2023年貴州省貴陽市南明區中考數學二模試卷

一、選擇題：以下每小題均有A、B、C、D四個選項，其中只有一個選項正確，請用2B

鉛筆在答題卡相應位置作答，每小題3分,共36分。

1.下列各數中，最小的數是（）

A.-3B.3C.0D.6

2.下列幾何體中，主視圖為矩形的是（

3.貴州是國內唯一兼具高海拔、低緯度、寡日照、多云霧，適宜種茶制茶條件的茶區，是

國內業界公認的高品質綠茶重要產地.2022年貴州省茶葉總產量達到454000噸.將

454000這個數用科學記數法表示為（）

A.454X103B.4.54X105C.4.54X104D.0.454X106

4.如圖，將一塊三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上，當/2=55°時，Z1的度數為

（）

A.35°B.40°C.45°D.50°

5.要使分式工有意義，則（）

a+2

A.B.aW-2C.aW2D.

6.如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A,

7.某初三學生6次立定跳遠的成績（單位：cm）如下：180,190,195,175,180,200.則

這組數據的中位數是（）

A.175B.180C.185D.195

8.如圖，在△ABC中，ZC=90°,以點8為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交BA,BC

于點M,N,再分別以點M,N為圓心，大于看心|的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作

射線BP交4c于點D若￡>C=4,則在△AB。中，AB邊上的高為（)

9.實數”，。在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論中正確的是（）

??????1：??

-3-2-10123

A.b<-2B.-a<bC.a-b<0D.a<2

10.下列四個命題，正確的是（）

①經過三點一定可以畫一個圓；

②三角形的內心是三角形三條角平分線的交點；

③三角形的外心一定在三角形的外部；

④三角形的外心到這個三角形三個頂點的距離都相等.

A.①②B.①④C.②④D.③④

11.“綠水青山就是金山銀山”這一科學論斷，成為樹立生態文明觀、引領中國走向綠色

發展之路的理論之基.小張在數學活動課上用正方形紙片制作成圖①的“七巧板”，設

計拼成了圖②的水杉樹樹冠.如果已知圖①中正方形紙片的邊長為4,則圖②中BC的長

為（）

圖①圖②

A.4V2-2B.2我+2C.4D.4-72

12.近來，“圍爐煮茶”這一別具儀式感和氛圍感的喝茶方式成為時下新晉網紅，如圖為

淘寶某商家從2023年2月開始共7周的“圍爐”周銷量y（個）隨時間r（周）變化的圖

象，則下列說法錯誤的是（）

B.在這7周中，周銷量增長速度最快的是第2周到第3周和第5周到第6周

C.第3周和第5周的銷量一樣

D.第1周到第5周，周銷量（個）隨時間f（周）的增大而增大

二、填空題：每題4分，共16分。

13.分解因式：x2-.

14.為深入學習貫徹黨的二十大精神，我市某中學決定舉辦“青春心向黨，奮進新征程”

主題演講比賽，該校九年級有五男三女共8名學生報名參加演講比賽.若從報名的8名

學生中隨機選1名參加比賽，則這名學生是女生的概率是.

15.如圖，點A是反比例函數y5?圖象上的一個點，過點A作A8_Lr軸，4C_L），軸，垂足

x

分別為B,C,矩形ABOC的面積為6,則k=.

16.如圖，在RtAABC中，NACB=90°,ZB=30°,AC=2,點。為AB的中點，點E

為平面內任意一點，且EC22，連接AE,DL當/AOE=90°時，AE的長

3

為_______________________.

A

B

三、解答題：本大題共9題，共計98分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟。

17.（1）iiM：（-2）2+|V3-2I+^8;

（2）解方程組：/+3了=-6

Ix-2y=4

18.2023年3月28日是第28個全國中小學生安全教育日，某校為調查本校學生對安全知

識的了解情況，從全校學生中隨機抽取若干名學生進行測試，測試后發現所有測試的學

生成績均不低于50分.將全部測試成績尤（單位：分）進行整理后分為五組（50WxV60,

604V70,70?80,80WxV90,90WxW100）,并繪制成頻數分布直方圖（如圖）.

請根據所給信息，解答下列問題：

（1）在這次調查中，一共抽取了名學生；

（2）若測試成績達到80分及以上為優秀，請你估計全校960名學生對安全知識的了解

情況為優秀的學生人數；

（3）為了進一步做好學生安全教育工作，根據調查結果，請你為學校提一條合理化建

議.

測試成績頻數直方圖

19.已知一次函數（火片0）的圖象與反比例函數y=幺的圖象相交于點A（2,m）,

X

B（n,-1）.

（1）求一次函數的表達式;

（2）直接寫出不等式kx+b〈冬的解集.

20.中國古代在公元前2世紀就制成了世界上最早的潛望鏡，西漢初年成書的《淮南萬畢

術》中有這樣的記載：“取大鏡高懸，懸水盆于其下，則見四鄰矣”.如圖①所示，其

工作方法主要利用了光的反射原理.

(1)在圖②中，48呈水平狀態，若入射角N8OC=30°,ZOAD=\5°(入射角等于

反射角，OC，為法線)，則度；

(2)在(1)的條件下，若AB=10戈米，求點A到OB的距離.

圖①圖②

21.某超市用1000元購進一批商品，很快銷售完畢，接著又用1100元購進第二批商品，已

知兩批商品的數量相等，且第一批商品每件的進貨價比第二批商品每件進貨價少1元.

(1)這兩批商品進貨價每件各是多少元？

(2)第一批商品以每件16元全部售出后，若想兩批商品所得的利潤率不低于50%,則

第二批商品每件的售價最少為多少元？

22.如圖，在菱形48C3中，對角線AC、8。相交于點O,DE//AC,DE=OC.

(1)求證：四邊形AOOE是矩形；

(2)若AB=8,/ABC=60°,求四邊形ACDE的面積.

E

23.如圖，AB是0。的直徑，弦CDA.AB于點E,點M在。。上，MO恰好經過圓心0,

連接M8.

(1)根據條件，寫出一對相等的線段或相等的角；

(2)若C￡>=16,BE=4,求。0的半徑；

(3)若的半徑是(2)中求得的半徑，且諭=麗，求命的長.

24.使得函數值為。的自變量的值稱為函數的零點.例如，對于函數y=x+3,令y=0可得

x=-3,我們說-3是函數y=x+3的零點，此時，(-3,0)就稱為該零點所對應的點.

(1)已知二次函數y=r-5,求該二次函數的零點；

(2)已知二次函數、=必-4權-2(a+1)(。為常數)，小蘭算出該二次函數只有一個

零點，你覺得對嗎？請說明理由：

(3)已知-2是二次函數y=x2-4ar-2(?+1)的一個零點.在x軸的下方是否存在一

個點M,與該函數的頂點、兩個零點所對應的點組成一個平行四邊形？若存在，請求出

點M的坐標；若不存在，請說明理由.

25.如圖，在矩形A8CC中，已知AB=3,BC=4.

(1)如圖①，將矩形沿對角線BO折疊，使得點C落在點C處，與BC相交

于點E,則BE與DE的數量關系是；

(2)如圖②，點E,尸分別是AB,BC邊上的點，將△8EF折疊，使得點B正好落在

4。邊上的夕點，過B'作夕HLBC,交EF于點G.若AB，=2,求G”的長.

(3)如圖③，點E,F分別是AB,BC邊上的點，將aBEF折疊，使得點B正好落在

邊上的夕點，當點E,尸分別在AB,BC上移動時，點B也在邊上隨之移動，

請直接寫出。夕的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：以下每小題均有A、B、C,D四個選項，其中只有一個選項正確，請用2B

鉛筆在答題卡相應位置作答，每小題3分，共36分。

I.下列各數中，最小的數是（）

A.-3B.3C.0D.6

【分析】根據負數都小于0,正數都大于0解答即可.

解：???-3是負數，

/.-3<0,

-3<0<3<6.

故選：A.

【點評】本題考查的是有理數的大小比較，熟知有理數大小比較的法則是解題的關鍵.

2.下列幾何體中，主視圖為矩形的是（）

【分析】根據主視圖是從物體正面看，所得到的圖形，分別得出四個幾何體的主視圖,

即可解答.

解：A、四棱錐的主視圖是三角形，不合題意；

8、圓錐的主視圖是等腰三角形，不符合題意；

C、圓柱的主視圖是矩形，符合題意；

。、圓臺的主視圖是等腰梯形，不符合題意.

故選：C.

【點評】本題考查了簡單幾何體的主視圖，注意主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體

正面、左面和上面看，所得到的圖形.

3.貴州是國內唯一兼具高海拔、低緯度、寡日照、多云霧，適宜種茶制茶條件的茶區，是

國內業界公認的高品質綠茶重要產地.2022年貴州省茶葉總產量達到454000噸.將

454000這個數用科學記數法表示為（）

A.454X103B.4.54X105C.4.54X104D.0.454X106

【分析】科學記數法的表示形式為aXl（T的形式，其中lW|a|<10,〃為整數.確定n

的值時，要看把原數變成。時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數

相同.當原數絕對值210時，〃是正整數；當原數的絕對值<1時，"是負整數.

解：454000=4.54X105.

故選:B.

【點評】本題考查了科學記數法，科學記數法的表示形式為aX10"的形式，其中lW|a|

<10,〃為整數.確定〃的值時，要看把原來的數，變成。時，小數點移動了多少位，”

的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值210時，〃是正數；當原數的絕對值

VI時，〃是負數，確定。與〃的值是解題的關鍵.

4.如圖，將一塊三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上，當22=55°時，Z1的度數為

【分析】如圖，由AB〃。知N2=N3=55°,繼而得N4=180°-90°-Z3=35°,

再根據/I=/4可得答案.

解：如圖，

■:AB//CD,

；./2=/3=55°,

Z4=18O°-90°-Z3=35°,

；./l=N4=35°,

【點評】本題主要考查平行線的性質，解題的關鍵是掌握兩直線平行同位角相等，兩直

線平行內錯角相等的性質.

5.要使分式二■有意義，則（）

a+2

A.aWOB.a#-2C.a#2D.aWl

【分析】根據分式有意義的條件是分母不等于零，進而得出答案.

解：要使分式二■有意義，

則〃+2#0,

解得：-2.

故選：B.

【點評】此題主要考查了分式有意義的條件，正確掌握分式有意義的條件是解題關鍵.

6.如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A,

B,C都在橫線上.若線段8C=4cM則線段AC的長是（）

A.4cmB.5cmC.6cmD.1cm

【分析】過點A作平行橫線的垂線，交點8所在的平行橫線于。，交點C所在的平行橫

線于E,根據平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可.

解：過點4作平行橫線的垂線，交點8所在的平行橫線于/),交點C所在的平行橫線于

E,

則獸=瞿，即學=［，

BCDE42

解得：AB=2,

.\AC=2+4=6(cm).

故選：C.

【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題

的關鍵.

7.某初三學生6次立定跳遠的成績(單位：cm)如下：180,190,195,175,180,200.則

這組數據的中位數是()

A.175B.180C.185D.195

【分析】根據題目中的數據，可以先按照從小到大排列，然后即可得到相應的中位數.

解：?.,這組數據按照從小到大排列是：175,180,180,190,195,200,

???這組數據的中位數是圾尹?=185(cm).

故選：C.

【點評】本題考查中位數，解答本題的關鍵是明確題意，利用中位數的知識解答.

8.如圖，在△4BC中，ZC=90°,以點8為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交BA,BC

于點M,N,再分別以點M,N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點尸，作

射線BP交4c于點D若￡>C=4,則在△AB。中，AB邊上的高為（）

【分析】作OH_LA8于H點，如圖，利用基本作圖得到8。平分N4BC,則根據角平分

線的性質得到DH=DC=4,從而得到AB邊上的高.

解：作DH工AB于H點,如圖，

由作法得8。平分NABC,

ffijDC1BC,DHA.AB,

：.DH=DC=4,

即在△ABO中，AB邊上的高為4.

故選：B.

【點評】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關鍵.也考

查了角平分線的性質.

9.實數”，人在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論中正確的是（）

-3-2-I0123

A.b<-2B.-a<bC.a-b<0D.a<2

【分析】利用數軸比較數的大小逐個判斷即可.

解：4、V-2</?<-1,故A不正確；

B、V2<a<3,???-3V-〃V-2,A-a<b,故8正確；

C、???〃在匕的右邊，???a>b,故。不正確；

V2<tz<3,故。不正確.

故選：B.

【點評】本題考查了實數的比較，數軸的性質是解題關鍵.

10.下列四個命題，正確的是（）

①經過三點一定可以畫一個圓；

②三角形的內心是三角形三條角平分線的交點；

③三角形的外心一定在三角形的外部；

④三角形的外心到這個三角形三個頂點的距離都相等.

A.①②B.①④C.②④D.③④

【分析】根據確定圓的條件、三角形的內心和外心的概念判斷.

解：①經過不在同一直線上的三點一定可以畫一個圓，故本小題說法錯誤；

②三角形的內心是三角形三條角平分線的交點，說法正確；

③鈍角三角形的外心一定在三角形的外部，直角三角形的外心是斜邊的中點，銳角三角

形的外心在三角形的內部，故本小題說法錯誤；

④三角形的外心到這個三角形三個頂點的距離都相等，說法正確；

故選：C.

【點評】本題考查的是命題的真假判斷，掌握確定圓的條件、三角形的內心和外心的概

念是解題的關鍵.

11.“綠水青山就是金山銀山”這一科學論斷，成為樹立生態文明觀、引領中國走向綠色

發展之路的理論之基.小張在數學活動課上用正方形紙片制作成圖①的“七巧板”，設

計拼成了圖②的水杉樹樹冠.如果已知圖①中正方形紙片的邊長為4,則圖②中8c的長

為（）

|版)圖②

A.4V2-2B.2&+2C.4D.472

【分析】過A作AELMN于E,根據等腰直角三角形的性質得到AE=/MN=23?),

HF=BF=(~BE=2近(cm),于是得到結論.

解：如圖，過4作于E,

'：MN=BH=4cm,

：.AE=^MN=2(cm),HF=BF=叵BE=2近(cm),FG+FG=4cm,

FG=2cm,C尸=2,

BC=BF+CF—4y/2cm

故選：。.

【點評】本題考查了正方形的性質和勾股定理的應用，正確的識別圖形是解題的關鍵.

12.近來，“圍爐煮茶”這一別具儀式感和氛圍感的喝茶方式成為時下新晉網紅，如圖為

淘寶某商家從2023年2月開始共7周的“圍爐”周銷量y（個）隨時間/（周）變化的圖

B.在這7周中，周銷量增長速度最快的是第2周到第3周和第5周到第6周

C.第3周和第5周的銷量一樣

D.第1周到第5周，周銷量（個）隨時間f（周）的增大而增大

【分析】根據圖象逐項分析即可.

解：由圖象可知：

第1周銷量最低，是500個，故選項A不合題意；

在這7周中，周銷量增長速度最快的是第2周到第3周和第5周到第6周，均增長1000

個，故選項8不合題意；

第3周和第5周的銷量一樣，故選項C不合題意；

第1周到第4周，周銷量（個）隨時間f（周）的增大而增大，第4周到第5周，周銷量

（個）隨時間f（周）的增大而減少，故選項。符合題意.

故選：D.

【點評】本題考查了函數圖象，觀察函數圖象的縱坐標得出銷量，觀察函數圖象的橫坐

標得出第幾周，利用數形結合的方法是解答本題的關鍵.

二、填空題：每題4分，共16分。

13.分解因式：%2-1=（x+1）（x-1）.

【分析】利用平方差公式分解即可求得答案.

解：A2-1—（X+1）（X-1）.

故答案為：（X+D（%-1）.

【點評】此題考查了平方差公式分解因式的知識.題目比較簡單，解題需細心.

14.為深入學習貫徹黨的二十大精神，我市某中學決定舉辦“青春心向黨，奮進新征程”

主題演講比賽，該校九年級有五男三女共8名學生報名參加演講比賽.若從報名的8名

學生中隨機選1名參加比賽，則這名學生是女生的概率是-I.

一8-

【分析】根據概率公式直接求解即可.

解：?.?該校九年級有五男三女共8名學生報名參加演講比賽，

，這名學生是女生的概率是看

故答案為：

【點評】本題考查了概率公式，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

15.如圖，點A是反比例函數y上圖象上的一個點，過點A作軸，AC，），軸，垂足

X

分別為8,C,矩形A80C的面積為6,則k=-6.

【分析】由于點A是反比例函數y=區上一點，矩形ABOC的面積5=|川=6,則無的值

X

即可求出.

解：由題意得：S矩形ABOC=|Z|=6,

???雙曲線位于第二、四象限，

.\k=-6,

故答案為：-6.

【點評】本題主要考查了反比例函數y=K圖中&的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引

x

X軸、y軸垂線，所得矩形面積為因，是經常考查的一個知識點.

16.如圖，在RtAABC中，ZACB=90",ZB=30°,AC=2,點。為A8的中點，點E

為平面內任意一點，且EC5^，連接AE,DE.當NAQE=90°時，AE的長為

4愿徜2亞

【分析】根據題意以點C為坐標原點，CB所在直線為x軸，。所在直線為)，軸建立平

面直角坐標系，得C(0,0),A(0,2),8(2禽，0),。(?,1),設E(x,y),

根據勾股定理和得到方程求出％V的值，再利用兩點間距離公式即可解決

問題.

解：在RtZ\4BC中，NACB=90°,

?.?/B=30°,AC=2,

：.AB=2AC=4,BC=MAC=2M，

；點。為AB的中點，

：.AD=BD=2,

如圖，以點C為坐標原點，CB所在直線為x軸，CA所在直線為)，軸建立平面直角坐標

系，

：.C(0,0),A(0,2),B(2?,0),

?.?點。為A3的中點，

：.D(百，1),

設E(x,y),

.,.C￡2=x2+y2=-1,

VA￡2=(x-0)2+(y-2)2,DEr=(x-依)？+(1-y)2,AD2=4,NADE=90°,

根據勾股定理得：AE2=DE2MD2,

Cx-0)2+(y-2)2=(x-^/3)2+(1-y)2+4,

整理得：y=我無-2,

將產后--2代入/+9=母整理得，

O

/-標+%。,

O

解得M=2Z1_,及=返，

33

?5=0,y2=-1,

：.E（當叵,0）或（返，-1）,

33

：.AEr=（&&）2+22=西或A/=（逅）2+（2+1）2=—,

3333

&或AE=R五...

33

【點評】本題考查了勾股定理的應用，含30度角的直角三角形，兩點間距離公式，有一

定難度，關鍵是建立平面直角坐標系解決問題.

三、解答題：本大題共9題，共計98分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟。

17.（1）iiM：（-2）2+|V3-2I+^8;

⑵解方程組：儼+3丫=-6

Ix-2y=4

【分析】（1）先根據有理數的乘方，絕對值和立方根的定義進行計算，再算加減即可;

（2）②X2-①得出-7y=14,求出y,再把y=-2代入②求出x即可.

解：⑴（一2產+|百一2|+0；

=4+2-73-2

=4-?；

/2x+3y=-6①

Ix-2y=4②

②X2-①，得-7y=14,

解得：y=-2,

把y=-2代入②，得x+4=4,

解得：x=0,

所以方程組的解是(x=°.

ly=-2

【點評】本題考查了實數的混合運算和解二元一次方程組，能正確根據實數的運算法則

進行計算是解此題的關鍵，能把二元一次方程組轉化成一元一次方程是解此題的關鍵.

18.2023年3月28日是第28個全國中小學生安全教育日，某校為調查本校學生對安全知

識的了解情況，從全校學生中隨機抽取若干名學生進行測試，測試后發現所有測試的學

生成績均不低于50分.將全部測試成績單位：分)進行整理后分為五組(50Wx<60,

60Wx<70,70WxV80,80Wx<90,90WxW100),并繪制成頻數分布直方圖(如圖).

請根據所給信息，解答下列問題：

(1)在這次調查中，一共抽取了40名學生:

(2)若測試成績達到80分及以上為優秀，請你估計全校960名學生對安全知識的了解

情況為優秀的學生人數；

(3)為了進一步做好學生安全教育工作，根據調查結果，請你為學校提一條合理化建

議.

測試成績頻數直方圖

【分析】(1)把各組頻數相加即可;

(2)利用樣本估計總體即可；

(3)根據(2)的結論解答.

解：(1)4+6+10+12+8=40(名),

故答案為：40；

(2)960Xl^_=480(名)，

40

故優秀的學生人數約為480名：

(3)加強安全教育，普及安全知識：通過多種形式，提高安全意識，結合校內，校外具

體活動，提高避險能力.

【點評】本題主要考查頻數分布直方圖及樣本估計總體，解題的關鍵是根據直方圖得出

解題所需數據及樣本估計總體思想的運用.

19.已知一次函數(ZW0)的圖象與反比例函數的圖象相交于點A(2,加)，

X

B(w,-1).

(1)求一次函數的表達式；

(2)直接寫出不等式kx+b〈g的解集.

x

【分析】(1)把A、8兩點代入反比例函數解析式，求出加、〃的值，再把兩點坐標值

代入一次函數解析式，求出％、b的值；

(2)畫出兩函數圖象，按圖象寫出不等式的解集.

解：(1)?.?點A、B在反比例函數的圖象上，A(2,小)，8(〃，-1),

/.2m=-幾=4,

??771==2,tl:=-4,

AA(2,2),B(-4,-1),

點4、B在一次函數圖象上，

二分別把A(2,2),B(-4,-1),代入尸履+A得12k+b=2,

I-4k+b=-l

解得?2,

b=l

一次函數的解析式是：

(2)畫出圖象如圖所示：

由圖象可知：不等式kx+b〈國的解集是x<-4或0Vx<2.

x

【點評】本題考查了用待定系數法求一次函數、反比例函數和一次函數交點的問題，數

形結合是解題的關鍵.

20.中國古代在公元前2世紀就制成了世界上最早的潛望鏡，西漢初年成書的《淮南萬畢

術》中有這樣的記載：“取大鏡高懸，懸水盆于其下，則見四鄰矣”.如圖①所示，其

工作方法主要利用了光的反射原理.

(1)在圖②中，AB呈水平狀態，若入射角NBOC=30°,ZOAD=\5Q(入射角等于

反射角，OC,AO為法線)，則90度;

(2)在(1)的條件下，若AB=10%米，求點A到。8的距離.

圖①圖②

【分析】(1)由題意可知，ADLAB,直接寫出乙弘。的度數即可；

(2)過點A作于點E,根據題意可得/4。8=60°,進而求得NOAB=75°,

根據三角形內角和定理可得N8=180°-ZAOB-ZOAB=45°,以此可證明AAEB為

等腰直角三角形，則AE=A8?sinN8,即可求解.

解：（1）VAD1AB,

AZBAD=90°；

故答案為：90；

（2）如圖，過點A作4E_LO8于點E,

???入射角N8OC=30°,入射角等于反射角，

AZAOC=ZBOC=30°,

???NAO8=NAOC+N8OC=60°,

9

：AD_LABfZOAD=i5°,

???NOA3=75°,

/.ZB=I8O°-ZAOB-ZOAB=45°,

u

：AE_LOBf

???△AE8為等腰直角三角形，

在RtZiABE中，A8=1（X/^米，AE=AB*sinZB=lo/g^~^~=10^3（米）.

.?.點A到02的距離為10我米.

【點評】本題主要考查解直角三角形的應用，根據題意正確構造出直角三角形，由三角

形內角和定理求出/B=45°是解題關鍵.

21.某超市用1000元購進一批商品，很快銷售完畢，接著又用1100元購進第二批商品，已

知兩批商品的數量相等，且第一批商品每件的進貨價比第二批商品每件進貨價少1元.

（1）這兩批商品進貨價每件各是多少元？

（2）第一批商品以每件16元全部售出后，若想兩批商品所得的利潤率不低于50%,則

第二批商品每件的售價最少為多少元？

【分析】（1）設第一批拖鞋進貨價每雙是x元，則第二批拖鞋進貨價每雙是（x+1）元，

利用數量=總價+單價，結合購進兩批拖鞋的數量相等，即可得出關于x的分式方程，

解之經檢驗后，可得出第一批拖鞋進貨單價，再將其代入（x+1）中，可求出第二批拖鞋

進貨單價；

（2）利用數量=總價+單價，可求出第一批及第二批購進拖鞋的數量，設第二批拖鞋的

售價為y元/雙，利用總利潤=銷售單價x銷售數量-進貨總價，結合兩批所得的利潤不

低于50%,即可得出關于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結論.

解：（1）設第一批拖鞋進貨價每雙是x元，則第二批拖鞋進貨價每雙是（x+1）元，

根據題意得：啜筆

解得：X—10,

經檢驗，x=10是所列方程的解，且符合題意，

/.x+1=10+1=11.

答：第一批拖鞋進貨價每雙是10元，第二批拖鞋進貨價每雙是11元.

（2）第一批及第二批購進拖鞋的數量為10004-10=100（雙）.

設第二批拖鞋的售價為y元/雙，

根據題意得：16X100-lOOO+lOOy-1100^（1000+1100）X50%,

解得：y215.5,

的最小值為15.5.

答：第二批拖鞋的售價最少為15.5元/雙.

【點評】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）

找準等量關系，正確列出分式方程；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不

等式.

22.如圖，在菱形ABC。中，對角線AC、BO相交于點。，DE//AC,DE=OC.

（1）求證：四邊形4ODE是矩形；

（2）若AB=8,ZABC=60°,求四邊形AC￡>E的面積.

BC

【分析】（1）先證四邊形AODE為平行四邊形，再由ABCD是菱形的性質得

90°,即可得出結論;

（2）根據菱形的性質求出A。，OA,由勾股定理得出的長，再根據梯形的面積公式

即可解決問題.

【解答】（1）證明：AC,

：.ZEDA=ZDAC,

?.,菱形ABCD,

：.DE=OC,ACLBD,

/.ZAOD=90°,

在△E4。和△AOO中,

ED=OC

<ZEDA=ZDAC?

AO=ED

：./\EAD^/^AOD(ASA),

：.AE=OD,

四邊形AODE是平行四邊形，

：四邊形ABC。是菱形，

：.AC±BD,

：.ZAOD=90°,

二四邊形AOOE是矩形；

(2)解：?..四邊形A8CO是菱形，

：.AD=AB=BC=S,OA=OC,ACLBD,

?：ZABC=60°,

r.^ABC是等邊三角形，

：.AC=AB=S,

；.OA=」AC=4,

2

在RtZiAO。中，由勾股定理得：OD=YkN卜2={g2_心=啦,

由(1)得：四邊形4OOE是矩形，

四邊形ACQE的面積=(QE+AC)XAEX^=(4+8)X4?X^=24愿.

【點評】本題考查了矩形的判定與性質、菱形的性質、平行四邊形的判定與性質、勾股

定理等知識，熟練掌握矩形的判定與性質是解題的關鍵.

23.如圖，AB是。。的直徑，弦CDLAB于點E,點"在。。上，恰好經過圓心O,

連接MB.

(1)根據條件，寫出一對相等的線段或相等的角；

(2)若CZ)=16,BE=4,求的半徑；

(3)若。0的半徑是(2)中求得的半徑，且標=奇，求俞的長.

【分析】(1)根據垂徑定理可得相等的線段；

(2)設。。的半徑為r,根據垂徑定理，由AB_LCZ)得到。E=3CZ)=8,在Rt^ODE

中，利用勾股定理得(r-4)2+82=/，解得r=I0,所以。0的半徑為10；

(3)由OM=OB得到根據三角形外角性質得例=2/8,則

2ZB+ZD=90°,加上N8=NZ),所以2/￡>+/。=90°,然后解方程即可得/。的度

數，即可得出NCOD的度數，根據弧長的計算公式即可得到結論.

解：(1)是。0的直徑，弦CDA.AB于點E,

:.CE=DE；

(2)設。。的半徑為r,

'：ABLCD,

：.CE=DE^—CD=—X16=8,

22

在RtZXOQE中，OE=OB-BE=r-4,OD=r,

VOERDE2=<9D2,

222

/.(r-4)+S=rf解得r=10,

.??O。的半徑為10；

(3)如圖，連接OC,

*：OM=OB,

：./B=NM,

：.ZDOB=NB+NM=2NB,

VZDOE+ZD=90°,

：.2ZB+ZD=90°,

???2NO+NO=90°,

AZD=30°,

???NOOE=60°,

：.ZCOD=\20°,

弧CAD的長為24°?1°="兀.

1803

【點評】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，弧長的計算等，運用方程思想是解題的關

鍵.

24.使得函數值為0的自變量的值稱為函數的零點.例如，對于函數y=x+3,令y=O可得

%=-3,我們說-3是函數y=x+3的零點，此時，(-3,0)就稱為該零點所對應的點.

(1)已知二次函數y=/-5,求該二次函數的零點；

(2)已知二次函數、=必-4依-2(?+1)(。為常數)，小蘭算出該二次函數只有一個

零點，你覺得對嗎？請說明理由；

(3)已知-2是二次函數ynV-dar-Z(?+1)的一個零點.在x軸的下方是否存在一

個點M,與該函數的頂點、兩個零點所對應的點組成一個平行四邊形？若存在，請求出

點M的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)令y=f-5=0,則l=土泥，即可求解；

(2)由4=(-4a)2+831)=4(a+1)2+12a2+4>0,即可求解；

(3)求出這兩個零點對應的點的坐標為：(-2,0)、(￡，0),當為對角線時，

由中點坐標公式列出方程組，即可求解；當或PN為對角線時，可解.

解：(1)令y=N-5=0,則x=土收，

即函數的零點為：泥和-遙；

(2)小蘭計算錯誤，應該有兩個零點，理由：

令y=/-4or-2(。+1)=0,

貝!JA=(-4a)2+8(a+1)=4(〃+1)2+12a2+4>0,

則方程有兩個不相等的實數根，即二次函數有2個零點，

故小蘭計算錯誤；

(3)存在，理由:

當x=-2時，y=j(?-4ox-2(。+1)=6〃+2=0,

則〃=一5，

則拋物線的表達式為：y=x2^x-去

Oo

令丫=爐+字-等=0,則x