第二章結構的幾何構造分析概念平面幾何不變體系的組成規律平面桿件體系的計算自由度

本章目錄——不考慮材料的應變，即構件視為剛體受到荷載作用后，幾何形狀及位置都不能改變的體系稱為幾何不變體系。很小的荷載作用后，幾何形狀或位置有可能改變的體系稱為幾何可變體系。一、幾何不變體系與幾何可變體系§2-1幾何構造分析的幾個概念只有幾何不變體系才可以作為結構。二、自由度自由度是指描述體系運動時，所需獨立坐標的數目,即確定體系位置所需獨立坐標的數目。⑴平面內一點＿＿個自由度；yx⑵平面內一剛片＿＿個自由度；23xyxyxy

剛片是一個幾何形狀不變的平面物體或部分。約束：能減少自由度的裝置稱為約束(constraint)（也稱為聯系）。剛片：幾何形狀不變的平面物體。（可以是桿、由桿組成的鉸結三角形、地基……）三、剛片和約束：剛片Ⅰ剛片Ⅱ剛片Ⅲ常見約束:（1）單鉸(simplehinge)：僅連接兩個剛片的鉸。作用：單鉸可減少體系兩個自由度相當于兩個約束。固定鉸支座鏈桿可以是直桿、折桿、曲桿。作用：一根鏈桿可以減少體系一個自由度，相當于一個約束。（2）單鏈桿(connectionlink):兩端用鉸與其他體系相連的桿件。231（3）單剛結點(simplerigidjoint):僅連接兩個剛片的剛結點。固定端作用：一個單剛結點可減少三個自由度，相當于三個約束。剛結點（4）復鉸：連接三個或三個以上剛片的鉸。作用：n個剛片用一個復鉸連接，能減少(n-1)×2個自由度。1個連接n個剛片的復鉸

=(n-1)個單鉸復鉸等于多少個單鉸？（5）復剛結:一個剛結點連接三個及三個以上剛片。A單剛結點復剛結點連接n個桿的復剛結點等于多少個單剛結點？n-1個(n-1)×3個每個復剛結能使體系減少多少個自由度呢？每個自由剛片有多少個自由度呢？n=3每個單鉸能使體系減少多少個自由度呢？s=2每個單鏈桿能使體系減少多少個自由度呢？s=1每個單剛結點能使體系減少多少個自由度呢？s=3無多余約束的幾何不變體系A12123四．必要約束、多余約束一個多余約束的幾何不變體系A1231234保證結構體系幾何不變所必須具有的約束必要約束保證結構體系幾何不變所必須具有的約束以外的約束多余約束開口或封閉剛架：圖中所有的桿都是必要的約束。無多余約束的剛片一個多余約束的剛片二個多余約束的剛片三個多余約束的剛片下部正方形中任意一根桿，都可看作多余的約束

兩根鏈桿可以用一個單鉸來等效替換。在體系運動的過程中，與兩根鏈桿相應的虛鉸位置也隨著在改變，因此虛鉸也稱為瞬鉸。五、虛鉸（虛鉸也稱為瞬鉸）.CODABO′.從瞬時微小運動來看，兩根鏈桿所起的約束作用相當于在交點處的一個鉸所起的約束作用。無窮遠的虛鉸虛鉸（瞬鉸）的類型：

幾何可變體系分為常變體系和瞬變體系。六、常變體系、瞬變體系瞬變體系(instantaneouslyunstablesystem)--原為幾何可變，經微小位移后即轉化為幾何不變的體系。ABCPC1微小位移后，不能繼續位移不能平衡三鉸共線FN=FP/2sinα

α→0FN→∞

雖然經過微小位移以后變成幾何不變體系，不能繼續運動，但瞬變體系會產生很大的內力，不能作為真實的結構。αFP瞬變體系的其它幾種情況：三桿延長線交于一點三桿平行且不等長常變體系瞬變體系三桿交于一點常變體系的幾種情況：約束不足三桿平行且等長,且鏈桿在剛片的同側體系幾何不變體系幾何可變體系有多余約束無多余約束、瞬變體系可作為結構靜定結構超靜定結構不可作結構小結:§2-2幾何不變體系的組成規律討論沒有多余約束的,幾何不變體系的組成規律。

1.一個點與一個剛片之間的組成方式(二元體規律)IIIIIIIIIIIIII

一個點與一個剛片之間用兩根鏈桿相連,且三鉸不在一直線上,則組成無多余約束的幾何不變體系。2.兩個剛片之間的組成方式

兩個剛片之間用一個鉸和一根鏈桿相連,且三鉸不在一直線上,則組成無多余約束的幾何不變體系；或兩個剛片之間用三根鏈桿相連,且三根鏈桿不交于一點,則組成無多余約束的幾何不變體系。3.

三個剛片之間的組成方式

三個剛片之間用三個鉸兩兩相連,且三個鉸不在一條直線上,則組成無多余約束的幾何不變體系。牢記利用組成規律可以用兩種方式造結構：（1）從基礎出發構造（2）從內部剛片出發構造ABCDEFABCDEFACDBEABCDEF例1無多余約束的幾何不變體系.1,2.2,3.1,3例2....1,22,31,3例3例4無多余約束的幾何不變體系瞬變體系瞬變體系約束代換：折桿→直鏈桿。◆三個虛鉸均在無窮遠處是瞬變體系另解？應用三角形規則進行幾何組成分析，常用方法：a）從一個剛片（例如地基或鉸結三角形等）開始，盡量擴大剛片，使體系中的剛片個數盡量少。b）如果體系的支座鏈桿只有三根，且不交于同一點，則可以只對體系本身進行分析。c）如果體系的支座鏈桿多于三根時，則必須把基礎也做為一個剛片。d）注意約束的等效替換。例如：折桿、曲桿→直鏈桿；兩鏈桿→虛鉸。e）體系中的每根桿件和約束都不能遺漏，也不可重復使用。當分析進行不下去時，一般是所選擇的剛片或約束不恰當，應重新選擇剛片或約束再試。123456123456例5123456(1,2)(2,3)瞬變體系123456(1,2)(2,3)(1,2)(2,3)(1,3)F-2.3(a)試分析圖示體系的幾何組成。

AGCEBDF1.桿AB與大地通過鉸A和B處鏈桿形成剛片I；分析過程：2.桿FG與剛片I通過鏈桿EF、GD和C處鏈桿（三根鏈桿交于一點）形成瞬變體系。I結論：瞬變體系ACEBDFF-2.3(b)試分析圖示體系的幾何組成。

1.桿BF、CD與大地通過圖示三鉸（三鉸不在同一直線上）形成無多余約束的幾何不變體系。分析過程：結論：無多余約束的幾何不變體系無多余約束的幾何不變體系無多余約束的幾何不變體系有一個多余約束的幾何不變體系有一個多余約束的幾何不變體系ⅡA-2.3(c)試分析圖示體系的幾何組成。

瞬變體系ABCDFEGHIⅢ

§2-3平面桿件體系的計算自由度

m---體系中的剛片數目（注意不包括地基）

g---單剛結個數（固定端為一個單剛結）

h---單鉸個數

b---體系本身的鏈桿和支座鏈桿數（固定鉸支座為兩根支桿）W=3m-(3g+2h+b)（1）剛片體系：約束對象為剛片，而以連接剛片與剛片之間的剛結、鉸結及鏈桿作為約束。W＝自由度總和－全部約束的總數三種計算方法：（2）鉸結鏈桿體系（桁架）：

j——結點個數（注意j

不是單鉸的個數）。

b——體系本身的鏈桿和支座鏈桿數。

W=2j-b約束對象為結點，以連接這些結點的鏈桿及支座鏈桿作為約束。計算圖示體系的自由度：W=3

×9-(2×12+3)=0按剛片計算9根桿,9個剛片有幾個單鉸？3根鏈桿213312另一種解法:按結點計算6個結點12根鏈桿W=2

×6-12=0（3）混合公式——約束對象為剛片和結點，約束為鉸、剛結和鏈桿。則計算自由度公式為：m、j、g、h、b意義同前。解:

用混合公式計算。m=1j=5g=2b=10[例]

求圖示體系的計算自由度。BDACE12345678910I設:多余約束數為n計算自由度為W真實自由度為s三個量的關系:s－W=n說明:例：計算圖示體系的自由度W=3

×9-(2×12+3)=0W=0,但布置不當幾何可變。上部有多余約束，下部缺少約束。W＝0s＝1n＝1計算自由度=

體系真實的自由度？例：計算圖示體系的自由度。W<0,體系是否一定幾何不變呢？上部具有多余約束W=2×6-13=-1<0[例]

試求圖示體系的計算自由度。解：m=3g=0h=2b=5ABCIIIIII123小結若W＞0:幾何可變若W≤0:幾何可變、幾何不變解法一：m＝11B、C、D、G、H、I是連接三個剛片的復剛結，因此每個相當于2個單剛結，g＝12支座共7個約束11個剛片間沒有鉸結點，h=0W＝3×11－（3×12＋7）＝－10[例]

求圖示體系的計算自由度。解法二：將ABCDEGHI、FGHIJ看作剛片，m＝2G、H、I是連接兩個剛片的單剛結，g＝3支座共7個約束。2個剛片