突破點7用樣本估計總體(對應學生用書第167頁)提煉1頻率分布直方圖(1)頻率分布直方圖中橫坐標表示組距，縱坐標表示eq\f(頻率,組距)，頻率＝組距×eq\f(頻率,組距).(2)頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1.(3)利用頻率分布直方圖求眾數、中位數與平均數，在頻率分布直方圖中：①最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數；②中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；③平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和.提煉2莖葉圖的優點(1)所有的信息都可以從莖葉圖中得到．(2)可以幫助分析樣本數據的大致頻率分布情況.提煉3樣本的數字特征(1)眾數、中位數．(2)樣本平均數eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．(3)樣本方差s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]．(4)樣本標準差s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2]).回訪1頻率分布表或頻率分布直方圖1．(2016·山東高考)某高校調查了200名學生每周的自習時間(單位：小時)，制成了如圖7-1所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是[17.5,30]，樣本數據分組為[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根據直方圖，這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數是()圖7-1A．56 B．60C．120 D．140D[由直方圖可知每周自習時間不少于22.5小時的頻率為(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，則每周自習時間不少于22.5小時的人數為0.7×200＝140.故選D.]2．某雷達測速區規定：凡車速大于或等于70km/h的汽車視為“超速”，并將受到處罰，如圖7-2是某路段的一個檢測點對200輛汽車的車速進行檢測所得結果的頻率分布直方圖，則從圖中可以看出被處罰的汽車大約有()圖7-2A．30輛 B．40輛C．60輛 D．80輛B[由題圖可知，車速大于或等于70km/h的汽車的頻率為0.02×10＝0.2，則將被處罰的汽車大約有200×0.2＝40(輛)．]回訪2莖葉圖3．(2015·山東高考)為比較甲、乙兩地某月14時的氣溫情況，隨機選取該月中的5天，將這5天中14時的氣溫數據(單位：℃)制成如圖7-3所示的莖葉圖．考慮以下結論：圖7-3①甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫；②甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫；③甲地該月14時的氣溫的標準差小于乙地該月14時的氣溫的標準差；④甲地該月14時的氣溫的標準差大于乙地該月14時的氣溫的標準差．其中根據莖葉圖能得到的統計結論的編號為()A．①③ B．①④C．②③ D．②④B[甲地該月14時的氣溫數據分布在26和31之間，且數據波動較大，而乙地該月14時的氣溫數據分布在28和32之間，且數據波動較小，可以判斷結論①④正確，故選B.]4．(2015·湖南高考)在一次馬拉松比賽中，35名運動員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖7-4所示.圖7-4若將運動員按成績由好到差編為1～35號，再用系統抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區間[139,151]上的運動員人數是()A．3 B．4C．5 D．6B[35÷7＝5，因此可將編號為1～35的35個數據分成7組，每組有5個數據，在區間[139,151]上共有20個數據，分在4個小組中，每組取1人，共取4人．](對應學生用書第167頁)熱點題型1頻率分布直方圖題型分析：頻率分布直方圖多以生活中的實際問題為背景，考查學生運用已知數據分析問題的能力，難度中等.(2016·濰坊模擬)某高中為了解全校學生每周參與體育運動的情況，隨機從全校學生中抽取100名學生，統計他們每周參與體育運動的時間如下：每周參與運動的時間(單位：小時)[0,4)[4,8)[8,12)[12,16)[16,20]頻數24402862(1)作出樣本的頻率分布直方圖；(2)①估計該校學生每周參與體育運動的時間的中位數及平均數；②若該校有學生3000人，根據以上抽樣調查數據，估計該校學生每周參與體育運動的時間不低于8小時的人數．[解](1)頻率分布直方圖如圖所示：(2)①由數據估計中位數為4＋eq\f(26,40)×4＝6.6，8分估計平均數為2×0.24＋6×0.4＋10×0.28＋14×0.06＋18×0.02＝6.88.10分②將頻率看作概率知P(t≥8)＝0.36，∴3000×0.36＝1080.12分解決該類問題的關鍵是正確理解已知數據的含義．掌握圖表中各個量的意義，通過圖表對已知數據進行分析．提醒：(1)小長方形的面積表示頻率，其縱軸是eq\f(頻率,組距)，而不是頻率．(2)各組數據頻率之比等于對應小長方形的高度之比．[變式訓練1]某電子商務公司隨機抽取1000名網絡購物者進行調查．這1000名購物者2015年網上購物金額(單位：萬元)均在區間[0.3,0.9]內，樣本分組為：[0.3,0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，購物金額的頻率分布直方圖如下：圖7-5電子商務公司決定給購物者發放優惠券，其金額(單位：元)與購物金額關系如下：購物金額分組[0.3,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.8)[0.8,0.9]發放金額50100150200(1)求這1000名購物者獲得優惠券金額的平均數；(2)以這1000名購物者購物金額落在相應區間的頻率作為概率，求一個購物者獲得優惠券金額不少于150元的概率．[解](1)購物者的購物金額x與獲得優惠券金額y的頻率分布如下表：x0.3≤x<0.50.5≤x<0.60.6≤x<0.80.8≤x≤0.9y50100150200頻率0.40.30.280.02這1000名購物者獲得優惠券金額的平均數為：eq\f(50×400＋100×300＋150×280＋200×20,1000)＝96.4分(2)由獲得優惠券金額y與購物金額x的對應關系，有P(y＝150)＝P(0.6≤x<0.8)＝(2＋0.8)×0.1＝0.28，P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.2×0.1＝0.02，10分從而，獲得優惠券不少于150元的概率為P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.12分熱點題型2莖葉圖題型分析：結合樣本數據和莖葉圖對總體作出估計是高考命題的熱點，應引起足夠的重視，難度中等.(2016·福州模擬)長時間用手機上網嚴重影響著學生的身體健康，某校為了解A，B兩班學生手機上網的時長，分別從這兩個班中隨機抽取5名同學進行調查，將他們平均每周手機上網的時長作為樣本，繪制成莖葉圖如圖7-6所示(圖中的莖表示十位數字，葉表示個位數字)．圖7-6(1)分別求出圖中所給兩組樣本數據的平均值，并據此估計哪個班的學生平均上網時間較長；(2)從A班的樣本數據中隨機抽取一個不超過19的數據記為a，從B班的樣本數據中隨機提取一個不超過21的數據記為b，求a>b的概率．[解](1)A班樣本數據的平均值為eq\f(1,5)(9＋11＋14＋20＋31)＝17.3分由此估計A班學生每周平均上網時間17小時；B班樣本數據的平均值為eq\f(1,5)(11＋12＋21＋25＋26)＝19，由此估計B班學生每周平均上網時間較長.6分(2)A班的樣本數據中不超過19的數據a有3個，分別為9,11,14，B班的樣本數據中不超過21的數據b也有3個，分別為11,12,21，從A班和B班的樣本數據中各隨機抽取一個共有：9種不同情況，分別為(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,21)，(11,21)，(14,11)，(14,12)，(14,21)，其中a>b的情況有(14,11)，(14,12)兩種，故a>b的概率P＝eq\f(2,9).12分作莖葉圖時先要弄清“莖”和“葉”分別代表什么，根據莖葉圖，可以得到數據的眾數、中位數，也可從圖中直接估計出兩組數據的平均數大小與穩定性．[變式訓練2](名師押題)某車間20名工人年齡數據如下表：(1)求這20名工人年齡的眾數與極差；(2)以十位數為莖，個位數為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖；(3)求這20名工人年齡的方差．[解](1)由題表中的數據易知，這20名工人年齡的眾數是30，極差為40－19＝21.2分(2)這20名工人年齡的莖葉圖如下：6分(3)這20名工人年齡的平均數eq\x\to(x)＝eq\f(1,20)(19×1＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40×1)＝30，8分故方差s2＝eq\f(1,20)[1×(19－30)2＋3×(28－30)2＋3×(29－30)2＋5×(30－30)2＋4×(31－30)2＋3×(32－30)2＋1×(40－30)2]＝eq\f(1,20)×(121＋12＋3＋0＋4＋12＋100)＝12.6.12分專題限時集訓(七)用樣本估計總體[建議A、B組各用時：45分鐘][A組高考達標]一、選擇題1．(2016·山西考前模擬)某同學將全班某次數學考試成績整理成頻率分布直方圖后，并將每個小矩形上方線段的中點連接起來得到頻率分布折線圖(如圖7-7所示)，據此估計此次考試成績的眾數是()圖7-7A．100 B．110C．115 D．120C[分析頻率分布折線圖可知眾數為115，故選C.]2．(2016·濟南模擬)某校高一、高二、高三年級學生人數分別是400,320,280.采用分層抽樣的方法抽取50人，參加學校舉行的社會主義核心價值觀知識競賽，則樣本中高三年級的人數是()A．20 B．16C．15 D．14D[樣本中高三年級的人數為eq\f(280,400＋320＋280)×50＝14.]3．(2016·青島模擬)已知數據x1，x2，x3，…，x50,500(單位：kg)，其中x1，x2，x3，…，x50是某班50個學生的體重，設這50個學生體重的平均數為x,中位數為y，則x1，x2，x3，…，x50,500這51個數據的平均數、中位數分別與x，y比較，下列說法正確的是()【導學號：67722030】A．平均數一定變大，中位數一定變大B．平均數一定變大，中位數可能不變C．平均數可能不變，中位數可能不變D．平均數可能不變，中位數可能變小B[顯然500大于這50個學生的平均體重，則這51個數據的平均數一定增大，中位數可能增大也可能不變，故選B.]4．(2016·沈陽模擬)從某小學隨機抽取100名同學，現已將他們的身高(單位：厘米)數據繪制成頻率分布直方圖(如圖7-8)．若要從身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三組內的學生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從身高在[140,150]內的學生中選取的人數應為()圖7-8A．2 B．3C．4 D．5B[依題意可得10×(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.035)＝1，解得a＝0.030，故身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三組內的學生比例為3∶2∶1，所以從身高在[140,150]內的學生中選取的人數應為3.]5．(2016·鄭州模擬)某車間共有6名工人，他們某日加工零件個數的莖葉圖如圖7-9所示，其中莖為十位數，葉為個位數，日加工零件個數大于樣本均值的工人為優秀工人．從該車間6名工人中，任取2人，則至少有1名優秀工人的概率為()圖7-9A.eq\f(8,15) B.eq\f(4,9)C.eq\f(3,5) D.eq\f(1,9)C[依題意，平均數eq\x\to(x)＝eq\f(20＋60＋30＋7＋9＋1＋5,6)＝22，故優秀工人只有2人，從中任取2人共有Ceq\o\al(2,6)＝15種情況，其中至少有1名優秀工人的情況有Ceq\o\al(2,6)－Ceq\o\al(2,4)＝9種，故至少有1名優秀工人的概率P＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5)，故選C.]二、填空題6．某中學共有女生2000人，為了了解學生體質健康狀況，隨機抽取100名女生進行體質監測，將她們的體重(單位：kg)數據加以統計，得到如圖7-10所示的頻率分布直方圖，則直方圖中x的值為________；試估計該校體重在[55,70)的女生有________人．圖7-100．0241000[由5×(0.06＋0.05＋0.04＋x＋0.016＋0.01)＝1，得x＝0.024.在樣本中，體重在[55,70)的女生的頻率為5×(0.01＋0.04＋0.05)＝0.5，所以該校體重在[55,70)的女生估計有2000×0.5＝1000人．]7.某校開展“愛我海西、愛我家鄉”攝影比賽，9位評委為參賽作品A給出的分數如莖葉圖7-11所示．記分員在去掉一個最高分和一個最低分后，算得平均分為91，復核員在復核時，發現有一個數字(莖葉圖中的x)無法看清，若記分員計算無誤，則數字x應該是________．圖7-111[當x≥4時，eq\f(89＋89＋92＋93＋92＋91＋94,7)＝eq\f(640,7)≠91，∴x<4，∴eq\f(89＋89＋92＋93＋92＋91＋x＋90,7)＝91，∴x＝1.]8．(2016·淄博模擬)從甲、乙兩種樹苗中各抽測了10株樹苗的高度，其莖葉圖如圖7-12.根據莖葉圖，樹苗的平均高度較高的是__________種樹苗，樹苗長得整齊的是__________種樹苗．【導學號：67722031】圖7-12乙甲[根據莖葉圖可知，甲種樹苗中的高度比較集中，則甲種樹苗比乙種樹苗長得整齊；而通過計算可得，eq\x\to(x)甲＝27，eq\x\to(x)乙＝30，即乙種樹苗的平均高度大于甲種樹苗的平均高度．]三、解答題9．(2016·泰安二模)某校從高一年級學生中隨機抽取40名學生，將他們的期中考試數學成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數)分成如下六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，得到如圖7-13所示的頻率分布直方圖．圖7-13(1)若該校高一年級共有學生640名，試估計該校高一年級期中考試數學成績不低于60分的人數；(2)在抽取的40名學生中，若從數學成績在[40,50)與[90,100]兩個分數段內隨機選取2名學生，求這2名學生的數學成績之差的絕對值不大于10的概率．[解](1)由10×(0.005＋0.01＋0.02＋a＋0.025＋0.01)＝1，得a＝0.03.2分根據頻率分布直方圖，成績不低于60分的頻率為1－10×(0.005＋0.01)＝0.85.4分估計期中考試數學成績不低于60分的人數約為640×0.85＝544(人).6分(2)成績在[40,50)分數段內的人數為40×0.05＝2，成績在[90,100]分數段內的人數為40×0.1＝4，則記在[40,50)分數段的兩名同學為A1，A2，在[90,100]分數段內的同學為B1，B2，B3，B4.若從這6名學生中隨機抽取2人，則總的取法共有15種.8分如果2名學生的數學成績都在[40,50)分數段內或都在[90,100]分數段內，那么這2名學生的數學成績之差的絕對值不大于10，則所取2名學生的數學成績之差的絕對值不大于10的取法有(A1，A2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共7種取法，所以所求概率為P＝eq\f(7,15).12分10．(2016·鄭州一模)為了整頓道路交通秩序，某地考慮將對行人闖紅燈進行處罰．為了更好地了解市民的態度，在普通行人中隨機選取了200人進行調查，當不處罰時，有80人會闖紅燈，處罰時，得到如下數據：處罰金額x(單位：元)5101520會闖紅燈的人數y50402010若用表中數據所得頻率代替概率．(1)當罰金定為10元時，行人闖紅燈的概率會比不進行處罰降低多少？(2)將先取的200人中會闖紅燈的市民分為兩類：A類市民在罰金不超過10元時就會改正行為；B類是其他市民．現對A類與B類市民按分層抽樣的方法抽取4人依次進行深度問卷，則前兩位均為B類市民的概率是多少．[解](1)設“當罰金定為10元時，闖紅燈的市民改正行為”為事件A，2分則P(A)＝eq\f(40,200)＝eq\f(1,5).4分所以當罰金定為10元時，比不制定處罰，行人闖紅燈的概率會降低eq\f(1,5).6分(2)由題可知A類市民和B類市民各有40人，故分別從A類市民和B類市民中各抽出2人，設從A類市民中抽出的2人分別為A1，A2，從B類市民中抽出的2人分別為B1，B2.設“A類與B類市民按分層抽樣的方法抽取4人依次進行深度問卷”為事件M，8分則事件M中首先抽出A1的事件有：(A1，A2，B1，B2)，(A1，A2，B2，B1)，(A1，B1，A2，B2)，(A1，B1，B2，A2)，(A1，B2，A2，B1)，(A1，B2，B1，A2)，共6種．同理首先抽出A2，B1，B2的事件也各有6種．故事件M共有24種.10分設“抽取4人中前兩位均為B類市民”為事件N，則事件N有(B1，B2，A1，A2)，(B1，B2，A2，A1)，(B2，B1，A1，A2)，(B2，B1，A2，A1)．∴P(N)＝eq\f(4,24)＝eq\f(1,6).12分[B組名校沖刺]一、選擇題1．已知甲、乙兩組數據的莖葉圖如圖7-14所示，若它們的中位數相同，平均數也相同，則圖中的m，n的比值eq\f(m,n)＝()圖7-14A．1 B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,8) D.eq\f(2,9)C[由莖葉圖可知乙的中位數是eq\f(32＋34,2)＝33，根據甲、乙兩組數據的中位數相同，可得m＝3，所以甲的平均數為eq\f(27＋33＋39,3)＝33，又由甲、乙兩組數據的平均數相同，可得eq\f(20＋n＋32＋34＋38,4)＝33，解得n＝8，所以eq\f(m,n)＝eq\f(3,8)，故選C.]2．(2016·煙臺模擬)如圖7-15莖葉圖記錄了甲、乙兩位射箭運動員的5次比賽成績(單位：環)，若兩位運動員平均成績相同，則成績較為穩定(方差較小)的那位運動員成績的方差為()圖7-15A．4 B．3C．2 D．1C[根據莖葉圖中的數據，得：甲、乙二人的平均成績相同，即eq\f(1,5)×(87＋89＋90＋91＋93)＝eq\f(1,5)(88＋89＋90＋91＋90＋x)，解得x＝2，所以平均數為eq\x\to(x)＝90.根據莖葉圖中的數據知乙的成績波動性小，較為穩定(方差較小)，且乙成績的方差為s2＝eq\f(1,5)[(88－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2]＝2.]3．為了了解某城市今年準備報考飛行員的學生的體重情況，將所得的數據整理后，畫出了頻率分布直方圖(如圖7-16)，已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1∶2∶3，第2小組的頻數為120，則抽取的學生人數是()圖7-16A．240 B．280C．320 D．480D[由頻率分布直方圖知：學生的體重在65～75kg的頻率為(0.0125＋0.0375)×5＝0.25，則學生的體重在50～65kg的頻率為1－0.25＝0.75.從左到右第2個小組的頻率為0.75×eq\f(2,6)＝0.25.所以抽取的學生人數是120÷0.25＝480,故選D.]4．3個老師對某學校高三三個班級各85人的數學成績進行分析，已知甲班平均分為116.3分，乙班平均分為114.8分，丙班平均分為115.5分，成績分布直方圖如圖7-17，據此推斷高考中考生發揮差異較小的班級是()圖7-17A．甲 B．乙C．丙 D．無法判斷C[由于平均分相差不大，由直方圖知丙班中，學生成績主要集中在110～120區間上且平均分較高，其次是乙，分數相對甲來說比較集中，相對丙而言相對分散．數據最分散的是甲班，雖然平均分較高，但學生兩極分化，彼此差距較大，根據標準差的計算公式和性質知甲的方差大于乙的方差大于丙的方差，所以丙班的學生發揮差異較小．故選C.]二、填空題5．已知某單位有40名職工，現要從中抽取5名職工，將全體職工隨機按1～40編號，并按編號順序平均分成5組．按系統抽樣方法在各組內抽取一個號碼．(1)若第1組抽出的號碼為2，則所有被抽出職工的號碼為________；(2)分別統計這5名職工的體重(單位：kg)，獲得體重數據的莖葉圖如圖7-18所示，則該樣本的方差為________．圖7-18(1)2,10,18,26,34(2)62[(1)分段間隔為eq\f(40,5)＝8，則所有被抽出職工的號碼為2,10,18,26,34.(2)eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(59＋62＋70＋73＋81)＝69.s2＝eq\f(1,5)[(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.]6．如圖7-19是某個樣本的頻率分布直方圖，分組為[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150)，已知a，b，c成等差數列，且區間[130,140)與[140,150)上的數據個數相差10，則區間[110,120)上的數據個數為__________．圖7-1920[由頻率分布直方圖得[130,140)上的頻率為0.025×10＝0.25，[140,150)上的頻率為0.015×10＝0.15.設樣本容量為x，則由題意知0.25x－0.15x＝0.1x＝10，解得x＝100.因為a