第11講與直線(xiàn)相關(guān)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題、最值問(wèn)題與創(chuàng)新命題

一、知識(shí)概要

(1)求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式；求點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)則要用到兩個(gè)重要結(jié)論：①

點(diǎn)及其對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線(xiàn)中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上；②連線(xiàn)垂直于對(duì)稱(chēng)軸.需要特別指出的是：當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸斜率為

土1時(shí)，可以通過(guò)將點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)代人對(duì)稱(chēng)軸方程得到相應(yīng)的縱橫坐標(biāo).

(2)點(diǎn)線(xiàn)(x0,%)關(guān)于定點(diǎn)AQ與的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為(2a-x0,2h-j0)；曲線(xiàn)C:/(x,y)=O關(guān)于

定點(diǎn)A(a,份的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)方程為/(2a-x,2b-y)=0.

(3)若求點(diǎn)用(乙,%)關(guān)于直線(xiàn)/：Ax+By+C=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P(x,y),可得方程組

A"±+8"2+c=°，卜x。-V^xWo+C),

"，解得1A

(4)與直線(xiàn)相關(guān)的最值問(wèn)題，通常含有參變量，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為參變量的函數(shù)，借助函數(shù)的性質(zhì)

解決，而且此類(lèi)問(wèn)題往往又是與方程、不等式相結(jié)合的問(wèn)題，解題時(shí)還需要利用方程、不等式

的有關(guān)知識(shí)(如方和解的個(gè)數(shù)、根的存在問(wèn)題、不等式的性質(zhì)、基本不等式等)來(lái)解決.

(5)與直線(xiàn)相關(guān)的創(chuàng)新命題通常為新定義問(wèn)題或者題目的結(jié)構(gòu)形式，設(shè)問(wèn)方式等都有創(chuàng)新.既要

吃透題目的“新意”，又要善于“化新為舊”，解決此類(lèi)題所用到的知識(shí)還是“熟悉”的知識(shí).當(dāng)

然思維方向應(yīng)當(dāng)是發(fā)散的，多注意數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用，多思考一些題目的幾何意義，注意逆向思

維與創(chuàng)造性思維，構(gòu)造法是破解創(chuàng)新命題的法寶.

二、題型精析

【例1】(1)求點(diǎn)4(2,2)關(guān)于直線(xiàn)法-4)，+9=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)求直線(xiàn)《：2x-3y+l=0關(guān)于直線(xiàn)/:x+y-2=0對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)/2的方程；

⑶設(shè)點(diǎn)A(-1,1),8(1,2),試在x軸上找一點(diǎn)尸，使得|PA|+|P8|最小，則最小值為

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為港使得||PAI-|尸81|最大，則最大值為此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為

【策略點(diǎn)擊】

對(duì)于第(D問(wèn)，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)2x-4)，+9=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為AC，則線(xiàn)段AA￡的中點(diǎn)在直線(xiàn)

2x-4y+9=0上，且直線(xiàn)AAC與直線(xiàn)4y+9=0垂直.據(jù)此可求點(diǎn)A，的坐標(biāo).對(duì)于第(2)

問(wèn)，利用“垂直”“平分”這兩個(gè)條件是解決對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的關(guān)鍵，對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的核心是利用轉(zhuǎn)化的思

想將所求的點(diǎn)轉(zhuǎn)換到已知直線(xiàn)(或曲線(xiàn))上去，這也是求軌跡的基本思想，特別應(yīng)指出的是一

—如果對(duì)稱(chēng)軸方程的斜率為±1時(shí)，可用直接代入的方法，即把x=2-y,y=2-x代入《：

2x-3y+l=0得2(2-y)-3(2-x)+1=0,即3x-2y-1=0為所求；如果對(duì)稱(chēng)軸方程的斜率

不為±1,則不能用此法，而要用上述一般的方法.對(duì)于第(3)問(wèn)，初看是與直線(xiàn)相關(guān)的最值問(wèn)

題，通過(guò)畫(huà)示意圖可將此類(lèi)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，再結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之

差小于第三邊求得最值.

【解】(1)設(shè)43,3是4(2,2)關(guān)于直線(xiàn)法-4)，+9=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，根據(jù)直線(xiàn)44?與/垂直，線(xiàn)

段AAC中點(diǎn)在直線(xiàn)2x-4y+9=0上.

中3口

有［2；

解得。=1,b=4.

2?*4?*

9=0

T22

二?所求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Ag勺坐標(biāo)為(1,4).

(2)【解法一】

由:得兩直線(xiàn)的交點(diǎn)尸(L1)，在直線(xiàn)人上取一點(diǎn)嘴;醫(yī)，設(shè)M關(guān)于直線(xiàn)/的對(duì)

稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為Qo，%).

解得仁;則噓之

0

則i2

1

-2+%012

—J----+2=0

22

由題意知〃經(jīng)過(guò)此點(diǎn).

「?由兩點(diǎn)式求得4的方程為女-2y-1=0.

【解法二】

同解法一得兩直線(xiàn)的交點(diǎn)P(1,D,設(shè)直線(xiàn)乙的方程為y-1=?x-1),即依-y+1-左=0.在直

線(xiàn)/上取一點(diǎn)2(0,2),則。到4的距離與。到12的距離相等.

l2?03?21||1+%|曲平,3十&2,仝土、

B即n----,==---TT■解得k=二或k=:（舍去）

722+32=-41=+-23

」?所求6的方程為3x-2y-1=0.

(3)如圖2-12所示,

尋找點(diǎn)A(-1,1)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A?1,-1),聯(lián)結(jié)A組，交x軸于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求.否則，

在x軸上另取一點(diǎn)尸￡則必有|P%||P啊\PA\+|P?||A?|\PA\\PB^F\PA\+\PB\.

直線(xiàn)A汨的方程為也=

2+1

言,即3x_2y+l=0.令y=0得x=_g,即

此時(shí)|PA|+1P8|的最小值為田=J(1+廳+(2+爐=V13.

如圖2-13所示，連結(jié)84并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)尸，即為所求.

事實(shí)上，另取一點(diǎn)P,則有|四卜|?訓(xùn)=|陰＞||尸山一|尸身.

直線(xiàn)的方程為柒=法，即x-2y+3=0.

2-11+1

令y=0得x=-3,即P(TO),此時(shí)||尸閡-IP訓(xùn)的最大值為|⑷?|=J(1+/+(2-=石.

【例2】

已知直線(xiàn)/：x-y+3=0,一光線(xiàn)從點(diǎn)A(l,2)處射向X軸的點(diǎn)3,又從點(diǎn)8反射到直線(xiàn)/上一點(diǎn)C,

最后又從點(diǎn)C反射回到點(diǎn)A.

(1)判斷由此得到的△/記(?有有限個(gè)還是無(wú)限個(gè)；

(2)根據(jù)以上判斷，若是有限個(gè)，求此時(shí)直線(xiàn)8C的方程；若是無(wú)限個(gè)，求出這樣的AWC面

積的最小值.

【策略點(diǎn)擊】

根據(jù)反射的光學(xué)原理，先求出入射線(xiàn)上某點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，然后可確定反射線(xiàn)方程，所以

要解決此類(lèi)問(wèn)題，關(guān)鍵是求關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，另外，也可以用“相關(guān)點(diǎn)法”求軸對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)

方程.

【解】(1)如圖2-14所示，設(shè)點(diǎn)8的坐標(biāo)為(機(jī),0),則8點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)x-y+3=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)"的

坐標(biāo)為(-3,m+3),點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A，(1,-2),根據(jù)光學(xué)性質(zhì)，點(diǎn)C在直線(xiàn)WB上，又

2—m—1

在直線(xiàn)5'A上，而/人，陵》=----(x-ni).Z.:j-2=--—(x-1).

m—\4

_2

由-v=嬴不。-,解得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)左=三丹.

y=x+3機(jī)-3

g—m—1

同樣地，由)4\解得點(diǎn)。的橫坐標(biāo)％='二二，

y=x+3m+5

—―,解得/?=,或〃?=-3.

m-3加+53

當(dāng)機(jī)=-3時(shí)，點(diǎn)3在直線(xiàn)x-y+3=0上，此時(shí)不能構(gòu)成三角形.故這樣的三角形只有一個(gè).

圖2-14

(2)當(dāng)m=g時(shí)，點(diǎn)8的坐標(biāo)為

點(diǎn)C的坐標(biāo)為?!)■

故直線(xiàn)BC的方程為3x+y-1=0.

【例3】

已知正方形的邊長(zhǎng)為1,折疊此正方形，使得點(diǎn)3落在AQ上為B',折痕為MN；求使得

折起的四邊形BCNM面積最小時(shí)折痕所在的直線(xiàn)方程.

【策略點(diǎn)擊】

本例是對(duì)稱(chēng)問(wèn)題與最值問(wèn)題的創(chuàng)新命題，折福問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，折痕通常就是對(duì)稱(chēng)軸.

【解】如圖2-15所示，在平面直角坐標(biāo)系中,40,1),B(0,0),C(l,0),0(1,1),折疊后B0,1)

（其中Ovbvl）,則即中點(diǎn)為“k???折痕所在直線(xiàn)的斜率為-匕，直線(xiàn)方程

“5'~b

為T(mén)…口尚.它與他相交于點(diǎn)“。,三｝點(diǎn)上則"在邊加上折痕所

在直線(xiàn)與8相交于點(diǎn),ifnO<(1"Z?)-<l.點(diǎn)、N在邊CD上.

當(dāng)b=g時(shí)，S取得最小值，此時(shí)有"

折痕MN所在直線(xiàn)的方程是4x+8y-5=0.

y

圖2-15

方法提煉

1兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)、兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的常見(jiàn)結(jié)論

(1)點(diǎn)P(x,y)關(guān)于X軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為r(x,-y)；

(2)點(diǎn)尸(x,y)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為嚴(yán)(-X,點(diǎn)；

(3)點(diǎn)P(x,y)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P'(-x-y),

(4)點(diǎn)P(x,y)關(guān)于直線(xiàn)x-y=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P(y,x)；

(5)點(diǎn)尸?y)關(guān)于直線(xiàn)“+y=o的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為戶(hù)(-y,-x).

2.曲線(xiàn)f(x,y)=。關(guān)于直線(xiàn))，=履+〃的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)的求法

設(shè)曲線(xiàn)f(x,y)=0上任意一點(diǎn)為p伉,%),P點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=kx+b的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P(X,y)，則p與

口.1

P的坐標(biāo)滿(mǎn)足”一吃,從中解出與,%,再代人己知曲線(xiàn)f(x,y)=O應(yīng)有

22

/（X。,%）=0,利用坐標(biāo)代換法就可求出曲線(xiàn)"X,y）=0關(guān)于直線(xiàn)y=日+%的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)方程.

三、易錯(cuò)警示

【例】

x>1,

已知X,y滿(mǎn)足x+y44,且目標(biāo)函數(shù)Z=2x+y的最大值為7,最小值為1,貝lj”比=

ax+by+c<0,

【錯(cuò)解】

由于已知條件中以+切+c=0是一條不確定的直線(xiàn)，無(wú)法畫(huà)出可行域，不知從何下手解決問(wèn)題.

（2x+y=7

【評(píng)析及正解】本例雖然畫(huà)不出可行域，然而從所給的條件可知目標(biāo)函數(shù)在“的交點(diǎn)

處取得最大值7.在=l的交點(diǎn)處取得最小值1.可見(jiàn)解數(shù)學(xué)問(wèn)題，“吃透”條件是關(guān)鍵，逆

向思雉很重要.

正確的解法如下：

【解】如圖2T6所示，可知直線(xiàn)分+力+。=。必過(guò)）的交點(diǎn)（3,1）和｛/的交點(diǎn)

[x+y=4[x=\

3〃+〃+c=0.人+c_〃3a

(1,-1),可得=-2,故選A.

a-b+c=O

x=1\

圖2-16

四、難題攻略

【例】

直線(xiàn)4經(jīng)過(guò)4-2,0),8(0,1)兩點(diǎn)；直線(xiàn)右的傾斜角為135。，且過(guò)點(diǎn)C(0,2)；直線(xiàn)％與《平行,

且4與4的距離是暗.

⑴寫(xiě)出4，弧4的方程；

(2)再設(shè)44=。，/「4=E，/是線(xiàn)段小的中點(diǎn)，求過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)(，的方程，使原點(diǎn)o到

的距離是O到經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸的直線(xiàn)的距離中最大的；

⑶在X軸上有一點(diǎn)P(〃,0),它使|「8|+|/5「|最小，求〃的值；

⑷在x軸上求一點(diǎn)Q(q,0),使得J/-2q+日-揚(yáng)力最大，并求其值.

【破難析疑】這是一道綜合性很強(qiáng)的研究直線(xiàn)相關(guān)問(wèn)題的例題，幾乎匯集了與直線(xiàn)方程相關(guān)的

眾多知識(shí)，如求直線(xiàn)方程的多種方法，兩平行直線(xiàn)之間的距離，兩直線(xiàn)的交點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，最

值問(wèn)題，本例最困難的是解第⑷問(wèn)，所給式子比較復(fù)雜，關(guān)鍵是找出它的幾何背景，即求

|Q周-IQBI的最大值，其中Q(4,0),尼[，|)，8(0,1),這也是數(shù)形結(jié)合研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想

方法，此題即可迎刃而解.

【解】⑴直線(xiàn)《經(jīng)過(guò)4-2,0),8(0,1),由截距式得2+]=L

4的方程為x-2y+2=0.

直線(xiàn)4的傾斜角為135。，且過(guò)點(diǎn)C(0,2),由斜截式得y=x-tanl35o+2,

12的方程為x+y-2=0.

根據(jù)口〃？，可設(shè)(3的方程為x+y+m=0("?H-2).

由4與4的距離是孝，得々^=3,解得加=T或，〃=-3.

?二&的方程為工+丫-1=0或％+y-3=o.

⑵把/,，/,的方程聯(lián)立得「一2了+j=,解這個(gè)方程組得到點(diǎn)0d.

[x+y-2=0133/

同理得到點(diǎn)E,即罵(0,1),Ezgq).《乂F

由F是線(xiàn)段/龍的中點(diǎn)，可得點(diǎn)F的第一個(gè)位置是耳同_

理可得到點(diǎn)用'

'2)圖2-17

下面討論點(diǎn)尸的第一個(gè)位置耳.如圖2-17所示，過(guò)點(diǎn)6作直線(xiàn)

/與/4,使。"，乙，再作OGJU于點(diǎn)G.在RfZXOG耳中，|。用＞|OG|,直線(xiàn)滿(mǎn)足題設(shè)，直線(xiàn)

oK的斜率為g,直線(xiàn)(，的斜率為-,，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)耳，由點(diǎn)斜式得=化簡(jiǎn)得

12x+42y-53=0,這就是直線(xiàn)(，的方程之一.

同理可以求/“的方程之二，即4x+6y-13=0,

綜上，直線(xiàn)(，的方程為12x+42y-53=0或4x+6y-13=0.

(3)點(diǎn)3,F的坐標(biāo)分別是(0,1),或(0,1),(1]],先討論尸的第一個(gè)位置如圖

2-18所示作￡關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)彳聯(lián)結(jié)8FJ,直線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)P.事實(shí)

±,\PB\+\PFl\=\PB\+\PFl'\,B,P,耳三點(diǎn)共線(xiàn)，|PB|+|P個(gè)最小.直線(xiàn)B耳的方程是

71

+》一鼻?

y37=—兩點(diǎn)式).在這個(gè)方程中：令y=0,得到的x的值就是"的值，即“=於.

1+-0--13

63

2

同理可以求得〃的第二個(gè)值%.

綜上所述，〃的值為4