安徽省合肥市長豐中學2023-2024學年高三數學第一學期期末預測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．的二項展開式中，的系數是（）A．70 B．-70 C．28 D．-282．已知數列的前n項和為，，且對于任意，滿足，則（）A． B． C． D．3．定義在R上的函數，，若在區間上為增函數，且存在，使得.則下列不等式不一定成立的是（）A． B．C． D．4．復數滿足，則復數等于（）A． B． C．2 D．-25．如圖是計算值的一個程序框圖，其中判斷框內應填入的條件是()A．B．C．D．6．已知圓M:x2+y2-2ay=0a>0截直線x+y=0A．內切 B．相交 C．外切 D．相離7．已知向量，夾角為，，，則()A．2 B．4 C． D．8．已知函數的圖像與一條平行于軸的直線有兩個交點，其橫坐標分別為，則（）A． B． C． D．9．已知，如圖是求的近似值的一個程序框圖，則圖中空白框中應填入A． B．C． D．10．設雙曲線的一條漸近線為，且一個焦點與拋物線的焦點相同，則此雙曲線的方程為（）A． B． C． D．11．已知非零向量、，若且，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．12．已知函數且，則實數的取值范圍是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，且，則__________．14．已知為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上移動時，的內心的軌跡方程為__________．15．如圖，在矩形中，為邊的中點，，，分別以、為圓心，為半徑作圓弧、（在線段上）.由兩圓弧、及邊所圍成的平面圖形繞直線旋轉一周，則所形成的幾何體的體積為.16．設為銳角，若，則的值為____________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數.（1）若，求實數的取值范圍；（2）證明：，恒成立.18．（12分）某公司為了鼓勵運動提高所有用戶的身體素質，特推出一款運動計步數的軟件，所有用戶都可以通過每天累計的步數瓜分紅包，大大增加了用戶走步的積極性，所以該軟件深受廣大用戶的歡迎.該公司為了研究“日平均走步數和性別是否有關”，統計了2019年1月份所有用戶的日平均步數，規定日平均步數不少于8000的為“運動達人”，步數在8000以下的為“非運動達人”，采用按性別分層抽樣的方式抽取了100個用戶，得到如下列聯表：運動達人非運動達人總計男3560女26總計100（1）（i）將列聯表補充完整；（ii）據此列聯表判斷，能否有的把握認為“日平均走步數和性別是否有關”？（2）將頻率視作概率，從該公司的所有人“運動達人”中任意抽取3個用戶，求抽取的用戶中女用戶人數的分布列及期望.附：19．（12分）如圖，在四棱柱中，平面平面，是邊長為2的等邊三角形，，，，點為的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．（Ⅲ）在線段上是否存在一點，使直線與平面所成的角正弦值為，若存在求出的長，若不存在說明理由．20．（12分）已知函數，.（1）當時，判斷是否是函數的極值點，并說明理由；（2）當時，不等式恒成立，求整數的最小值.21．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，且過點.求橢圓的方程；已知是橢圓的內接三角形，①若點為橢圓的上頂點，原點為的垂心，求線段的長；②若原點為的重心，求原點到直線距離的最小值.22．（10分）數列滿足.（1）求數列的通項公式；（2）設，為的前n項和，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】試題分析：由題意得，二項展開式的通項為，令，所以的系數是，故選A．考點：二項式定理的應用．2、D【解析】

利用數列的遞推關系式判斷求解數列的通項公式，然后求解數列的和，判斷選項的正誤即可．【詳解】當時，．所以數列從第2項起為等差數列，，所以，，．，，．故選：．【點睛】本題考查數列的遞推關系式的應用、數列求和以及數列的通項公式的求法，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題．3、D【解析】

根據題意判斷出函數的單調性，從而根據單調性對選項逐個判斷即可．【詳解】由條件可得函數關于直線對稱；在，上單調遞增，且在時使得；又，，所以選項成立；，比離對稱軸遠，可得，選項成立；，，可知比離對稱軸遠，選項成立；，符號不定，，無法比較大小，不一定成立．故選：．【點睛】本題考查了函數的基本性質及其應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.4、B【解析】

通過復數的模以及復數的代數形式混合運算，化簡求解即可.【詳解】復數滿足，∴，故選B.【點睛】本題主要考查復數的基本運算，復數模長的概念，屬于基礎題．5、B【解析】

根據計算結果，可知該循環結構循環了5次；輸出S前循環體的n的值為12，k的值為6，進而可得判斷框內的不等式．【詳解】因為該程序圖是計算值的一個程序框圈所以共循環了5次所以輸出S前循環體的n的值為12，k的值為6，即判斷框內的不等式應為或所以選C【點睛】本題考查了程序框圖的簡單應用，根據結果填寫判斷框，屬于基礎題．6、B【解析】化簡圓M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r7、A【解析】

根據模長計算公式和數量積運算，即可容易求得結果.【詳解】由于，故選：A.【點睛】本題考查向量的數量積運算，模長的求解，屬綜合基礎題.8、A【解析】

畫出函數的圖像，函數對稱軸方程為，由圖可得與關于對稱，即得解.【詳解】函數的圖像如圖，對稱軸方程為，，又，由圖可得與關于對稱，故選：A【點睛】本題考查了正弦型函數的對稱性，考查了學生綜合分析，數形結合，數學運算的能力，屬于中檔題.9、C【解析】

由于中正項與負項交替出現，根據可排除選項A、B；執行第一次循環：，①若圖中空白框中填入，則，②若圖中空白框中填入，則，此時不成立，；執行第二次循環：由①②均可得，③若圖中空白框中填入，則，④若圖中空白框中填入，則，此時不成立，；執行第三次循環：由③可得，符合題意，由④可得，不符合題意，所以圖中空白框中應填入，故選C．10、C【解析】

求得拋物線的焦點坐標，可得雙曲線方程的漸近線方程為，由題意可得，又，即，解得，，即可得到所求雙曲線的方程.【詳解】解：拋物線的焦點為可得雙曲線即為的漸近線方程為由題意可得，即又，即解得，.即雙曲線的方程為.故選：C【點睛】本題主要考查了求雙曲線的方程，屬于中檔題.11、D【解析】

設非零向量與的夾角為，在等式兩邊平方，求出的值，進而可求得向量在向量方向上的投影為，即可得解.【詳解】，由得，整理得，，解得，因此，向量在向量方向上的投影為.故選：D.【點睛】本題考查向量投影的計算，同時也考查利用向量的模計算向量的夾角，考查計算能力，屬于基礎題.12、B【解析】

構造函數，判斷出的單調性和奇偶性，由此求得不等式的解集.【詳解】構造函數，由解得，所以的定義域為，且，所以為奇函數，而，所以在定義域上為增函數，且.由得，即，所以.故選：B【點睛】本小題主要考查利用函數的單調性和奇偶性解不等式，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】試題分析：因,故,所以，,應填.考點：三角變換及運用．14、【解析】

考查更為一般的問題：設P為橢圓C:上的動點，為橢圓的兩個焦點，為△PF1F2的內心，求點I的軌跡方程．解法一：如圖，設內切圓I與F1F2的切點為H，半徑為r，且F1H=y，F2H=z，PF1=x+y，PF2=x+z，，則.直線IF1與IF2的斜率之積：，而根據海倫公式，有△PF1F2的面積為因此有.再根據橢圓的斜率積定義，可得I點的軌跡是以F1F2為長軸，離心率e滿足的橢圓，其標準方程為.解法二：令，則．三角形PF1F2的面積：，其中r為內切圓的半徑，解得.另一方面，由內切圓的性質及焦半徑公式得：從而有．消去θ得到點I的軌跡方程為：.本題中：，代入上式可得軌跡方程為：.15、【解析】由題意，可得所得到的幾何體是由一個圓柱挖去兩個半球而成；其中，圓柱的底面半徑為1，母線長為2；體積為；兩個半球的半徑都為1，則兩個半球的體積為；則所求幾何體的體積為.考點：旋轉體的組合體.16、【解析】

∵為銳角，，∴，∴，，故.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）將不等式化為，利用零點分段法，求得不等式的解集.（2）將要證明的不等式轉化為證，恒成立，由的最小值為，得到只要證，即證，利用絕對值不等式和基本不等式，證得上式成立.【詳解】（1）∵，∴，即當時，不等式化為，∴當時，不等式化為，此時無解當時，不等式化為，∴綜上，原不等式的解集為（2）要證，恒成立即證，恒成立∵的最小值為－2，∴只需證，即證又∴成立，∴原題得證【點睛】本題考查絕對值不等式的性質、解法，基本不等式等知識；考查推理論證能力、運算求解能力；考查化歸與轉化，分類與整合思想.18、（1）（i）填表見解析（ii）沒有的把握認為“日平均走步數和性別是否有關”（2）詳見解析【解析】

（1）(i)由已給數據可完成列聯表，(ii)計算出后可得；（2）由列聯表知從運動達人中抽取1個用戶為女用戶的概率為，的取值為，，由二項分布概率公式計算出各概率得分布列，由期望公式計算期望．【詳解】解（1）（i）運動達人非運動達人總計男352560女142640總計4951100（ii）由列聯表得所以沒有的把握認為“日平均走步數和性別是否有關”（2）由列聯表知從運動達人中抽取1個用戶為女用戶的概率為，.易知所以的分布列為0123．【點睛】本題考查列聯表，考查獨立性檢驗，考查隨機變量的概率分布列和期望．屬于中檔題．本題難點在于認識到．19、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）線段上是存在一點，，使直線與平面所成的角正弦值為.【解析】

（Ⅰ）取中點，連結、，推導出四邊形是平行四邊形，從而，由此能證明平面;（Ⅱ）取中點，連結，，推導出平面，，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值；（Ⅲ）假設在線段上是存在一點，使直線與平面所成的角正弦值為，設．利用向量法能求出結果．【詳解】（Ⅰ）證明：取中點，連結、，是邊長為2的等邊三角形，，，，點為的中點，，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面．（Ⅱ）解：取中點，連結，，在四棱柱中，平面平面，是邊長為2的等邊三角形，，，，點為的中點，平面，，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，，1，，，0，，，1，，，0，，，，，，0，，，，，設平面的法向量，，，則，取，得，，，設平面的法向量，，，則，取，得，設二面角的平面角為，則．二面角的余弦值為．（Ⅲ）解：假設在線段上是存在一點，使直線與平面所成的角正弦值為，設．則，，，，，，平面的法向量，，解得，線段上是存在一點，，使直線與平面所成的角正弦值為．【點睛】本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查滿足正弦值的點是否存在的判斷與求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．20、（1）是函數的極大值點，理由詳見解析；（2）1.【解析】

（1）將直接代入，對求導得，由于函數單調性不好判斷，故而構造函數，繼續求導，判斷導函數在左右兩邊的正負情況，最后得出，是函數的極大值點；（2）利用題目已有條件得，再證明時，不等式恒成立，即證，從而可知整數的最小值為1.【詳解】解:（1）當時，.令，則當時，.即在內為減函數，且∴當時，;當時，.∴在內是增函數，在內是減函數.綜上，是函數的極大值點.（2）由題意，得，即.現證明當時，不等式成立，即.即證令則∴當時，;當時，.∴在內單調遞增，在內單調遞減，的最大值為.∴當時，.即當時，不等式成立.綜上，整數的最小值為.【點睛】本題考查學生利用導數處理函數的極值，最值，判斷函數的單調性，由此來求解函數中的參數的取值范圍，對學生要求較高，然后需要學生能構造新函數處理恒成立問題，為難題21、；①；②.【解析】

根據題意列出方程組求解即可；①由原點為的垂心可得，軸，設，則，，根據求出線段的長；②設中點為，直線與橢圓交于，兩點，為的重心，則，設：，，，則，當斜率不存在時，則到直線的距離為1，，由，則，，，得出，根據求解即可.【詳解】解：設焦距為，由題意知：，因此，橢圓的方程為：；①由題