2023/12/26第三章3.4第1課時學習目標1.理解基本不等式的內容及證明.2.能熟練運用基本不等式來比較兩個實數的大小.3.能初步運用基本不等式證明簡單的不等式.問題導學達標檢測題型探究內容索引問題導學知識點一算術平均數與幾何平均數思考如圖，AB是圓O的直徑，點Q是AB上任一點，AQ＝a，BQ＝b，過點Q作PQ垂直于AB且交圓O于點P，連接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的長度？算術幾何知識點二基本不等式及其常見推論[思考辨析判斷正誤]√××題型探究例1

證明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R).類型一常見推論的證明證明證明∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.證明證明由例1，得a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，反思與感悟作差法與不等式性質是證明中常用的方法.跟蹤訓練1

已知a，b，c為任意的實數，求證：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.證明證明∵a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca，∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，當且僅當a＝b＝c時，等號成立.類型二用基本不等式證明不等式證明證明∵x，y都是正數，當且僅當x＝y時，等號成立.證明證明∵x，y都是正數，∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，當且僅當x＝y時，等號成立.反思與感悟利用基本不等式證明不等式的策略與注意事項(1)策略：從已證不等式和問題的已知條件出發，借助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最后轉化為所求問題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.(2)注意事項：①多次使用基本不等式時，要注意等號能否成立；②累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式時注意使用；③對不能直接使用基本不等式的證明可重新組合，形成基本不等式模型，再使用.跟蹤訓練2

已知a，b，c都是正實數，求證：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.證明證明∵a，b，c都是正實數，即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，當且僅當a＝b＝c時，等號成立.類型三用基本不等式比較大小例3某工廠生產某種產品，第一年產量為A，第二年的增長率為a，第三年的增長率為b，這兩年的平均增長率為x(a，b，x均大于零)，則答案√解析解析第二年產量為A＋A·a＝A(1＋a)，第三年產量為A(1＋a)＋A(1＋a)·b＝A(1＋a)(1＋b).若平均增長率為x，則第三年產量為A(1＋x)2.依題意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∵a＞0，b＞0，x＞0，答案解析√解析∵a＞b＞1，∴lga＞lgb＞0，綜合①②，有P<Q<R.達標檢測答案1234√5解析答案解析12345√解析對于A，當x≤0時，無意義，故A不恒成立；對于B，當x＝1時，x2＋1＝2x，故B不成立；對于D，當x<0時，不成立；1234答案解析5√解析因為a，b，c，d成等差數列，則a＋d＝b＋c，又因為a，b，c，d均大于0且不相等，1234答案解析54.lg9×lg11與1的大小關系是A.lg9×lg11>1 B.lg9×lg11＝1C.lg9×lg11<1 D.不能確定√解析∵lg9>0