2022年四川省眉山市高考文科數學一模試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1

1.（5分）設集合M={x|（尤-1）（X-5）<0},N=[x\-<%<3},則MAN等于（）

11

A.<x<l}B.{川VxW3}C.{x[l<x<5}D.{x^<x<5}

2.（5分）i是虛數單位，若3+ui=（a,Z?GR）,則a+Z?等于（）

A.-5B.-1C.1D.5

3.（5分）某高中學校學生人數和近視情況分別如圖①和圖②所示，為了解該學校學生近視

形成原因，在近視的學生中按年級用分層抽樣的方法抽取部分學生進行問卷調查，己知

抽取到的高中一年級的學生36人，則抽取到的高三學生數為（）

4.（5分）函數/（X）=x-2lnx+\的單調遞減區間為（）

1

A.（0,2）B.（0,e）C.（-,+~）D.（2,+~）

e

5.（5分）如圖，網格紙中小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該兒

2x—l

6.（5分）設在R,則“---->1”是“總>1”的（）

x

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

第1頁共21頁

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

71、

7.（5分）若aE（0,-sin2a=cos-a,則cos2a的值為（）

313

A.—pB.-Q,C.0D.一

525

8.（5分）執行如圖所示的程序框圖，輸出S=（）

/=1,a=2,S=0

|S=S+i+a|

/輸出■S/

?

A.19B.24C.26D.33

%2y2

9.（5分）已知A,b分別是橢圓方+3=1（。>6>0）的左頂點和右焦點，尸是橢圓上一

2

點，直線4P與直線/：x=合n相交于點Q,且△AF。是頂角為120°的等腰三角形，則該

橢圓的離心率為（）

1123

A.-B?—C.-D.-

3234

10.（5分）已知函數/'（X）=^+2^.若a=/（0.6°，）,&=/（log2"）,c=/（log45）,則m

b,。的大小關系為（）

A.a<b<cB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a

11.（5分）已知尸是拋物線C：J=4x的焦點，過點F的直線/與拋物線交于P,。兩點,

t*IFQI

直線I與拋物線準線1\交于點M,若PM=2FP,則=（）

431

A.3B.—C.-D.—

343

-]—，X>1)

12.(5分)已知函數f(x)=elnx，若函數y=/G)]2+(2-4〃)/G)

5—2%—%<1

+1恰有5個零點，則實數a的取值范圍是()

9494999

A.[-,——)B.(1,——)C.(1,_]D.[-,+°°)

8242488

第2頁共21頁

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）已知向量］=（1,2）,b=（r,-3）,若QJ_（a+b）,則實數t的值為.

x-y—2W0

14.（5分）已知實數x,y滿足約束條件2%+y40,則z=2x-y的最小值為.

%+1>0

15.（5分）關于函數f（x）=sin2x+cos2x,給出下列四個結論：

①n是/（x）的最小正周期；

②/G）在［0,夕的最小值是7；

③Mx）在［0,夕上是單調遞增函數；

④x=5是『（X）圖象的一條對稱軸.

其中所有正確結論的序號是.

16.（5分）如圖，A3是。。的直徑，雨垂直于所在的平面，C是圓周上不同于A,B

的任意一點，出=2,三棱錐P-A8C體積的最大值為*則當△PBC的面積最大時，線

段AC的長度為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第1?21題為必考題，

每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生依據要求作答。（-）必考題：共

60分。

17.（12分）第七次全國人口普查是對中國特色社會主義進入新時代開展的重大國情國力調

查.某地區通過摸底了解到，某小區戶數有1000戶，在選擇自主填報或入戶登記的戶數

與戶主年齡段（45歲以上和45歲及以下）分布如下2X2列聯表所示：

入戶登記自主填報合計

戶主45歲以上200

戶主45歲及以下240640

合計1000

第3頁共21頁

（1）將列聯表補充完整；通過計算判斷，有沒有95%的把握認為戶主選擇自主填報與年

齡段有關系？

（2）根據（1）中列聯表的數據，在自主填報的戶數中按照戶主年齡段用分層抽樣的方

法抽取了6戶.若從這6戶中隨機抽取2戶進行進一步復核，求所抽取的2戶中恰好有1

戶的戶主年齡在45歲以上的概率.

附表及公式：

P（片》依）0.150.100.050.0250.010

履2.0722.7063.8415.0246.635

2

其中K-=(a+b)(L)(a?c)(b+d)，a+d.

18.（12分）如圖，已知OA=10,點8是以。為圓心，5為半徑的半圓上一動點.

（1）當/AOB=120°時，求線段AB的值；

（2）若△ABC為正三角形，求四邊形OACB面積的最大值.

19.（12分）若等比數列｛即｝的各項為正，前〃項和為S”，且S2=6,“3=8.

（1）求數列｛斯｝的通項公式；

（2）若｛斯兒｝是以1為首項，1為公差的等差數列,求數列｛為｝的前般項和Tn.

20.（12分）如圖，四棱錐P-A8C。中，側面南底面ABCD,底面ABCO為梯形，AB

//DC,且AP=PO=CC=2AB=2V5,NAP￡>=NAOC=60°.AC交于點F,G為

/XPAD的重心.

（1）求證：GF〃平面PAB-.

（2）求三棱錐B-GFC的體積.

DC

第4頁共21頁

21.(12分)己知函數/(x)=axlnx+x.

(1)函數/(x)是否存在極小值？若存在，求出”的取值范圍，若不存在，說明理由；

(2)若0<aWl,求證：f(x)<ev-.

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的

第一題記分。［選修4-4：極坐標與參數方程］

22.(10分)平面直角坐標系中，曲線C的參數方程為(<p為參數)，以坐標原

點為極點,X軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，射線/的極坐標方程為。=a(0VaV*),

將射線/繞極點逆時針旋轉;后得到射線/1.設/與曲線C相交于點A,/1與曲線C交于

點B.

(1)求曲線C的極坐標方程；

(2)若2力。川2+|0引2=曲|0川.|0引，求a的值.

［選修4-5：不等式選講］(10分)

23.已知函數f(x)=|2x-4|+|x+l|.

(1)解不等式/(x)W7-x；

a?+i匕2

(2)設/'(x)的最小值為M,正實數a,b,c滿足a+b=M,求證：----+-->3.

ab+1

第5頁共21頁

2022年四川省眉山市高考文科數學一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1

1.(5分)設集合M={x|G-1)(x-5)<0},AT={A|-<x<3},則MCIN等于()

11

A.{x|^<x<l}B.{x|l<xW3}C.{x|l<x<5}D.{x^<A<5}

【解答】解：集合M={R(x-1)(x-5)<0)={x|l<x<5},

1

N={x\~<x<3},

，MnN={x[l<xW3}.

故選:B.

2.（5分），.是虛數單位，若3+出=三匕（a,b€R）,則a+b等于（)

A.-5B.-1C.1D.5

【解答】解：若3+出=牛（a,左R）,

則3+ai=(2+*T)=B.2I>

則a=-2且6=3,所以a+6=-2+3=1,

故選：C.

3.（5分）某高中學校學生人數和近視情況分別如圖①和圖②所示，為了解該學校學生近視

形成原因，在近視的學生中按年級用分層抽樣的方法抽取部分學生進行問卷調查，已知

抽取到的高中一年級的學生36人，則抽取到的高三學生數為（）

D.90

【解答】解：高一的近視學生人數為：1800X10%=180,

高二的近視學生人數為：1600X20%=320,

高三的近視學生人數為：1500X30%=450,

第6頁共21頁

36a

設抽取的高三學生人數為小則七==，

180450

解得4=90.

故選：D.

4.(5分)函數/(x)=x-2阮什1的單調遞減區間為()

1

A.(0,2)B.(0,e)C.(-,+8)D.(2,+?>)

e

【解答】由題可知，函數定義域為(0,+8),

由r=V0,

解得0<x<2,

所以函數單調遞減區間為(0,2).

故選：A.

5.(5分)如圖，網格紙中小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾

該幾何體為正四棱柱挖去一個正四棱錐，

正四棱柱的底面邊長為4,高為5,正四棱錐的底面邊長為2或，高為3.

?,?該幾何體的體積為V=4X4X5-|X2>/2X2V2X3=72.

第7頁共21頁

故選：A.

2x—l

6.（5分）設x€R,則“---->\"是“x>l”的（）

x

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2%—12x—1x—1

【解答】解：：------>10---------1>0=——>0=（X-1）x>0,；.X>1或x<0,

XXX

V{xlr>l}￡{xk>l或x<0}，

2x-l

：.------>1是x>l的必要不充分條件,

X

故選：B.

7.（5分）若aE（0,-sin2a=cos2a,則cos2a的值為（）

313

A.一百B.一C.0D.-

5

71

【解答】解：因為ae（0,

所以sina>0,cosa>0,

因為sin2a=cos2a,可得2sinacosa=cos2a,

所以2sina=cosa,即tana=,

cos^a—sin^a_1—tan^a_114

所以cos2a=

cos2a+sin2al+tan2a1+J

4

故選：D.

8.（5分）執行如圖所示的程序框圖，輸出S=（）

A.19B.24C.26D.33

【解答】解：模擬程序的運行，可得

程序運行第1次，5=1+2；

第8頁共21頁

1

第2次，S=1+2+2+京

1

第3次，S=1+2+2+^+3+(-Z)；

11

第7次，S=1+2+2+/3+（-1）+4+2+5+*+6+（-1）+7+2=33.

此時i=7,輸出，貝ijs=33.

故選：D.

x2y2

9.（5分）已知A,尸分別是橢圓二++=1（。>6>0）的左頂點和右焦點，尸是橢圓上一

a2b2

點，直線AP與直線/：相交于點Q,且△AF。是頂角為120°的等腰三角形，則該

橢圓的離心率為（）

1123

A.-B?一C.-D.一

3234

【解答】解：如圖，設直線/與x軸的交點為H,

由AAF。是頂角為120°的等腰三角形,

知|FQ|=|硒|=a+c,NQFH=60°,

于是，在RtAFQH中，尸H|=初（2|,

而丁川=弓一c=?,

山b2a+c

故—=---，

c2

又由。2=必+。2得3c2+tzc-2?2=0,

即3e2+e-2=0,

解得e=f.

故選：C.

第9頁共21頁

10.(5分)已知函數/(x)=ew+2x2.若。=/(0.6°，),/?=/(log2-),c=f(log45),則。，

b,c的大小關系為()

A.a<h<cB.c<h<aC.a<c<hD.b<c<a

【解答】解：f(x)=6a+3，x€R,

fC-x)=eM+2(-x)2=eM+Zr2=/(x),

所以f(x)為偶函數，且x>0時，，單調遞增，2f單調遞增，

所以x>0時，/(x)單調遞增，

1

所以b—f(log2-)—f(-log23)—f(log23),

由于0<0.6°-7<1,Iog23=log49>log45>l,

則a<c<b.

故選：C.

11.(5分)已知尸是拋物線C：p=4x的焦點，過點F的直線/與拋物線交于尸，Q兩點，

直線/與拋物線準線1\交于點M,若PM=2FP,則K荷=()

431

A.3B.-C.-D.一

343

【解答】解：如圖，過點P作準線的垂線交于點H,則|PF=|PH|=m(膽>0),過點Q

作準線的垂線交于點E,則|EQ|=|QF|,

'：PM=2FP,：.\PM\=2m,

根據可得二=7^-=

\PM\\QM\2

：.2\EQ\=\QM\=\EQ\+3m.：.\EQ\=\3m,即尸

.IFQI3m.

,,|FP|~m~'

故選：A.

第10頁共21頁

-工>]

12.(5分)已知函數/(x)=如匯’,若函數y=/(x)產+(2-4〃)/(x)

5—2x—x2,%<1

+1恰有5個零點，則實數〃的取值范圍是()

9494999

A.[一,—)B.(1,—)C?(1,—]D.[―,+°°)

8242488

【解答】解：當x>l時，/(%)=嬴，則/'(%)=霽三，

當l<xVe時，f(x)<0,f(x)單調遞減，當x>e時，f(x)>0,f(x)單調遞增,

則x>l時，f(x)(e)=1.當xWl時，f(x)=5-2x-/=-(x+1)2+6<6.

作出/(x)大致圖象，函數y=l/(x)『-(4a-2)/(x)+1恰有5個不同零點，

即方程,⑴(2-4a)“x)+1=0恰有5個根.令/(X)=t,則需方程L+(2-4a)

Z+l=0(*).

(/)在區間(-8,1)和⑵6)上各有一個實數根，令函數"⑺=e+(2-4a)r+1,

第"頁共21頁

a(l)=l+2-4a+lV0g49

貝M“(2)=4+2(2—4a)+lS0,解得一4aV莉.

(u(6)=36+6(2-4a)+1>0

(2)方程(*)在(1,2)和(6,+8)各有一根時，

u(l)=1+2-4a+1>0a<1

則｛“(2)=4+2(2—4a)+1<0,即，a>耳，無解.

.u(6)=36+6(2-4a)+1<0>—

Ia24

on1

(3)方程(*)的一個根為6時，可得a=/，驗證得另一根為不不滿足.

(4)方程(*)的一個根為1時，可得。=1,可知不滿足.

-94499

綜上，一<a<一?

824

故選：A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(5分)已知向量Q=(1,2),b=(r,-3),若Q_L(Q+b),則實數t的值為]

【解答】解：\?向量Q=(1,2),b=(/,-3),

/.a4-h=(1+/,-1),

Va±(a+b),

Aa?(Q+b)=1+L2=0,

解得實數，=L

故答案為：1.

(x-y—240

14.(5分)已知實數x,y滿足約束條件2%4-y<0，則z=2x-y的最小值為-4

(%+1>0

【解答】解：作出不等式組對應的平面區域如圖：

由z=2x-y得y=2x-z,解得4(-1,2),

~ry-u

平移直線y=2x-z,

由圖象可知當直線y=2x-z經過點A(-1,2)時，

直線的縱截距最大，

此時z最小，

此時z--2-2--4,

第12頁共21頁

故答案為：-4.

15.(5分)關于函數/(%)=sin2x+cos2x,給出下列四個結論:

①n是/(x)的最小正周期；

②f(X)在[0,$的最小值是-1；

TT

③在[0,萬]上是單調遞增函數；

④、=工是f(X)圖象的一條對稱軸.

其中所有正確結論的序號是①②④.

【解答】解：f(x)=sin2x+cos2x=V2sin(2x+^),

①最小正周期T=^=m即①正確；

7TTC57T

②因為工6[0,—所以2元+江—],

所以當2工+與=孚，即x=^時，函數/(x)取得最小值-1,即②正確；

③令2x+.HZZrrr-a，2Kt+引，kGZ,則x€[Kr—g-,Kt+9],keZ,

所以/G)的增區間為陽一引加+射，蛇Z,顯然[0,自不是其子集，即③錯誤；

④/1(J)=V2sin(2弓+f)=V2=/(x)max＞所以x=g是/(無)圖象的一條對稱軸，

8840

即④正確.

故答案為：①②④.

16.(5分)如圖，AB是。。的直徑，以垂直于。0所在的平面，C是圓周上不同于A,B

8

的任意一點，PA=2,三棱錐P-A8C體積的最大值為J,則當△P8C的面積最大時，線

段AC的長度為

第13頁共21頁

D

【解答】解：設48=a,則0C=￥，由以_L平面ACB,幺=2,

8

得到△ABC面積最大時，，0C1AB,三棱錐P-A8C體積的最大值為

11a?

x-xax—x2=5,解得a=4,

3223

:AB是圓。的直徑,：.ZACB=90°,：.BC±AC,

平面ACB,：.PA±BC,；.BC_L平面%C,：.BC±PC,

：.BC^PC2-PB2=PA2+AB2=20,

:&PBC=jxBCxPC<1（BC2+PC2）=5,

當且僅當BC=PC=VTU時，等號成立，

此時AC=>JPC2-PA2=V6.

故答案為：V6-

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第1?21題為必考題，

每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生依據要求作答。（一）必考題：共

60分。

17.（12分）第七次全國人口普查是對中國特色社會主義進入新時代開展的重大國情國力調

查.某地區通過摸底了解到，某小區戶數有1000戶，在選擇自主填報或入戶登記的戶數

與戶主年齡段（45歲以上和45歲及以下）分布如下2X2列聯表所示：

入戶登記自主填報合計

戶主45歲以上200

戶主45歲及以下240640

合計1000

（1）將列聯表補充完整；通過計算判斷，有沒有95%的把握認為戶主選擇自主填報與年

齡段有關系？

（2）根據（1）中列聯表的數據，在自主填報的戶數中按照戶主年齡段用分層抽樣的方

法抽取了6戶.若從這6戶中隨機抽取2戶進行進一步復核，求所抽取的2戶中恰好有1

第14頁共21頁

戶的戶主年齡在45歲以上的概率.

附表及公式：

p(心知)0.150.100.050.0250.010

ko2.0722.7063.8415.0246.635

2

其中K?=7上內,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【解答】解：⑴2X2列聯表：

入戶登記自主填報合計

戶主45歲以上160200360

戶主45歲以下240400640

合計4006001000

2

產“210=004x0(01X6600x04X0306-020X06x42040)=4).-630>3.8,4小1,

所以有95%的把握認為戶主選擇自主填報與年齡段有關系；

(2)依題意，在自主填報的戶數中按照戶主年齡段用分層抽樣的方法抽取了6戶，其中

年齡在45歲以上的有6x瑞=2戶，所以在45歲以下的戶主中抽取的為4戶，

記“所抽取的2戶中恰好有1戶的戶主年齡在45歲以上”為事件A,

所以尸(A)=望=得.

cj15

18.(12分)如圖，已知OA=10,點5是以。為圓心，5為半徑的半圓上一動點.

(1)當/AOB=120°時，求線段AB的值；

(2)若△ABC為正三角形，求四邊形0AC8面積的最大值.

【解答】解：(1)在aAOB中，由余弦定理得：AB2=O^+OB2-20AOBcosZAOB=

102+52-2x10x5xCOS120。=100+25-100x(-^)=175,

所以AB=56；

(2)設/AO8=a,所以4^=042+052-2.OR.OB-cosa=125-lOOcosa,

第15頁共21頁

則S四邊形QACB=SAOAB+SZ\4BC=2。4,08?sina+蛾A8?=2x10x5sina+端(125~

lOOcosa)=25sina-25V3cosa+i^=50(|sina-fcosa)+竿=50sin(a-J)

,12573

+^-'

所以當a=系時，四邊形OACB的面積取得最大值為50+片小?

19.(12分)若等比數列｛斯｝的各項為正，前〃項和為S“且52=6,“3=8.

(1)求數列｛a“｝的通項公式；

(2)若｛s力”｝是以1為首項，1為公差的等差數列，求數列｛d)的前八項和T,t.

【解答】解：(1)由題意知，公比gWl,

」a(l-Q2)

由52=6,。3=8,得Za--1------=6,〃i/9=8,

l-q

解得行一號或2，

因為等比數列｛飆｝的各項為正，所以夕>0,所以q=2,ai=2,

故數列｛a”｝的通項公式為如=〃0-1=2".

(2)設Cn=%6”，則｛c“是以I為首項，1為公差的等差數列，

所以Cn=l+(〃-1A1=〃，

所以“

所以刀尸*+最+亳+…+條占+矣①，

?'尸共+條+>…+展+券勖

①-②得,，嗎+會+會+-“+去一+1=吟￥」一向=—(扔一聲，

所以〃=2X[1—6尸一令]=2一字.

20.(12分)如圖，四棱錐P-A8CO中，側面以.底面A8CD,底面ABC。為梯形，AB

//DC,且AP=PQ=CD=2AB=2V5,ZAPD=ZADC=60°.AC交BD于點F,G為

△BAD的重心.

(1)求證：GF〃平面PAB-,

(2)求三棱錐B-GFC的體積.

第16頁共21頁

由底面A8CD為梯形，AB//CD,CD=2AB,

DFDC2

：./\ABF/\CDF,則一=—=

FBAB1

DG2DFDG2

又由G為△以￡）的重心，=則—=—=

GE1FBGE1

所以GF//EB.

而GRt平面PAB,EBu平面PAB,

所以GF〃平面PAB.

(2)解：由AP=PO,NAPO=60°,則△以力為正三角形.

又AO=PD=OC,NAOC=60°.所以△4OC為正三角形.

因為平面力。_L平面ABCD,平面用5平面ABCD=AD,

在△%￡)中，連接PG并延長交A。于點M,WPMLAD,所以PM_L面ABCD

FCDF22

又77=瑞=，'則％-GFC=VG-BFC=

/irrD1」

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R

因為N￡>AC=NACD=60°=NCA8,AB=V3,AC=2V3,

所以S-BC=5\AB\■\AC\?sin60°=笠.

又△AOC為正三角形，AD=2A/3,則PM=3,GM=1,

所以%TBC=,SMBC“GM|=與,

故VB-GFC—^G-ABC-冬

21.(12分)己知函數/(比)=axlnx+x.

(1)函數/CO是否存在極小值？若存在，求出。的取值范圍，若不存在，說明理由;

(2)若OVoWl,求證：f(x)V/-7+1.

【解答】(1)解：由題意/(x)=Hnx+〃+l(其中Q0),

當〃=0時，函數/(x)=x不存在極值.

a+l

當々HO時，令/(xo)=alnxo+a+\=0,則%o=e--1.

若〃>0,可知OVxVxo時，f(xo)<0,x>xo時，f(xo)>0,

則此時M為f(x)的極小值點，符合題意.

若〃<0,可知OVxVxo時，f(xo)>0,x>xo時，f(xo)<0,

則此時沖為f(x)的極大值點，不合題意.

綜上，/(x)存在極小值時，。的取值范圍是(0,+8).

(2)證明：由不等式/(x)V，-/+1得ox歷x+fv/-尤+1(其中冗〉0),

一一^alnxex-x+l,

即證明——+1<——(其中x>0).

x

令“(X)=+1,v(x)=ex：+l，只需證明u(x)max<V(X)加〃即可.

又u'(%)="Q0<aWl,則0<x<e時，ii(x)>0；x>e時，u(x)<0.

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則x=e時，"(x)取得極大值，即"(x)的極大值為“(e)=微+1,也即為最大值.

由心)=竺妥1,得4乃=(el"爹(eJ+1)=(久-2y+1),

則0<x<2時，v'(%)<0；x>2時，v'(%)>0.

則x=2時，vG)取得極小值，即v(x)的極小值為"(2)=平，也即為最小值.

X

由于吟)min-U(X~)max=v(2)-u(e)=一一1

_5e—4_e(e2—5)—4

=-4e~=4eU,

CLITIXe%—%+l

即有〃(X)〃?ax〈y(X)tnin?則+1y~

XX2

所以0<aWl時，不等式/(x)成立.

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的

第一題記分。［選修4-4：極坐標與參數方程］

22.(10分)平面直角坐標系中，曲線C的參數方程為仔=：1,0(為參數)，以坐標原

(y=sin(p丁

點為極點,X軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，射線/的極坐標方程為。=a(0<aV*),

71

將射線/繞極點逆時針旋轉一后得到射線k