題都與順序無關.故選B.

考點二排列數

【例2】(1)若短=2(),則m=()

A.5B.6C.7D.8

(2)若聾,=2￡,則m的值為()

A.5B.3C.6D.7

(3)不等式#—一〃<7的解集為()

A.B.{1,2,3,4}

C.{3,4}D.{4}

【答案】(1)A(2)A(2)C

【解析】(D4：=皿加-1)=20,化解得病一加一20=0解得：m=Y(舍)或m=5故

選：A

(2)根據題意，若A：=2A：,則有m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)=2Xm(m-1)(m

-2),

即(m-3)(m-4)=2,解可得：m=5故答案為A

(3)由A>-〃<7,得：-2)一〃<7,整理得〃2一4〃一5<0,解得：

-l<n<5,

由題可知，〃一122且“GN*，則〃=3或〃=4,即原不等式的解集為：{3,4}.故選：

C.

［【方法總結】

要注意然中隱含了3個條件：①〃?，“eN*；②加W〃；③A：的運算結果為正整

；2.形然=〃娟〃A：=A：：；-A；〃-〃!=(〃+1)!-〃！然+用，=心

I______________________________________________________

【一隅三反】

1.對于滿足〃213的正整數n,(〃-5)("-6)…(n-12)=()

A.ATB.槳5C.An_5D.A^5

【答案】C

【解析】根據排列數定義，要確定元素總數和選取個數，元素總數為〃-5,

選取個數為(〃-5)-(〃-12)+1=8,(〃-5)(〃-6)…(〃-12)=?.故選:C.

2.已知3Ai=4禺則〃=()

A.5B.7C.10D.14

【答案】B

【解析】34T=4故2,可得3x8x7x…x(8-〃+2)=4x9x8x7x…x(9-n+3),

即3(11-n)(10-”)=36,解得〃=7.故選：B.

3.給出下列四個關系式:

①小喘②仆叫③父=己④明("1)!

(771-71)!

其中正確的個數為()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】①因為(〃+1)!=(〃+1)”(〃-1>-21〃!=〃?("一1)("一27-2」，故正確.

②耳"=故正確.

(n-m)C1]

n\

③然正確.

(n-m)!

n\

④因為A"=所以娼=:〃一?；,故不正確.

(〃一〃?)！

故選：C

4.(1)解不等式A；<6A/；(2)證明：A；；'+1-A；=mA'；：-'.

【答案】(1)x=8；(2)詳見解析.

,8!48!

【解析】⑴由&<6A>,得曰不<6*的11P

化簡得一一19葉84<0,解之得7<x<12,①

又｛S>cxc，；.2<xW8,②由①②及xwN*得-8.

x-2>0

(2

5+1)!n\n\(n+lnlm_利〃！

(?-/?)!\/?+1-/H)(H-/n)!(n+l-/?)(/?4H-W)!

,，A；3-A：=^A：T

考點三排隊問題

【例3】有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數.

(1)選5人排成一排；

(2)排成前后兩排,前排3人，后排4人;

(3)全體排成一排,女生必須站在一起;

(4)全體排成一排,男生互不相鄰:

(5)全體排成一排,其中甲不站最左邊，也不站最右邊;

(6)全體排成一排,其中甲不站最左邊，乙不站最右邊.

【答案】(1)2520；(2)5040；(3)576；(4)1440；(5)3600；(6)3720.

【解析】(1)從7人中選5人排列，共有用=7x6x5x4x3=2520(種).

(2)分兩步完成，先選3人站前排，有A；種方法，余下4人站后排，有用種方法，按照

分步乘法計數原理計算可得一共有用-A：=7x6x5x4x3x2xl=5040(種).

(3)捆綁法，將女生看成一個整體，進行全排列，有用種，再與3名男生進行全排列有

A：種，共有川、蜀=576(種).

(4)插空法，先排女生，再在空位中插入男生，故有MX&=1440(種).

(5)先排甲，有5種方法，其余6人有人種排列方法，共有5x8=3600(種).

(6)7名學生全排列，有用種方法，其中甲在最左邊時，有父種方法，乙在最右邊

時，有父種方法，其中都包含了甲在最左邊且乙在最右邊的情形，有用種方法，故共有

用-2x4+6=3720（種）.

【一隅三反】

1.甲、乙、丙、丁四名同學和一名老師站成一排合影留念.若老師站在正中間，則不同站

法的種數有（）

A.12種B.18種C.24種D.60種

【答案】C

【解析】根據題意，若老師站在正中間，則站法只有1種，將甲、乙、丙、丁全排列，安

排在兩邊4個位置，有閣=24種情況，由分步乘法計數原理知共有1x24=24種，故選：

C.

2.參加完某項活動的6名成員合影留念，前排和后排各3人，不同排法的種數為（）

A.360B.720C.2160D.4320

【答案】B

【解析】分兩步完成：

第一步：從6人中選3人排前排：4=120種不同排法；

第二步：剩下的3人排后排：父=6種不同排法，

再按照分步乘法計數原理：120x6=720種不同排法，

故選：B.

3.某單位有8個連在一起的車位，現有4輛不同型號的車需要停放，如果要求剩余的4個

車位中恰好有3個連在一起，則不同的停放方法的種數為（）

A.240B.360C.480D.720

【答案】C

【解析】解法一：給8個車位編號：1,2,3,4,5,6,7,8,

當1,2,3號車位停放3輛車時，有4x4：種停放方法：

當2,3,4號車位停放3輛車時，有3x4：種停放方法；

當3,4,5號車位停放3輛車時，有3x4：種停放方法；

當4,5,6號車位停放3輛車時，有3x4：種停放方法；

當5,6,7號車位停放3輛車時，有3xA：種停放方法：

當6,7,8號車位停放3輛車時，有4xA：種停放方法；

所以不同的停放方法的種數為

4A：+3A：+34：+3+3父+4A：=204：=20x24=480種.

解法二：先定四個車位，其中三個車位連在一起捆綁，

三個車位和另一個被四個空車位間隔開，四個空車位就1種排法，

造成5個空格，排入三個捆綁車位和一個車位有4=20種方法，

再把4輛車停入四個車位有A：=24種方法，

根據乘法原理共有20x24=480種停車方法.

故選：C.

考點四數字問題

【例4】現有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十個數字.

（1）可以組成多少個無重復數字的三位數？

（2）組成無重復數字的三位數中，315是從小到大排列的第幾個數？

（3）可以組成多少個無重復數字的四位偶數？

【答案】（1）648；（2）156；（3）2296；

【解析】（1）由題意，無重復的三位數共有=9x72=648個；

（2）當百位為1時，共有蜀=9x8=72個數；

當百位為2時，共有蜀=9x8=72個數；

當百位為3時，共有4+4=12個數，

所以315是第72+72+12=156個數；

（3）無重復的四位偶數，所以個位必須為0,2,4,6,8,千位上不能為0,

當個位上為0時，共有閥=504個數；

當個位上是2,4,6,8中的一個時，共有A：=1792個數，

所以無重復的四位偶數共有504+1792=2296個數;

【一隅三反】

1.由0,1,2,3,4,5共6個不同數字組成的6位數，要求。不能在個位數，奇數恰好

有2個相鄰，則組成這樣不同的6位數的個數是()

A.144B.216C.288D.432

【答案】B

【解析】先從3個奇數中選出2個捆綁內部全排共有8=6種排法，

再把捆綁的2個奇數看成一個整體，

因為這個整體與剩下的一個奇數不相鄰，將2個非0偶數全排有國=2種選法，

奇數插空全排有8=6種選法，

最后把0插空，0不能在兩端，有3種排法，

可組成這樣不同的6位的個數為6x2x6x3=216種排法，

故選：B

2.用數字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數，其中比40000大的偶數共有

A.144個B.120個C.96個D.72個

【答案】B

【解析】根據題意，符合條件的五位數首位數字必須是4、5其中1個，末位數字為0、

2、4中其中1個；

分兩種情況討論：

①首位數字為5時，末位數字有3種情況，在剩余的4個數中任取3個，放在剩余的3個

位置上，有A；=24種情況，此時有3X24=72個，

②首位數字為4時，末位數字有2種情況，在剩余的4個數中任取3個，放在剩余的3個

位置上，有A；=24種情況，此時有2X24=48個，

共有72+48=120個.

故選B

3.用數字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數字的四位數.

(1)可組成多少個不同的四位數？

(2)可組成多少個不同的四位偶數？

【答案】(1)300；(2)156.

【解析】(1)根據題意分步完成任務：

第一步：排千位數字，從1,2,3,4,5這5個數字中選1個來排，有《=5種不同排

法；

第二步：排百位、十位、個位數字，從排了千位數字后剩下的5個數字中選3個來排列，

有用=5x4x3=60種不同排法；

所以組成不同的四位數有5x60=300種，

（2）根據題意分類完成任務：

第一類：個位數字為0,則從1,2,3,4,5這5個數字中選3個來排在千位、百位、十

位，有父=5x4x3=60種不同排法；

第二類：個位數字為2或4,則0不能排在千位，有記4尺=2*4、4、3=96種不同排

法；

所以組成不同的四位偶數有60+96=156種.

《6.2.1排列及排列數》考點訓練

【題組一排列數】

L已知A；=132,則〃=()

A.11B.12C.13D.14

2.設mWN*,且mV25,則(20-m)(21-m)…(26-m)等于()

A.B.

3.（多選）由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個數字組成無重復數字的五位數，其

中偶數的個數是（)

A.蜀+A：?&?閥B.工+4（禺一可）

C.A：o-/+A；（父-心D.端一蜀一聞（蜀-硝

4.下列等式中，錯誤的是（)

n\

A.(〃+1)隹=播B，n(n-l)=(n-2)!

c.C"'=—D.」一A；T=4"

nn\n-m

5.若6=2￡,則加的值為（）

A.5B.6C.7D.8

6.設aeN*,a<28,則等式（28—a）（29—a）…（35—a）=襟_"中m=-

7.己知A；=7A",那么〃=.

8.已知A；=11X10X9X…x5,則為.

9.己知則0!+A；=133,貝ij〃=_____；計算&：：3+A：=

12.（1）解不等式A：<6A；2；

（2）解方程A&=140A：.

【題組二排隊問題】

1.5人隨機排成一排，其中甲、乙不相鄰的概率為（）

1234

A.—B.—C.—D.一

5555

2.5名同學合影，其中3位男生，2位女生，站成了一排，要求3位男生不相鄰的排法有

（）

A.12種B.10種C.15種D.9種

3.三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲與男生乙相鄰，且三名女生中恰好有兩名女

生相鄰，則不同的站法共有（）

A.72種B.108種C.36種D.144種

4.某記者要去武漢4個學校采訪，則不同的采訪順序有（）

A.4種B.12種C.18種D.24種

5.某縣政府為了加大對一貧困村的扶貧力度，研究決定將6名優秀干部安排到該村進行督

導巡視，周一至周四這四天各安排1名，周五安排2名，則不同的安排方法共有（）

A.320種B.360種C.370種D.390種

6.6月，也稱畢業月，高三的同學們都要與相處了三年的同窗進行合影留念.現有4名男

生、2名女生照相合影，若女生必須相鄰，則有()種排法.

A.24B.120C.240D.140

7.某校迎新晚會上有6個節目，考慮整體效果，對節目演出順序有如下要求：節目甲必須

排在前三位，且節目丙、丁必須排在一起.則該校迎新晚會節目演出順序的編排方案共有

()

A.120種B.156種C.188種D.240種

8.3名男生、3名女生排成一排，男生必須相鄰，女生也必須相鄰的排法種數為()

A.2B.9C.72D.36

9.有3名大學畢業生，到5家招聘員工的公司應聘，若每家公司至多招聘一名新員工，且

3名大學畢業生全部被聘用，若不允許兼職，則共有種不同的招聘方案.(用數字

作答)

10.某年級舉辦線上小型音樂會，由6個節目組成，演出順序有如下要求：節目甲必須排在

前兩位，節目丙必須排在節目乙的下一個，則該小型音樂會節目演出順序的編排方案共有

種.(用數字作答)

11.已知4名學生和2名教師站在一排照相，求：

(1)兩名教師必須排中間，有多少種排法？

(2)兩名教師必須相鄰且不能排在兩端，有多少種排法？

12.5個男同學和4個女同學站成一排

(1)4個女同學必須站在一起，有多少種不同的排法？

(2)任何兩個女同學彼此不相鄰，有多少種不同的排法？

(3)其中甲、乙兩同學之間必須有3人，有多少種不同的排法？

(4)男生和女生相間排列方法有多少種？

13.一場小型晚會有3個唱歌節目和2個相聲節目，要求排出一個節目單.

(1)2個相聲節目要排在一起，有多少種排法？

(2)第一個節目和最后一個節目都是唱歌節目，有多少種排法？

(3)前3個節目中要有相聲節目，有多少種排法？

（要求：每小題都要有過程，且計算結果都用數字表示）

14.3男3女共6個同學排成一行.

（1）女生都排在一起，有多少種排法？

（2）任何兩個男生都不相鄰，有多少種排法？

（3）男生甲與男生乙中間必須排而且只能排2名女生，女生又不能排在隊伍的兩端，有多

少種排法？

【題組三數字問題】

1.由1,2,3,4,5,6組成沒有重復數字且1,3不相鄰的六位數的個數是（）

A.36B.72C.600D.480

2.用1,2,3,4,5組成一個沒有重復數字的五位數，三個奇數中僅有兩個相鄰的五位數

有________?

3.由0,1,2,3組成的沒有重復數字的四位數有個；

4.由1、2、3、4、5、6組成沒有重復數字且1、3都不與5相鄰的六位偶數的個數是一

5.用數字L2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數，其中奇數的個數為—.

6.用0,1,2,3這4個數字組成是偶數的四位數，這樣的數共有個.

7.把1、2、3、4、5這五個數字組成無重復數字的五位數，并把它們按由小到大的順序排成一

個數列.

（1）45312是這個數列的第幾項?

（2）這個數列的第71項是多少？

（3）求這個數列的各項和.

8.用0、1、2、3、4這五個數字組成無重復數字的自然數.

（1）在組成的三位數中，求所有偶數的個數；

（2）在組成的三位數中，如果十位上的數字比百位上的數字和個位上的數字都小，則稱這

個數為“凹數”，如301、423等都是“凹數”,試求“凹數”的個數.

答案解析

【題組一排列數】

1.已知A；=132,則〃=（）

A.11B.12C.13D.14

【答案】B

【解析】：4：=132,1）=132,整理，得，〃2一〃一132=0；

解得〃=12,或〃=—11（不合題意，舍去）；的值為12.

故選：B.

2.設mCN*,且m<25,則（20-m）（21-m）…（26-m）等于（）

A.A26-JB.6TC-

【答案】A

（26-m）!

3.（多選）由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個數字組成無重復數字的五位數，其

中偶數的個數是（）

A.+B.閥+（月-覆）

C.凰-/+A：（用-&）D.耳）-蜀-砥蜀-4，）

【答案】ABD

【解析】對于A,如果個位是0,則有用個無重復數字的偶數；如果個位不是0,則有

4卜4?蜀個無重復數字的偶數，所以共有4+4卜可?羯個無重復數字的偶數，故A正

確；

對于B,由于&"=父一蜀，所以蜀+心心4=禺+4（國一國），故B正確；

對于C,由于端一用工用，所以用+A；（印一6）二簿一4+A：（禺—反），故C錯

誤；

對于D,由于其「用一4（4一項=418=禺+心&?看，故D正確.

故選：ABD.

4.下列等式中，錯誤的是（）

nI

A-5+DA”孀B.許=(—)!

【答案】c

【解析】通過計算得到選項A,B,D的左右兩邊都是相等的.對于選項C,C：=~,所以選

m\

項C是錯誤的.故答案為C.

5.若g=2片，則加的值為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【解析】由6,=26，W-l)(m-2)(m-3)(/n-4)=2m(m-l)(w-2),且加25

所以(m-3)(m-4)=2即加2-7帆+10=(),.?.m=5或m=2(m25舍去).

故選：A

6.設aeN*,a<28,則等式(28—a)(29—a)…(35—a)=中m.

【答案】8

【解析】?.?緣a=(35-，)(34—。)(33-a)…(36—，一”)，.?.28-a=36-a—m,解

得：m=S.

故答案為：8.

7.已知A；=7A；_4,那么〃=.

【答案】7

【解析】VA"=7<4>?(?-l)=7x(rt-4)(n-5),n>5,

化為：(3〃—10)(〃-7)=0,解得〃=7,故答案為：7.

8.己知A"1=Hxl0x9x...x5,則mn為.

【答案】77

【解析】=?x(n-l)x(n-2)...x(n-zn+l)=llxl0x9...,x5,：.n-\\,

"一機+1=5,/.m—1,

貝|J"；〃=77.故答案為：77.

9.已知則（）!+#=133,貝；計算修；3+4，=

【答案】12726

【解析】(1)0!+#=1+〃(〃-1)=133,(〃之2),即

n2-n-132=(n-12)(n+11)=0,所以〃=12；

n+3<2nf^>3、

(2)由題可知，<=><=〃=3,

n<3<3

所以圖;3+A《=￡+&=6x5x4x3x2x1+3x2x1=726

故答案為：(1).12(2).726

12.(1)解不等式A；<6A「；

(2)解方程A&=14()A：.

【答案】⑴8（2）3

,8!/8!

【解析】（1）由A；<6A;，得3<6乂叵二斤，

化簡得x?—19x+84<0,解之得7<x<12,①

」8次，—-

又???2<xW8,②

lx-2>0.

由①②及x￡N*得x=8.

2x+l>4,

（2）因為<所以x23,xcN'，

x>3,

由人。+]=1404；得(2乂+1)2*(2*—1)(2*—2)=14(^6-1)&-2).

23

化簡得，4x2-35x+69=0,解得Xi=3,x=—(舍去).

2-4

所以方程的解為x=3.

【題組二排隊問題】

1.5人隨機排成一排，其中甲、乙不相鄰的概率為（）

【答案】C

【解析】將5人隨機排成一列，共有8=120種排列方法；

當甲、乙不相鄰時，先將5人中除甲、乙之外的3人排成一列，然后將甲、乙插入，

故共有=6x12=72種排列方法，

723

則5人隨機排成一排，其中甲、乙不相鄰的概率為2=而=

故選：C.

2.5名同學合影，其中3位男生，2位女生，站成了一排，要求3位男生不相鄰的排法有

（）

A.12種B.10種C.15種D.9種

【答案】A

【解析】首先排女生，再排男生，然后再根據插空法可得：

=2x1x3x2x1=12.

故選：A

3.三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲與男生乙相鄰，且三名女生中恰好有兩名女

生相鄰，則不同的站法共有（）

A.72種B.108種C.36種D.144種

【答案】D

【解析】：先將男生甲與男生乙“捆綁”，有種方法，

再與另一個男生排列，則有用種方法，

三名女生任選兩名“捆綁”，有A；種方法，

再將兩組女生插空，插入男生3個空位中，則有8種方法，

利用分步乘法原理，共有種.

故選：D.

4.某記者要去武漢4個學校采訪，則不同的采訪順序有（)

A.4種B.12種C.18種D.24種

【答案】D

【解析】由題意可得不同的采訪順序有用=24種，故選：D.

5.某縣政府為了加大對一貧困村的扶貧力度，研究決定將6名優秀干部安排到該村進行督

導巡視，周一至周四這四天各安排1名，周五安排2名，則不同的安排方法共有()

A.320種B.360種C.370種D.390種

【答案】B

【解析】由題意分步進行安排：

第一步：從6名優秀干部中任選4人，并排序到周一至周四這四天，有星種排法；

第二步：剩余兩名干部排在周五，只有1種排法.

故不同的安排方法共有4xl=6x5x4x3=360種.

故選：B.

6.6月，也稱畢業月，高三的同學們都要與相處了三年的同窗進行合影留念.現有4名男

生、2名女生照相合影，若女生必須相鄰，則有()種排法.

A.24B.120C.240D.140

【答案】C

【解析】將2名女生捆綁在一起，當作1個元素，與另4名男生一起作全排列，有

國=12()種排法，而2個女生可以交換位置，所以共有￡?8=120x2=240排法，故

選：C.

7.某校迎新晚會上有6個節目，考慮整體效果，對節目演出順序有如下要求：節目甲必須

排在前三位，且節目丙、丁必須排在一起.則該校迎新晚會節目演出順序的編排方案共有

()

A.120種B.156種C.188種D.240種

【答案】A

【解析】先考慮將丙、丁排在一起的排法種數，

將丙、丁捆綁在一起，與其他四人形成五個元素，排法種數為用父=2x120=240,

利用對稱性思想，節目甲放在前三位或后三位的排法種數是一樣的,

因此，該校迎新晚會節目演出順序的編排方案共有一「=120種，故選A.

8.3名男生、3名女生排成一排，男生必須相鄰，女生也必須相鄰的排法種數為（）

A.2B.9C.72D.36

【答案】C

【解析】根據題意男生一起有6排法，女生一起有A；=6排法，一共有2&用=72

種排法，

故選：C..

9.有3名大學畢業生，到5家招聘員工的公司應聘，若每家公司至多招聘一名新員工，且

3名大學畢業生全部被聘用，若不允許兼職，則共有種不同的招聘方案.（用數字

作答）

【答案】60

【解析】將5家招聘員工的公司看作5個不同的位置，從中任選3個位置給3名大學畢業

生，則本題即為從5個不同元素中任取3個元素的排列問題.所以不同的招聘方案共有父

=5X4X3=60（種）.

10.某年級舉辦線上小型音樂會，由6個節目組成，演出順序有如下要求：節目甲必須排在

前兩位，節目丙必須排在節目乙的下一個，則該小型音樂會節目演出順序的編排方案共有

種.（用數字作答）

【答案】42

【解析】由題意知，甲的位置影響乙的排列，

???①甲排在第一位共有記=24種，

②甲排在第二位共有=18種，

.?.故編排方案共有24+18=42種.

故答案為：42.

11.已知4名學生和2名教師站在一排照相，求：

（1）兩名教師必須排中間，有多少種排法？

（2）兩名教師必須相鄰且不能排在兩端，有多少種排法？

【答案】（1）48種：（2）144種.

【解析】解：(1)先排教師有A；種方法，再排學生有4種方法，

則心父=2x24=48,

答：兩名教師必須排中間，共有48種排法.

(2)3X￡?A：=6X24=144,

答：兩名教師必須相鄰且不能排在兩端，共有144種排法.

12.5個男同學和4個女同學站成一排

(1)4個女同學必須站在一起，有多少種不同的排法？

(2)任何兩個女同學彼此不相鄰，有多少種不同的排法？

(3)其中甲、乙兩同學之間必須有3人，有多少種不同的排法？

(4)男生和女生相間排列方法有多少種？

【答案】(D17280；(2)43200；(3)302400；(4)2880.

【解析】(1)4個女同學必須站在一起，則視4位女生為以整體，

可得排法為用=1728()；

(2)先排5個男同學，再插入女同學即可，所以排法為：

=43200：

(3)根據題意可得排法為：國父=30240()；

(4)5個男生中間有4個空，插入女生即可，

故有排法用父=2880.

13.一場小型晚會有3個唱歌節目和2個相聲節目，要求排出一個節目單.

(1)2個相聲節目要排在一起，有多少種排法？

(2)第一個節目和最后一個節目都是唱歌節目，有多少種排法？

(3)前3個節目中要有相聲節目，有多少種排法？

(要求：每小題都要有過程，且計算結果都用數字表示)

【答案】(1)48；(2)36；(3)108.

【解析】(1)把兩個相聲節目捆綁在一起作為一個節目與其他節目排列共有排法

A：8=48；

(2)選兩個唱歌節目排在首尾，剩下的3個節目在中間排列，排法為4；A；=36；

（3）5個節目全排列減去后兩個都是相聲的排法，共有6-父盾=120-12=108.

14.3男3女共6個同學排成一行.

（1）女生都排在一起，有多少種排法？

（2）任何兩個男生都不相鄰，有多少種排法？

（3）男生甲與男生乙中間必須排而且只能排2名女生，女生又不能排在隊伍的兩端，有多

少種排法？

【答案】（1）144；（2）144；（3）24

【解析】（1）將3名女生看成一個整體，就是4個元素的全排列，有A：種排法，

又3名女生內部有國種排法，所以共有A；=144種排法.

（2）女生先排，女生之間以及首尾共有4個空隙，

任取其中3個安插男生即可，

所以任何兩個男生都不相鄰的排法共有A；.&=144種排法.

（3）先選2個女生排在男生甲、乙之間，有百種排法，

又甲、乙有8種排法，這樣就有4?種排法，

然后把他們4人看成一個整體（相當于一個男生），

這一元素以及另1名男生排在首尾，有用種排法，

最后將余下的女生排在中間，有1種排法，

故總排法為A；?&?用=24種排法，

【題組三數字問題】

1.由1,2,3,4,5,6組成沒有重復數字且1,3不相鄰的六位數的個數是（）

A.36B.72C.600D.480

【答案】D

【解析】根據題意將2,4,5,6進行全排列，再將1,3插空得到=48（）個.故選：D.

2.用1,2,3,