第三章指數函數和對數函數理解教材新知§1正整數指數函數把握熱點考向應用創新演練知識點一知識點二考點一考點二考點三B中，原式＝a3b3；(2)(am)n＝＝；C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6第三章指數函數和對數函數[思路點撥]根據增長率為5%，可分別列出經過1年、2年的木材蓄積量，然后列出y＝f(x)的表達式，第(2)問可根據正整數指數函數的圖像來求．(3)要注意運算律的逆用，如amn＝(am)n＝(an)m；只有符合y＝ax(a>0，且a≠1，x∈N＋)這種形式的函數才是正整數指數函數．提示：y＝ax.若a>0，b>0，對于任意正整數m，n，指數運算有以下性質：(2a3b－2)·(－6a2b－4)÷(－3a－1b－5)．(2a3b－2)·(－6a2b－4)÷(－3a－1b－5)．一種產品的利潤原來是a元，在今后10年內，計劃使利潤每年比上一年增加20%.某地區農民人均收入為3150元(其中工資收入為1800元，2．形如y＝N(1＋P)x的函數叫做指數型函數．在實際問題中，常常遇到有關增長率的問題，如果原來產值的基礎數為N，增長率為P，則對于時間x的總產值y＝N(1＋P)x.入每年增加160元．根據以上數據，2012年該地區農民問題1：在今后10年內，每年的利潤是上一年的多少倍？C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6在初中我們學習了正整數指數冪的運算性質，根據性質解決以下問題：問題1：計算32·33的值．提示：32·33＝35＝243.問題2：計算(23)2和(22)3的值．提示：(23)2＝82＝64，(22)3＝43＝64.問題3：計算35÷32的值．提示：35÷32＝33＝27.若a>0，b>0，對于任意正整數m，n，指數運算有以下性質：

(1)am·an＝

；

(2)(am)n＝

＝

；

(3)(a·b)n＝

；am＋nam·n(an)man·bnam－n1一種產品的利潤原來是a元，在今后10年內，計劃使利潤每年比上一年增加20%.問題1：在今后10年內，每年的利潤是上一年的多少倍？提示：1＋20%＝1.2(倍)．問題2：在今后10年內每年的利潤y隨經過年數x變化的函數關系式是什么？提示：y＝ax.函數

(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整數指數函數，其中x是自變量，定義域是正整數集N＋.y＝ax1．正整數指數冪的運算性質是學習指數函數的基礎，在使用時，注意(ab)n與anam等的含義，才能正確地運算．

2．正整數指數函數是形式定義，與冪函數的定義既有聯系又有區別．雖都具有冪的形式，但指數函數的底數為常數，指數是自變量x.只有符合y＝ax(a>0，且a≠1，x∈N＋)這種形式的函數才是正整數指數函數．1．下列各式運算錯誤的是 (

)A．(－a4b2)·(－ab2)3＝a7b8B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6D．[(a3)2·(－b2)3]3＝－a18b18解析：A中，原式＝a7b8；B中，原式＝a3b3；C中，

原式＝－a6b6；D中，原式＝－a18b18.答案：C2．計算：

(2a3b－2)·(－6a2b－4)÷(－3a－1b－5)．解：原式＝[2×(－6)÷(－3)]a3＋2＋1b－2－4＋5＝4a6b－1.[一點通]

正整數指數函數的圖像特點：

(1)正整數指數函數是函數的一個特例，它的定義域是由一些正整數組成的集合，它的圖像是由一些孤立的點組成的．

(2)當0<a<1時，y＝ax(x∈N＋)是減函數．當a>1時，y＝ax(x∈N＋)是增函數．答案：C[例3]

(12分)某林區2011年木材蓄積200萬立方米，由于采取了封山育林、嚴禁采伐等措施，使木材蓄積量的年平均遞增率能達到5%.(1)若經過x年后，該林區的木材蓄積量為y萬立方米，求y＝f(x)的表達式，并求此函數的定義域；

(2)求經過多少年后，林區的木材蓄積量能達到300萬立方米？

[思路點撥]根據增長率為5%，可分別列出經過1年、2年的木材蓄積量，然后列出y＝f(x)的表達式，第(2)問可根據正整數指數函數的圖像來求．(2)作函數y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)圖像見下圖，x0123…y200210220.5231.5…(8分)作直線y＝300，與函數y＝200(1＋5%)x的圖像交于A點，則A(x0,300)，A點的橫坐標x0的值就是函數值y＝300時(木材蓄積量為300萬m3時)所經過的時間x年的值,因為8＜x0＜9，則取x＝9(計劃留有余地，取過剩近似值)．即經過9年后，林區的木材蓄積量能達到300萬m3.(12分)函數(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整數指數函數，其中x是自變量，定義域是正整數集N＋.解：鐳原來質量為20克；解析：A中，原式＝a7b8；2．正整數指數函數是形式定義，與冪函數的定義既有聯系又有區別．雖都具有冪的形式，但指數函數的底數為常數，指數是自變量x.76%，設質量一種產品的利潤原來是a元，在今后10年內，計劃使利潤每年比上一年增加20%.B中，原式＝a3b3；某地區農民人均收入為3150元(其中工資收入為1800元，函數(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整數指數函數，其中x是自變量，定義域是正整數集N＋.76%)x(x∈N＋)．A．(－a4b2)·(－ab2)3＝a7b8C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6(2a3b－2)·(－6a2b－4)÷(－3a－1b－5)．[一點通]

1.人口、工地、復利、環境、細胞分裂等方面的問題是近幾年高考的熱點，應特別關注，涉及單位時間內變化率一定的問題可用公式y＝a(1＋α)x來計算，其中a為初始值，α為變化率，x為自變量，x∈N＋，y為x年變化后的函數值；

2.作函數的圖像應先列表再作出圖像，從左向右看，若圖像上升，則函數是增函數；若圖像下降，則函數是減函數，其實可總結出當a>0，α>0時，y＝a(1＋α)x是增函數．5．農民收入由工資性收入和其他收入兩部分構成，2007年

某地區農民人均收入為3150元(其中工資收入為1800元，

其他收入為1350元)，預計該地區自2008年起的5年內，

農民的工資收入將以每年6%的年增長率增長，其他收

入每年增加160元．根據以上數據，2012年該地區農民

人均收入介于 (

)A．4200元～4400元

B．4400元～4600元

C．4600元～4800元

D．4800元～5000元解析：設自2008年起的第n年農民的工資收入為y＝1800×(1＋6%)n.其他收入為y2＝1350＋160n，則第n年的收入y＝y1＋y2＝1800×(1＋6%)n＋1350＋160n，所以2012年農民人均收入為1800×(1＋6%)5＋1350＋160×5≈4558.8(元)．答案：B6．已知鐳每經過100年后剩留原來質量的95.76%，設質量

為20克的鐳經過x百年后剩留量為y克(其中x∈N＋)，求

y與x之間的函數關系式，并求出經過1000年后鐳的質

量．(可以用計算器)解：鐳原來質量為20克；

100年后鐳的質量為20×95.76%(克)；

200年后鐳的質量為20×(95.76%)2(克)；

300年后鐳的質量為20×(95.76%)3(克)；

……x百年后鐳的質量為20×(95.76%)x(克)．∴y與x之間的函數關系式為y＝20×(95.76%)x(x∈N＋)．∴經過1000年(即x＝10)后鐳的質量為y＝20×(95.76%)10≈12.97(克)．1．正整數指數冪的運算應注意以下幾點：

(1)同底數正整數指數冪的乘、除，底數不變，指數進行加減運算；

(2)正整數指數冪的運算也符合有關的運算律及運算步驟，如結合律，即在運算中先算乘除，后算加減，有括號的先算括號內的部分；某地區農民人均收入為3150元(其中工資收入為1800元，所以2012年農民人均收入為1800×(1＋6%)5＋1350＋160×5≈4558.入每年增加160元．根據以上數據，2012年該地區農民(2)當0<a<1時，y＝ax(x∈N＋)是減函數．當a>1時，y＝ax(x∈N＋)是增函數．正整數指數函數的圖像特點：1．下列各式運算錯誤的是 ()(2)作函數y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)圖像見下圖，解：原式＝[2×(－6)÷(－3)]a3＋2＋1b－2－4＋51．正整數指數冪的運算應注意以下幾點：解析：設自2008年起的第n年農民的工資收入為y＝1800×76%)x(x∈N＋)．某地區農民人均收入為3150元(其中工資收入為1800元，(1)同底數正整數指數冪的乘、除，底數不變，指數進行加減運算；100年后鐳的質量為20×95.(2)當0<a<1時，y＝ax(x∈N＋)是減函數．當a>1時，y＝ax(x∈N＋)是增函數．只有符合y＝ax(a>0，且a≠1，x∈N＋)這種形式的函數才是正整數指數函數．(3)要注意運算律的逆用，如amn＝(am)n＝(an)m；