第四章振動與波動vibrationandwave物體在一定的位置附近作來回往復的運動。機械振動：(mechanicalvibration)振動：波動：振動狀態在空間的傳播。簡諧運動:任何物理量在某個數值附近作周期性的變化。振動規律為時間最簡周期函數的振動。任何復雜振動都可看作是由若干簡諧振動合成。xo§4-1簡諧運動4-1-1簡諧運動的基本特征彈簧振子：

一根輕彈簧和一個剛體構成的一個振動系統。Fx回復力遵守胡克定律：k為勁度系數(stiffness)(springoscillation)(restoringforce)（1）在彈性限度內，回復力和位移成正比。（2）回復力與位移反向，始終指向平衡位置。由牛頓第一定律：得:令該方程的解即簡諧運動方程簡諧運動的三項基本特征：簡諧運動：遵守余弦（或正弦）規律的物體運動。(simpleharmonicmotion)簡諧運動的速度：簡諧運動的加速度：OωAT4-1-2描述簡諧運動的物理量

周期T：完成一次全振動所經歷的時間振幅A

：最大位移值，x=±A角頻率

：頻率

：單位時間內完成全振動的次數(amplitude)(angularfrequency)(frequency)(period)又稱圓頻率(circularfrequency)相位：(

t+

)彈簧振子的頻率:彈簧振子的周期:彈簧振子的振動頻率和周期僅與振子本身的性質（k和m）有關，而與其它因素無關。由振動系統本身的固有屬性所決定的頻率和周期稱為固有頻率和固有周期。(naturalfrequency)(naturalperiod)(phase)(initialphase)初相位：

，取值一般在

之間速度相位比位移相位超前

/2

稱為加速度幅稱為速度幅加速度與位移反相位結論：作簡諧運動的質點，其加速度與位移恒成正比，而方向相反。

即根據初始位移和初始速度，可確定振幅和初相位：設t=0時，x=x0，v=v0

兩個簡諧運動狀態的比較主要決定于兩者的相位差。相位差(phasedifference)同相(in

phase)反相(ofoppositephase)，2的相位超前于1，或1的相位滯后于2，2的相位滯后于1，或1的相位超前于2此為兩振動同頻情況4-1-3簡諧運動的旋轉矢量表示法旋轉矢量A在x軸上的投影點M的運動規律：可見旋轉矢量投影點M的運動為簡諧運動。xPMyOt=0xM

旋轉矢量A旋轉一周的時間，即M點完成一次全振動的周期

旋轉矢量的模A即振幅

旋轉矢量A的角速度

即角頻率

t=0時，A與x

軸的夾角即初相位

旋轉矢量A與x

軸的夾角(

t+

)即相位yxPO例1

一質點沿x軸作簡諧振動，振幅為12cm，周期為2s。當t=0時,位移為6cm，且向x軸正方向運動。求(1)振動方程;(2)t=0.5s時，質點的位置、速度和加速度;(3)如果在某時刻質點位于x=-6cm，且向x軸負方向運動，求從該位置回到平衡位置所需要的時間。解：(1)設簡諧振動表達式為已知：A=12cm,T=2s，初始條件：t=0時，x0=0.06m,v0

>00.06=0.12cos

振動方程：yx所以(2)質點在t=0.5s時的位置、速度和加速度(3)設在t1時刻

，x=-0.06m，應有設在t2時刻

，x=0，應有yxt1t2例2

兩質點作同方向、同頻率的簡諧振動，振幅相等。當質點1在x1=A/2處，且向左運動時，另一個質點2在x2=-A/2處，且向右運動。求這兩個質點的相位差。解：A-AoA/2-A/2A-AoA/2-A/2例3

質量為m的比重計，放在密度為

的液體中。已知比重計圓管的直徑為d。試證明，比重計被推動后，將在豎直方向做簡諧振動，并計算其振動周期。解：取平衡位置為坐標原點平衡時浮力

其中V為比重計的排水體積0mgF0xx不平衡時例4

一輕彈簧一端固定，另一端連一定質量的物體。整個振動系統位于水平面內。今將物體沿平面向右拉長到x0=0.04m處釋放，試求：1、簡諧振動方程；

2.物體從初始位置運動到第一次經過A/2處時的速度。解：4-1-4簡諧運動的能量彈簧振子動能：彈簧振子勢能：其中彈簧振子的總機械能：總機械能（1）振子在振動過程中，動能和勢能分別隨時間變化，但任一時刻總機械能保持不變。（2）動能和勢能的變化頻率是彈簧振子振動頻率的兩倍。（3）頻率一定時，諧振動的總能量與振幅的平方成正比。（適合于任何諧振系統）結論：彈性勢能例5

當簡諧振動的位移為振幅的一半時，其動能和勢能各占總能量的多少？物體在什么位置時其動能和勢能各占總能量的一半？解：§4-2簡諧運動的合成和分解4-2-1簡諧運動的合成1.

兩個同方向、同頻率的簡諧運動的合成某一質點在直線上同時參與兩個獨立的同頻率的簡諧運動，其振動表達式分別表示為：兩個振動方向相同，振動頻率相同的簡諧運動的合成運動仍為簡諧運動。結論：x

即同相即反相例6圖示為兩個同方向、同頻率的簡諧振動曲線

(1)求合振動的振幅；

(2)求合振動的振動方程。解：反相疊加所以xTt角頻率為xyO因為，t=0時，x1=x2=0，所以2.

兩個同方向不同頻率簡諧運動的合成相對于的轉動角速度：兩矢量同向重合時：合振動振幅極大合振動振幅極小兩矢量反向重合時：拍：頻率相差不大時合振幅時大時小的現象(beat)拍的周期：拍的頻率：拍的解析分析：調幅(amplitude-modulated)拍的圖像：3.

相互垂直的簡諧運動的合成考慮兩個同頻率相互垂直簡諧運動的合成yx結論：兩相互垂直同頻率簡諧運動的合成振動軌跡為橢圓(又稱“橢圓振動”)。橢圓軌跡的形狀取決于兩個相互垂直振動的振幅和相位差。當yxyx當xy當李薩如圖形(Lissajoufigure)：

如果兩個相互垂直簡諧振動的頻率不相同，則合成振動的軌跡取決于兩個振動的振幅、頻率及相位差，所形成的閉合曲線稱為李薩如圖形。4-2-2簡諧運動的分解兩個頻率比為1:2的簡諧運動的合成

將一系列角頻率是某個基本角頻率ω（亦稱主頻）的整數倍的簡諧運動疊加，其合振動仍然是以ω為角頻率的周期性振動，但一般不再是簡諧運動。頻率為ω的非簡諧周期性函數f(t)，在一定條件下可以用傅里葉余弦級數表示：確定一個復雜振動包含的諧頻成分的過程稱為頻譜分析。根據基頻和諧頻的頻率值和振幅做出的圖稱為頻譜。(spectrumanalyzing)(frequency

spectrum)：基頻

(fundamentalfrequency)：n次諧頻(n-orderharmonicfrequency)小提琴和鋼琴振動譜及頻譜的對比(基頻同為440Hz)§4-3阻尼振動、受迫振動和共振(dampedvibration、forcedvibration、resonance)簡諧振動:阻尼振動:受迫振動:

稱為阻力系數(coefficientofresistance)F0為周期性驅動力的力幅三種振動形式的規律對比：簡諧振動阻尼振動受迫振動a：小阻尼b：過阻尼c：臨界阻尼共振頻率特別是當阻尼力為零時，共振振幅趨向于無窮大。共振振幅共振現象(resonance)：當阻尼力趨向于零時，共振頻率趨向于系統固有頻率。Ar零阻尼阻尼較小阻尼較大共振振幅與頻率的關系1940年，美國的TacomaNarrows大橋在通車4個月零6天后因大風引起扭轉振動，因振動頻率接近大橋的共振頻率而突然坍塌。例7

一物體懸掛在彈簧下作阻尼振動。開始時其振幅為120mm，經過2.4分鐘后，振幅減為60mm。問：(1)如振幅減至30mm時需要經歷多長時間；(2)阻尼系數為多少？解：阻尼振動方程取兩不同的時刻

t1和

t2§4-4非線性振動混沌4-4-1非線性振動設一個質點和一個理想彈簧構成一個振動系統彈性力：阻力：策動力：系統的運動方程：令是一個關于的一次冪函數

二階線性微分方程：二階非線性微分方程：是一個關于的二次或高次冪函數

Ol

mgT單擺

θ很小，（<5°）得線性方程：簡諧運動若θ不是很小，則至少要保留至第二項。得非線性方程：相圖法：即運用一種幾何的方法來討論非線性問題。將質點的位置（或角位置）作為橫坐標軸；將質點的速度（或角速度）作為縱坐標軸。相平面：相：某種運動狀態相點：在相平面內表征運動狀態的一個點。相跡（相圖）：相點的運動軌跡（反映運動狀態的變化）。單擺作小角度擺動：一次積分后單擺作小角度擺動時，其相跡為一正橢圓。封閉的相跡表示運動是周期性的往復運動。小角度阻尼擺動：一條向內旋進的螺旋線，曲線最終趨向中心點。吸引子：對應著系