湖南明德中學2023-2024學年高三數學第一學期期末質量跟蹤監視試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．“幻方”最早記載于我國公元前500年的春秋時期《大戴禮》中．“階幻方”是由前個正整數組成的—個階方陣，其各行各列及兩條對角線所含的個數之和（簡稱幻和）相等，例如“3階幻方”的幻和為15（如圖所示）．則“5階幻方”的幻和為（）A．75 B．65 C．55 D．452．我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數（即質數）的和”，如，．在不超過20的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于20的概率是（）A． B． C． D．以上都不對3．年某省將實行“”的新高考模式，即語文、數學、英語三科必選，物理、歷史二選一，化學、生物、政治、地理四選二，若甲同學選科沒有偏好，且不受其他因素影響，則甲同學同時選擇歷史和化學的概率為A． B． C． D．4．已知函數的一條切線為，則的最小值為（）A． B． C． D．5．在中，角，，的對邊分別為，，，若，，，則（）A． B．3 C． D．46．已知函數，當時，的取值范圍為，則實數m的取值范圍是（）A． B． C． D．7．點是單位圓上不同的三點，線段與線段交于圓內一點M，若，則的最小值為（）A． B． C． D．8．在中，已知，，，為線段上的一點，且，則的最小值為（）A． B． C． D．9．已知，，則（）A． B． C．3 D．410．已知實數滿足約束條件，則的最小值是A． B． C．1 D．411．如圖，四邊形為正方形，延長至，使得，點在線段上運動.設，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．下列命題為真命題的個數是（）（其中，為無理數）①；②；③.A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校共有師生1600人，其中教師有1000人，現用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個容量為80的樣本，則抽取學生的人數為_____．14．若函數的圖像向左平移個單位得到函數的圖像.則在區間上的最小值為________.15．若復數滿足，其中是虛數單位，是的共軛復數，則________.16．設為數列的前項和，若，則____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為提供市民的健身素質，某市把四個籃球館全部轉為免費民用（1）在一次全民健身活動中，四個籃球館的使用場數如圖，用分層抽樣的方法從四場館的使用場數中依次抽取共25場，在中隨機取兩數，求這兩數和的分布列和數學期望；（2）設四個籃球館一個月內各館使用次數之和為，其相應維修費用為元，根據統計，得到如下表的數據：x10152025303540y100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99①用最小二乘法求與的回歸直線方程；②叫做籃球館月惠值，根據①的結論，試估計這四個籃球館月惠值最大時的值參考數據和公式：，18．（12分）某動漫影視制作公司長期堅持文化自信，不斷挖掘中華優秀傳統文化中的動漫題材，創作出一批又一批的優秀動漫影視作品，獲得市場和廣大觀眾的一致好評，同時也為公司贏得豐厚的利潤.該公司年至年的年利潤關于年份代號的統計數據如下表（已知該公司的年利潤與年份代號線性相關）.年份年份代號年利潤（單位：億元）（Ⅰ）求關于的線性回歸方程，并預測該公司年（年份代號記為）的年利潤；（Ⅱ）當統計表中某年年利潤的實際值大于由（Ⅰ）中線性回歸方程計算出該年利潤的估計值時，稱該年為級利潤年，否則稱為級利潤年.將（Ⅰ）中預測的該公司年的年利潤視作該年利潤的實際值，現從年至年這年中隨機抽取年，求恰有年為級利潤年的概率.參考公式：，.19．（12分）已知拋物線的焦點為，直線交于兩點（異于坐標原點O）.（1）若直線過點,，求的方程；（2）當時，判斷直線是否過定點，若過定點，求出定點坐標；若不過定點，說明理由.20．（12分）在三棱柱中，，，，且.（1）求證：平面平面；（2）設二面角的大小為，求的值.21．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.已知等差數列的公差為，等差數列的公差為.設分別是數列的前項和，且，，（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.22．（10分）已知橢圓的離心率為，且過點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設是橢圓上且不在軸上的一個動點，為坐標原點，過右焦點作的平行線交橢圓于、兩個不同的點，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

計算的和，然后除以，得到“5階幻方”的幻和.【詳解】依題意“5階幻方”的幻和為，故選B.【點睛】本小題主要考查合情推理與演繹推理，考查等差數列前項和公式，屬于基礎題.2、A【解析】

首先確定不超過的素數的個數，根據古典概型概率求解方法計算可得結果.【詳解】不超過的素數有，，，，，，，，共個，從這個素數中任選個，有種可能；其中選取的兩個數，其和等于的有，，共種情況，故隨機選出兩個不同的數，其和等于的概率．故選：.【點睛】本題考查古典概型概率問題的求解，屬于基礎題.3、B【解析】

甲同學所有的選擇方案共有種，甲同學同時選擇歷史和化學后，只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可，共有種選擇方案，根據古典概型的概率計算公式，可得甲同學同時選擇歷史和化學的概率，故選B．4、A【解析】

求導得到，根據切線方程得到，故，設，求導得到函數在上單調遞減，在上單調遞增，故，計算得到答案.【詳解】，則，取，，故，.故，故，.設，，取，解得.故函數在上單調遞減，在上單調遞增，故.故選：.【點睛】本題考查函數的切線問題，利用導數求最值，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.5、B【解析】由正弦定理及條件可得，即.，∴，由余弦定理得。∴.選B。6、C【解析】

求導分析函數在時的單調性、極值，可得時，滿足題意，再在時，求解的x的范圍，綜合可得結果.【詳解】當時，，令，則；，則，∴函數在單調遞增，在單調遞減.∴函數在處取得極大值為，∴時，的取值范圍為，∴又當時，令，則，即，∴綜上所述，的取值范圍為.故選C.【點睛】本題考查了利用導數分析函數值域的方法，考查了分段函數的性質，屬于難題.7、D【解析】

由題意得，再利用基本不等式即可求解．【詳解】將平方得，（當且僅當時等號成立），，的最小值為，故選：D．【點睛】本題主要考查平面向量數量積的應用，考查基本不等式的應用，屬于中檔題．8、A【解析】

在中，設，，，結合三角形的內角和及和角的正弦公式化簡可求，可得，再由已知條件求得，，，考慮建立以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立直角坐標系，根據已知條件結合向量的坐標運算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】在中，設，，，，即，即，，，，，，，，即，又，，，則，所以，，解得，.以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則、、，為線段上的一點，則存在實數使得，，設，，則，，，，，消去得，，所以，，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.故選：A.【點睛】本題是一道構思非常巧妙的試題，綜合考查了三角形的內角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問題，解題的關鍵是理解是一個單位向量，從而可用、表示，建立、與參數的關系，解決本題的第二個關鍵點在于由，發現為定值，從而考慮利用基本不等式求解最小值，考查計算能力，屬于難題.9、A【解析】

根據復數相等的特征，求出和，再利用復數的模公式，即可得出結果.【詳解】因為，所以，解得則.故選：A.【點睛】本題考查相等復數的特征和復數的模，屬于基礎題.10、B【解析】

作出該不等式組表示的平面區域，如下圖中陰影部分所示，設，則，易知當直線經過點時，z取得最小值，由，解得，所以，所以，故選B．11、C【解析】

以為坐標原點，以分別為x軸，y軸建立直角坐標系，利用向量的坐標運算計算即可解決.【詳解】以為坐標原點建立如圖所示的直角坐標系，不妨設正方形的邊長為1，則，，設，則，所以，且，故.故選：C.【點睛】本題考查利用向量的坐標運算求變量的取值范圍，考查學生的基本計算能力，本題的關鍵是建立適當的直角坐標系，是一道基礎題.12、C【解析】

對于①中，根據指數冪的運算性質和不等式的性質，可判定值正確的；對于②中，構造新函數，利用導數得到函數為單調遞增函數，進而得到，即可判定是錯誤的；對于③中，構造新函數，利用導數求得函數的最大值為，進而得到，即可判定是正確的.【詳解】由題意，對于①中，由，可得，根據不等式的性質，可得成立，所以是正確的；對于②中，設函數，則，所以函數為單調遞增函數，因為，則又由，所以，即，所以②不正確；對于③中，設函數，則，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，所以當時，函數取得最大值，最大值為，所以，即，即，所以是正確的.故選：C.【點睛】本題主要考查了不等式的性質，以及導數在函數中的綜合應用，其中解答中根據題意，合理構造新函數，利用導數求得函數的單調性和最值是解答的關鍵，著重考查了構造思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

直接根據分層抽樣的比例關系得到答案.【詳解】分層抽樣的抽取比例為，∴抽取學生的人數為6001．故答案為：1．【點睛】本題考查了分層抽樣的計算，屬于簡單題.14、【解析】

注意平移是針對自變量x，所以，再利用整體換元法求值域（最值）即可.【詳解】由已知，，，又，故，，所以的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查正弦型函數在給定區間上的最值問題，涉及到圖象的平移變換、輔助角公式的應用，是一道基礎題.15、【解析】

設，代入已知條件進行化簡，根據復數相等的條件，求得的值.【詳解】設，由，得，所以，所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查共軛復數，考查復數相等的條件，屬于基礎題.16、【解析】

當時，由，解得，當時，，兩式相減可得，即，可得數列是等比數列再求通項公式.【詳解】當時，，即，當時，，兩式相減可得，即，即，故數列是以為首項，為公比的等比數列，所以.故答案為：【點睛】本題考查數列的前項和與通項公式的關系，還考查運算求解能力以及化歸與轉化思想，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析，12.5（2）①②20【解析】

(1)運用分層抽樣，結合總場次為100，可求得的值，再運用古典概型的概率計算公式可求解果;(2)①由公式可計算的值，進而可求與的回歸直線方程；②求出，再對函數求導，結合單調性，可估計這四個籃球館月惠值最大時的值.【詳解】解：（1）抽樣比為，所以分別是，6，7，8，5所以兩數之和所有可能取值是：10，12，13，15，，，所以分布列為期望為（2）因為所以，，；②，設，所以當遞增，當遞減所以約惠值最大值時的值為20【點睛】本題考查直方圖的實際應用，涉及求概率，平均數、擬合直線和導數等問題，關鍵是要讀懂題意，屬于中檔題.18、（Ⅰ），該公司年年利潤的預測值為億元；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）求出和的值，將表格中的數據代入最小二乘法公式，求得和的值，進而可求得關于的線性回歸方程，然后將代入回歸直線方程，可得出該公司年年利潤的估計值；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸直線方程計算出從年至年這年被評為級利潤年的年數，然后利用組合計數原理結合古典概型的概率可得出所求事件的概率.【詳解】（Ⅰ）根據表中數據，計算可得，，，又，，，關于的線性回歸方程為.將代入回歸方程得（億元），該公司年的年利潤的預測值為億元.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知年至年的年利潤的估計值分別為、、、、、、、（單位：億元），其中實際利潤大于相應估計值的有年.故這年中被評為級利潤年的有年，評為級利潤年的有年.記“從年至年這年的年利潤中隨機抽取年，恰有年為級利潤年”的概率為，.【點睛】本題考查利用最小二乘法求回歸直線方程，同時也考查了古典概型概率的計算，涉及組合計數原理的應用，考查計算能力，屬于中等題.19、（1）（2）直線過定點【解析】

設.（1）由題意知，.設直線的方程為，由得，則，由根與系數的關系可得，所以.由，得，解得.所以拋物線的方程為.（2）設直線的方程為，由得，由根與系數的關系可得，所以，解得.所以直線的方程為，所以時，直線過定點.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）要證明平面平面，只需證明平面即可；（2）取的中點D，連接BD，以B為原點，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，分別計算平面的法向量為與平面的法向量為，利用夾角公式計算即可.【詳解】（1）在中，，所以，即.因為，，，所以.所以，即.又，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）由題意知，四邊形為菱形，且，則為正三角形，取的中點D，連接BD，則.以B為原點，以，，的方向分別為x，y