2021-2022北京上學期期末復習一高二精練

專題：立體幾何

1.已知孫〃是兩條不重合的直線，a,夕，/是三個兩兩不重合的平面，給出下列四個

命題：

①若，wJ_￡,則a//月；

②若〃，八/7_1八則￡//4；

③若，wua,〃u則a//￡；

④若〃是異面直線，則a//〃.其中真命題是（）

A.①和②B.①和③C.③和④D.①和④

2.兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為等，兩

個圓錐的高之比為1:3,則這兩個圓錐的體積之和為（）

A.3乃B.4/C.9/rD.12兀

3.正方體ABCD-A山iGDi的棱長為2,動點E,F在棱AiBi上，動點P,Q分別在棱

AD,CD上，若EF=LAiE=x,DQ=y,DP=z（x,y,z大于零），則四面體PEFQ的

體積

A.與x,y,z都有關B.與x有關，與y,z無關

C.與y有關，與X,z無關D.與Z有關，與x,y無關

4.如圖，在平行六面體A8CO-4SGR中，AB=AD=AAt,

NA4B=NA4D=NBAD=60°,則A耳與平面88QQ所成角的正弦值等于（）

5.正方體中，點E為8用中點，平面AEC與平面A3CZ）所成二面角的余

弦值為（）

6.如圖，在正方體ABCD-ASGR中，M,N分別是棱A8,8片的中點，點戶在對角

線CA上運動.當的面積取得最小值時，點P的位置是（）

A.線段ca的三等分點，且靠近點AB.線段CA的中點

c.線段ca的三等分點，且靠近點cD.線段CA的四等分點，且靠近點C

7.如圖，已知長方體A8CD-ABCR中,AA=5,他=12,則點G到平面48。的距

離為

8.如圖，在棱長為2的正方體ABCO-AAGR中，已知點E,尸分別為直線B￡),ADt

上的動點,

給出下面四個結論：

①異面直線A。，8。所成的角為60。；

②點F到平面BgC的距離為定值；

③若尸為4。中點，則點F到血）距離為血；

④港的最小值為法

3

則其中所有正確結論的序號是.

9.在棱長為6的正方體A88-ABCQ中，M是BC的中點，P是該正方體側面

OCGR上的點，且滿足/4P￡>=NMPC,則三棱錐尸-BCD的體積最大值是.

10.如圖1,平面五邊形4BCDE中，AB//CD,N5W=9()。，45=2,CD=\,△ADE

是邊長為2的正三角形.現將AADE沿AD折起，得到四棱錐(如圖2),且

DE±AB.

(I)求證：平面ADE1.平面ABC7)；

(II)求平面8CE和平面所成銳二面角的大小；

(皿)在棱AE上是否存在點F,使得￡＞尸〃平面BCE?若存在，求名的值；若不存

EA

在，請說明理由.

11.圖1是直角梯形ABCD,ABIIDC,ZD=9()°,AB=2,DC=3,A￡>=百，

CE=2ED,以BE為折痕將〃CE折起，使點C到達G的位置，且AG=",如圖2.

圖1圖2

(1)求證：平面8GE，平面ABEO；

(2)求直線BG與平面ACQ所成角的正弦值.

(3)在棱。C上是否存在點尸，使得二面角尸-EB-G的平面角為45。？若存在，求出線

段C7的長度，若不存在說明理由.

12.已知在四棱錐P-45CD中，底面A3。是邊長為4的正方形，△出￡＞是正三角形,

CO1平面B4。，E,EG,0分別是PGPRBGA。的中點.

(I)求證：P。，平面ABCQ；

(II)求平面EFG與平面A3CO所成銳二面角的大小；

(皿)線段以上是否存在點M,使得直線GM與平面EFG所成角為若存在，求線段

0

PM的長度；若不存在，說明理由.

專題：直線與圓

13.設“eR,貝！J“a=3”是“直線欠+2y+3。=0和直線3x+(a-I)y=a-7平行”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

14.已知點42,-3),5(-3,-2).若直線/：，nr+y-，"l=O與線段A8相交，則實數"，的

取值范圍是()

-00,----34,+00）

4

—,+00

5

15.數學家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的外

心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這

條直線被后人稱為三角形的歐拉線.在平面直角坐標系中作4ABC,在^ABC中，

A3=AC=4,點B(T,3),點C(4,-2),且其“歐拉線”與圓(x-3)?+丁=/相切，則該圓

的半徑，?為()

A.1B.&C.2D.2&

16.已知圓/+爐_2釬4＞，+“=0上有且只有兩個點到直線3x-4y-5=0的距離等于1,則

實數。的取值范圍是()

A.(-4,4)B.(Y,l)C.(1,4)D.(2,4)

17.當點P在圓/+)，2=1上變動時，它與定點Q(-3,0)的連線PQ的中點的軌跡方程是

()

A.(X+3)2+/=4B.(x-3)2+y2=l

C.（2x-3）2+4y2=lD.（2x+3）?+4/=1

18.若直線y=x+b與曲線y=3-V4xZP有公共點，則b的取值范圍是()

A.[I-A/2,1+72]B.[1-72,3]C.[1-20,3]D,[-1,1+揚

19.直線/：(利+l)x+(l-，")y-4,”-2=0被圓C:(x-2)2+(y+3)2=9所截得的弦中，最短弦所

在直線的一般方程是.

20.曲線y=67與直線>恰有1個公共點，貝！I。的取值范圍為.

21.如圖，已知點O(0,0),A(1,0),B(0,-1),P是曲線y=Jl-。上一個動點,則赤?

育的取值范圍是.

22.已知點4。,4),3(3,-2),以AB為直徑的圓記為圓C.

(1)求圓C的方程；

(2)若過點P(。,-2)的直線/與圓C交于M,N兩點，且|MN|=2后，求直線/的方程.

23.已知過原點的動直線/與圓CI：f+y2-6x+5=0相交于不同的兩點A,B.

(1)求圓G的圓心坐標和半徑；

(2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程；

(3)是否存在實數%,使得直線L：y=%*-4)與曲線C沒有公共點？若存在，求出人的

取值范圍；若不存在，說明理由.

專題：解析幾何

1.《橢圓》

22

24.方程xsina+ycosa=llo<a<^-表示焦點在y軸上的橢圓，則。的取值范圍是

()

7171TCn

A.吟C.15

已知p為橢圓1+1=1上的一點,

25.M、N分別為圓(x+3)：!+y2=l和圓(x-3)：:+y2=4

2516

上的點，則|PM|+|PN|的最小值為

A.5B.7

C.13D.15

26.若點。和點F分別為橢圓小pI的中心和左焦點，點P為橢圓上點的任意一點,

則行.爐的最大值為

A.2B.3C.6D.8

27.已知橢圓C：—+^=1,片,鳥分別為它的左右焦點，A,8分別為它的左右頂

259

點，點戶是橢圓上的一個動點，下列結論中錯誤的是（）

4

A.離心率e=1B.△/=；「瑪的周長為18

Q

C.直線上4與直線依斜率乘積為定值-六D.若N耳2鳥=90°,則△耳PE的面積為8

28.如圖，已知|AB|=10,圖中的一系列圓是圓心分別A、B的兩組同心圓，每組同心圓

的半徑分別是1,2,3,…，，?，利用這兩組同心圓可以畫出以A、B為焦點的橢圓，設

其中經過點M、N、尸的橢圓的離心率分別是e”,外,e,,則（）

ee

A.eM=N=pB.ep<eM=eN

C?'M<G<ePD?Cp<e”<外

29.已知水平地面上有一籃球，球的中心為O',在斜平行光線的照射下，其陰影為一橢圓

（如圖），在平面直角坐標系中，橢圓中心。為原點，設橢圓的方程為《+亡=1,籃球

42

與地面的接觸點為“，貝的長為（）

A-TB.&C-ID.萼

30.橢圓《+￡=1(">8>0)的四個頂點為A、B、C、D,若四邊形ABC。的內切圓恰

ab-

好過橢圓的焦點，則橢圓的離心率是.

31.設橢圓的兩個焦點分別為片，工，過用作橢圓長軸的垂線交橢圓于點尸，若△KPK

為等腰直角三角形，則橢圓離心率等于.

2222

32.若橢圓G：/方=l(q>4>0)和橢圓G言+方=1(々>。2>。)的離心率相同,且

at>a2,給出如下四個結論:

①橢圓a和橢圓G一定沒有公共點

②T；

a；-a；<b；—b；

④4-。2<4一4.

則所有結論正確的序號是

2，i

33.已知橢圓C：，+與=13>6>0)的短軸長為26,離心率為彳，直線/：

ab2

y=%(x-l)與橢圓C交于不同的兩點M,N,A為橢圓C的左頂點.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)當AAMN的面積為生也時，求/的方程.

7

22|

34.已知橢圓Gx:=+v與=l(a>b>0)的離心率為彳，經過左焦點Fi(-l,O)的直線1與橢圓G相

ab-2

交于A,B兩點，與y軸相交于點C,且點C在線段AB上.

(1)求橢圓G的方程；

(2)若|AFi|=|CB|,求直線I的方程.

22

35.已知橢圓。:千+==1過A（2,0）,8（0,l）兩點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設p為第三象限內一點且在橢圓c上，直線附與y軸交于點〃，直線心與x軸交

于點N,求證：四邊形AHW的面積為定值.

36.已知橢圓W：二+《=1的長軸長為%左、右頂點分別為A,B,經過點&1,0）的

4mm

動直線與橢圓卬相交于不同的兩點C,D（不與點A,8重合）.

（1）求橢圓W的方程及離心率；

（2）求四邊形4C8。面積的最大值;

■>，

37.已知橢圓C：二+4=1(a>6>0)經過A(1,O),8(0力)兩點.0為坐標原點，且

(Tb

△403的面積為也.過點P(0,l)且斜率為《(左>0)的直線/與橢圓C有兩個不同的交點

4

M,N,且直線AM,AN分別與y軸交于點S,T.

(I)求橢圓C的方程；

(II)求直線/的斜率k的取值范圍；

(Hi)設丙=a所，PT=UPO,求4+〃的取值范圍.

22

38.已知橢圓C:=+4=l("h>0)的左、右焦點分別為耳，尸"點A(#,0)在橢圓C上,

a-b

且西?擊7=3.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)橢圓C上的兩點尸，。關于原點。對稱，點R在橢圓C上，且直線PR與圓

0:/+丁=2相切，問：黑是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，試說

明理由.

)2,>

39.已知橢圓c：0+馬=ig>b>0),離心率為:，它的短軸長等于雙曲線/-上=1的

a2b-x'212

虛軸長

(1)求橢圓C的方程

(2)已知P(2,3),Q(2,-3)是橢圓上的兩點，48是橢圓上位于直線PQ兩側的動點

①若直線43的斜率為求四邊形AP8。面積的最大值

②當A,3運動時，滿足乙4PQ=N8P。，試問直線A8的斜率是否為定值？請說明理由.

2.《雙曲線》

40.雙曲線=l過點(夜,石)，且離心率為2,則該雙曲線的標準方程為

()

41.已知點M(-2,0),N(2,0),動點P滿足條件|PM|TPN|=2及.則動點戶的軌跡方程為

()

比2v2Y2V2

A.--一^-=l(x>0)B.--一上-=1

2222

x2y2x2V2

C.--一^-=l(x>0)D.---1=1

4242

42.設點A(-6,0),B(瓜0),M為動點，已知直線AM與直線8M的斜率之積為定值

點M的軌跡是()

22

A.y-J2=1(7*0)B.y-x2=1(>'*0)

22

C.y-/=l(y*o)D.(-尤2=]("0)

43.已知A,B,C是雙曲線二-2=1(a>0/>0)上的三個點，AB經過原點。，AC經過右焦

a~b-

點八若B/UAC且21Aq=|b|,則該雙曲線的離心率是()

44.設鳥是雙曲線x2-^=l的兩個焦點,P是雙曲線上的一點，且31P周=4|P段，則

△尸耳鳥的面積等于()

A.4A/2B.8G

C.24D.48

3.《拋物線》

45.拋物線丁=4》的焦點為尸，準線為/,點尸為拋物線上一點，PALI,垂足為A,若

直線A尸的斜率為-道，則歸目等于()

A.8B.4后C.4D.2G

46.已知點P在拋物線V=4x上，那么點P到點。(2,-1)的距離與點p到拋物線焦點距離

之和取得最小值時，點P的坐標為

A.B.(；/)C.(―,-1)D.(―,1)

47.已知拋物線Gy2=_2px(p>0)與橢圓￡>：5+5=1(“>8>0)有一個公共焦點，拋

物線的準線與橢圓交于48兩點，以A8為直徑的圓與)'軸相切，則橢圓。的離心率為

()

A.1B.C.-D.正

2222

48.已知拋物線C：V=2px（p>o）的焦點為尸，點M（2,⑼為其上一點，且|MF|=4.

（1）求戶與"7的值；

（2）如圖，過點/作直線/交拋物線于4、8兩點，求直線。4、05的斜率之積.

4.《新定義》

49.關于曲線C：父+丁=1,給出下列四個命題：

①曲線c關于原點對稱；②曲線c關于直線y=x對稱；

③曲線c圍成的面積大于江；④曲線c圍成的面積小于萬；

則其中真命題是（）

A.①③B.①④C.①（D③D.①@④

50.已知曲線C：W@+y2=l,以下關于曲線C的結論正確的個數為（）

4

①曲線C關于.V軸對稱

②曲線C上有且僅有3個整點（整點指橫縱坐標均為整數的點）

③曲線C上一點尸滿足10H21（。為坐標原點）

③曲線C上與圖形/-4丁=0有且僅有兩個公共點

A.1B.2C.3D.4

51.數學中有許多寓意美好的曲線，曲線。：(—+/)3=4/丫2被稱為“四葉玫瑰線，，(如圖

所示).給出下列三個結論：

①曲線c關于直線y=x對稱；

②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過1；

③存在一個以原點為中心.邊長為友的正方形，使曲線C在此正方形區域內(含邊界).

其中，正確結論的序號是()

A.①0B.②③C.①@D.①@③

52.曲線C是平面內到定點廠(0,1)和定直線/：y=-l的距離之和等于4的點的軌跡，給出

下列三個結論：

①曲線c關于y軸對稱；②若點P(x,y)在曲線c上，貝!lly區2；

③若點P在曲線C上，則10初區4.

其中，所有正確結論的字號是.

期末復習一高二精練

解析

專題：立體幾何

1.已知加，〃是兩條不重合的直線，a,夕，，是三個兩兩不重合的平面，給出下列四個命

題：

①若機_La,貝！Ja///；

②若a-Ly,"J_7,則a/R；

③若mua,〃u/3,m!In,則a〃夕；

④若〃是異面直線，mua,m”/3,nu/3m"a,%aU/3.其中真命題是（）

A.①和②B.①和③C.③和④D.①和④

【答案】D

【分析】

由題意逐一考查所給命題的真假即可確定真命題的編號.

【詳解】

逐一考查所給的命題：

①由線面垂直的性質定理可得若也夕，則。///，該命題正確；

②如圖所示的正方體A8CO-ABC。中，取平面以△?分別為平面

ABB{\,ADD^,ABCD,滿足a但是不滿足a///?,該命題錯誤；

③如圖所示的正方體A88-A4G。中，取平面名￡分別為平面4844,4￡?。小，

直線加,“分別為Bg,QR,滿足aua,”u但是不滿足口〃夕,該命題錯誤;

④若〃是異面直線，mua,,w//6,〃u￡,"〃a,由面面平行的性質定理易知a//￡,該命

題正確；

綜上可得，真命題是①和④

本題選擇D選項.

【點睛】

本題考查了空間幾何體的線面位置關系判定與證明：

（1）對于異面直線的判定要熟記異面直線的概念：把既不平行也不相交的兩條直線稱為異

面直線；

（2）對于線面位置關系的判定中，熟記線面平行與垂直、面面平行與垂直的定理是關鍵.

2.兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為半，兩

個圓錐的高之比為1:3,則這兩個圓錐的體積之和為（）

A.34B.4乃C.9兀D.127r

【答案】B

【分析】

作出圖形，計算球體的半徑，可計算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計算出圓錐的底面

圓半徑，再利用錐體體積公式可求得結果.

【詳解】

如下圖所示，設兩個圓錐的底面圓圓心為點。，

設圓錐AO和圓錐8。的高之比為3:1,即4）=33。,

設球的半徑為R,則----=—,可得R=2,所以，AB=AD+BD=4BD=4,

33

所以，BD=1,4)=3,

■.■CDLAB,則NC4O+ZACD=N8Cr>+ZAC￡)=9(r,所以，ZCAD=ZBCD,

又因為ZADC=NBDC,所以，AACDsMBD,

ADCD

CD=yjADBD=6,

所以,~CD~BD

因此，這兩個圓錐的體積之和為:%xC￡>"（AZ）+8O）=g;rx3x4=47r.

故選：B.

3.正方體ABCD-AIBIGDI的棱長為2,動點E,F在棱AiBi上，動點P,Q分別在棱

AD,CD上，若EF=1,AiE=x,DQ=y,DP=z（x,y,z大于零），則四面體PEFQ的

體積

A.與x,y,z都有關與x有關，與y,z無關

C.與y有關，與x,z無關D.與z有關，與x,y無關

【答案】D

【詳解】

試題分析：連結作PNLAD,垂足為N,???Ag/ADC且砂=1,

5皿是定值.：A4-L面A。。A且PNu平面ADD,A,，4四1PN,：.PN八面

A.B.CD,'：PD=z,ZAtDA=45,：.PN=冬,：.匕一小二卜.相附與x,y無關，

與2有關，

考點：三棱錐的體積.

【方法點晴】本題主要考查了空間幾何體的——三棱錐的體積的計算方法，在變量中尋找

不變的量，著重考查了學生的空間想象能力和轉化能力，屬于中檔試題，本題的解答中，

四面體FEFQ的體積，可找出三角形EFQ的面積是不變的兩，而P點到平面EFQ的距離是

變化的量，從而可以確定三棱錐的體積與P點到平面EFQ的距離有關，確定選項.

4.如圖，在平行六面體中，AB=AD=A\,

==則AA與平面B8QO所成角的正弦值等于（）

【答案】C

【分析】

根據給定條件證得平面ACGA，平面BDDtB],再求出點A到平面片的距離即可計算

作答.

【詳解】

在平行六面體ABC。-A8c。中，連AC,8。交于點0,連AG，BQ交于點。一連接

\B,\D,\O,如圖,

因48=40=44,,Z4AB=ZA,AD=ABAD=60",則為正四面體,

BDVAC,BDV\O,

而AQcAC=。，AQ,ACu平面ACGA，于是得BD1平面47GA,又BOu平面

BDDR,

因此，平面ACGA，平面令4?=2,在正A^B。與正中，0,Q分別為

中點，

則AO=AQ=G，取。01中點M,連AM,則有AM_LOO1,又0a=2,則

AM=后,

而平面AC￡An平面BDD圈=。。|,A,Mu平面ACC,A,從而有1平面BDDtB),

所以A4與平面所成角的正弦值等于禁==.

AA2

故選：C

5.正方體ABC。-ABC。中，點E為8q中點，平面AEC與平面ABCD所成二面角的余

弦值為(

A、.應nB.——百Cr.——anD.——超

2233

【答案】C

【分析】

延長AE與A8相交于M,連接MC,過點8作8FLMC于尸，連接EF,先證ZEFB為平

面AEC與平面A8C。所成二面角的平面角，再利用RtJBEF求其余弦值.

【詳解】

延長AE與43相交于M,連接MC,過點8作于尸，連接EF,

YE為8耳中點，易證=

BM=BC,：.尸為MC的中點，

：￡BJ?平面ABCD,MCu平面ABCD,

:.EBLMC,又?：EBcBF=B,EBu平面BEF,BFu平面8￡F,

，MC_L平面3EF,又EFu平面5所,

：.MCIEF,

ZEES為平面AEC與平面ABC￡＞所成二面角的平面角,

設正方體的棱長為2,

在AWBC中，易得忸司=&,

在RSBEF中，忸目=1,.??區川=/+(&)'=石,

.A/276

..cosZEFB=—f==——.

G3

故選：c.

6.如圖，在正方體ABC。-AAG。中，M,N分別是棱AB,2片的中點，點尸在對角

線CA上運動.當△PMN的面積取得最小值時，點尸的位置是()

A.線段CA的三等分點，且靠近點AB.線段CA的中點

c.線段ca的三等分點，且靠近點cD.線段CA的四等分點，且靠近點C

【答案】B

【分析】

將問題轉化為動點尸到直線的距離最小時，確定點戶的位置，建立空間直角坐標系,

取MN的中點Q,通過坐標運算可知P。，MN,即|尸。|是動點P到直線MN的距離，再由

空間兩點間的距離公式求出I尸。1后，利用二次函數配方可解決問題.

【詳解】

設正方體的棱長為1,以A為原點，48,4。,例分別為的％2軸，建立空間直角坐標系，如

圖所示：

1131

則M(5,0,0),N(1,0Q),MN的中點Q(j,。，/，

A(0,0,1),C(u,o),則而=(1,1,—1),

設P(r/,z),pc=(\-t,\-t,-z),

由而與定共線，可得====',所以r=l-z,所以尸(l-z,l-z,z),其中

11—1

0<z<l,

因為|兩|=J(l_z_；)2+(l_z_0)2+(z_0)2=^3ZI2-3Z+^,

IPN|=J(l-z-l)2+(l-z-0)2+(z-^)2=^3Z2-3Z+^,

所以|麗j=|而I，所以尸即I尸。|是動點P到直線MV的距離,

由空間兩點間的距離公式可得|P。|=J(1-Z-$2+(1-Z-0)2+(Z-；)2=3Z2-3Z+1

處-出，

所以當c=:時，IPQI取得最小值如，此時尸為線段CA的中點,

24

由于1加%|=￥為定值，所以當△PAW的面積取得最小值時，P為線段CA的中點.

故選：B

【點睛】

本題考查了空間向量的坐標運算，考查了空間兩點間的距離公式，考查了數形結合法，考

查了二次函數求最值，屬于基礎題.

7.如圖，已知長方體ABC￡>-AB|C|R中，AA=5,AB=\2,則點到平面ARR的距

離為.

【分析】

建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，根據空間向量中點到平面距離公式，即

可求出結果.

【詳解】

以。為坐標原點方，覺，西的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間

直角坐標系，則C(0,12,0),R(0,0,5)，G(0,12,5).

設AD=x,則A（X，0,5）,B（X,12,0）,率=（0,12,5）,麗=（—x,0,0）

設平面A3。的法向量為3=(〃,6,c),則為，M，萬，鄧，

n-4D,=0-ax=0，所以。=0,b=4；c,

即

nA,B=0-12〃+5c=012

可取3=(0,5,12).

又函=(0,-12,0),

,"I6060

點G到平面45。的距離為有，即點G到平面4/2的距離為弓.

n1313

故答案為：.

8.如圖，在棱長為2的正方體ABC。-AqG。中，已知點E,尸分別為直線80,AO,

上的動點,

給出下面四個結論:

①異面直線AQ,8。所成的角為60'；②點F到平面B、C、C的距離

為定值；

③若F為AQ中點，則點尸到8。距離為近；④京的最小值為迫

3

則其中所有正確結論的序號是.

【答案】①②④

【分析】

連接8G，DC、,先確定NOBG即為異面直線A。，8。所成的角，求解可判斷選項①；

利用線面平行的判定定理證明A"http://平面BCC，即可判斷選項②；利用等面積法求解點

F到3。的距離，即可判斷選項③；利用異面直線間的公垂線距離最短，建立合適的空間

直角坐標系，利用異面直線間的距離公式求解，即可判斷選項④.

【詳解】

解：①連接8C，DC,,由正方體的幾何性質可得，BCJ/AD、,所以異面直線Aj,BD

所成的角即為與8。所成的角即NQBG，因為為等邊三角形，所以

ZDBC,=60%故選項①正確;

因為BCJ/AR,且AD?平面與CC，BGu平面4GC,所以A。//平面BCC，則直線

A。上的點到平面4GC的距離相等，所以點尸到平面BCC的距離為定值，故選項②正

確；

連接尸￡>,FB,因為尸。=：4。=&,BD=2叵，FB=/+后=庭，所以

FD2+FB2=BD\故AEBD為直角三角形，設點尸到B￡>距離為“，由等面積法可得，

S^BD=-BDd=^-FDBF,即除2五d4五*庭,解得《=亞，所以若F為4。中

22222

點，則點F到8。距離為底，故選項③錯誤；

2

以點。為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，則4(2,0,2),C(0,2,0),

A(2,0,0),0(0,0,0),由三垂線定理可得，AC1AD,,A.C±BD,故向量

R=(2,-2,2)是異面直線A。與8。的法向量，又a=(2,0,0)，所以直線80，A。公垂線的

長度為彳^=“+；+4=竿'因為異面直線間的公垂線距離最短，所以|￡>|的最小值

為氈，故選項④正確.

3

故答案為：①②④.

9.在棱長為6的正方體ABC。-A及GR中，M是8c的中點，P是該正方體側面

CCGA上的點，且滿足AAPD=NMPC,則三棱錐P-BCD的體積最大值是.

【答案】12>/3

【分析】

由題意易知由此可得PO=2PC,在平面。CGR上，作PO，CE),

垂足為。，設/”=x,PO=h,求出P。的最大值，說明PO_L底面BCD,即可得三棱錐

尸-3C。的體積最大值.

【詳解】

如圖，在棱長為6的正方體ABC。-4片￡。中,

則45_L平面DCC,R,8C_L平面DCC、Dt,

又DP,PC在平面OCCQ上,

所以49J_r>P,BC1CP,

又AAPD=ZMPC,

所以Rt^ADP-Rt^MCP,

所以絲=絲=2,

尸""PCMC

即PD=2尸C,

作POLCD,垂足為O,

設DO=x,PO=h，

所以\lx2+h2=2,(6-X)2+/、,

化簡整理得/?2=-(x-8『+16,0<x<6,

則x=6時，層,歸=12,hnm=2A/3,

在正方形。CCA中,

因為PO_LC￡>,所以尸O〃CC；,

又在正方體ABCD-A^B^D,中，CC,±平面ABCD，

所以P。，平面488,

所以三棱錐P-BCD的體積最大值為:x(gx6x6)x2退=12道.

故答案為：126.

【點睛】

本題考查了空間幾何體的最值問題，考查了線面垂直的性質定理，考查了空間想象能力與

計算能力，屬于中檔題.

10.如圖1,平面五邊形ABCDE中，AB//CD,ZBAD=90°,AB=2,C￡M,AADE

是邊長為2的正三角形.現將AAOE沿AD折起，得到四棱錐E-A8CD(如圖2),且

DELAB.

(I)求證：平面A￡>E_L平面A8CO；

(II)求平面BCE和平面所成銳二面角的大小；

(DI)在棱AE上是否存在點尸，使得。尸〃平面8CE?若存在，求警的值；若不存

EA

在，請說明理由.

【答案】(I)見解析；(ID(山)見解析

4

【詳解】

試題分析：(I)由已知得ABA.DE,證得A8_L平面,根據面面垂直的判

定定理，即可證明平面平面A5CQ.

(H)證得EOL平面A8C￡),以。為原點，所在的直線為*軸，過。垂直于AD的

直線為y軸，0E所在的直線為z軸，建立空間直角坐標系，求得平面BCE的法向量正，

又由平面AOE的一個法向量〃，利用向量的夾角公式，即可求解二面角的大小.

(HD設BE的中點為G,連接CG,FG,則FG//AB,FG.AB,利用線面平行的判

定定理，即可得到。尸〃平面BCE.

試題解析：

(I)證明：由已知得鉆_L49,AB_L￡>E.因為=所以A8_L平面ADE.

又ABu平面ABC。，所以平面ADE_L平面ABC。.............4分

(II)設A￡>的中點為0,連接E0.

因為△是正三角形，

所以E4=ED,所以EO1AD.

因為平面平面ABC。，

平面A/)￡c平面ABC￡>=AD,EOu平面AOE,

所以EO_L平面ABC。.

以。為原點，04所在的直線為了軸，在平面ABC。內過。垂直于AD的直線為V軸,

0E所在的直線為z軸，

建立空間直角坐標系O-^z,如圖所示.

由已知，得E(O,O,G),3(120),C(-1,1,O).

所以CE=(1,-1,A/3),方=(2,1,0).

/、m-CE—0,x—v+y/3z=0

設平面3CE的法向量加=(用y,z.則｛_?所以｛，八’

rnCB=O.2x+y=0.

令％=1,則y=-2,z=-百,

所以w=(l,-2,->/3).

又平面A￡>￡的一個法向量"=(0』,0),

所以cos(m,n)==~~L.

阿〃[2

7F

所以平面6CE和平面4。石所成的銳二面角大小為J.

4

(III)在棱AE上存在點F,使得DF〃平面BCE,此時”=(.

EA2

理由如下：

設犯的中點為G,連接CG,fG,則FG//AB,FG=^AB.

因為A8〃CE>,S.CD=^AB,所以尸G〃C。,且尸G=CD,

所以四邊形COFG是平行四邊形，所以DF//CG.

因為CGu平面8CE,且。尸.平面3CE,所以DF〃平面BCE.

11.圖1是直角梯形A3C￡>,ABIIDC,ZD=9()°,AB=2,DC=3,A￡>=百，

CE=2ED,以BE為折痕將〃CE折起，使點C到達G的位置，且AG=",如圖2.

圖1圖2

(1)求證：平面BGEJ?平面ABEO；

(2)求直線BG與平面ACQ所成角的正弦值.

(3)在棱。G上是否存在點尸，使得二面角P-E3-G的平面角為45。？若存在，求出線

段C/的長度，若不存在說明理由.

【答案】(1)證明見解析；(2)2包；(3)存在，友.

73

【分析】

(1)在圖1中，連結AE,連結AC交BE于點F,證明C/J.A尸，C/LBE即可；

(2)以。為坐標原點，DA,DE分別為x,y軸，斤;方向為z軸正方向建立空間直角坐

標系，算出平面AG。的法向量和西的坐標，然后可算出答案；

(3)設麗=2扇,4e(0,l),然后算出平面PBE、平面G8E的法向量，然后可建立方程

求解.

【詳解】

(1)證明：在圖1中，連結AE,由己知條件得AE=2,

■:CE//BAS.CE=BA=AE,

，四邊形48CE為菱形，連結AC交BE于點F,

J.CFVBE,又?.?在心AACO中，AC=/32+1=

，AF=CF=6

22

在圖2中，AC^y/6,-：AF+CtF=ACf,：.C,FLAF,

由題意知且BEcAF=E

.?.C/_L平面ABE。，又￡Fu平面BQE,

平面BGE_L平面ABED；

Z"

AA

Ey

B

x

(2)如圖，以。為坐標原點，DA,DE分別為x,y軸，房方向為z軸正方向建立空間

直角坐標系.由已知得各點坐標為

0(0,0,0),A(x/3,0,0),8便,2,0),E(0,l,0),F^,|,0,,

所以西=(-號,DA=(73,0,0),西=任,|,#,

設平面ACQ的法向量為。=(x,y,z),則方XJ■萬，DCt±n,

所以網_=)即愕t「，

[z)G=0I—x+—y+>/3z=0

令z=A/3，解得x=0,>=-2,

所以"倒同=近，記直線8G與平面ACQ所成角為凡

BC,-zi0+1+3277

則sin夕=]j—=I------產-=----

|BC,||n||2XV77

(3)假設存在，設麗=2西=

B￡=(-V3,-l,0),PE

?；Ab_L平面C/E,易得平面CBE的一個法向量成=卜1,6,0卜

設平面PBE的一個法向量4=區，加4),

瓜1+必=0

n-BE=

2可得]_曰有+(1_|小一&可取石=(&,-34向-⑹,

n2-PE=0

4.勺

則cos（4,4—JI=cos450=—

麗2.7322+9A2+3（2-l）22

解得行;，此時|錮=|?同=孚.

【點睛】

關鍵點睛：用向量方法解決空間中的角的問題時，關鍵是建立適當的空間直角坐標系，準

確地寫出點的坐標和向量的坐標，然后準確地運算出答案.

12.已知在四棱錐P-43co中，底面A3