高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省基地大聯考2024屆高三上學期第一次質量監測數學試題一、選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗一方面把不等式變形為，解得；另一方面若，則；結合交集以及區間的概念可知.故選：A.2.若復數滿足，則（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗由，得，，所以，故選：B3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由，可得或，即或，由，可得或，即或，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.下列可能是函數的圖象的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗函數定義域為R，排除選項AB，當時，，排除選項D，故選：C.5.已知函數在上單調遞減，則實數取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設，可得的對稱軸的方程為，由函數在上單調遞減，則滿足在區間單調遞減且，即且，解得，即實數的取值范圍是.故選：D.6.甲、乙、丙等六人相約到電影院觀看電影《封神榜》，恰好買到了六張連號的電影票．若甲、乙兩人必須坐在丙的同一側，則不同的坐法種數為（）A.360 B.480 C.600 D.720〖答案〗B〖解析〗由題意，甲、乙、丙等六人的全排列，共有種不同的排法，其中甲、乙、丙三人的全排列有種不同的排法，其中甲、乙在丙的同側有：甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙，丙乙甲，共4種排法，所以甲、乙兩人必須坐在丙的同一側，則不同的坐法種數為種.故選：B.7.已知正方體的棱長為2，則以點為球心，為半徑的球面與平面的交線長為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設點到平面的距離為，因為，所以，因為正方體的棱長為2，所以等邊的邊長為，所以，所以，解得，所以點為球心，為半徑的球面與平面的交線是以為半徑的圓，所以交線長為，故選：C.8.對，當時，，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，當時，則等價于，即等價于，即等價于，即等價于，令，，即等價于對，當時，，即函數在上單調遞減，即對，，即，由，則，所以，所以實數的取值范圍是．故選：D．二、選擇題9.下圖為甲、乙兩人在同一星期內每日步數的折線統計圖，則（）A.這一星期內甲的日步數的中位數為11600B.這一星期內甲的日步數的極差大于乙的日步數的極差C.這一星期內乙的日步數的方差大于甲的日步數的方差D.這一星期內乙的日步數的上四分位數是7030〖答案〗AB〖解析〗對于A：甲的步數：16000，7965，12700，2435，16800，9500，11600.從小到大排列為：2435，7965，9500，11600，12700，16000，16800,中位數是11600.故A正確；對于B：這一星期內甲的日步數的極差,這一星期內乙的日步數的極差,這一星期內甲的日步數的極差大于乙的日步數的極差,故B正確；對于C：由圖知甲的波動程度越大，故方差大故C錯誤；乙的步數從小到大排列為：5340，7030，10060，11600，12300，12970，14200，，故這一星期內乙的日步數上四分位數是12970，故D錯誤.故選：AB.10.已知事件A，B，且，則（）A.如果，那么B.如果，那么C.如果A與B相互獨立，那么D.如果A與B相互獨立，那么〖答案〗ABD〖解析〗A：由，則，正確；B：由，則，正確；C：如果A與B相互獨立，則，，錯誤；D：由C分析及事件關系知：，正確.故選：ABD.11.已知函數的定義域為，且，函數的圖像關于點對稱，，則（）A.是偶函數 B.的圖像關于直線對稱C. D.〖答案〗BCD〖解析〗因為函數的圖像關于點對稱，所以的圖像關于原點對稱，即是奇函數，故A錯誤；因為，所以令得，又因為是奇函數，所以，所以，即，所以的圖像關于直線對稱，故B正確；因為，，是奇函數，所以，故C正確；因為，所以的周期為8，又，，所以，故D正確；故選：BCD.12.已知，則下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因為，所以，，因為，所以，即，故A正確；因為，，所以，故B正確；因為，因為，故，故，故，故不正確.故C錯誤；因為，故D正確.故選：ABD.三、填空題13.在二項式的展開式中，常數項是______．〖答案〗〖解析〗其展開式第項為，當，即時，展開式第項為常數項，此時，故〖答案〗：14.已知同一平面內的單位向量，滿足，則______．〖答案〗〖解析〗因為，所以，兩邊平方得，因為均是單位向量，所以，所以，所以，所以.故〖答案〗為：.15.已知隨機變量，，且，，則______.〖答案〗〖解析〗由題意，，，，又，故，即，解得：.故〖答案〗為：16.已知直線與曲線和都相切，請寫出符合條件的兩條直線的方程：______，______．〖答案〗〖解析〗因為，，所以，，設直線與曲線和分別切于點，，所以切線方程分別為，，即，，因此，則，又，所以，化簡得，解得或，當時，切線方程為，當時，切線方程為.故〖答案〗為：，.四、解答題17.市場監管部門統計了某網紅飲品小店在2023年4月至8月的銷售收入（單位：萬元），得到以下數據：月份45678銷售收入1012111220（1）根據表中所給數據，求出關于的線性回歸方程，并估計2023年9月份該小店的銷售收入；（2）為調查顧客對該小店的評價情況，隨機抽查了200名顧客，得到如下列聯表，請填寫下面的列聯表，并判斷能否有的把握認為“顧客是否喜歡該網紅飲品小店與性別有關聯”．喜歡不喜歡總計男100女30總計110附：線性回歸方程：，其中，，0.0100.0050.0016.6357.87910.828解：（1）由已知得：，，，，則關于的線性回歸方程為，當時，，∴估計2023年9月份該小店的銷售收入19萬元．（2）因為200名顧客中男顧客有100名，則女顧客有100名，女顧客中不喜歡該網紅飲品小店有30名，則喜歡的有70名，200名顧客中喜歡該網紅飲品小店的有110名，則男顧客中喜歡的有40名，不喜歡的有60名，則2×2列聯表如下所示：喜歡不喜歡總計男4060100女7030100總計11090200根據列聯表中數據，，所以有的把握認為“顧客是否喜歡該網紅飲品小店與性別有關聯”．18.設為實數，函數，.（1）求的極值；（2）對于，，都有，試求實數的取值范圍.（1）解：函數的定義域為，，令，可得或，列表如下：增極大值減極小值增故函數的極大值為，極小值為.（2）解：對于，，都有，則.由（1）可知，函數在上單調遞減，在上單調遞增，故當時，，因為，且，則且不恒為零，故函數在上單調遞增，故，由題意可得，故.19.如圖，直三棱柱中，，平面平面．（1）求證：；（2）求二面角的正弦值．（1）證明：如圖所示，過點作于點，因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又因為平面，所以，由三棱柱為直三棱柱，可得平面，因為平面，所以，又因為，且平面，所以平面，因為平面，所以.（2）解：如圖所示，以點為坐標原點，以所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，因為，可得，則,設平面的法向量為，則，取，可得，所以，設平面的法向量為，則，取，可得，所以，則，設二面角平面角為為銳角，可得，所以，即二面角的正弦值為.20.第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在中國杭州舉辦．中國田徑隊擬派出甲、乙、丙三人參加男子100米比賽．比賽分為預賽、半決賽和決賽，只有預賽和半決賽都獲得晉級才能進入決賽．已知甲在預賽和半決賽中晉級的概率均為；乙在預賽和半決賽中晉級的概率分別為和；丙在預賽和半決賽中晉級的概率分別為和，其中，甲、乙、丙三人晉級與否互不影響．（1）試比較甲、乙、丙三人進入決賽的可能性大小；（2）若甲、乙、丙三人都進入決賽的概率為，求三人中進入決賽的人數的分布列和期望．解：（1）甲在初賽的兩輪中均獲勝的概率為，乙在初賽的兩輪中均獲勝的概率為，丙在初賽的兩輪中均獲勝的概率為，因為，所以，所以，即甲進入決賽的可能性最大.（2）設甲、乙、丙都進入決賽的概率為，則，且，解得，所以丙在初賽的第一輪和第二輪獲勝的概率分別為和，兩輪中均獲勝的概率為，進入決賽的人數的可能取值為0，1，2，3，則，，，所以的分布列為0123所以.21.如圖，四棱錐的底面為菱形，，底面，分別是線段的中點，是線段上的一點.（1）若是直線與平面的交點，試確定的值；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求三棱錐體積.解：（1）取的中點，連接，則，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，設，則設平面的法向量，則，所以，取，易知，所以，解得，此時；（2）設，則則，整理得，解得或（舍去），，，設平面的法向量為，則，所以，取，又，則點到平面的距離即點到平面的距離為，由已知條件，在中，，可得所以，.22.已知函數．（1）求證：；（2）若函數在上存在最大值，求的取值范圍．（1）證明：由函數，可得，則，令，可得，當時，可得，單調遞增；當時，可得，單調遞減，所以，所以，即，即.