微專題全等三角形的常見模型模型一平移模型典例1(2021·湖南衡陽)如圖,點A,B,D,E在同一條直線上,AB=DE,AC∥DF,BC∥EF.求證:△ABC≌△DEF.【答案】∵AC∥DF,∴∠CAB=∠FDE,∵BC∥EF,∴∠ABC=∠DEF,在△ABC和△DEF中,∠∴△ABC≌△DEF(ASA).平移模型的本質是兩個全等的三角形,其中一個可以通過另一個平移得到,所以這種模型往往與平行相聯系.常見的平移模型的圖形有:模型二對稱模型典例2(2021·云南)如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC,AC=BD,AC與BD相交于點E.求證:∠DAC=∠CBD.【答案】在△ACD和△BCD中,AD∴△ACD≌△BDC(SSS),∴∠DAC=∠CBD.對稱模型的本質是兩個全等的三角形能關于某條直線對稱.常見的對稱模型的圖形有:模型三旋轉模型類型1不共頂點的旋轉模型典例3如圖,點A,F,C,D在一條直線上,AB∥DE,AB=DE,AF=CD.求證:BC∥EF.【答案】∵AB∥DE,∴∠A=∠D.∵AF=CD,∴AF+CF=CD+CF,∴AC=DF.在△ABC與△DEF中,AB∴△ABC≌△DEF(SAS),∴∠ACB=∠DFE,∴BC∥EF.類型2共頂點的旋轉模型(手拉手模型)典例4(2021·湖南湘西州)如圖,在△ABC中,點D在AB邊上,CB=CD,將邊CA繞點C旋轉到CE的位置,使得∠ECA=∠BCD,連接DE與AC交于點F,且∠B=70°,∠A=10°.(1)求證:AB=ED;(2)求∠AFE的度數.【答案】(1)∵∠ECA=∠BCD,∴∠ECA+∠ACD=∠BCD+∠ACD,即∠DCE=∠ACB.由旋轉可得AC=EC,在△BCA和△DCE中,BC∴△BCA≌△DCE(SAS),∴AB=ED.(2)由(1)中結論可得∠CDE=∠B=70°,又∵BC=CD,∴∠B=∠BDC=70°,∴∠ADE=180°－∠BDE=180°－70°×2=40°,∴∠AFE=∠ADE+∠A=40°+10°=50°.無論哪種類型,圖中兩個全等三角形都滿足其中一個可以通過另一個旋轉得到.其常見圖形有:典例5如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點D,E在邊AB上,且∠DCE=45°.試說明:AD2+BE2=DE2.【答案】如圖所示,將△BCE繞點C順時針旋轉90°得到△ACF,連接DF.∵AC=BC,∠ACB=90°,∴∠CAB=∠B=45°.由旋轉可知∠FCE=90°,CF=CE,AF=BE,∠FAC=∠B=45°,∴∠FAD=90°.∵∠DCE=45°,∴∠DCF=45°,∴∠DCF=∠DCE,∴△CDF≌△CDE(SAS),∴DF=DE.∵AD2+AF2=DF2,∴AD2+BE2=DE2.半角模型也是旋轉模型的特殊情況.等邊三角形含半角(∠BDC=120°)等腰直角三角形含半角正方形含半角模型四一線三等角模型典例6如圖,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分別是D,E,AD=3,BE=1,求DE的長.【答案】∵BE⊥CE,AD⊥CE,∴∠E=∠ADC=90°,∴∠EBC+∠BCE=90°.∵∠ACB=∠BCE+∠DCA=90°,∴∠EBC=∠DCA.在△CEB和△ADC中,∠∴△CEB≌△ADC(AAS),∴DC=BE=1,CE=AD=3,∴DE=CE－DC=3－1=2.一線三等角模型是以一條直線構造三個相等的角構造全等三角形.常見圖形有:提分訓練1.如圖,已知∠ACB=∠DCE=90°,AC=BC=6,CD=CE,AE=3,∠CAE=45°,求AD的長.解:連接BE.∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE,即∠BCE=∠ACD.在△ACD和△BCE中,AC∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE.∵AC=BC=6,∴AB=62.∵∠BAC=∠CAE=45°,∴∠BAE=90°.在Rt△BAE中,BE=AB2+AE22.(2021·陜西改編)如圖,AB,BC,CD,DE是四根長度均為5cm的火柴棒,點A,C,E共線.若AC=6cm,CD⊥BC,求線段CE的長度.解:過點B作BM⊥AC于點M,過點D作DN⊥CE于點N.∵BA=BC,DC=DE,∴AM=CM=3,CN=EN.∵CD⊥BC,∴∠BCD=90°,∴∠BCM+∠CBM=∠BCM+∠DCN=90°,∴∠CBM=∠DCN.在△BCM和△CDN中,∠∴△BCM≌△CDN(AAS),∴BM=CN.在Rt△BCM中,∵BC=5,CM=3,∴CN=BM=BC∴CE=2CN=2×4=8(cm).3.(2021·貴州黔東南州)在四邊形ABCD中,對角線AC平分∠BAD.【探究發現】(1)如圖1,若∠BAD=120°,∠ABC=∠ADC=90°.求證:AD+AB=AC;【拓展遷移】(2)如圖2,若∠BAD=120°,∠ABC+∠ADC=180°.猜想AB,AD,AC三條線段的數量關系,并說明理由.解:(1)∵AC平分∠BAD,∠BAD=120°,∴∠DAC=∠BAC=60°.∵∠ADC=∠ABC=90°,∴∠ACD=∠ACB=30°,∴AD=12AC∴AD+AB=AC.(2)AD+AB=AC.理由:過點C分別作CE⊥AD于點E,CF⊥AB于點F.∵AC平分∠BAD,∴CF=CE.∵∠ABC+∠ADC=180°,