高考模擬測試數學試題

（滿分：150分考試時間：120分鐘）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分,在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

L已知集合A={x|x2-4x<。},B={x|log3x>1},則AD8=（）

A.（3,4）B.（1,3）C.（0,4）D.

（0,+e）

1-i

2.在復平面內，復數——對應的點位于（）

21

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象

限

3.下列關于函數/（x）=2sin（x-的說法中，

正確的是（）

7T

A.函數/是奇函數B.其圖象關于直線x=W對稱

2

C.其圖象關于點If,。］對稱D.（JIJi\

函數“X）在區間一5,耳）上單

14）

調遞增

4.若雙曲線C:*-，=l（a>0力>0）的離心率為逐，

則其漸近線方程為（）

Ay=±2xB.y=±gxC.y=±6xD.

y=±\/5x

5.（丁一,）4展開式中，的系數是（）

X

A.2B.-4C.6D.-8

6.已知a=log52,h=log32,1=8^，貝！l（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.

b<c<a

7.若函數/（x）=lnx+x2+a-i在區間（l,e）內有零點,則實數。的取值范圍是（）

A.（—e~,0）B.（—^*,1）C.（l,e）D.（I］）

8.給出下列命題：

①若AA3c的三條邊所在直線分別交平面a于P,R三點，則P,R三點共線；

②若直線。力是異面直線，直線"c是異面直線，則直線。是異面直線；

③若三條直線a,b,c兩兩平行且分別交直線/于AB,C三點，則這四條直線共面；

④對于三條直線a,仇c,若a_Lc,bA.c,則a//>

其中所有真命題的序號是()

A.①②B.①③C.③④D.②④

9已知sin(a-工)+Gcosa=4，則sin(2a+^)=()

336

2217

A.-B.-C.一一D.一一

3999

10.已知M是拋物線>2=4x上的一點，尸是拋物線的焦點，若以網為始邊，FM為終

邊的角NxFM=60"，貝1」|府|等于()

A.2B.生叵C.26D.4

3

11.醫用口罩由口罩面體和拉緊帶組成，其中口罩面體分為內、中、外三層.內層為親膚材

質(普通衛生紗布或無紡布)，中層為隔離過濾層(超細聚丙烯纖維熔噴材料層)，外層為特殊

材料抑菌層(無紡布或超薄聚丙烯熔噴材料層).國家質量監督檢驗標準中，醫用口罩的過濾

率是重要的指標，根據長期生產經驗，某企業在生產線狀態正常情況下生產的醫用口罩的過

濾率x：N(0.9372,0.01392).若生產狀態正常，有如下命題：

甲：P(xW0.9)<0.5；

乙：x的取值在(0.93,0.9439)內的概率與在(0.9372,0.9511)內的概率相等；

丙：Q(x<0.9)=P(x>0.9744)；

T：記J表示一天內抽取的50只口罩中過濾率大于〃+2b的數量，則尸?21)>0.6.

(參考數據：若x?N",6)3>0),則-cr<x<〃+b)k0.6827,

P[/.i-2(y<x<//+2cr)*0.9545,尸(〃一3cr<x<〃+3cr)?0.9973；O,9850?0,364)

其中假命題是()

A.甲B.乙C.丙D.T

12.設函數.f(x)定義域為R,且/(2x-l)是偶函數，/(x+1)是奇函數，則下列說法一

定正確的有()

①/(x—8)=/(x)；?/(l+x)=-/d-x)；③/(一3)=0；@f(2+x)=f(2-x)

A.4個B.3個C.2個D.1個

二、填空題：本題共4小題，每小題5分.

13.已知Q與人的夾角為§，一3，|〃|一1，則\a+2h\=--------?

14.若無窮等比數列伍“｝的各項均大于1,且滿足4%=144,4+%=30,則公比

q=.

15.某公園供游人休息的石凳如圖所示，它可以看做是一個正方體截去八個一樣的四面體得

到的，如果被截正方體的的棱長為40cm,則石凳所對應幾何體的表面積為cm2.

16.在氣象臺正西方向300km處有一臺風中心，它正向東北方向移動，移動速度的大小為

4()km/h,距臺風中心250km以內的地區都將受到影響，若臺風中心的這種移動趨勢不變,

大約小時后氣象臺所在地開始受到影響(參考數據：而V7?2.6).

三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21

題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22~23題為選考題，考生根據要求

作答.

(一)必考題：共60分.

17.設數列｛an｝的前〃項和為Sn,an+]=-S“S"+ieN*),4=1.

(1)求證：數列，是等差數歹I；

2w

⑵設a=不，求數列也,｝的前〃項和力

18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，△PAD是正三角形，側面PAD±

底面438,M是尸。的中點.

⑴求證：平面PC。；

(2)求二面角A—C的正弦值.

19.水立方、國家體育館、五棵松體育館、首都體育館、國家速滑館是2022冬奧會的比賽

場館.現有8名大學生報名參加冬奧會志愿者比賽場館服務培訓，其中1人在水立方培訓，3

人在國家體育館培訓，4人在五棵松體育館培訓.

(1)若從中一次抽調2名大學生志愿者到國家速滑館培訓，求所抽調2人來自不同場館的

概率；

(2)若從中一次抽調3名大學生志愿者到首都體育館培訓，要求這3人中來自水立方的人數

和來自國家體育館的人數都不超過來自五棵松體育館的人數.設從五棵松抽出的人數為

求隨機變量g的概率分布列及數學期望.

20.設函數f(x)=x2-(a+2)x+aInx(aeR).

(1)若x=3是/(x)的極值點，求/(x)的單調區間；

(2)若/(x)N1恒成立，求。的取值范圍.

r221

21.已知橢圓C:與+v==1(a>b>0)的離心率為彳，左、右焦點分別為6，工，。為

a~b~2

UUU1UUU1UUUUUU1uuu

坐標原點，點P在橢圓C上，且滿足|P/"=4，\PF{\\PF2\-2PFi-PF2=0.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知過點(2,0)且不與x軸重合的直線I與橢圓C交于",N兩點，在x軸上是否存在定

點。，使得NMQO=NNQO.若存在，求出點。的坐標；若不存在，說明理由.

(二)選考題：共10分，請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做則按所做

的第一題計分.

x-2cosa

22.在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為《廠(a為參數)，以坐標原點為

y=x/3sintz

極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為pcos(e+?)=等.

(1)求曲線C的普通方程與直線I的直角坐標方程；

⑵若直線/與曲線。交于M,N兩點，點P(2,l),求|/W|+|/W|的值.

23.已知函數/(x)=|x-2|+|x-a|.

⑴當。=3時，求不等式/*)>5解集；

⑵若Vxe[l,2],/(x)..|x—4],求實數。的取值范圍.

答案與解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知集合4=卜,2—4x<。},8={x|log3X>l},則4口8=()

A.(3,4)B.(1,3)C.(0,4)D.

(0,+紇)

［答案］A

［解析］

［分析］求出集合A、B,利用交集的定義可得出結論.

［詳解］因為4={x,-4x<o}=1x|0<x<4},B=^x|log3x>1}=|x|x>3},

因此，AcB={x［3<x<4}.

故選：A.

1-i

2.在復平面內，復數——對應的點位于()

21

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象

限

［答案］C

［解析］

［分析］根據復數除法運算化簡可得.

［詳解］―-=—~~9=----i,對應點(一］，一；］在第三象限.

2i2i222122；

故選：C.

3.下列關于函數/(x)=2sin(x—7)的說法中，正確的是()

A.函數是奇函數B.其圖象關于直線x=￡對稱

C.其圖象關于點(?,0)對稱D.函數/(x)在區間上單調

遞增

［答案］C

［解析］

［分析］根據三角函數的性質分別判斷即可.

［詳解］對A,/(—71\=2si.n/工-17T*一71\=2sin/［x-,71J\=—2c°sx為偶函數，故A錯

誤；

對B,/(1)=2sinf|-^=V2^±2,故其圖象不關于直線x=］對稱，故B錯誤；

對C,由/(x)=2sin(x-?)知，fg)=O,C正確;

匕Jr十（不37r力7i1，根據正弦函數的單調性可得D錯誤.

對D,當時，

故選：C.

4.若雙曲線C：W-￡=l（a>0,方>0）的離心率為君，則其漸近線方程為（

)

a-b-

A.y=±2xB.y=±gxC.y=±\/3x

D.

y=±\/5x

［答案］A

［解析］

［分析］利用。2=6+62,轉化=［（2）2=布,即得解

［詳解］由￡=6，可得./+/卜+（2）2

aa\a

可解的2=2,

a

故雙曲線的漸近線方程為y=±2尤，

故選：A.

5.（尤2一！）4展開式中，的系數是（）

X

A.2B.-4C.6D.—8

［答案］B

［解析］

［分析］寫出展開式的通項公式4+1=（-1）*域丁-3*,令8—3k=—1,即得解

［詳解］（f--）4展開式的通項為￡巾=《聲2"_］）*_=（_］）七次8-3?,

X

令8-3Z-3,

故(一1)七：=—4,

故選：B.

6.已知a=log52,b=log2,,則()

3C=84

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.

h<c<a

［答案］B

［解析］

［分析］先利用對數函數的換底公式，然后根據對數函數的單調性判斷即可解得答案.

1.111

［詳解］解：?=；~b=-~~c=-=-~根據對數函數的單調性故

log,5log,32log24

故選：B.

7.若函數/(x)=lnx+f+a—1在區間(l,e)內有零點，則實數。的取值范圍是()

A.(-e2,0)B.(-e2,l)C.(l,e)D.(I*?)

［答案］A

［解析］

［分析］利用導數得到函數為增函數，由題意可得了(D<0,/(e)>0,求解可得答案.

［詳解］解：v/(x)=lnx+x2+?-1

/(x)='+2x>0在區間(l,e)上恒成立

x

.??/(X)在(l,e)上單調遞增

又?.?函數/(x)=Inx+V+。—1有唯一的零點在區間(1,e)內

“⑴<0,/(e)>0

lnl+1+a—1<0

即《，

lne+e~+a-1>0

解得—/<a<0

故選：A

8.給出下列命題：

①若AABC的三條邊所在直線分別交平面a于P,Q,R三點,則P,Q,R三點共線；

②若直線是異面直線，直線b,c是異面直線，則直線凡c是異面直線；

③若三條直線a,4c兩兩平行且分別交直線/于A,8,C三點，則這四條直線共面；

④對于三條直線a,),c,若a_Lc,bYc,貝！Ja//Z?.

其中所有真命題的序號是（）

A.①②B.①③C.③④D.②④

［答案］B

［解析］

［分析］根據平面的基本性質，以及空間中兩直線的位置關系，逐項判定，即可求解.

［詳解］對于①中，若AABC的三條邊所在直線分別交平面a于P，O，R三點，

可得P,Q,Rua且P,Q,Ru平面A3C，所以三點必在兩平面交線上，

所以三點共線，所以①正確：

對于②中，若直線a力是異面直線，直線Ac是異面直線，則直線。可能相交，平行或異

面直線，所以②錯誤；

對于③中，若三條直線a,4c兩兩平行且分別交直線/于A,5,C三點，由公理3可得這四條

直線共面，所以③正確；

對于④中，例如：若a,Ac是過長方體一頂點的三條棱，則滿足若。_1。，bVc,此時。與

。相交，所以④錯誤.

其中所有真命題的序號是①③.

故選：B.

9.E^|Jsin（ar-K）+\/5cosc=2，則sin（2a+工）=（）

336

2217

A.-B.—C.----D.----

3999

［答案］D

［解析］

［分析］利用兩角差的正弦、余弦公式化簡sin（c-0）+&cosa=g,再利用誘導公式、二倍

7T

角公式求解sin（2a+一）即可.

6

I詳

解]Qsin(6z--)+V3cosof=-sinacos--coscifsin—+5/3cosa=-

33333

「sina-旦。sa+Gcosa」i.Gi/萬、i

/.—sin(7+——cosa=-cos(a--)=-

22322363

JI2-1=

/.sin(2cif+—)=sin-2（Y）+：=cos2(a-^)=2cos2(a—看)-1=2x4

故選：D.

10.已知M是拋物線y2=4x上的一點，尸是拋物線的焦點，若以及為始邊，FM為終

邊的角NxFM=60°，則|加|等于()

4百

C.273

［答案］D

［解析］

［分析］設點M,取1(1,0),可得cos〈可0,￡>=屋求出y：的值，利用拋物線

的定義可求得的值.

1詳解］設點〃(/，%)，其中/=［■，則/。,0)，百萬=

1

取￡=。,0),則3<而乂>=J-

、22'

A-I

可得3獷-40>：+48=0,因為九一1>0,可得">4,解得公=12,則%=%=3,

44

因此，|MF|=Xo+l=4.

故選：D

11.醫用口罩由口罩面體和拉緊帶組成，其中口罩面體分為內、中、外三層.內層為親膚材

質(普通衛生紗布或無紡布)，中層為隔離過濾層(超細聚丙烯纖維熔噴材料層)，外層為特殊

材料抑菌層(無紡布或超薄聚丙烯熔噴材料層).國家質量監督檢驗標準中，醫用口罩的過濾

率是重要的指標，根據長期生產經驗，某企業在生產線狀態正常情況下生產的醫用口罩的過

濾率x：N(0.9372,0.01392).若生產狀態正常，有如下命題：

甲：P(x<0.9)<0.5；

乙：x的取值在(0.93,0.9439)內的概率與在(0.9372,0.9511)內的概率相等；

丙：P(x<0.9)=P(x>0.9744)；

丁：記J表示一天內抽取的50只口罩中過濾率大于〃+2。的數量，則PCNl)>0.6.

(參考數據：若x~N(〃,cr2)(cr>0),則-cr<x<〃+b)a0.6827,

P(N-2b<x<+2cr)?0.9545,-3<y<x</J+3b)?0.9973；O,9850a0,364)

其中假命題是()

A.甲B.乙C.丙D.T

［答案］B

［解析］

［分析］根據P(x<0.9)<P(x<0.9372)=0.5可判斷甲；根據兩個區間長度相等，對稱軸落

在區間(0.93,0.9439)可判斷乙；根據概率的對稱性可判斷丙；求出I只口罩的的過濾率大

于〃+2o■的概率，再由二項分布的概率以及對立事件的概率即可判斷丁，進而可得正確答

案.

［詳解］由x:N(0.9372,0.01392)知，4=0.9372,。=0.0139,

對于甲：由正態分布曲線可得：P(x<0.9)<P(x<0.9372)=0.5,故甲為真命題；

對于乙：0.9439—0.93=0.0139,0.9511-0.9372=0.0139兩個區間長度均為1個,

但〃>0.93,由正態分布性質知，落在(0.93,0.9439)內的概率大于落在

(0.9372,0.9511)內的概率，故乙是假命題；

對于丙：由左==0.9372知,丙正確；

2

1-09545

對于丁：1只口罩的的過濾率大于〃+2o■的概率pa-^-=0.02275,

5(50,0),所以Pezi)=］_PC=O)=］_(l_p)5o>］_(l_0.O2)5°,

1-(1-0.02)5°=1-0.9850?1-0.364=0.636>0.6,故丁是真命題.

故選：B.

12.設函數/(X)的定義域為R,且/(2x-I)是偶函數，/(x+1)是奇函數，則下列說法一

定正確的有()

①/。-8)=/(幻；②/(1+幻=―/(1一％)；③/(_3)=0；@f(2+x)=f(2-x)

A.4個B.3個C.2個D.1個

［答案］B

［解析］

［分析］由/(x+1)是奇函數得到/(x)的圖象關于點(1,0)對稱，可判定②正確；由/(2x-l)

是偶函數，得到“X)的圖象關于％=-1對稱，可判定③正確；在/(一1一幻=/(-1+幻中，

分別將x用％—7替換，將》用％—5替換，再將x用x+4替換，可判定①正確.

［詳解］由題意，函數/(x+D是奇函數，可得/(力的圖象關于點(1,0)對稱，

所以/(l+x)+/(l—x)=0,所以②正確；

令x=0,則/(1)=0,

又由/(2x—l)是偶函數，所以〃2x)的圖象關于x=-g對稱，

所以/(x)的圖象關于x=-l對稱，則有/(—l—x)=/(—l+x),令x=2,

則/(—3)=/(1)=0,所以③正確.

在/(-1—x)=/(—l+x)中，將x用％-7替換，則/(x—8)=/(6—x),

在/(l+x)=-/(l—x)中，將x用x-5替換,則f(6r)-4),

所以/(》-8)=-/(》一4),再將x用x+4替換，則f(x-4)=-/(x),

所以/(x-8)=/(x),所以①正確；

對于④中，由/(2-x)=—/(x),/(2+x)=—/(-幻，無法推出其一定相等.

故選：B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分.

13.已知Q與人的夾角為§，|。|=3，，則|:+24=----------

【答案I

［解析］

［分析］首先運算出)與靜勺數量積，然后對|a+2+進行平方再開方變形，即可求解.

［詳解］與人的央角為§，|a|=3，

————JI3

/.a*b=|tz|||cosy=—,

|a+2Z?|=\(a)2+4a-b+4(b)2=V19-

故答案為：y/19-

14.若無窮等比數列｛a,J各項均大于1,且滿足4%=144,々+g=30,則公比

q=.

［答案］2

［解析］

［分析］根據等比數列的性質可得=4%=144,結合已知條件，以及｛a,,｝的各項均大于

1,即可得的和肉的值，再由等比數列的通項公式即可求解.

［詳解］因為數列｛4｝是等比數列，所以44=q%=144,

又因為4+4=3。，

a=24

解得：〈2

%=6

由無窮等比數列伍,,｝各項均大于1可知“21,

6

所以24,因為。4=4?，即24=6^,解得：q=2.

故答案為：2.

15.某公園供游人休息的石凳如圖所示，它可以看做是一個正方體截去八個一樣的四面體得

到的，如果被截正方體的的棱長為40cm,則石凳所對應幾何體的表面積為cm2.

I答案14800+16006

［解析］

［分析］由題意，石凳的表面是由6個邊長為200的正方形和8個邊長為200的正三角形

組成，即得解

［詳解］由題意知,表面積為6x(20立了+8xlx—x(20>/2)2=4800+160073(cm2).

22

故答案為：4800+16006

16.在氣象臺正西方向300km處有一臺風中心，它正向東北方向移動，移動速度的大小為

40km/h,距臺風中心250km以內的地區都將受到影響，若臺風中心的這種移動趨勢不變,

大約小時后氣象臺所在地開始受到影響(參考數據：V2?1.4.V7?2.6).

［答案］2

［解析］

［分析］設氣象臺為O,臺風中心為A,f小時后中心移至B處氣象臺所在地開始受到影響，

則ZBAO=45°,在^OAB中應用余弦定理列方程求t即可.

［詳解］設氣象臺所在地為。，臺風中心為A,約，小時后氣象臺所在地將受到影響，，小時

后中心移動至5處，/84。=45°,

在AQAB中，AB=40r,OA=300,OB=250,

6

由余弦定理，2502=(40。2+3002一2x300x40fxJ,整理得16/一1200，+275=0-

2

解得,15近-5百f-\5五+5不

4，24

依題意，保留；=一8］5s-2,故約2小時后影響氣象臺所在地.

故答案為：2.

三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21

題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22~23題為選考題，考生根據要求

作答.

(一)必考題：共60分.

17.設數歹U僅“｝的前〃項和為S,,,4+］=—S,,S,用(〃eN*),4=1.

(1)求證：數列是等差數列；

⑵設"=不，求數列｛〃｝的前應項和什.

［答案］⑴證明見解析；⑵7；=2+(〃-1)?2h.

［解析］

11,

［分析］(1)推導出三一—-=1,利用等差數列的定義可證得結論成立；

七+1

(2)求得a=〃?2",利用錯位相減法可求得T?.

S_S

［詳解］⑴E=1H0,則S,產0,所以-1=/L，

11,f11

有三一—-=1'所以數列不是以1為首項，1為公差的等差數列.

?"+13”［S,,,

1,

⑵由⑴知不=〃,故勿=72",T=l-2+2-22+--+n-2n,①

3”n

①x2,得27；=1-22+…+(n—②

①一②得，-7；=2+2?+2,+L+2"-〃.2'中=\—小2'用=—2+(1—”>2日，

所以北=2+(〃一1卜2"+1

18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，APAD是正三角形，側面PAD±

底面ABC。，M是PD的中點.

⑴求證：4W_L平面PC。；

(2)求二面角4-P8—C的正弦值.

［答案］(1)證明見解析；(2)這.

7

［解析］

［分析］(1)由面面垂直的性質定理可得CD_L平面240,進而可得CDJ_AM,由等邊三角

形的性質可得AMLPD，再由線面垂直的判定定理即可求證；

(2)如圖建立空間直角坐標系，求出平面Q4B和平面PCB的法向量，由空間向量夾角公式

即可得二面角平面角的余弦值，再由同角三角函數基本關系即可得正弦值.

［詳解］(1)因為底面A8CD為正方形，所以QDLAD,

因為平面平面ABC。，平面PADCI平面46CD=A。，CDu面A3CD,

所以CD_L平面PAD,

因為AMu面PAD，所以CZ)_LAA/,

又因為△小￡>是正三角形，M是PO的中點，

所以AAf_LP」D，所以AA7J_平面PCD.

因為P￡)cCD=￡),所以AM_L平面PCD；

⑵過A在平面PAD內作4）的垂線/,知/與AD,AB兩兩垂直，

以A為坐標原點，AB，AD,/分別為x，?z軸，建立空間直角坐標系，設A8=a,

有3(a,0,0),P0,卞詈，C(a,a,o),AB=(a,0,0),AP=。或號

設平面A48的法向量為〃=（石,凹，4）,

叫=0

n-AB=0

則《一，即《

ay/3a八，令ZI=1,yt——V3,芭=0,

n-AP=0—v,+-----z,=0

12?21

所以;?=((),一6,1);

設平面PCB的法向量為m=(x2,y2,z2),CB=(0,-?,0),CP=

-ay=0

m-CB=02

則《—，即《a6a，、

mCP=0一3-5y2+^-22=o

所以%=0,令Z2=2,可得%=百，

所以而=（百,0,2）；

設二面角A-P6—C的平面角為a,

m?n21

COS

|/n|-|n|2x^7幣'

yirr

所以|cosa|=cos(m,n=~^,所以sina=Jl-cos?a

77

所以二面角A—依一。的正弦值為32

7

19.水立方、國家體育館、五棵松體育館、首都體育館、國家速滑館是2022冬奧會的比賽

場館.現有8名大學生報名參加冬奧會志愿者比賽場館服務培訓，其中1人在水立方培訓，3

人在國家體育館培訓，4人在五棵松體育館培訓.

(1)若從中一次抽調2名大學生志愿者到國家速滑館培訓，求所抽調的2人來自不同場館的

概率；

(2)若從中一次抽調3名大學生志愿者到首都體育館培訓，要求這3人中來自水立方的人數

和來自國家體育館的人數都不超過來自五棵松體育館的人數.設從五棵松抽出的人數為

求隨機變量J的概率分布列及數學期望E?.

19

［答案］⑴——；

28

(2)J的分布列如下：

4123

331

P

105To

“9

￡(0=-.

［解析］

［分析］⑴、

所有基本事件種,2人來自不同場館的概率等于1減去2人來自同一場館的概率，2人來

自同一場館即分為2人都來自國家體育館或2人都來自五棵松體育館；

(2)、計算滿足情況的所有基本情況數，J的所有可能取值為1,2,3.分別計算4=1,。=2,

。=3對應的概率，然后列出分布列，最后計算數學期望E?).

［詳解］(1)、設A="從中一次抽調2名大學生志愿者到國家速滑館，所抽調2人來自不同場

館”，在8名大學生一次抽調2名大學生志愿者到國家速滑館培訓，所有基本事件C；種情況.

若2人都來自國家體育館有C；種情況，若2人都來自五棵松體育館有C：種情況，所以抽調

(2)由題意自的所有可能取值為1,2,3.及來自五棵松體育館的人數至少是1人，則滿足題設

條件的情況共有：+C］C；+C>40種.

當J=1時，只有一種情況水立方、國家體育館、五棵松體育館各抽1人,共C：C；C：=12種,

一12一3

此=1)

404010

當J=2時，水立方1人、五棵松體育館2人或國家體育館各1人，五棵松體育館2人，共

C\C；+=24種，PC=2)=C：C；+C；C：=a=3,

40405

當J=3EI寸，3人都來自于五棵松體育館，共C；=4種.尸?=3)=4=1=’

404010

4的分布列如下:

123

331

P

105To

“9

E4)=1x0.34-2x0.6+3x0.1=1.8=-.

20.設函數f(x)=x2-(a+2)x+aInx(aeR).

(1)若x=3是"x)的極值點，求/(x)的單調區間；

(2)若/(x)Nl恒成立，求。的取值范圍.

［答案］(1)單調遞增區間是(0,1),(3,+“)，單調遞減區間是(1,3)；(2)a<-2.

［解析］

［分析］(1)先求導，令八3)=0,檢驗即得解；代入a=6,分別令人劃>0,/'(x)<0得

到單增區間和單減區間；

⑵轉化/(X)>1為/(x)min>1,分awo,a>0兩種情況討論即可

［詳解］⑴/'(x)=2x-(a+2)+0=(2"-")d)(x>0),

XX

r(3)=4-y=0,a=6,經檢驗符合條件

/加力-3)(1),

X

令/'(x)>0,有0<x<l或x>3,令/'(x)<0，有1cx<3,

所以/(X)的單調遞增區間是(0,1),(3,+8),單調遞減區間是(1,3).

⑵由題意/(X)>1=/(無濡21

當aVO時，令/'(x)>0,有x>l,令/'(x)<0,有0<x<l,

所以/(X)在(0,1)上單調遞減，在(L”)上單調遞增，

所以=AD=-aT

即aW—2

當〃>0時，/(1)=一。一1<0不成立.

綜上，a<-2.

X221

21.已知橢圓。：\+=v=1(〃〉〃>())的離心率為彳，左、右焦點分別為耳，與，。為

a"b~2

LlUUlUUUlULMUUU1UUU

坐標原點，點P在橢圓C上，且滿足|P/"=4，\PF.\\PF2\-2PFlPF2=0.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知過點(2,0)且不與x軸重合的直線/與楠圓C交于M,N兩點，在x軸上是否存在定

點。，使得NMQO=NNQO.若存在，求出點。的坐標；若不存在，說明理由.

22

［答案］(1)二+上=1；(2)存在，Q(8,0).

1612

［解析］

uumuuu

［分析］(1)由題設條件可得地/片2鳥=缶建^=；,即4藝=60。，結合余弦定理以

及|P瑪|=2。-4,工=1,可得解a,b,c；

a2

(2)轉化NMQO=ZNQO為+心。=0,用點坐標表示斜率可得

,,y,y2/y,y+(2-wz)(v.+y)八

7?20

kMQ+kNQ=+—=~——、,、…=，將直線和橢圓聯立，結合韋

Xj-mx2-m(tyj-m)(ty2-m)

達定理即得解.

uumuuu

［詳解］⑴由cos/^PF,=4勺偏知/4=60°,

-\PFl\\PF2\2

△中，|Pf；|=2a-4,￡=L,

a2

4/=16+(2。-4>一4(2"4),

解得a=4,c=2,〃=12,

22

所以橢圓C:土+匕=1；

1612

(2)假設存在點Q(，〃,0)滿足條件，設直線/方程為x=ty+2,

x=ty+2

設M(x1,%),N(X2，%),f丫2,

—+—=1

11612

消去x有(3/+4)y2+i2)-36=0,

-nt-36

/.x+y,=——,y%=—

123/+4123r+4