2023年山東省青島市嶗山區數學九年級第一學期期末檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．已知，，且的面積為，周長是的周長的，，則邊上的高等于（）A． B． C． D．2．已知點都在反比例函數的圖象上，則下列關系式一定正確的是（）A． B．C． D．3．方程的根是（）A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=-2 D．x1=0，x2=24．如圖，AD是⊙O的直徑，以A為圓心，弦AB為半徑畫弧交⊙O于點C，連結BC交AD于點E，若DE＝3，BC＝8，則⊙O的半徑長為（）A． B．5 C． D．5．如圖所示，四邊形OABC是正方形，邊長為6，點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點D在OA上，且D點的坐標為(2，0)，P是OB上一動點，則PA＋PD的最小值為()A．2 B． C．4 D．66．在圓，平行四邊形、函數的圖象、的圖象中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的個數有（）A．0 B．1 C．2 D．37．方程x2＝3x的解為（）A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0，x2＝38．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．9．在同一坐標系中，二次函數y＝x2＋2與一次函數y＝2x的圖象大致是()A．A B．B C．C D．D10．如圖，是岑溪市幾個地方的大致位置的示意圖，如果用表示孔廟的位置，用表示東山公園的位置，那么體育場的位置可表示為（）A． B． C． D．11．下列方程中是關于x的一元二次方程的是（）A． B．ax2＋bx＋c＝0C．（x－1）（x＋2）＝1 D．3x2－2xy－5y2＝012．如圖是二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象，其對稱軸為x＝1，下列結論：①abc＞0；②2a＋b＝0；③4a＋2b＋c＜0；④若(－32，y1)，(103，y2)是拋物線上兩點，則y1＜y2A．①② B．②③ C．②④ D．①③④二、填空題（每題4分，共24分）13．在中，，，，將沿軸依次以點、、為旋轉中心順時針旋轉，分別得到圖?、圖②、…，則旋轉得到的圖2018的直角頂點的坐標為________．14．如圖1，是一建筑物造型的縱截面，曲線是拋物線的一部分，該拋物線開口向右、對稱軸正好是水平線，，是與水平線垂直的兩根支柱，米，米，米.（1）如圖1，為了安全美觀，準備拆除支柱、，在水平線上另找一點作為地面上的支撐點，用固定材料連接、，對拋物線造型進行支撐加固，用料最省時點，之間的距離是_________.（2）如圖2，在水平線上增添一張米長的椅子（在右側），用固定材料連接、，對拋物線造型進行支撐加固，用料最省時點，之間的距離是_______________.15．如圖，邊長為的正六邊形在足夠長的桌面上滾動(沒有滑動)一周，則它的中心點所經過的路徑長為______．16．從這九個自然數中，任取一個數是偶數的概率是____．17．掃地機器人能夠自主移動并作出反應，是因為它發射紅外信號反射回接收器，機器人在打掃房間時，若碰到障礙物則發起警報．若某一房間內A、B兩點之間有障礙物，現將A、B兩點放置于平面直角坐標系xOy中（如圖），已知點A，B的坐標分別為(0，4)，(6，4)，機器人沿拋物線y＝ax2﹣4ax﹣5a運動．若機器人在運動過程中只觸發一次報警，則a的取值范圍是_____．18．某“中學生暑期環保小組”的同學，隨機調查了“金沙綠島”10戶家庭一周內使用環保方便袋的數量，數據如下（單位：只）：6，5，7，8，7，5，8，10，5，9，利用上述數據估計該小區500戶家庭一周內需要環保方便袋__________只．三、解答題（共78分）19．（8分）已知二次函數y＝x2+2mx+（m2﹣1）（m是常數）．（1）若它的圖象與x軸交于兩點A，B，求線段AB的長；（2）若它的圖象的頂點在直線y＝x+3上，求m的值．20．（8分）如圖，△ABC的中線AD、BE、CF相交于點G，H、I分別是BG、CG的中點．（1）求證：四邊形EFHI是平行四邊形；（2）①當AD與BC滿足條件時，四邊形EFHI是矩形；②當AG與BC滿足條件時，四邊形EFHI是菱形．21．（8分）解方程：5x（x+1）＝2（x+1）22．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，D為⊙O上的一點，CD=CB，延長CD交BA的延長線于點E,（1）求證：CD為⊙O的切線；（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求圖中陰影部分的面積．（結果保留π）23．（10分）《莊子·天下》：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”意思是說：一尺長的木棍，每天截掉一半，永遠也截不完．我國智慧的古代人在兩千多年前就有了數學極限思想，今天我們運用此數學思想研究下列問題．（規律探索）（1）如圖1所示的是邊長為1的正方形，將它剪掉一半，則S陰影1＝1－＝如圖2，在圖1的基礎上，將陰影部分再裁剪掉—半，則S陰影2＝1－－()2＝____；同種操作，如圖3，S陰影3＝1－－()2－()3＝__________；如圖4，S陰影4＝1－－()2－()3－()4＝___________；……若同種地操作n次，則S陰影n＝1－－()2－()3－…－()n＝_________．于是歸納得到：+()2+()3+…+()n=_________．（理論推導）（2）閱讀材料：求1+2+22+23+24+…+22015+22016的值．解：設S=1+2+22+23+24+…+22015+22016，①將①×2得：2S=2+22+23+24+…+22016+22017，②由②-①得：2S—S=22017—1，即=22017-1．即1+2+22+23+24+…+22015+22016＝22017-1根據上述材料，試求出+()2+()3+…+()n的表達式，寫出推導過程．（規律應用）（3）比較＋＋＋……__________1（填“”、“”或“=”）24．（10分）如圖，CD是⊙O的切線，點C在直徑AB的延長線上．（1）求證：∠CAD=∠BDC；（2）若BD=AD，AC=3，求CD的長．25．（12分）如圖，已知拋物線經過原點O，頂點為A(1，1)，且與直線交于B，C兩點．（1）求拋物線的解析式及點C的坐標；（2）求△ABC的面積；（3）若點N為x軸上的一個動點，過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M，則是否存在以O，M，N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．26．先化簡，再求代數式的值，其中

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【分析】根據相似三角形的周長比等于相似比可得兩個三角形的相似比，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方可求出△ABC的面積，進而可求出AB邊上的高．【詳解】∵，周長是的周長的，∴與的相似比為，∴，∵S△A′B′C′=，∴S△ABC=24，∵AB=8，∴AB邊上的高==6，故選：B．【點睛】本題考查相似三角形的性質，相似三角形的周長比等于相似比；相似三角形的面積比等于相似比的平方；熟練掌握相關性質是解題關鍵．2、C【分析】根據反比例函數的性質即可得到答案.【詳解】∵k=3>0，反比例函數的圖形在第一象限或第三象限，∴在每個象限內，y隨著x的增大而減小，∵點，且3<6，∴，故選：C.【點睛】此題考查反比例函數的性質，正確掌握函數圖象的增減性是解題的關鍵.3、C【解析】試題解析：x（x+1）=0，

?x=0或x+1=0，

解得x1=0，x1=-1．

故選C．4、A【分析】由作法得，根據圓周角定理得到∠ADB＝∠ABE，再根據垂徑定理的推論得到AD⊥BC，BE＝CE＝BC＝4，于是可判斷Rt△ABE∽Rt△BDE，然后利用相似比求出AE，從而得到圓的直徑和半徑．【詳解】解：由作法得AC＝AB，∴，∴∠ADB＝∠ABE，∵AB為直徑，∴AD⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝4，∠BEA＝∠BED＝90°，而∠BDE＝∠ABE，∴Rt△ABE∽Rt△BDE，∴BE：DE＝AE：BE，即4：3＝AE：4，∴AE＝，∴AD＝AE+DE＝+3＝，∴⊙O的半徑長為．故選：A．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形，靈活運用相似三角形的性質表示線段之間的關系．也考查了圓周角定理．5、A【解析】試題解析：連接CD，交OB于P．則CD就是PD+PA和的最小值．

∵在直角△OCD中，∠COD=90°，OD=2，OC=6，

∴CD=，

∴PD+PA=PD+PC=CD=2．

∴PD+PA和的最小值是2．

故選A．6、C【分析】根據軸對稱圖形又是中心對稱圖形的定義和函數圖象，可得答案．【詳解】解：圓是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；

平行四邊形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形；

函數y=x2的圖象是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；的圖象是中心對稱圖形，是軸對稱圖形；

故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數和二次函數的圖象，利用了軸對稱，中心對稱的定義．7、D【分析】根據因式分解法解一元二次方程，即可求解．【詳解】∵x2﹣1x＝0，∴x(x﹣1)＝0，∴x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝1．故選：D．【點睛】本題主要考查一元二次方程的解法，掌握因式分解法解方程，是解題的關鍵．8、B【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【詳解】A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；B．是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項符合題意；C．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；D．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合．9、C【解析】已知一次函數、二次函數解析式，可根據圖象的基本性質，直接判斷．解答：解：因為一次函數y=2x的圖象應該經過原點，故可排除A、B；因為二次函數y=x2+2的圖象的頂點坐標應該為（0，2），故可排除D；正確答案是C．故選C．10、A【分析】根據孔廟和東山公園的位置，可知坐標軸的原點、單位長度、坐標軸的正方向，據此建立平面直角坐標系，從而可得體育場的位置.【詳解】由題意可建立如下圖所示的平面直角坐標系：平面直角坐標系中，原點O表示孔廟的位置，點A表示東山公園的位置，點B表示體育場的位置則點B的坐標為故選：A.【點睛】本題考查了已知點在平面直角坐標系中的位置求其坐標，依據題意正確建立平面直角坐標系是解題關鍵.11、C【分析】一元二次方程是指只含有一個未知數，且未知數的最高次數為2次的整式方程．根據定義即可求解．【詳解】解：A選項含有分式，故不是；B選項中沒有說明a≠0，則不是；C選項是一元二次方程；D選項中含有兩個未知數，故不是；故選：C．【點睛】本題主要考查的是一元二次方程的定義，屬于基礎題型．解決這個問題的關鍵就是要明確一元二次方程的定義．12、C【解析】試題分析：根據題意可得：a<0，b>0，c>0，則abc<0，則①錯誤；根據對稱軸為x=1可得：-b2a=1，則-b=2a，即2a+b=0，則②正確；根據函數的軸對稱可得：當x=2時，y>0，即4a+2b+c>0，則③錯誤；對于開口向下的函數，離對稱軸越近則函數值越大，則點睛：本題主要考查的就是二次函數的性質，屬于中等題.如果開口向上，則a>0，如果開口向下，則a<0；如果對稱軸在y軸左邊，則b的符號與a相同，如果對稱軸在y軸右邊，則b的符號與a相反；如果題目中出現2a+b和2a-b的時候，我們要看對稱軸與1或者-1的大小關系再進行判定；如果出現a+b+c，則看x=1時y的值；如果出現a-b+c，則看x=-1時y的值；如果出現4a+2b+c，則看x=2時y的值，以此類推；對于開口向上的函數，離對稱軸越遠則函數值越大，對于開口向下的函數，離對稱軸越近則函數值越大.二、填空題（每題4分，共24分）13、(8072,0)【分析】利用勾股定理得到AB的長度，結合圖形可求出圖③的直角頂點的坐標；根據圖形不難發現，每3個圖形為一個循環組依次循環，且下一組的第一個圖形與上一組的最后一個圖形的直角頂點重合．【詳解】∵∠AOB=90°，OA=3，OB=4，∴AB===5，∴旋轉得到圖③的直角頂點的坐標為(12,0)；根據圖形，每3個圖形為一個循環組，3+5+4=12，因為2018÷3=672…2所以圖2018的直角頂點在x軸上，橫坐標為672×12+3+5=8072，所以圖2018的頂點坐標為(8072,0)，故答案是：(8072,0).【點睛】本題考查了旋轉的性質與規律的知識點，解題的關鍵是根據點的坐標找出規律.14、【分析】（1）以點O為原點，OC所在直線為y軸，垂直于OC的直線為x軸建立平面直角坐標系，利用待定系數法確定二次函數的解析式后延長BD到M使MD=BD，連接AM交OC于點P，則點P即為所求；利用待定系數法確定直線M'A'的解析式，從而求得點P′的坐標，從而求得O、P之間的距離；（2）過點作平行于軸且，作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，則點即為所求.【詳解】（1）如圖建立平面直角坐標系（以點為原點，所在直線為軸，垂直于的直線為軸），延長到使，連接交于點，則點即為所求.設拋物線的函數解析式為，由題意知旋轉后點的坐標為.帶入解析式得拋物線的函數解析式為：，當時，，點的坐標為，點的坐標為代入，求得直線的函數解析式為，把代入，得，點的坐標為，用料最省時，點、之間的距離是米.（2）過點作平行于軸且，作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，則點即為所求.點的坐標為，點坐標為代入，，的坐標求得直線的函數解析式為，把代入，得，點的坐標為，用料最省時，點、之間的距離是米.【點睛】本題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是從實際問題中整理出二次函數模型，利用二次函數的知識解決生活中的實際問題．15、【分析】首先求得從B到B′時，圓心O的運動路線與點F運動的路線相同，即是的長,又由正六邊形的內角為120°，求得所對

的圓心角為60°，根據弧長公式計算即可.【詳解】解：∵正六邊形的內角為120°，∴∠BAF=120°,∴∠FAF′=60°,∴∴正六邊形在桌子上滾動(沒有滑動)一周，則它的中心O點所經過的路徑長為：

故答案為：

【點睛】本題考查的是正六邊形的性質及正六邊形中心的運動軌跡長，找到其運動軌跡是解決本題的關鍵．16、【分析】由從1到9這九個自然數中任取一個，是偶數的有4種情況，直接利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：這九個自然數中任取一個有9種情況，其中是偶數的有4種情況，從1到9這九個自然數中任取一個，是偶數的概率是：．故答案為：．【點睛】此題考查了概率公式的應用．用到的知識點為：概率所求情況數與總情況數之比．17、﹣＜a＜【分析】根據題意可以知道拋物線與線段AB有一個交點，根據拋物線對稱軸及其與y軸的交點即可求解．【詳解】解：由題意可知：∵點A、B坐標分別為（0，1），（6，1），∴線段AB的解析式為y＝1．機器人沿拋物線y＝ax2﹣1ax﹣5a運動．拋物線對稱軸方程為：x＝2，機器人在運動過程中只觸發一次報警，所以拋物線與線段y＝1只有一個交點．所以拋物線經過點A下方．∴﹣5a＜1解得a＞﹣．1＝ax2﹣1ax﹣5a，△＝0即36a2+16a＝0，解得a1＝0（不符合題意，舍去），a2＝．當拋物線恰好經過點B時，即當x＝6，y＝1時，36a﹣21a﹣5a＝1，解得a＝綜上：a的取值范圍是﹣＜a＜【點睛】本題考查二次函數的應用,關鍵在于熟悉二次函數的性質,結合圖形靈活運用.18、3500【分析】先求出10戶家庭一周內使用環保方便袋的數量總和，然后求得樣本平均數，最后乘以總數500即可解答.【詳解】由10戶家庭一周內使用環保方便袋的數量可知平均每戶一周使用的環保方便袋的數量為則該小區500戶家庭一周內需要環保方便袋約為，故答案為3500.【點睛】本題考查的是樣本平均數的求法與意義，能夠知道平均數的計算方法是解題的關鍵.三、解答題（共78分）19、AB=2；（2）m＝1．【分析】（1）令y＝0求得拋物線與x軸的交點，從而求得兩交點之間的距離即可；（2）用含m的式子表示出頂點坐標，然后代入一次函數的解析式即可求得m的值．【詳解】（1）令y＝x2+2mx+（m2﹣1）＝0，∴（x+m+1）（x+m﹣1）＝0，解得：x1＝﹣m﹣1，x2＝﹣m+1，∴AB＝|x1﹣x2|＝|﹣m﹣1﹣（﹣m+1）|＝2；（2）∵二次函數y＝x2+2mx+（m2﹣1），∴頂點坐標為（﹣2m，），即：（﹣2m，﹣1），∵圖象的頂點在直線y＝x+3上，∴﹣×（﹣2m）+3＝﹣1，解得：m＝1．【點睛】本題考查了解二次函數的問題，掌握二次函數的性質以及解二次函數的方法是解題的關鍵．20、（1）證明見解析；（2）①AD⊥BC；②2AD=3BC【解析】（1）證出EF、HI分別是△ABC、△BCG的中位線，根據三角形中位線定理可得EF∥BC且EF=BC，HI∥BC且PQ=BC，進而可得EF∥HI且EF=HI．根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得結論；（2）①由三角形中位線定理得出FH∥AD，再證出EF⊥FH即可；②與三角形重心定理得出AG=AD，證出AG=BC，由三角形中位線定理和添加條件得出FH=EF，即可得出結論．【詳解】（1）證明：∵BE，CF是△ABC的中線，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥BC且EF=BC．∵H、I分別是BG、CG的中點，∴HI是△BCG的中位線，∴HI∥BC且HI=BC，∴EF∥HI且EF=HI，∴四邊形EFHI是平行四邊形．（2）解：①當AD與BC滿足條件AD⊥BC時，四邊形EFHI是矩形；理由如下：同（1）得：FH是△ABG的中位線，∴FH∥AG，FH=AG，∴FH∥AD，∵EF∥BC，AD⊥BC，∴EF⊥FH，∴∠EFH=90°，∵四邊形EFHI是平行四邊形，∴四邊形EFHI是矩形；故答案為AD⊥BC；②當AD與BC滿足條件BC=AD時，四邊形EFHI是菱形；理由如下：∵△ABC的中線AD、BE、CF相交于點G，∴AG=AD，∵BC=AD，∴AG=BC，∵FH=AG，EF=BC，∴FH=EF，又∵四邊形EFHI是平行四邊形，∴四邊形EFHI是菱形；故答案為2AD=3BC．點睛：此題主要考查了三角形中位線定理，以及平行四邊形的判定與性質，關鍵是掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．21、x＝﹣1或x＝0.1【分析】先移項，再利用因式分解法求解可得．【詳解】解：∵5x(x+1)﹣2(x+1)＝0，∴(x+1)(5x﹣2)＝0，則x+1＝0或5x﹣2＝0，解得x＝﹣1或x＝0.1．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，靈活選擇合適的方法是解答本題的關鍵．22、（1）見解析；（2）【分析】（1）連接OD，由BC是⊙O的切線，可得∠ABC=90°，由CD=CB，OB=OD，易證得∠ODC=∠ABC=90°，即可證得CD為⊙O的切線．（2）在Rt△OBF中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD的長，∠BOD的度數，又由，即可求得答案．【詳解】解：（1）證明：連接OD，∵BC是⊙O的切線，∴∠ABC=90°．∵CD=CB，∴∠CBD=∠CDB．∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．∴∠ODC=∠ABC=90°，即OD⊥CD．∵點D在⊙O上，∴CD為⊙O的切線．（2）在Rt△OBF中，∵∠ABD=30°，OF=1，∴∠BOF=60°，OB=2，BF=．∵OF⊥BD，∴BD=2BF=2，∠BOD=2∠BOF=120°，∴．23、（1）；；；()n；1-()n；（2）+()2+()3+…+()n=1-()n，推導過程見解析；（3）=【分析】（1）根據有理數的混合運算計算前幾項結果，并觀察得出規律即可得解

（2）根據材料中的計算求和的方法即可求解；

（3）根據（2）的化簡結果，結合極限思想即可比較大?。驹斀狻拷猓海?）S陰影2＝1－－()2=1-==，S陰影3＝1－－()2－()3=1-==，S陰影4＝1－－()2－()3－()4==，?S陰影n＝1－－()2－()3－…－()n=()n，于是歸納得到：+()2+()3+…+()n=1-()n故答案為：；；；()n；1-()n（2）解：設S=+()2+()3+…+()n，①將①×得：S=()2+()3+)4…+()n+()n+1，②①－②得：S=-()n+1，③將③×2得：S=1-()n即得+()2+()3+…+()n=1-()n（3）=，理由如下：∵＋＋＋……=1-()n，當n越來越大時，()n越來越小，越來越接近零，由極限的思想可知：當n趨于無窮時，()n就等于0，故1-()n就等于1，故答案為：=【點睛】本題考查了數字的變化類、有理數的混合運算，解決的本題的關鍵是尋找規律并利用規律．24、（1）證明見解析；（1）CD=1．【解析】分析：（1）連接OD，由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB，根據切線的性質及直徑所對的圓周角等于180°，利用等角的余角相等，即可證出∠CAD=∠BDC；（1）由∠C=∠C、∠CAD=∠CDB可得出△CDB∽△CAD，根據相似三角形的性質結合BD=AD、AC=3，即可求出CD的長．詳（1）證明：連接OD，如圖所示．∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．∵CD是⊙O的切線，OD是⊙O的半徑，∴∠ODB+∠BDC=90°．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠OBD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BDC．（1）∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB，∴△CDB∽△CAD，∴．∵BD=AD，∴，∴，又∵AC=3，∴CD=1．點睛：本題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定義以及切線的性質，解題的關鍵是：（1）利用等角的余角相等證出∠CAD=∠BDC；（1）利用相似三角形的性質找出．25、（1）y=﹣（x﹣1）2+1，C(﹣1，﹣3)；（2）3；（3）存在滿足條