專題11.9三角形章末重難點突破

【人教版】

三邊都不相等的三角形

按邊分底和腰不相等的三角形

等腰三角形

等邊三角形

分類

直角三角形

按角分銳角三角形

斜三角形

鈍角三角形

三角形的兩邊之和大于第三邊

三條邊

三角形的兩邊之差小于第三邊

穩定性

角平分線三條角平分線交于一點叫內心

I與三角形有關的線段1中線三條中線交于一點叫重心

高線三條高線交于一點叫垂心

三角形的內角和定理三角形內角和是180。

概念三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角

三角形的外角和為360。

與三角形有關的角

、三角形的外角出音/三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和

性質L------------------------------------------

\三角形的一個外角大

I于和它不相鄰的任何一個內角

n邊形的內角和為(n-2)?18(F(n23)

n邊形的外角和為360°(n23)

n邊形的對角線為n(n-3)/2條

每條邊都相等

正n邊形/每個內角都相等為[(n-2)?180°]/n內23)

、每個外角都相等為36(F/n

(多邊形具有不穩定性

物充1^三

【考點1三角形的三邊關系】

【例1】（2021春?沙坪壩區校級期末）一個三角形兩邊長分別為3,7,若它的周長是小于16的整數，則

第三邊的長為（）

A.1B.3C.5D.7

【分析】設第三邊的長為/,再根據三角形的三邊關系進行解答即可.

【解答】解：設第三邊的長為/,貝II7-3＜/＜7+3,即

.?.14〈周長〈20,

???它的周長是小于16的整數，

周長為15,

第三邊長為5,

故選：C.

【變式1-1］（2021春?九江期末）小明現有兩根4c制、9c5的木棒，他想以這兩根木棒為邊釘一個三角形

木框，現從5cm,7cm,9cm,Wcm,\3cm,17cnz的木棒中選擇第三根（木棒不能折斷），則小明有

種選擇方案.

【分析】根據在三角形中任意兩邊之和＞第三邊，任意兩邊之差〈第三邊，求得第三邊的取值范圍；再

從中找到符合條件的數值.

【解答】解：根據三角形的三邊關系，得：第三根木棒應＞5。"，而＜13cm.故7a〃，9cm,llc/w能滿

足，有三種選擇方案.

故答案是：三.

【變式1-2］（2021春?西城區校級期中）長度為20厘米的木棍，截成三段，每段長度為整數厘米，請寫出

一種可以構成三角形的截法，此時三段長度分別為9厘米，9厘米，2厘米（答案不唯一），能構成

三角形的截法共有8種.（只考慮三段木棍的長度）

【分析】已知三角形的周長，分別假設三角形的最長邊，從而利用三角形三邊關系進行驗證即可求得不

同的截法.

【解答】解：???木棍的長度為20厘米，即三角形的周長為20厘米，

...①當三角形的最長邊為9厘米時，有4種截法，分別是：9厘米，9厘米，2厘米；9厘米，8厘米，3

厘米；9厘米，7厘米，4厘米；9厘米，6厘米，5厘米；

②當三角形的最長邊為8厘米時，有3種截法，分別是：8厘米，8厘米，4厘米；8厘米，7厘米，5厘

米；8厘米，6厘米，6厘米：

③當三角形的最長邊為7厘米時，有1種截法，是：7厘米，7厘米，6厘米；

能構成三角形的截法共有4+3+1=8種.

故答案為：9厘米，9厘米，2厘米（答案不唯一）；8.

【變式1-3］（2021春?嵩縣期末）如圖所示，力是△ABC的邊4c上任意一點（不含端點），連結8。，請

判斷A8+BC+AC與2B。的大小關系，并說明理由.

【分析】根據三角形兩邊之和大于第三邊即可求解.

【解答】解：AB+BC+AO2BD.理由如下：

在△A8O中，AB+AD>BD,

在△BCD中，BC+CD>BD,

：.AB+AD+BC+CD>2BD,

即AB+BC+AO2BD.

【考點2三角形的穩定性】

【例2】（2021春?長春期末）下列圖形中，具有穩定性的是（)

【分析】根據三角形具有穩定性進行解答即可.

【解答】解：4、圖中沒有三角形，不具有穩定性，故此選項不符合題意：

B、圖中含有四邊形，不具有穩定性，故此選項不符合題意；

C、圖中含有四邊形，不具有穩定性，故此選項不符合題意；

。、圖中均是三角形，具有穩定性，故此選項符合題意；

故選：D.

【變式2-1］（2021春?道里區期末）工程師設計屋頂時通常把鋼架屋頂設計成三角形，這樣做應用的數學

原理是.

【分析】根據三角形的穩定性解答即可.

【解答】解：工程師設計屋頂時通常把鋼架屋頂設計成三角形是利用三角形具有穩定性，

故答案為：三角形具有穩定性.

【變式2-2］（2021春?洛江區期末）要使五邊形木架（用5根木條釘成）不變形，至少要再釘2根木條.

C

【分析】三角形具有穩定性，其它多邊形不具有穩定性，把多邊形分割成三角形則多邊形的形狀就不會

改變.

【解答】解：再釘上兩根木條，就可以使五邊形分成三個三角形.故至少要再釘兩根木條.

【變式2-3］（2021秋?岳池縣期末）如圖這是一個由七根長度相等木條釘成的七邊形木框.為使其穩定，

請用四根木條（長短不限）將這個木框固定不變形，請你設計出三種方案.

方案一方案二方案三

【分析】將七邊形分成三角形，根據三角形具有穩定性進行畫圖即可.

【解答】解：三種方案如圖所示：

【例3】（2021春?遷安市期末）如圖，在AABC中，AD,AE分別是邊CB上的中線和高，AE=6cm,

ABD=\2cm2,則BC的長是（）

【分析】由AC為CB邊上的中線可得SAABC=25AABO=24a”2,再根據三角形ABC的面積計算公式［BC?

AE=24,可解出BC的長.

【解答】解：為C8邊上的中線，

:.S/\ABC=2s△ABQ=24cm2,

即工BC.AE=24,

2

又AE=6cmf

解得：BC=8cm,

故選：C.

【變式3?1】（2021春?貴陽期末）如圖，AO為△ABC的中線，BE為△A3。的中線.若△ABC的面積為

60,BD=5,則△8DE的8。邊上的高是()

【分析】由中線AO推出△A3。的面積，再由中線8E推出的面積，最后結合80=5求出邊

上的高.

【解答】解：是△A8C的中線，5AABC=60,

',-S^ABD=*SAABC=*x60=30,

8E是△ABO的中線，

:.S&BDE=：SAABD=x30=15,

設5。邊上的高為〃，80=5,

11

-BD-h=~x5X/?=15,

22

故選：D.

【變式3-2](2021春?寬城區期末)如圖，△ABC的面積為30,A。是AABC的中線，BE是△A3。的中

線，EF上BC于點、F.

(1)求aBOE的面積.

(2)若EF=5,求CQ的長.

11

【分析】(1)由中線性質可得S^ABD=2s△A8C，S&BED=金＞ABD,即可得答案；

1155

(2)由三角形面積公式S△曲=加0,環，即三=5加可得80=3,從而由中線性質可得。=5。

=3.

【解答】解：(1)是8c的中線，

?,-S&ABD=^SMBC=/x30=15，

是△A8O的中線，

??SABED=2sZ\AB0=3X15=.

(2)'：EFLBC,

1155

:.S^BDE=5BD?EF,即——=-BD,

222

：.BD=3,

是△ABC的中線，

：.CD=BD^3.

【變式3-3](2021春?江都區期末)如圖，在△ABC中，NA=NBCD,CDLAB于點D,BE平分N4BC

交CD、CA于點F、E.

(1)求/ACB的度數；

(2)說明：ZCEF=ZCFE.

(3)若AC=3CE、AB=4BD,△ABC、/XCEF.△BDF的面積分別表示為SAABC、SKEF、SABDF,且S

△ABC=36,則SACEF-S/\B￡>F=(僅填結果).

【分析】（1）由CQ_LAB得/A+NAC￡）=90°,結合NA=NBCQ,從而得NBCQ+NACQ=90°,即

ZACB=90a；

（2）由（1）可知乙4c3=90°,則有NCEF=90°-NCBE,再由COJ_A8得N8FD=90°-NDBF,

結合BE是NA8c的平分線，有NCBE=NDBF,從而有NCEB=NBFD,最后由對頂角/CFE=/8FQ,

即可求解；

（3）由已知條件可得：CE=%C,BD=；BD,由的面積為36,可得：。=焉，?C=^|,再由

SACEF-S&BDF=SABCE-SABCF-(S&BCD-SABCF).整理得S&CEF-S&BDF=S&BCE-SABCD,結合三角形

的面積公式即可求解.

【解答】解：(1)'：CD±AB,

???NA+NAO)=90°,

???NA=NBC。，

AZBCD+ZACD=90°,

即NAC8=90°；

(2)由(1)可知NAC8=90°,

：.ZCEF=90Q-NCBE,

u：CDLAB,

：.ZBFD=90°-/DBF,

〈BE是/ABC的平分線，

：.NCBE=NDBF,

:.NCEB=NBFD,

?：NCFE=/BFD,

:?NCEF=NCFE；

(3)VAC=3CE>A8=48O,

：.CE=^AC,BD=%B,

*/S^ABC=36,/XABC是直角三角形，

179

：.-AB-CD=36,得：CD=著，

179

-AC*BC=36,得：BC=浣,

??,由(1)可得△BCE,△BOb是直角三角形，

:.SdCEF-SABDF=S&BCE-S^BCF-(S^BCD-S2BCF),

整理得：S^CEF-S^BDF—S^BCE-S8BCD

11

=^BC-CE-^BD-CD

1721"1I4。72

=2、而x^AC-zX/Bx而

=12-9

=3.

故答案為：3.

【考點4三角形內角和定理的應用】

【例4】（2021春?道里區期末）如圖，在△ABC中，。是4c上一點，E是AB上一點，BD,CE相交于點

F,ZA=60°,NA8O=20°,ZACE=35°,則NEFQ的度數是（）

;

A.115°B.120°C.135°D.105°

【分析】由的內角和為180°,可以求NAO8,由△AEC內角和為180°,可以求ZAEC,再根

據四邊形AEFD內角和為360°,可求NEED

【解答】解：在△AEC中，ZA+ZACE+ZAEC=\S0°,

：.Z/l￡C=180o-ZA-ZACE=180°-60°-35°=85°,

在△ABQ中NA+NA8Q+NADB=180°,

.?./AZ）B=180°-/A-NABO=180°-60°-20°=100°,

在四邊形中，ZA+ZAEC+ZADB+2ZEFD^360e,

AZEFD=360°-ZX-ZAEC-ZADB=360°-60°-85°-100°=115°,

故選：A.

【變式4-1］（2021春?高州市期末）如圖，小明從一張三角形紙片ABC的4c邊上選取一點M將紙片沿

著BN對折一次使得點A落在A'處后，再將紙片沿著8A'對折一次，使得點C落在BN上的C'處，

已知NCMB=68°,/A=18°,則原三角形的/C的度數為（）

C.75°D.72°

【分析】己知乙4=18°,欲求ZC,需求NA8c.如圖，由題意得：△ABVgZWBN,XCBN9叢

CBM,得N1=/2=N3,ZCMB=ZCMB=68°,則需求/3.根據三角形內角和定理，得/3+/C

=112°,NA8C+NC+18°=180°,即3N3+NC=162°,故求得N3=25°

【解答】解：如圖，

由題意得：BN,/\CBN^/XCBM.

二/1=/2,/2=/3,/CMB=NCMB=6S°.

N1=N2=N3.

ZABC=3Z3.

又???N3+NC+NCM8=180°,

???N3+NC=1800-NCM8=180°-68°=112°.

又???NA+NABC+NC=180°,

A180+2N3+(Z3+ZC)=180°.

/.180+2/3+112°=180°.

???N3=25°.

.\ZC=112°-Z3=112°-25°=87°.

故選：A.

【變式4-2](2021春?興隆縣期末)在△ABC中，ZBAC=90°,ZACB=60°,點P為8C上任意一點,

可以與C重合但不與點3重合，A。平分NB4P,5。平分NA3P.

(1)當點尸與。重合時，求NADB的度數；

(2)當AP,5c時,直接寫出NAO3的度數；

(3)直接寫出NAO3的取值范圍.

D

B

PC

【分析】(1)由三角形的內角和定理求得NABC的度數，利用角平分線的定義可求解NA8O的度數，

結合點P與C重合時/BAP=90°,利用角平分線的定義可求解/84O的度數，再利用三角形的內角定

理可求解

(2)由當8c可得NAP8=90°,利用角平分線的定義可求解NA8Q,N8AO的度數，再利用三角

形的內角定理可求解；

(3)先利用三角形的內角和定理可得/ADB=165°-ZBAD,利用戶點分別于8點，C點重合時分別

求解的度數，進而可求解的取值范圍.

【解答】解：(1)'：ZBAC=90°,ZC=60°,

...NA8C=180°-90°-60°=30°,

平分乙48C,

AZABD=I5a,

當點P與點C重合時，NBAP=N84C=90°,

：A￡＞平分/54尸，

：.ZBAD=45°,

：.ZADB^\S00-15°-45°=120°；

(2)當AP1.8C時，ZAPB=90°,

：.ZBAP=\S00-90°-30°=60°,

平分NA8C,

.../A8D=15°,

,：AD平分N8AP,

：.ZBAD=30°,

/.1800-15°-30°=135°；

(3)VZABD=15°,

ZADB=180°-ABAD-15°=165°-/BAD,

當P點與8點重合時，ZBAD=O0,

：.ZADB=165°,

當P點與C點重合時，ZBAD=45°,

：.ZADB=\20°,

120°^ZAZ)B<165°.

【變式4-3](2021春?鐵西區期末)在△ABC中，點。，E分別在邊AC,8c上，點尸是邊A8上的一個

動點，

(1)如圖，若NACB=90°,

①當NDPE=75°時，求NAOP+/8EP的度數；

②當/￡)PE=60°時，則N4OP+/8EP=°；

(2)若當NOPE=〃時，請直接用含機，"的式子表示NAOP+NBEP的度數.

【分析】(1)①由三角形的內角和定理可得：/A+/B=180°-NC=90°,NA+/APO+NAOP=180°,

ZB+ZBPE+ZBEP=}80a,結合/4PC+/BPE=180°-NQPE=105°,從而可求得/AOP+N8EP

的度數；

②根據①的方式進行求解即可；

(2)結合(1)的過程，進行求解即可.

【解答】解:(1)?VZACB=90°,

/.ZA+ZB=180o-NC=90°,

VZA+ZAPD+ZADP=]S0°,NB+NBPE+NBEP=180°,乙4PO+NBPE=180°-NDPE=105°,

AZA+ZAPD+ZADP+ZB+ZBPE+ZBEP^\80Q+180°,

(Z-4+ZB)+(ZAPD+ZBPE)+(NAOP+NBEP)=360°,

900+105°+(NADP+NBEP)=360°,

解得：ZADP+ZBEP^\65°；

②同理①可得：ZAPD+ZBPE^]S0°-/DPE=120°,

可求得：NADP+NBEP=150。；

故答案為：150；

(2)?VZACB=ni,

AZA+ZB=180°-/??,

VZA+ZAPD+ZADP=180°,ZB+ZBPE+ZBEP=180°,ZAPD+ZBPE=180°-ZDPE=180°-

n,

：.ZA+ZAPD+ZADP+ZB+ZBPE+ZBEP^\SO°+180°,

(ZA+ZB)+QAPD+NBPE)+(NADP+NBEP)=360°,

180°-m+1800-n+(ZADP+ZBEP)=360°,

解得；NADP+NBEP=m+n.

【考點5直角三角形性質的應用】

【例5】如圖，AB1BC,BCLCD,ACLBD,垂足為尸，如果NA=a,那么NA8P和NPCQ分別等于多少？

【分析】在直角△ABP中,根據直角三角形兩銳角互余可得NA8P=90°-ZA=90°-a；利用同角的

余角相等可得NPCQ=90°-ZACB=ZA=a.

【解答】W：'JAC^BD,

，/APB=90°,

/.ZABP=900-ZA=90°-a；

,：AB±BC,BCLCD,

：.NABC=NBCD=90°

AZPCD=90°-ZACB=ZA=a.

【變式5-1］如圖，ZVIBC中，ADLBC,CEVAB,垂足分別為￡)、E,AD,CE交于點H,已知/B=48°,

ZBAC=72°,求/C4O與/￡>HE的度數.

【分析】根據直角三角形兩銳角互余求出NBA。，再根據NCAO=NBAC-NBA。代入數據計算即可得

解；然后根據三角形的個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得計算即可

得解.

【解答】解：?.?AO_LBC,

：.ZADB^90°,

：.ZBAD=90°-ZB=90°-48°=42°,

：.ZCAD=ZBAC-ZBAD=30°,

,：CELAB,

.../AEC=90°,

由三角形的外角性質得，NDHE=NBAD+NAEH=42°+90°=132°.

【變式5-2](1)如圖①，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,CDLAB,垂足為￡>,/ACD與有什么關

系？為什么？

(2)如圖②，在RtZL48C中，ZC=90°,。、E分別在AC,AB±,且NAOE=NB,判斷△4OE的

形狀是什么？為什么？

(3)如圖③，在Rtz^ABC和中，NC=90°,ZE=90°,AB_LB￡>,點C,B,E在同一直線

上，NA與NO有什么關系？為什么？

【分析】(1)根據直角三角形的性質得出/48+乙4=/8+/。。8=90°,再解答即可;

（2）根據直角三角形的性質得出/4。耳/4=//1+/8=90°,再解答即可；

（3）根據直角三角形的性質得出乙48。+/4=/4配'+/。8￡=/。8比/。=90°,再解答即可.

【解答】解：（1）ZACD^ZB,理由如下：

\?在RtZ\48C中，ZACB=90°，CDLAB,

：.ZACD+ZDCB=ZB+ZDCB=90°,

：.ZACD=ZB；

（2）△ADE是直角三角形.

?在RtZiABC中，ZC=90°,。、E分別在AC,AB上，且NAOE=NB,乙4為公共角，

.?./AE￡>=/4CB=90°,

...△AOE是直角三角新；

（3）ZA+ZD=90°.

;在Rt/XABC和RtZ\OBE中，NC=90°,Z￡=90",ABLBD,

：.ZABC+ZA^ZABC+ZDBE^ZDBE+ZD=900,

二NA+N￡>=90°.

【變式5-3]（2021春?興化市期末）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AE平分NC4B,CD±AB,AE、

CD相交于點F.

（1）若/OCB=50°,求/CEF的度數；

（2）求證：ZCEF=ZCFE.

【分析】（1）根據直角三角形的性質得到/OC8+NB=90°,ZCAB+ZB=90°,進而得到NCA8=/

DCB,根據角平分線的定義計算即可；

（2）根據角平分線的定義得到/8AE=/CAE,根據直角三角形的性質得到/CEF=/AFC,根據對頂

角相等證明結論.

【解答】（1）解：?.?CO_L48,

：.ZDCB+ZB=90Q,

VZACB=90°,

:.NCAB+NB=90°,

：.ZCAB=ZDCB=50°,

平分/C48,

：.ZCAE=^ZCAB=25°,

；.NCEF=90°-NC4E=65°；

（2）證明：平分NC4B,

:.NBAE=NCAE,

VZCAE+ZCEF=90°,NRAE+/4F￡>=90°,

:.NCEF=NAFD,

'：ZCFE=NAFD,

：.ZCEF^ZCFE.

【考點6三角形外角性質的應用】

【例6】（2021春?淮陽區期末）如圖，在△ABC中，BP平分NABC,AP平分NNAC,CP平分△ABC的

外角/ACM,連接AP,若N8PC=40°,則/NA尸的度數是（）

【分析】根據三角形外角性質和角平分線的定義解答即可.

【解答】解：：8P平分/ABC,CP平分△4BC的外角/ACM,

：.ZPCM=^zACM,ZPBC=^Z-ABC,

/ACM=ZABC+ZBAC,NPCM=/PBC+/BPC,

111

???ZPCM=|ZL4BC+Z-BAC=專乙ABC+N8PC,

.?.ZBPC=izBAC=40°，

：.ZBAC=80°,

???NN4C=100°,

：.ZNAP=50°,

故選：c.

【變式6-1](2021春?曲周縣期末)如圖，在△ABC中，NBAC=48°,點/是NA8C,NACB的平分線

的交點.

(1)ZBIC=.

(2)若點E是內角/ABC、外角/AC￡＞的平分線的交點，則/BEC與/區4c的數量關系為；

(3)在(2)的條件下，當N4CB=時，CEHAB.

【分析】(1)想辦法求出//8C+//CB即可解決問題.

(2)設/ACE=NECG=x,NAB/=NIBC=y,利用三角形的外角的性質構建方程組即可解決問題.

(3)利用平行線的性質即可解決問題.

【解答】解：(1)：/A=48°,

ZABC+ZACB=]SOa-48°=132°,

?.?點/是兩角NA8C、NACB的平分線的交點，

AZIBC+ZICB^|(NABC+/ACB)=66°,

AZB/C=180°-66°=114°.

故答案為114。.

(2)設/4CE=/ECG=x,NABI=N1BC=y,

：.2x=2y+ZBAC?,

x=y+ZBEC?,

①+2-②可得/BEC=|ZBAC,

故答案為：ZBEC=^ZBAC.

(3)當NACB=84°時，CE//AB,

理由：'：CE//AB,

：.ZECA=ZA=4S°,

.../ECG=/EC4=/A8C=48°,

...NACB=180°-48°-48°=84°

故答案為84°.

【變式6-2](2021春?沙坪壩區期中)如圖，CE是△ABC的外角/ACO的平分線，且CE交84的延長線

于點E.

(1)若NB=35°,ZE=25°,求/BAC的度數；

(2)證明：/BAC=NB+2NE.

【分析】(1)根據三角形的外角性質求出NEC。，根據角平分線的定義求出NACE,再根據三角形的外

角性質計算，得到答案；

(2)根據角平分線的定義、三角形的外角性質計算，證明結論.

【解答】(1)解：VZff=35°,ZE=25",

/.ZECD=ZB+ZE=60°,

平分/AC。，

AZACE=ZECD=60<,,

AZBAC=ZACE+ZE=S5°；

(2)證明：平分NAC￡),

/./ECD=ZACE,

"：ZBAC=ZE+ZACE,

NBAC=NE+NECD,

,：ZECD=ZB+ZE,

：.ZBAC^ZE+ZB+ZE,

：.ZBAC=2ZE+ZH.

【變式6-3]（2021春?寬城區期末）如圖，在AABC中，點E是邊AC上一點，ZAEB=ZABC.

（1）如圖1,作/8AC的平分線交CB、BE于D、F兩點.求證：ZEFD^ZADC.

（2）如圖2,作△ABC的外角/BAG的平分線，交CB的延長線于點力，延長BE、DA交于點F,試探

究（1）中的結論是否成立？請說明理由.

圖1圖2

【分析】（1）首先根據角平分線的性質可得/BAO=ND4C,再根據內角與外角的性質可得

DAC+ZAEB,ZADC=ZABC+ZBAD,進而得到/￡尸。=NAOC；

（2）首先根據角平分線的性質可得NBAO=/D4G,再根據等量代換可得/以￡=/84Z）,然后再根據

內角與外角的性質可得NEFZ）=NAE8-/必后，ZADC=ZABC-ABAD,進而得NEED=NADC.

【解答】解：（1）平分NBAC,

：.ZBAD=ZDAC,

,：/EFD=ZDAC+ZAEB,NADC=ZABC+ZBAD,

XVZAEB=ZABC,

：.ZEFD=ZADC；

（2）探究（1）中結論仍成立；

理由：：AD平分NBAG,

：.ZBAD=ZGAD,

'：ZFAE=ZGAD,

：.ZFAE^ZBAD,

"：NEFD=NAEB-ZFAE,/AOC=ZABC-ZBAD,

又：NAEB=NABC,

，NEFD=NADC.

【考點7多邊形的內角與外角綜合】

1

【例7】（2021春?漂陽市期末）若多邊形的每個內角都相等，且它的每一個外角是它的鄰補角的g,則該

多邊形是（）

A.十邊形B.十二邊形C.十五邊形D.十六邊形

【分析】根據多邊形的一個內角與一個外角的和為180°,一個外角等于與它相鄰的內角的g列出方程

組，從而求得外角的度數，最后根據任意多邊形的外角和是360。求解即可.

【解答】解：設這個多邊形的一個內角為x,則外角為彳，

根據題意得:x+1x=180°,

解得：x=150°,

1

-x=30°,

5

36004-30°=12,

故選：B.

【變式7?1】（2021春?寶豐縣期末）如圖，CG平分正五邊形ABCQE的外角NQCR并與NE4B的平分線

交于點O,則NAOG的度數為（）

A.144°B.126°C.120°D.108°

【分析】欲求/AOG,可求NAOC,則需求NBCO、ZOAB.ZB.因為五邊形A8CDE是正五邊形，所

以NE4B=NE=N3CQ=108°.又因為AO平分NE4B,CG平分NOCR所以可求得NOA8=54°,

1

Z5CG=108°+1zDCF=144°.

【解答】解：???任意多邊形的外角和等于360。，

/.ZDCF=360°+5=72°.

,這個正五邊形的每個內角為180°-72°=108°.

/.ZB=ZEAB=ZBCD=108°.

又〈AO平分N￡48,

JZOAB=^1Z-EAB=*1x108°=54°.

又??,CG平分NOCF,

ZDCG="iDCF=*1x72。=36°.

/.ZBCO=ZBCD+ZDCG=108°+36°=144°.

AZAOC=360°-(N84O+N6+/8CG)=360°-(54°+108°+144°)=54°.

AZAOG=180°-ZAOC=180°-54°=126°.

故選：B.

【變式7-2](2020秋?東川區期中)一個多邊形的內角和比外角和的3倍少180°,求

(1)這個多邊形的邊數；

(2)該多邊形共有多少條對角線.

【分析】(1)任意多邊形的外角和均為360。，然后依據多邊形的內角和公式列方程求解即可;

(2)多邊形的對角線公式為：空二2.

2

【解答】解：(1)設這個多邊形的邊數為〃.

根據題意得：180°X(n-2)=360°X3-180°,

解得：〃=7；

7X(7-3)7X4

(2)---=—=14.

22

答：(1)該多邊形為七邊形；(2)七邊形共有14條對角線.

【變式7-3](2020秋?大武口區期末)如果一個多邊形的各邊都相等且各角也都相等，那么這樣的多邊形

叫做正多邊形，如正三角形就是等邊三角形，正四邊形就是正方形，如下圖，就是一組正多邊形,

(1)觀察上面每個正多邊形中的Na,填寫下表：

正多邊形邊數3456…〃

Na的度數…

(2)根據規律，計算正八邊形中的Na的度數；

(3)是否存在正〃邊形使得Na=21°?若存在，請求出〃的值，若不存在，請說明理由.

【分析】(1)根據計算、觀察，可發現規律：正〃邊形中的/a=-

(2)根據規律，可得正八邊形中的Na的度數;

(3)根據正〃邊形中的可得答案.

【解答】解：(1)觀察上面每個正多邊形中的Na,填寫下表：

正多邊形邊數3456…〃

180

Za的度數60°45°36°30°…(

n

(2)根據規律，計算正八邊形中的Na=(―)°=22.5°；

(3)不存在，理由如下:

設存在正"邊形使得/a=21°,

180

得/a=21°（一

n

44

解得〃=8-，〃是正整數，〃=8-(不符合題意要舍去)，

不存在正〃邊形使得/a=21°.

【考點8角度計算探究題】

【例8】(2021春?遷安市期末)嘉琪在學習過程中，對教材的一個有趣的問題做如下探究:

【習題回顧】

已知：如圖1,在AABC中，乙4=40°,角平分線8。、CO交于點O.求N8OC的度數.

【變式思考】

(2)若NA=a,請猜想NBOC與a的關系，并說明理由;

【拓展延伸】

(3)已知I：如圖2,在△ABC中，角平分線80、C0交于點。，ODLOB,交邊BC于點。，作NA8E

的平分線交CO的延長線于點F.若NF=0,猜想NBAC與B的關系，并說明理由.

【分析】①利用內角和和角平分線性質，可求得角度大小，

②將定角換成動角，同樣利用內角和和角平分線性質，將角之間關系表示出來，

③在②結論基礎上，通過角平分線性質可求證陽〃0。，然后角的關系就能夠表達出來.

【解答】解：(I)110°

理由為；/4=40°,

/.ZB+ZC=180°-40°=140°,

1,角平分線80、CO分別平分NB、ZC,

11

：?4OBC=±/B,/OCB=RC,

：.ZOBC+ZOCB=1(ZB+ZC)=70°,

在△O2C中，N8OC=180°-(ZOBC+ZOCB)=110°,

故答案為：110°,

(2)ZBOC=90°+1,

理由為；NA=a,

AZB+ZC=180°-a,

?角平分線80、CO分別平分/B、ZC,

AZOBC=|ZB,NOCB=^NC，

：.ZOBC+ZOCB=1zB+izC=I(ZB+ZC)=1(1800-a)=90°

在△O8C中，ZSOC=1800-(NOBC+NOCB)=90+j,

故答案為：NBOC=90°+當

⑶ZSAC=2p,

由(2)結論可知NBOC=90°+等生，

：.ZBAC=2ZBOC-180°,

VOB.B尸分別平分NA8C和NABE,

11

ZABO=^ZABC,NABF=a/ABE,

AZOBF=ZABO+ZABF=(/4BC+Z48E)=1xl80°=90°,

ODVOB,

：.ZBOD=90°,

：.BF//OD,

...NCOQ=/F=B，

ZBOC=ZBOD+ZCOD=900+0,

ZBAC=2ZBOC-180°,

：.ZBAC=2ZBOC-1800=20,

故答案為：/BAC=20.

【變式8-1](2021春?橋西區期末)請認真思考，完成下面的探究過程.

已知在△ABC中，AE是NBAC的角平分線，ZB=60°,ZC=40°.

【解決問題】

如圖1,若AO_L8C于點。，求ND4E的度數；

圖1圖2

【變式探究】

如圖2,若下為AE上一個動點（/不與E重合），且FQJ_8c于點。時，則NDFE=為°；

【拓展延伸】

如圖2,aABC中，ZB=x°,ZC=y°,（且NB>NC）,若尸為線段AE上一個動點（尸不與E重

合），且FOLBC于點。時，試用x,y表示/DFE的度數，并說明理由.

【分析】（1）由NB=60°,ZC=40°,得/8AC=180°-ZB-ZC=80°.由角平分線的定義，得

Z￡AC=40°.根據三角形外角的性質，得NFEO=80°.由FDA.BC,根據三角形內角和定理，故可

求得/DFE.

（2）與（1）同理.

(3)與(I)同理.

【解答】解：(1)解決問題：??,NB=60°,ZC=40°,

.?.NA4c=180°-N8-NC=80°.

又：AE是N8AC的角平分線，

：.ZEAC=^BAC=40°.

AZAED=ZC+ZEAC=40a+40°=80°.

,：AD1BC,

/A￡>E=90°.

.?.ZDAE=180°-AADE-Z；4ED=180°-90°-80°=10°.

(2)變式探究：由(1)知：ZAED=S0°.

?：FDLBC,

：.ZFDE=90°.

.,.ZDF￡=180°-ZFDE-ZFED=180°-90°-80°=10°.

故答案為：10°.

11

(3)拓展延伸：NDFE=#_*y。,理由如下：

,NC=y°,

.../B4C=180°-x°-/.

又：AE是NBAC的角平分線，

11i1

ZCAE=iZ.BAC=(180°-x°-y°)=90。一>。一打。.

/.ZAED=ZC+ZCAE=y0+90。-1x°-1y°=9O°-1x°+!y°.

,:FD1.BC,

：.ZFDE=90°.

iiii

：.ZDFE=1SO°-ZFDE-ZFED=180°-90°-(90。一?。+"。)=/。一*y。.

【變式8-2](2020春?福山區期中)直線在同一平面內有平行和相交兩種位置關系，線段首尾連接可以變

換出很多不同的圖形，這些不同的角又有很多不同關系，今天我們就來探究一下這些奇妙的圖形吧！

【問題探究】

(1)如圖1,請直接寫出NA+/B+NC+NQ+NE=；

(2)將圖1變形為圖2,NA+NOBE+NC+ND+NE的結果如何？請寫出證明過程；

(3)將圖1變形為圖3,則NA+/B+NC+NO+/E的結果如何？請寫出證明過程.

【變式拓展】

(4)將圖3變形為圖4,己知NBGF=160°,那么乙4+NB+NC+/D+NE+NF的度數是

【分析】(1)根據三角形外角的性質，得到/2=/C+/E,/l=NA+/2,根據三角形內角和等于180°

即可求解.

(2)根據三角形外角的性質，得到NA8E=NC+/￡,ZDBC=ZA+ZD,即可證明此結論.

(3)根據三角形外角的性質，得到/OFG=N8+NE,ZFGD^ZA+ZC,即可證明此結論；

(4)根據三角形外角的性質，得到/BG尸=/8+N2=160°,/2=/E>+NF,NBGF=/l+NE=160",

Z1=ZA+ZC,即可得到結論.

【解答】(1)解：如圖1,VZ2=ZC+ZE,/l=/A+/2,

.?./A+/8+NC+/O+/E=/l+NB+/D=180°,

故答案為：180°；

(2)證明：VZABE^ZC+ZE,ZDBC=ZA+ZD,

ZABE+ZDBE+ZDBC^]SO°,

ZA+ZDBE+ZC+ZD+ZE=\SO°

將圖①變形成圖②/A+NOBE+NC+/D+/E仍然為180°：

(3)證明：?.,在△FG。中，/DFG+/FGD+/D=180°,

NDFG=NB