第六模塊四邊形綜合

【課標要求】

四邊形

(1)了解多邊形的定義，多邊形的頂點、邊、內角、外角、對角線等概念；探索并

掌握多邊形內角和與外角和公式.

(2)理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它們之間的關系；了解四

邊形的不穩定性.

(3)探索并證明平行四邊形的性質定理：平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角

線互相平分；探索并證明平行四邊形的判定定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平

行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平

行四邊形.

(4)了解兩條平行線之間距離的意義，能度量兩條平行線之間的距離.

(5)探索并證明矩形、菱形、正方形的性質定理：矩形的四個角都是直角，對角線

相等；菱形的四條邊相等，對角線互相垂直；以及它們的判定定理：三個角是直角的

四邊形是矩形，對角線相等的平行四邊形是矩形；四邊相等的四邊形是菱形，對角線

互相垂直的平行四邊形是菱形.正方形具有矩形和菱形的一切性質.

【考點梳理】

考點一：多邊形

(1)多邊形的定義：在平面內，由若干條不在同一條直線上的線段；首尾順次相接

組成的封閉圖形叫做多邊形，在多邊形中，組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊，

每相鄰兩條邊的公共點叫做多邊形的頂點，連接不相鄰兩個頂點的線段叫做多邊形的

對角線。

(2)多邊形的內角和:n邊形的內角和=(n—2)180°

(3)正多邊形：在平面內，內角都相等，邊也相等的多邊形叫做正多邊形.

(4)多邊形的外角：多邊形內角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角，叫做這

個多邊形的外角.在多邊形的每個頂點處取這個多邊形的一個外角，它們的和叫做

多邊形的外角和，多邊形的外角和都等于360°

(5)過n邊形的一個頂點共有(n—3)條對角線，n邊形共有四二2條對角線.

2

(6)過n邊形的一個頂點將n邊形分成(n—2)個三角形.

考點二：相似多邊形

(1)定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.

(2)相似多邊形的性質：

①相似多邊形的周長的比等于相似比；

②相似多邊形的對應對角線的比等于相似比；

③相似多邊形的面積的比等于相似比的平方；

④相似多邊形的對應對角線相似，相似比等于相似多邊形的相似比.

考點三：平行四邊形的性質與判定

1.平行四邊形是四邊形中應用廣泛的一種圖形，它是研究特殊四邊形的基礎，是研究

線段相等、角相等和直線平行的根據之一.

2.平行四邊形的定義:兩組對邊分別的四邊形是平行四邊形.

3.兩條平行線間的距離：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的，叫做

兩條平行線間的距離.兩條平行線間的距離是一個定值，不隨垂線段位置改變而改變,

兩條平行線間的距離處處.

4.平行四邊形的性質：ABJLCD

AD^BC

平行四邊形的兩組對邊分別；―^ABC=ZADC

平行四邊形的兩組對邊分別；符號詰NDAB=NDCB

平行四邊形的兩組對角分別；匕一OA=OC=~AC

平行四邊形的對角線互相.

平行四邊形的鄰角.

5.平行四邊形的判定：

兩組對邊分別的四邊形是平行四邊形；

兩組對邊分別的四邊形是平行四邊形；

一組對邊且的四邊形是平行四邊形；

對角線互相的四邊形是平行四邊形.

符號語言表達：

AB/7CD.BC〃AD=四邊形ABCD是平行四邊

AB=CD,BC=AD=四邊形ABCD是平行四邊形.

AB平行且相等CD或BC平行且相等AD=四邊形ABCD是平行四邊形.

OA=OC,OB=OI)=四邊形ABCD是平行四邊形.

考點四、特殊的平行四邊形

1.性質：

(1)矩形：①矩形的四個角都是：②矩形的對角線；③矩形具有平行四邊

形的所有性質.

(2)菱形：①菱形的四條邊都；②菱形的對角線互相，并且每條對角線

平分一組：③具有平行四邊形所有性質.

(3)正方形：①正方形的四個角都是，四條邊都；②正方形的兩條對角

線，并且互相，每條對角線平分一組.

2.判定：

(1)矩形：①有一個角是直角的四邊形是矩形；②對角線的平行四邊形是矩形；③

有個角是的四邊形是矩形.

(2)菱形：①對角線的平行四邊形是菱形：②一組鄰邊的平行四邊是

菱形；③條邊都相等的四邊形是菱形.

(3)正方形：①有一個角是的菱形是正方形；②有一組鄰邊的矩形是方

形；③對角線相等的是正方形；④對角線互相垂直的是正方形.

3.面積計算：

(1)矩形：5=長*寬；

(2)菱形：S=L-l,(小4是對角線)

2

(3正方形：S=邊長2

4.平行四邊形與特殊平行四邊形的關系

【應用策略】

1.中點①直角三角形斜邊中線等于斜邊一半；②三角形中位線；③中點平行構造三

角形全等；④倍長中線

①往角的兩邊做垂直，垂線段相等；②角平分線，平行，等腰三角形相互轉換；③往

角兩邊截取等線段證全等；④過角平分線某點做角平分線的垂線，出現等腰三角形

例1.如圖，Z^ABC中，D是AB上一點，DE_LAC于點E,F是AD的中點，FG_LBC于

點G,與DE交于點H,若FG=AF,AG平分NBAC,連接GE,；GD.

(1)求證：△ECGZ/XGHD

(2)小亮同學經過探究發現：AD=AC+EC.請你幫助小亮同學證明這一結論.

(3)若NB=30°,判定四邊形AEGF是否為菱形，并說明理

由.

例2.己知兩個等腰Rtz^ABC,Rt^CEF有公共頂點C,ZABC=ZCEF=90°,連接AF,

M是AF的中點，連接MB、ME.

(1)如圖1,當CB與CE在同一直線上時，求證：MB〃CF；

(2)如圖2,當/BCE=45°時，求證：BM=ME.

例3.已知，如圖(1)在平行四邊形ABCD中，點E,F分別在BC,CD上，且AE=AF,

ZAEC=ZAFC.

(1)求證：四邊形ABCD是菱形.

(2)如圖(2),若AD=AF,延長AE,DC交于點G,求證：AF2AG*DF.

(3)在第(2)小題的條件下，連接BD,交AG于點H,若HE=4,EG=12,求AH的長.

跟蹤訓練1：如圖，在四邊形ABCD中，AC平分/BCD,ACXAB,E是BC的中點，AD

±AE.

(1)求證：AC2=CD?BC；

(2)過E作EG_LAB,并延長EG至點K,使EK=EB.

①若點H是點D關于AC的對稱點，點F為AC的中點，求證：FH_LGH；

②若NB=30°,求證：四邊形AKEC是菱形.

跟蹤訓練2：如圖，在正方形ABCD與等腰直角三角形BEF中，NBEF=90。，BE=EF,連

接DF,點P是FD的中點，連接PE、PC.

⑴如圖1,當點E在CB邊上時,求證：CEPE；

⑵如圖2,當點E在CB的延長線上時，線段PC、CE有怎樣的數量關系，寫出你的

猜想，并給與證明。

跟蹤訓練3：在平行ABCD中，NBAD的平分線交直線BC于點E,交直線DC于點F.

⑴在圖1中證明CE=CF；

(2)若ZABC=90。，6是￡尸的中點(如圖2),直接寫出ZBDG的度數；

(3)若NABC=120。，FG〃CE,FG=CE,分別連接DB、DG(如圖3),求NBDG的度數。

跟蹤訓練4：如圖，ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF±CB,垂足為F.

(1)求證：△ABCgZXADE；

(2)求NFAE的度數;

(3)求證：CD=2BF+DE.

跟蹤訓練5：已知在矩形ABCD中，NADC的平分線DE與BC邊交于點E,點P是線段

DE上一定點(其中EPVPD),點F是CD延長線上一點，連接PF,過點P作PGLPF,

交射線DA于點G.

(1)求證：PG=PF；(2)求證：DG=&DP+DF.

跟蹤訓練6：如圖，四邊形ABCD中，ACLBD交BD于點E,點F,M分別是AB,BC的

中點，BN平分/ABE交AM于點N,AB=AC=BD.連接MF,NF.

(1)判斷aBilN的形狀，并證明你的結論；

(2)判斷△MFN與之間的關系，并說明理由.

跟蹤訓練7：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AD=AC,AD±AC,E是AB的中點，F

是AC延長線上一點.

⑴若ED_LEF,求證:ED=EF；

⑵在(1)的條件下,若DC的延長線與FB交于點P,試判定四邊形ACPE是否為平行四

邊形?并證明你的結論(請先補全圖形,再解答)；

⑶若ED=EF,ED與EF垂直嗎?若垂直給出證明.

①半角模型；②拉手模型

例4：在正方形ABCD中，M、N分別是射線CB和射線DC上的動點，且始終NMAN=45°.

如圖1,當點M、N分別在線段BC、DC上時，寫出線段BM、MN、DN之間的數量關系；

并給予證明；

(2)如圖2,當點M、N分別在CB、DC的延長線上時，(1)中的結論是否仍然成立，

若成立，給予證明，若不成立，寫出正確的結論，并證明；

(3)如圖3,當點M、N分別在CB、DC的延長線上時，若CN=CD=6,設BD與AM的

延長線交于點P,交AN于Q,直接寫出AQ、AP的長.

例5：如圖，在正方形ABCD中，BD為對角線，ZEAF=45°,其兩邊分別交BC、CD于E、

F,交BD于H、Go

(1)求證：AD2=BGDH；

(2)求證：CEf但DG；

(3)求證：EF=V2HG.

例6:如圖，在菱形ABCD中，ZABC=60°,點P是射線BD上一動點，以AP為邊向右側

作等邊aAPE,點E的位置隨著點P的位置變化而變化.

(1)如圖1,當點E在菱形ABCD內部或邊上時，連接CE,BP與CE的數量關系式,

CE與A1)的位置關系是；

(2)當點E在菱形ABCD外部時，(1)中的結論是否還成立，請予以證明；若不成

立，請說明理由(選擇圖2、圖3中的一種情況予以證明或說理)；

(3)如圖4,當點P在線段BD的延長線上時，連接BE,若AB=2小,BE=2乖，求

四邊形ADPE的面積。

跟蹤訓練8:如圖①，在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點E在AC上(且不與點A,

C重合)，在aABC的外部作aCED,使/CED=90°,DE=CE,連AD,分別以AB,AD

為鄰邊作平行四邊形ABED,連接AF.

(1)請直接寫出線段AF,AE的數量關系；

(2)將4CED繞點C逆時針旋轉，當點E在線段BC上時，如圖②，連接AE,請判斷

線段AF,AE的數量關系，并證明你的結論；

(3)在圖②的基礎上，將4CED繞點C繼續逆時針旋轉，請判斷(2)問中的結論是

否發生變化？若不變，結合圖③寫出證明過程；若變化，請說明理由.

跟蹤訓練9:某數學興趣小組在數學課外活動中，研究三角形和正方形的性質時，做了

如下探究：在aABC中，ZBAC=90=,AB=AC,點D為直線BC上一動點(點D不與B,C重

合)，以AD為邊在AD右側作正方形ADEF,連接CF.

⑴觀察猜想

如圖①，當點D在線段BC上時。

①BC與CF的位置關系為：；

②BC,CD,CF之間的數量關系為：「；(將結論直接寫在橫線上)

(2)數學思考

如圖②，當點D在線段CB的延長線上時，結論①，②是否仍然成立?若成立，請給予

證明；若不成立，請你寫出正確結論再給予證明；

(3)拓展延伸

如圖③,當點D在線段BC的延長線上時，延長BA交CF于點G,連接GE.若已知

AB=2y/2,CD=|BC,請求出GE的長。

跟蹤訓練10：在平行四邊形ABCD中，以AB為邊作等邊aABE,點E在CD上，以BC

為邊作等邊aBCF,點F在AE上，點G在BA延長線上且FG=FB.

(1)若CD=6,AF=3,求4ABF的面積；

(2)求證：BE=AG+CE.

5.直角的等量代換

①三垂直模型；②十字架模型

例7:如圖，在正方形ABCD中，E是BC上的一點，連結AE,作BFLAE,垂足為H,交CD于F

,作CG〃AE,交BF于G.

(1)求證CG=BH

(2)FC=BF?GF；

,、FC2GF

⑶密F

跟蹤訓練U:如圖1,在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、DC上的點，

且AF_LBE.

(1)求證：AF=BE；

(2)如圖2,在正方形ABCD中，M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上的點，且

MP_LNQ.MP與NQ是否相等？并說明理由.

圖1圖2

跟蹤訓練12:在正方形ABCD中，E是邊CD上一點(點E不與點C、D重合)，連結

BE.

感知如圖①，過點A作AFLBE交BC于點F.求證aABFgZSBCE.

探究如圖②，取BE的中點M,過點M作FGLBE交BC于點F,交AD于點G.

(1)求證：BE=FG.

(2)連結CM,若CM=1,求FG的長.

應用如圖③，取BE的中點M,連結CM.過點C作CGLBE交AD于點G,連結EG,MG.若

CM=3,求四邊形GMCE的面積.

例1(1)證明：AF=RG,

???ZFAG=ZFGA，

?.?AG平分NC48,

?-Z?CAG=ZFAG，

:./CAG=4FGA,AC//FG

??-DEI.AC，??-FGA.DE，

??-FGLBC，

???DE//BC，???AC1BC，

???NC=NDHG=90，ZCGE=ZGED，

?.?/是A。的中點，FG//AE,”是E。的中點，

，FG是線段￡￡>的垂直平分線，

???GE=GD，/GDE=NGED，???4CGE=4GDE，?-?XECG三kGHD

(2)證明：過點G作GP_LAB于點p,，GC=GP,

(3),\AC4G=AR4G>

AC=AP.由⑴得EG=DG,

???Rt\ECG=Rt\GPD，???EC=PD，

AD=AP+P￡>=AC+EC.

(4)四邊形A￡Gb是菱形，理由如下：?.?NB=30,

AE=-AD

?-?ZADE=3Q，?-?2，

.?.AE=AF=EG.由(i)得AE//FG,

.?.四邊形AEGE是菱形.

例2解(1)證法一：

如答圖la,延長AB交CF于點D,則易知AABC與4BCD均為等腰直角三角形，

，AB=BC=BD,...點B為線段AD的中點，

又；點M為線段AF的中點，,BM為4ADF的中位線，

，BM〃CF

證法二：

如答圖1b,延長BM交EF于D,VZABC=ZCEF=90°,

.\AB±CE,EF1CE,

，AB〃EF,AZBAM=ZDFM,

是AF的中點,，AM=MF,

在△ABM和中，

'/BAM二NDFM

<AM=FM，

ZAMB=ZFMD

/.△ABM^AFDM(ASA),

，AB=DF,

VBE=CE-BC,DE=EF-DF,.\BE=DE,

.?.△BDE是等腰直角三角形，

AZEBM=45°,

?.?在等腰直角ACEF中，ZECF=45°,

，/EBM=NECF,...MB〃CF；

(2)證法一：

如圖，延長AB交CE于點D,連接DF,則易知aABC與ABCD均為等腰直角三角形,

.,.AB=BC=BD,AC=CD,...點B為AD中點，又點M為AF中點，

.?.BMJDF

2

延長FE與CB交于點G,連接AG,則易知ACEF與4CEG均為等腰直角三角形，

.,.CE=EF=EG,CF=CG,

.?.點E為FG中點，又點M為AF中點，

.,.MEJAG.

2

在4ACG與ADCF中，

'ACXD

.NACG=/DCF=45°，/.△ACG^ADCF(SAS)，，DF=AG,ABN^ME.

CG=CF

證法二：

如圖,延長BM交CF于D,連接BE、DE,

VZBCE=45°,

/.ZACD=45°X2+45°=135°

/.ZBAC+ZACF=45°+135°=180°,

，AB〃CF,

/.ZBAM=ZDFM,

?；M是AF的中點,

/.AM=FM,

在△ABM和△FDM中，

'NBAM=NDFM

<AM=FM，

ZAMB=ZFMD

.,.△ABM^AFDM(ASA),

，AB=DF,BM=DM,

.?.AB=BC=DF,

在ABCE和aDFE中，

'BC=DF

<NBCE=/DFE=45°，

CE=FE

AABCE^ADFE(SAS),

/.BE=DE,ZBEC=ZDEF,

，ZBED=ZBEC+ZCED=ZDEF+ZCED=ZCEF=90°,

...△BDE是等腰直角三角形，

又：BM=DM,

/.BM=ME=1.BD,故BM=ME.

2

例3解(1)?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

：.ZB=ZD.

VZAEC=ZAFC,ZAEC+ZAEB=ZAFC+ZAFD=180°,

ZAEB=ZAFD.

NB=ZD

在AAEB和△AFD中，<ZAEB=ZAFD

AE^AF

：.MEB^MFD(AAS),

/.AB=AD,

.??平行四邊形ABCD是菱形

⑵由(1)知，MFD,則/BAE=NDAF.

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，；.AB〃DG,

/.ZBAE=ZG,.\ZG=ZDAF.

又；NADF=NGDA,二3釬ADG4，

??DF_AF,

~\D~~XG

??AD^AF=AG^DF'

XVAD=AF,

???AF2=AG，DF?

(3)在菱形ABCD中,VAB//DC,AD//BC,

AAH:HG=BH:HD,

BH:HD=EH:AH,

AAH：HG=EH:AH.

VHE=4,EG=12,

AAH:16=4:AH,

AAH=8.

跟蹤訓練1證明：(1)???AC平分NBCD,

AZDCA=ZACB.

又,.,ACJ_AB,AD±AE,

.'.ZDAC+ZCAE=90°,ZCAE+ZEAB=90°,

???ZDAC=ZEAB.

又〈E是BC的中點，

???AE=BE,

.\ZEAB=ZABC,

.\ZDAC=ZABC,

???AACD^ABCA,

.AC=CD

**BC而，

/.AC2=CD-BC；

(2)①證明：連接AH.

VZADC=ZBAC=90°，點H、D關于AC對稱,

???AHJ_BC.

VEG1AB,AE=BE,

???點G是AB的中點，

???HG=AG,

AZGAH=GHA.

??,點F為AC的中點，

；?AF=FH,

.\ZHAF=ZFHA,

???ZFHG=ZAHF+ZAHG=ZFAH+ZHAG=NCAB=90°,

Z.FH1GH；

②?.?EK_LAB,AC1AB,

AEK/ZAC,

又?.,NB=30°,

.,.AC=—BC=EB=EC.

2

又EK=EB,

AEK=AC,

即AK=KE=EC=CA,

四邊形AKEC是菱形.

跟蹤訓練2證明：(1)延長EP交DC于點G,如圖(1)所示:

ZFEC=ZDCE=90°,

/.EF/7CD,

.*.ZPFE=ZPDG,

又；/EPF=/GPD,PF=PD,

.,.△PEF^APGD(AAS),

；.PE=PG,EF=GD,

VBE=EF,

/.BE=GD.

VCD=CB,

，CG=CE,

...△CGE是等腰直角三角形，

ACPIGE,CP=1EG=PE,

...△CPE是等腰直角三角形.

ACE=小PE

(2)CE=取PE；,理由如下：如圖⑵所示：

延長EP交CD的延長線于點G,

VZFEB+ZDCB=180，＞,

；.EF〃CD,

/.ZPEF=ZPGD,

又；NEPF=NGPD,PF=PD,

/.△PEF^APGD(AAS),

.?.PE=PG,EF=GD,

：BE=EF,

，BE=GD.

VCD=CB,

，CG=CE,

...△CGE是等腰直角三角形，

ACP±GE,CP=^EG=PE,

.'.△CPE是等腰直角三角形。

ACEPE

跟蹤訓練3(1)證明：...AF平分NBAD,

，/BAF=NDAF,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

，AD〃BC,AB〃CD,

AZDAF=ZCEF,ZBAF=ZF

,.\ZCEF=ZF.

.\CE=CF.

(2)連接GC、BG,

■:四邊形ABCD為平行四邊形,ZABC=90u,

二四邊形ABCD為矩形，

?；AF平分NBAD,

，/DAF=NBAF=45°

VZDCB=90?,DF/7AB,

；.NDFA=45。,ZECF=90°

.?.△ECF為等腰直角三角形，

為EF中點，

，EG=CG=FG,

CG±EF,

?..△ABE為等腰直角三角形，AB=DC,

，BE=DC,

VZCEF=ZGCF=45°,

；./BEG=/DCG=135°

在ABEG與ADCG中，EG=CG,ZBEG=ZDCG,BE=DC,

/.△BEG^ADCG,

，BG=DG,VCG±EF,

.,.ZDGC+ZDGA=90°,

又；NDGC=NBGA,

.,.ZBGA+ZDGA=90°,

.?.△DGB為等腰直角三角形，

:.ZBDG=45

.(3)延長AB、FG交于H,連接HD.

VAD/7GF,AB〃DF,

四邊形AHFD為平行四邊形

VZABC=120°,AF平分/BAD,

ZDAF=30°>ZADC=120°,ZDFA=30°

.?.△DAF為等腰三角形

AAD=DF,ACE=CF,

，平行四邊形AHFD為菱形

/.△ADH,Z\DHF為全等的等邊三角形

，DH=DF,NBHD=NGFD=60°

VFG=CE,CE=CF,CF=BH,

???BH=GF,在△BHD與△GFD中，

VDH=DF,NBHD二NGFD,BH=GF,

/.△BHD^AGFD,

???ZBDH=ZGDF

ZBDG=ZBDH+ZHDG=ZGDF+ZHDG=60°

跟蹤訓練4：證明：(1)VZBAD=ZCAE=90°,

AZBAC+ZCAD=90°,ZCAD+ZDAE=90°,

???ZBAC=ZDAE,

在△BAC和4DAE中，

AB=AD

<ZBAC=ZDAE,

AC=AE

AABAC^ADAE(SAS)；

(2)VZCAE=90°,AC=AE,

AZE=45°,

由(1)知△BAC出△DAE,

AZBCA=ZE=45°,

VAF1BC,

???NCFA=90°,

AZCAF=45°,

AZFAE=ZFAC+ZCAE=450+90°=135°；

(3)延長BF到G,使得FG才B,

VAF±BG,

/.ZAFG=ZAFB=90°,

在△AFB和4AFG中，

BF=GF

vZAFB=ZAFG,

AF=AF

/.△AFB^AAFG(SAS),

AAB=AG,NABF=NG,

VABAC^ADAE,

.\AB=AD,ZCBA=ZEDA,CB=ED,

.\AG=AD,ZABF=ZCDA,

.*.ZG=ZCDA,

在ACGA和ACDA中，

ZGCA=ZDC4

<ZCGA=ZCDA,

AG^AD

/.△CGA^ACDA,

/.CG=CD,

VCG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,

/.CD=2BF+DE.

跟蹤訓練5：解⑴過P作PH_LPD交AD于H,

VPG1PF,

AZGPF=ZHPD=90°,

；./GPH=/FPD,

「DE平分/ADC,ZADC=90°

；.NCDE=/EDA=45°,

???△HPD為等腰直角三角形，

；./DHP=/PDH=45°,PD=PF,

.".ZPIIG=ZPDF=135O

在△HPG和4DPF中，

，ZPHG=ZPDF

PH=PD，

ZHPG=ZDPF

/.AHPG^ADPF(ASA),

APG=PF；

(2)?.?△HPD為等腰直角三角形，

.?.DH=V2DP.

?/AHPG^ADPF,

；.GH=DF,

：DG-GH=DH,

；.DG=&DP+DF.

跟蹤訓練6：證明：：AB=AC,點M是BC的中點,

AAM1BC,AM平分NBAC.

：BN平分NABE,

NEBN=/ABN.

VAC±BD,

ZAEB=90°,

.\ZEAB+ZEBA=90°，

AZMNB=ZNAB+ZABN=1.(ZBAE+ZABE)=45°.

2

???△BMN是等腰直角三角形；

(2)答：AMFN^ABDC.

證明：???點F,M分別是AB,BC的中點，

AFM/7AC,FM=LAC.

2

VAC=BD,

.?.FM=LBD,即II』

2BD-2

???△BMN是等腰直角三角形，

??.NM=BM=LBC,即遮二L,

2BC~2

?FMM

??而諒?

VAM±BC,

AZNMF+ZFMB=90°.

VFM//AC,

???ZACB=ZFMB.

VZCEB=90°,

AZACB+ZCBD=90°.

/.ZCBD+ZFMB=90°,

???ZNMF=ZCBD.

AMFN^ABDC.

跟蹤訓練7：(1)證明：在叫BCD中，TAD=AC,AD±AC,

???AC=BC,AC1BC,連接CE,二飛是AB的中點，

???AE=EC,CE±AB,

；?NACE=NBCE=45。,

???NECF=NEAD=135。,

VED±EF,

AZCEF=ZAED=90°-ZCED,

在aCEF和AAED中，ZCEF=ZAED,EOAE,ZECF=ZEAD,

AACEF^AAED,AED=EF；

(2)由(1)知ACEF絲/XAED,CF=AD,

VAD=AC,

AAC=CF,VDP//AB,AFP=PB,

ACP=12AB=AE,

???四邊形ACPE為平行四邊形；

(3)垂直，

理由：過E作EM_LDA交DA的延長線于M,

過E作EN_LFC交FC的延長線于N,

在AAME與ACNE中，NM=NFNE=90。

NEAM二NNCE=45。AE=CE,

AAAME^ACNE,

AZADE=ZCFE,

在AADE與4CF中，ZADE=ZCFE,ZDAE=ZFCE=135°,

DE=EF,

AAADE^ACFE,

???ZDEA=ZFEC,

VZDEA+ZDEC=90°,

???NCEF+NDEC=90。,

???NDEF=90。,

???ED_LEF.

例4：解:(1)BM+DN=MN,

理由如下：如圖1,在MB的延長線上，截取BE=DN,連接AE,??,四邊形ABCD是正方形

AAB=AD,ZBAD=ZABC=ZD=90°,AZABE=90°=ZD,

AB^AD

在AABE和AADN中，＜NABE=ND,

BE=DN

/.△ABE^AADN(SAS),

；.AE=AN,ZEAB=ZNAD,

.?./EAN=/BAD=90°,

VZMAN=45°,

AZEAM=45°=NNAM,

AE=AN

在Z\AEM和aANM中，(ZEAM=NNAM,

AM=AM

.,.△AEM^AANM(SAS),

，ME=MN,又：ME=BE+BM=BM+DN,；.BM+DN=MN；(2)(1)中的結論不成立，DN

-BM=MN.

理由如下：如圖2,在DC上截取DF=BM,連接AF,則NABM=90°=/D,

AB=AD

在AABM和AADF中，］ZABM=ZD,

BM=DF

.,.△ABM^AADJF(SAS),.,.AM=AF,ZBAM=ZDAF,

NBAM+/BAF=/BAF+NDAF=ZBAD=90°,

即NMAF=NBAD=90°,VZMAN=45°,

.../MAN=NFAN=45°,

AM=AF

在AMAN和4FAN中，*MAN=NFAN,

AN=AN

.,.△MAN^AFAN(SAS),

；.MN=NF,；.MN=DN-DF=DN-BM,

ADN-BM=MN

(3)???四邊形ABCD是正方形,

.,.AB=BC=AD=CD=6,AD〃BC,AB〃CD,ZABC=ZADC=ZBCD=90°,

，/ABM=NMCN=90°,

222

VCN=CD=6,/.DN=12,/.AN=VAD2-+-ON-V6-t-12=6^5,

???AB//CD,.?.△ABQs/WQ,.?.翳=需=^哈丹然=(,

，AQ=JAN=2V5；

由(2)得：DN-BM=MN.設BM=x,則MN=12-x,CM=6+x,在RtZXCMN中，

62+(6+x)2=(12-x)2,解得：x=2,；.BM=2,

AM=y/AB2+BM2=V62+22=2V10,

VBC/7AD,.,?△PBM^APDA,

,RM13M21fTTx

??K=W7=W=m，??戶何=5與叔=6^,

，AP=AM+PM=3加

例5：證明：(1)VBF±AE,CG〃AE,二CG±BF.

?.?在正方形ABCD中，ZABH+ZCBG=90°,ZCBG+ZBCG=90",

.\ZABH=ZBCG,ZAHB=ZBGC=90n,AB=BC,

.*.CG=BH;

(2)VZBFC=ZCFG,ZBCF=ZCGF=90",

.,.△CFG^ABFC,

/.FC:BF=FG:FC

.,.FC=BF?GF：

(3)ZGBC=ZFBC,ZBCF=ZCGB=90",

/.△BCG^ABFC,

.,.BC:BF=GB:BC.\BC2=BF?GB

VAB=BC,

.*.AB2=BF?GB

AAB2?GF=BF?GF?GB

VFC2=BF?GF

AAB2?GF=FC2?GB

.度GF

"AB5獲

例5(1)證明：(I)*.?四邊形ABCD為正方形

/.ZABD=ZADB=45°,AB=AD,

ZEAF=45°

/.ZBAG=45°+ZBAH,ZAHD=45°+ZBAH,

.*.ZBAG=ZAHD,

又：NABD=NADB=45°,

.,.△ABG^AHDA,

/.AB:DH=BG:DA,

又；AB=AD

/.AD:DH=BG:DA,

/.AD2=BGDH；

⑵如圖，連接AC,

?.?四邊形ABCD是正方形

ZACE=ZADB=ZCAD=45°,

:.ACNAD,

,//EAF=45°,

:.ZEAF=ZCAD,

，ZEAF-ZCAF=ZCAD-ZCAF,

:.ZEAC=ZGAD,

AAEAC^AGAD

.,.CE:DG=AC:AD=^/2,

：.CE=yf2DG；

⑶由⑵得:△EACS/XGAD,

.,.AE:AG=AC:AD=-\/2,

同理得：△AFCS^AHB,

.?.AF：AH=AC：ABH,

???AE:AG=AF:AH=M,

ZGAH=ZEAF,

AAGAH^AEAF,

??.EF：GHM，

JEF/GH.

例6：.解：(1)①BP=CE；,②CE_LAD.；

(2)(1)中的結論：BP=CE,CEJ_AD仍然成立,

圖2證明如下：連接AC

???菱形ABCD,ZABC=60°,

???△ABC是等邊三角形，

AAB=AC,

:△APE是等邊三角形，

AAP=AE,ZPAE=60°,

AZCAE=60°+NCAP=NBAP,

工ZBAP=ZCAE,

AAABP^AACE

ABP=CE,

*/ZACE=ZABP=30°

.-.ZDCE=30°.

VZADC=60°,

AZDCE+ZADC=90°,

/.ZCHD=90°,

ACE1AD.

圖3證明如下:連接AC

???菱形ABCD,ZABC=60°,

???△ABC是等邊三角形，

AAB=AC,

:△APE是等邊三角形，

AAP=AE,ZPAE=60°,

AZCAE=60°+NCAP=NBAP,

工ZBAP=ZCAE,

AAABP^AACE,

ABP=CE,

*/ZACE=ZABP=30°

.-.ZDCE=30°.

VZADC=60°,

AZDCE+ZADC=90°,

/.ZCHD=90°,

ACEXAD.

(3);連接AC,交BD與點0

由(2)知CEJ_ADBP=CE

VAD/7BC,

ACEIBC.

在直角aBCE中，有勾股定理得CE=8；.BP=8.

VZAB0=30°,AB=24

/.B0=D0=3,A0=V3

.*.BD=6.

，DP=2,

；.0P=5,

在直角aAOP中，有勾股定理得AP=2，7

作EH_LAP于點H

.「△APE是等邊三角形，

：.PH=y[7,EH=V五.

**S四邊形ADPE=SaADp+SziAPE

11

=-DP?A0+-AP?EH

=|X2X/+2X2巾X或1=8^/3.

跟蹤訓練8:解：(1)結論：AF=&AE.

理由：??,四邊形ABFD是平行四邊形，

AAB=DF,

VAB=AC,

???AC=DF,

VDE=EC,

???AE=EF,

VZDEC=ZAEF=90°,

???△AEF是等腰直角三角形，

AAF=V2AE.

故答案為AF=&AE_

(2)如圖②中，結論：AF=&AE.

理由：連接EF,DF交BC于K.??,四邊形ABFD是平行四邊形,

AAB/7DF,AZDKE=ZABC=45°,

.\ZEKF=180°-ZDKE=135°,EK=ED,

VZADE=180°-ZEDC=180°-45°=135°,

???ZEKF=ZADE,:ZDKC=ZC,

DK=DC,VDF=AB=AC,AKF=AD,

在aEKF和4EDA中，

'EK二ED

<ZEKF=ZADEy-AEKF^AEDA,

KF=AD

???EF=EA,ZKEF=ZAED,

AZFEA=ZBED=90o,

???△AEF是等腰直角三角形，

???AF=&AE

(3)如圖③中，結論不變，AF=&AE.

理由：連接EF,延長FD交AC于K.

VZEDF=180°-ZKDC-ZEDC=135°-ZKDC,

ZACE=(90°-ZKDC)+ZDCE=135°-ZKDC,

AZEDF=ZACE,VDF=AB,AB=AC,

??.DF=AC在AEDF和AECA中,fDF=AC,

?NEDF二NACE

DE=CE

AAEDF^AECA,

???EF=EA,ZFED=ZAEC,

.\ZFEA=ZDEC=90°,

??.△AEF是等腰直角三角形，

???AF=&AE

跟蹤訓練9證明：(1)①正方形ADEF中，AD=AF,

VZBAC=ZDAF=90o,

???ZBAD=ZCAF,

在ADAB與aFAC中，AD=AF,ZBAD=ZCAF,AB=AC,

.?.△DAB^AFAC(SAS),

???NB=NACF,

AZACB+ZACF=90°,

即BCLCF；故答案為：垂直；

②△DABg/kFAC,???CF=BD,

VBC=BD+CD,

???BC=CF+CD；

故答案為：BOCF+CD；

(2)CF_LBC成立；BCXD+CF不成立，CD=CF+BC.

(3)??,正方形ADEF中，AD=AF,

VZBAC=ZDAF=90°,

/.ZBAD=ZCAF,

在aDAB與aFAC中，AD=AF,

/BAD二NCAF,AB=AC,

???△DAB四△FAC(SAS),

JNABD=NACF,

???/BAC=90。,AB=AC,

/.NACB=NABO45。

.???NABD=180。—45。=135。,

/.ZBCF=ZACF-ZACB=135^Y5。=90。,

ACF1BC.VCD=DB+BC,DB=CF,

；?CD=CF+BC.

過A作AH_LBC于H,過E作EM_LBD于M,ENJ_CF于N,

VZBAC=90<>,AB=AC,

ABC=2AB=4,AH=2,

ACD=1,BCM,CH=2,ADH=3,

由⑵證得BC_LCF,CF=BD=5,

???四邊形ADEF是正方形，

???AD=DE,ZADE=90°,

VBC±CF,EM1BD,EN1CF,

???四邊形CMEN是矩形，

ANE=CM,EM=CN,

VZAHD=ZADC=ZEMD=90°,

/.ZADH+ZEDM=ZEDM+ZDEM=90-,

???ZADH=ZDEM,

在△ADH與△DEM中，ZADH=ZDEM,NAHD=NDME,AD=DE,

.?.△ADH^ADEM(AAS),

AEM=DH=3,DM=AH=2,

ACN=EM=3,EN=CM=3,

VZABC=45<>,

???NBGC=45。,

.'.△BCG是等腰直角三角形，

ACG=BC=4,

/.GN=1,

AEG=GN2+EN2

/.EG=^/W

跟蹤訓練10:解：,?'△ABE是等邊三角形，

???NBAF=60°,AB=AE,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

???AB=CD=6,

???AE=AB=6,

VAF=3,

，AF=EF,

2

.?.SAABF=1SAABE=1*12-6=2^2.