2023—2024學年度第一學期期中考試高一數學本試卷共6頁，22小題，滿分150分.考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號填寫在答題卡指定的位置上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案涂黑；如需改動，擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案：不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，將答題卡交回.一、單選題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】根據全稱命題的否定為特稱命題，即可求解.【詳解】命題“，”的否定是“,”,故選：A2.下列不等式中成立的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】【分析】A，如時，，所以該選項錯誤；BCD，利用作差法比較大小分析得解.【詳解】A.若，則錯誤，如時，，所以該選項錯誤；更多優質支援請嘉威鑫MXSJ663B.若，則，所以該選項正確；C.若，則，所以該選項錯誤；D.若，則，所以該選項錯誤.故選：B3.“”是“，”的（）A.充分不必要條件 B.既不充分也不必要條件C.充要條件 D.必要不充分條件【答案】D【解析】【分析】根據充分性和必要性判斷即可.【詳解】，則，或，；，，則，所以是，的必要不充分條件.故選：D.4.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析可得，由此可得出結論.【詳解】任取，則，其中，所以，，故，因此，.故選：C.5.下列四組函數中，與表示同一個函數的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】分別判斷兩個函數的定義域和對應關系是否相同，即可對選項一一判斷是否為同一函數．【詳解】對于A，與的定義域均為，與的對應關系不同，故不是同一個函數；對于B，的定義域為，的定義域為，與的定義域不同，故不是同一個函數；對于C，的定義域為，的定義域為，與的定義域不同，故不是同一個函數；對于D，與的定義域均為，與的對應關系相同，故是同一個函數.故選：D.6.已知函數在上具有單調性，則實數取值范圍為A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】根據二次函數性質得對稱軸與區間位置關系，解不等式得結果.【詳解】因為函數在上具有單調性，所以或，即得以或，選D.【點睛】本題考查二次函數單調性性質，考查基本分析求解能力，屬基礎題.7.某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學生喜歡足球或游泳，60%的學生喜歡足球，82%的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數占該校學生總數的比例是（）A.62% B.56%C46% D.42%【答案】C【解析】【分析】由容斥原理即可得解..【詳解】由題意，該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數占該校學生總數的比例為所以該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數占該校學生總數的比例為.故選：C.8.關于的方程，有下列四個命題：甲：是該方程的根；乙：是該方程的根；丙：該方程兩根之和為；丁：該方程兩根異號．如果只有一個假命題，則該命題是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】A【解析】【分析】對甲、乙、丙、丁分別是假命題進行分類討論，分析各種情況下方程的兩根，進而可得出結論.【詳解】若甲是假命題，則乙丙丁是真命題，則關于的方程的一根為，由于兩根之和為，則該方程的另一根為，兩根異號，合乎題意；若乙是假命題，則甲丙丁是真命題，則是方程的一根，由于兩根之和為，則另一根也為，兩根同號，不合乎題意；若丙是假命題，則甲乙丁是真命題，則關于的方程的兩根為和，兩根同號，不合乎題意；若丁是假命題，則甲乙丙是真命題，則關于方程的兩根為和，兩根之和為，不合乎題意.綜上所述，甲命題為假命題.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題考查命題真假的判斷，解題的關鍵就是對甲、乙、丙、丁分別是假命題進行分類討論，結合已知條件求出方程的兩根，再結合各命題的真假進行判斷.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知集合，則以下正確的有（）A. B.C. D.集合A的真子集個數為4【答案】AC【解析】【分析】根據條件，先求出集合，再對各個選項逐一分析判斷即可得到結果.【詳解】由，得到，所以，則選項A正確；對于選項B，因為集合與集合間的關系是包含關系，所以選項B錯誤；對于選項C，因為是任何集合的子集，所以選項C正確；對于選項D，因為，集合含2個元素，故集合A的真子集個數為，所以選項D錯誤.故選：AC.10.定義在上的偶函數在上的圖象如下圖，下列說法不正確的是（）A.僅有一個單調增區間B.有兩個單調減區間C.在其定義域內的最大值是5D.在其定義域內的最小值是-5【答案】ABD【解析】【分析】補齊函數圖象，觀察即可判斷.【詳解】因為是定義在的偶函數，所以其圖象如下圖：由圖知：在上單調遞增，在上單調遞減，A，B錯誤；，C正確；由圖無法知曉其最小值，D錯誤.故選：ABD11.正數，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式及其性質可判斷各選項.【詳解】A選項：由，則，當且僅當時等號成立，A選項正確；B選項：由，則，當且僅當時等號成立，B選項錯誤；C選項：，所以，即，當且僅當時等號成立，C選項正確；D選項：，又，所以，當且僅當，即，時等號成立，D選項正確；故選：ACD.12.定義在正有理數集合上的函數具有以下性質：①對于所有的正有理數a和b，；②對于每一個質數，.則以下正確的是（）A. B.C D.【答案】ABC【解析】【分析】根據題設所給條件，對各個選項逐一分析判斷即可求出結果.【詳解】對于選項A，因為是質數，由題知，，所以選項A正確；對于選項B，對于所有的正有理數a和b，有，故取，得到，即，所以選項B正確；對于選項C，令，得到，得到，故，所以選項C正確；對于選項D，由選項C知，，所以選項D錯誤，故選：ABC.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.不等式的解集是________.【答案】【解析】【分析】根據一元二次不等式的解法計算即可.【詳解】由，即，即，即，所以不等式的解集是.故答案為：.14.函數的定義域為____．【答案】【解析】【分析】根據解析式，列出不等式，求出使解析式有意義的自變量的范圍即可.【詳解】因為，所以，則，即函數的定義域為.故答案為：.15.若函數滿足以下三個條件：①定義域為且是增函數；②；③只有1個解.請寫出一個符合要求的函數.________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據題意寫出滿足條件的函數即可.【詳解】由題意，函數定義域為，是增函數，且為奇函數，只有一個零點，則可取（答案不唯一）.故答案為：（答案不唯一）.16.實數x，y滿足，則________.【答案】2【解析】【分析】將方程組中的方程，形式化成相同，構造函數，確定函數為單調遞增函數，即可求得結論．【詳解】方程組可化為設，由于均為單調遞增函數，所以函數為單調遞增函數,故答案為：2四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.集合，，求，，【答案】，，【解析】【詳解】，，，，，或，或．18.已知不等式的解集為,集合，集合.（1）求b和c的值：（2）若，求實數m的取值范圍.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據一元二次不等式的解與一元二次方程的根的關系，由根與系數的關系即可求解，（2）根據一元二次不等式化簡集合，即可根據子集關系，分情況求解即可.【小問1詳解】由于不等式的解集為，所以是方程的兩個實數根，故且，所以，【小問2詳解】，由可得,當時，則，解得，當時，，解得，綜上可知：或19.已知函數.（1）當時，判斷函數在上的單調性，并用定義證明：（2）討論函數在上的單調性.【答案】（1）函數在上單調遞增，證明見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據題意，利用函數單調性的定義和判定方法，即可求解；（2）根據題意，分和，兩種情況，結合函數單調性的定義和判定方法，即可求解.【小問1詳解】解：當時，函數在上單調遞增.證明如下：任取且，則，因為且，可得，所以，即，所以函數在上單調遞增.【小問2詳解】解：由函數，任取，且，可得，若時，可得，所以，即，所以函數在上為單調遞增函數；若時，當時，可得，可得，即，所以函數在上為單調遞減函數；當時，可得，可得，即，所以函數在上為單調遞增函數.綜上可得，當時，在上為單調遞增函數；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.20.一家貨物公司計劃租地建造倉庫儲存貨物，經過市場調查了解到下列信息：每月土地占地費（單位：元）與倉庫到車站的距離（單位：）成反比，每月庫存貨物費（單位：元）與成正比；若在距離車站處建倉庫，則和分別為2萬元和8萬元.（1）寫出函數，的函數解析式：（2）這家公司應該把倉庫建在距離車站多少千米處，才能使兩項費用之和（）最小？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接設出，根據題設條件可求出，，再根據實際問題知，即可求出結果；（2）由（1）知，，再利用基本不等式即可求出結果.【小問1詳解】由題可設，又在距離車站處建倉庫，則和分別為2萬元和8萬元，所以，得到，，得到，又由實際問題知，故.【小問2詳解】由（1）知，當且僅當，即千米時，取等號，所以這家公司應該把倉庫建在距離車站千米處，才能使兩項費用之和（）最小.21.已知函數，且．（1）求的值；（2）當時，求的值域；（3）解不等式：．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由題可得，即求；（2）分段求值域，再求并集即得；（3）分情況討論，轉化為不等式組，最后求并集即得.【小問1詳解】∵，∴解得，∴，∴【小問2詳解】當時，當時，，故時，的值域為.【小問3詳解】∵，∴當時，不等式可化為，即，由，解得，當時，不等式可化為即，由，解得，當時，不等式可化為即，由，解得，綜上所述，不等式的解集為.22.設