PAGE2011年一.填空題(共4小題，每小題4分，共計16分)1．2．設,則=3．設函數以為周期，為的的傅里葉級數的和函數，則.4．設曲線為圓周,則曲線積分=二.選擇題（共4小題，每小題4分，共計16分）1.設直線為平面為,則（）.(A)平行于平面(B)在平面上(C)垂直于平面(D)與相交，但不垂直2．設有空間區域，則等于（）.(A)(B)(C)(D)3．下列級數中，收斂的級數是（）.(A)(B)(C)(D)4.設是正項級數，則下列結論中錯誤的是（）（A）若收斂，則也收斂（B）若收斂，則也收斂（C）若收斂，則部分和有界（D）若收斂，則三．計算題（共8小題，每小題8分，共計64分）1．設函數具有二階連續偏導數，，求.2．求函數在曲線上點（1,2）處，沿著曲線在該點偏向軸正向的切線方向的方向導數.解：3．計算其中.四．證明題（本題4分）證明下列不等式成立：，其中.五．證明題（本題8分）設有一小山，取它的底面所在平面為坐標面，其底部所占的區域為小山的高度函數為（1）設為區域上一點，問在該點沿平面上什么方向的方向導數最大？若記此方向導數的最大值為，試寫出的表達式。（2）現欲利用此小山舉行攀巖活動，為此需要在山腳尋找一上山坡度最大的點作為攀登的起點也就是說，要在的邊界線上找使（1）中的達到最大值的點，試確定攀登起點的位置。2009-2010年填空題（每小題5分，滿分30分）1.若向量兩兩互相垂直，且，則.2．設函數，求.3.設函數為連續函數,改變下列二次積分的積分順序：.4.計算.5.冪級數的收斂域為：.6.設函數

的傅里葉級數為：，則其系數.選擇題（每小題5分，滿分20分）1．直線與平面的位置關系是()(A)直線在平面內；(B)垂直；(C)平行；(D)相交但不垂直.2.設函數,則（）(A)在原點有極小值；(B)在原點有極大值；(C)在點有極大值；(D)無極值.3.設是一條無重點、分段光滑，且把原點圍在內部的平面閉曲線，的方向為逆時針方向，則（）(A)0；(B)；(C)；(D).4.設為常數，則級數（）(A)絕對收斂；(B)發散；(C)條件收斂；(D)斂散性與值有關.本頁滿分14分本頁得分三、計算題(本大題滿分42分)1.設討論在原點處是否連續，并求出兩個偏導數和.(7分)2.計算其中是由上半球面和錐面所圍成的立體.(7分)本頁滿分14分本頁得分3.求錐面被柱面所割下部分的曲面面積.（7分）4.計算曲面積分，其中是由圍在第一卦限的立體的外側表面.（7分）本頁滿分14分本頁得分5.討論級數的斂散性.（6分）6.把級數的和函數展成的冪級數.（8分）本頁滿分8分本頁得分（本題滿分8分）設曲線L是逆時針方向圓周，是連續的正函數，證明：本頁滿分8分本頁得分設曲線L是逆時針方向圓周，是連續的正函數，證明：（8分）2008-2009年一．選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內）.1.設三向量滿足關系式，則（）.（A）必有;（B）必有;（C）當時，必有;（D）必有為常數).2.直線與平面的關系是（）.（A）平行，但直線不在平面上;（B）直線在平面上；（C）垂直相交;（D）相交但不垂直.3.二元函數在點（0，0）處（）(A)不連續，偏導數存在(B)連續，偏導數不存在(C)連續，偏導數存在(D)不連續，偏導數不存在4.已知為某二元函數的全微分，則（）.（A）;（B）;（C）;（D）.5.設是連續函數，平面區域，則（）.（A）;（B）;（C）;（D）.6.設為常數，則級數（）.（A）發散;（B）絕對收斂;（C）條件收斂;（D）收斂性與的值有關.二．填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分）.1.設函數，向量，點，則_____________.2.若函數在點處取得極值，則常數____________.3.為圓的一周，則_____________.4.設，級數的收斂半徑為_____________.5.設，則_____________.6.設是以為周期的周期函數，它在區間上的定義為，則的以為周期的傅里葉級數在處收斂于_____________.三．解答下列各題（本題共7小題，滿分44分）.1.（本小題6分）設是可微函數，，求.解題過程是：2.（本小題6分）計算二重積分，其中.解題過程是：3.（本小題6分）設曲面是由方程所確定，求該曲面在點處的切平面方程及全微分.解題過程是：4.（本小題6分）計算三重積分，其中是由柱面及，，所圍成的空間區域.解題過程是：5.（本小題6分）求，其中為曲面，方向取下側.解題過程是：6.（本小題7分）求冪級數的收斂域及和函數.解題過程是：7.（本小題7分）計算，為立體的邊界。解題過程是：四．證明題（8分）.設函數在內具有一階連續導數，是上半平面內的有向分段光滑曲線，其起點為，終點為，記，（1）證明曲線積分與路徑無關;（2）當時，求的值.2007-2008年1.平面與平面的夾角為.2.函數在點處沿從點到點的方向的方向導數為.3.設是有界閉區域上的連續函數，則當時，.4.區域由圓錐面及平面圍成，則將三重積分在柱面坐標系下化為三次積分為.5.設為由曲線上相應于從到的有向曲線弧，是定義在上的連續三元函數，則對坐標的曲線積分化為對弧長的曲線積分有：______________________________________.6.將函數展開成余弦級數為__________________________________.二、單項選擇題：7~12小題，每小題3分，共18分。下列每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請將所選項前的字母填在題后的括號內.7.若有連續的二階偏導數，且(常數)，則（）(A)；(B)；(C)；(D).8.設是連續的奇函數，是連續的偶函數，區域，則下列結論正確的是（）(A)；(B)；(C)；(D).9.已知空間三角形三頂點，則的面積為（）(A)；(B)；(C)；(D).10.曲面積分在數值上等于()(A)流速場穿過曲面Σ指定側的流量；(B)密度為的曲面片Σ的質量；(C)向量場穿過曲面Σ指定側的通量；(D)向量場沿Σ邊界所做的功.11．()(A)發散；(B)條件收斂；(C)絕對收斂；(D)收斂性不能確定.12.級數的斂散性為()(A)當時，絕對收斂；（B）當時，條件收斂；(C)當時，絕對收斂；（D）當時，發散.三、解答題：13~20小題，共58分.請將解答過程寫在題目下方空白處.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.13.（本題滿分6分）設確定，求全微分.14.（本題滿分8分）求曲線在點（1,1,1）處的切線與法平面方程.15.（本題滿分8分）求冪級數的和函數.16.（本題滿分6分）計算，其中為曲面被柱面所截下的有限部分.17.（本題滿分8分）計算積分，其中為曲線上從點到沿逆時針方向的一段有向弧.18.（本題滿分8分）計算，其中是由曲面與平面圍成的有界閉區域的表面外側.19.（本題滿分8分）在第Ⅰ卦限內作橢球面的切平面，使切平面與三個坐標面所圍成的四面體體積最小，求切點坐標.20.(本題滿分6分)設均在上連續，試證明柯西-施瓦茨不等式：.2006-2007年（無答案，僅用于題型參考）選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內）.1．設三向量滿足關系式，則（）.（A）必有;（B）必有;（C）當時，必有;（D）必有.2.已知，且，則（）.（A）2;（B）;（C）;（D）1.3.設曲面，是在第一卦限中的部分，則有（）.（A）;（B）;（C）;（D）.4.曲面在點處的切平面方程是：（）.（A）;（B）;（C）;（D）.5.判別級數的斂散性，正確結果是：（）.（A）條件收斂;（B）發散；（C）絕對收斂;（D）可能收斂，也可能發散.6.平面的位置是（）.（A）平行于XOY平面;（B）平行于Z軸，但不通過Z軸;（C）垂直于Z軸;（D）通過Z軸.二、填空題（本題共4小題，每小題5分，滿分20分）.已知，則.函數在點處沿向量的方向導數是____________，函數在點處的方向導數取最大值的方向是_____________，該點處方向導數的最大值是____________.已知