上海市徐匯區位育中學2023-2024學年高二上數學期末統考試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知p：，那么p的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.2．已知，若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.3．已知命題“”為真命題，“”為真命題，則（）A.為假命題，為真命題 B.為真命題，為真命題C.為真命題，為假命題 D.為假命題，為假命題4．若向量則（）A. B.3C. D.5．已知向量，則“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6．曲線在處的切線如圖所示，則（）A. B.C. D.7．下列關于命題的說法錯誤的是A.命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B.“”是“函數在區間上為增函數”的充分不必要條件C.命題“，使得”的否定是“，均有”D.“若為的極值點，則”的逆命題為真命題8．已知等比數列的前項和為，若，，則（）A.20 B.30C.40 D.509．“，”是“方程表示雙曲線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類以及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種，現從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測.若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數之和是（）A.4 B.5C.6 D.711．正三棱柱各棱長均為為棱的中點，則點到平面的距離為（）A. B.C. D.112．在三棱錐中，點E，F分別是的中點，點G在棱上，且滿足，若，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設函數（1）求的最小正周期和的最大值；（2）已知銳角的內角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，若，且，求的面積.14．如圖，在等腰直角中，，為半圓弧上異于，的動點，當半圓弧繞旋轉的過程中，有下列判斷：①存在點，使得；②存在點，使得；③四面體的體積既有最大值又有最小值：④若二面角為直二面角，則直線與平面所成角的最大值為45°.其中正確的是______（請填上所有你認為正確的結果的序號）.15．若直線與曲線沒有公共點，則實數的取值范圍是____________16．某市有30000人參加階段性學業水平檢測，檢測結束后的數學成績X服從正態分布，若，則成績在140分以上的大約為______人三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在下列所給的三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答①過（－1，2）；②與直線平行；③與直線垂直問題：已知直線過點M（3，5），且______（1）求的方程；（2）若與圓相交于點A、B，求弦AB的長18．（12分）某廠A車間為了確定合理的工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此作了五次試驗，得到數據如下：加工零件的個數x12345加工的時間y（小時）1.52.43.23.94.5（1）在給定的坐標系中畫出散點圖；（2）求出y關于x的回歸方程；（3）試預測加工9個零件需要多少時間？參考公式：，19．（12分）某校從高一年級學生中隨機抽取40名中學生，將他們的期中考試數學成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數)分成六段：，，…，所得到如圖所示的頻率分布直圖（1）求圖中實數的值；（2）若該校高一年級共有640人，試估計該校高一年級期中考試數學成績不低于60分的人數；（3）若從數學成績在[40，50)與[90，100]兩個分數段內的學生中隨機選取兩名學生，求這2名學生的數學成績之差的絕對值不大于10的概率.20．（12分）已知等比數列的前項和為，，．數列的前項和為，且，（1）分別求數列和的通項公式；（2）若，為數列的前項和，是否存在不同的正整數，，（其中，，成等差數列），使得，，成等比數列？若存在，求出所有滿足條件的，，的值；若不存在，說明理由21．（12分）已知橢圓的左焦點為F，右頂點為，M是橢圓上一點．軸且（1）求橢圓C的標準方程；（2）直線與橢圓C交于E，H兩點，點G在橢圓C上，且四邊形平行四邊形（其中O為坐標原點），求22．（10分）如圖所示，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，點E，F分別在棱，上，且，（1）證明：點在平面BEF內；（2）若，，，求直線與平面BEF所成角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】按照充分不必要條件依次判斷4個選項即可.【詳解】A選項：，錯誤；B選項：，錯誤；C選項：，，正確；D選項：，錯誤.故選：C.2、C【解析】根據題意，由為原點到直線上點的距離的平方，再根據點到直線垂線段最短，即可求得范圍.【詳解】由，，視為原點到直線上點的距離的平方，根據點到直線垂線段最短，可得，所有的取值范圍為，故選：C.3、A【解析】根據復合命題的真假表即可得出結果.【詳解】若“”為真命題，則為假命題，又“”為真命題，則至少有一個真命題，所以為真命題，即為假命題，為真命題.故選：A4、D【解析】先求得，然后根據空間向量模的坐標運算求得【詳解】由于向量，，所以.故故選：D5、A【解析】根據得出，根據充分必要條件的定義可判斷.【詳解】解：∵，向量，，∴，即，根據充分必要條件的定義可判斷：“”是“”的充分不必要條件，故選：A.6、C【解析】由圖可知切線斜率為，∴.故選：C.7、D【解析】根據命題及其關系、充分條件與必要條件、導數在函數中應用、全稱量詞與存在量詞等相關知識一一判斷可得答案.【詳解】解：A,由原命題與逆否命題的構成關系,可知A正確；B,當a=2>1時,函數在定義域內是單調遞增函數，當函數定義域內是單調遞增函數時，a>1.所以B正確；C,由于存在性命題的否定是全稱命題,所以"，使得"的否定是"，均有,所以C正確；D,的根不一定是極值點，例如:函數,則=0，即x=0就不是極值點,所以“若為的極值點，則”的逆命題為假命題,故選D.【點睛】本題主要考查命題及其關系、充分條件與必要條件、導數在函數中應用、全稱量詞與存在量詞等相關知識，需牢記并靈活運用相關知識.8、B【解析】根據等比數列前項和的性質進行求解即可.【詳解】因為是等比數列，所以成等比數列，即成等比數列，顯然，故選：B9、A【解析】根據雙曲線的方程以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【詳解】由，可知方程表示焦點在軸上的雙曲線；反之，若表示雙曲線，則，即，或，所以“，”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件故選：A10、C【解析】按照分層抽樣的定義進行抽取.【詳解】按照分層抽樣的定義有，糧食類：植物油類：動物性食品類：果蔬類=4:1:3:2，抽20個出來，則糧食類8個，植物油類2個，動物性食品類6個，果蔬類4個，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數之和是6個.故選：C.11、C【解析】建立空間直角坐標系，利用點面距公式求得正確答案.【詳解】設分別是的中點，根據正三棱柱的性質可知兩兩垂直，以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，，，.設平面的法向量為，則，故可設，所以點到平面的距離為.故選：C12、B【解析】利用空間向量的加、減運算即可求解.【詳解】由題意可得故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1）的最小正周期為，的最大值為1（2）【解析】（1）直接根據的表達式和正弦函數的性質可得到的最小正周期和最大值；（2）先根據求得角的大小為，然后在中利用余弦定理求得，最后根據三角形的面積公式即可【小問1詳解】已知則的最小正周期為：則的最大值為：【小問2詳解】由可得：（）或（）又為銳角，則可得：.在中，由余弦定理可得：，即又，解得：則的面積為：14、①②④【解析】①當D為中點，且A，B，C，D四點共面時,可證得四邊形ABCD為正方形即可判斷①；②當D在平面ABC內的射影E在線段BC上（不含端點）時，可知平面ABC，可證得平面CDB，即可判斷②；③，研究臨界值即可判斷③；④二面角D-AC-B為直二面角，且D為中點時，直線DB與平面ABC所成角的最大，作圖分析驗證可判斷④.【詳解】①當D為中點，且A，B，C，D四點共面時,連結BD，交AC于，則為AC中點，此時，且,所以四邊形ABCD為正方形，所以AB//CD，故①正確；②當D在平面ABC內的射影E在線段BC上（不含端點）時，此時有：平面ABC，，又因為，所以平面CDB，所以，故②正確；③，當平面平面ABC，且D為中點時，h有最大值；當A，B，C，D四點共面時h有最小值0，此時為平面圖形，不是立體圖形，故四面體D-ABC無最小值，故③錯誤.④二面角D-AC-B為直二面角，且D為中點時，直線DB與平面ABC所成角的最大，取AC中點O，連結DO，BO，則，AC=平面平面ACD，平面平面ACD，所以平面ABC，所以為直線DB與平面ABC所成角，設，則，，所以為等腰直角三角形，所以，直線與平面所成角的最大值為45°，故④正確.故答案為：①②④.15、；【解析】可化簡曲線的方程為，作出其圖形，數形結合求臨界值即可求解.【詳解】由可得，所以曲線為以為圓心，的下半圓，作出圖形如圖：當直線過點時，，可得，當直線與半圓相切時，則圓心到直線的距離，可得：或（舍），若直線與曲線沒有公共點，由圖知：或，所以實數的取值范圍是：，故答案為：16、150【解析】根據考試的成績X服從正態分布．得到考試的成績X的正太密度曲線關于對稱，根據，得到，根據頻率乘以樣本容量得到這個分數段上的人數【詳解】由題意，考試的成績X服從正態分布考試的成績X的正太密度曲線關于對稱，，，，該市成績在140分以上的人數為故答案為：150三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】(1)可依次根據直線方程的點斜式、“兩直線平行，斜率相等”、“兩直線垂直，斜率相乘為－1”求直線l的方程；(2)利用垂徑定理即可求圓的弦長.【小問1詳解】選條件①：∵直線過點(3，5)及(－1，2)，∴直線的斜率為，依題意，直線的方程為，即；選條件②：∵直線的斜率為，直線與直線平行，∴直線的斜率為，依題意，直線的方程為；即；選條件③：∵直線的斜率為，直線與直線垂直，∴直線的斜率為，依題意，直線的方程為，即；【小問2詳解】圓心為(2，3)，半徑為2，圓心到直線的距離為∴18、（1）圖見解析；（2）；（3）小時.【解析】（1）根據表格數據在坐標系中描出對應點即可.（2）由表格中的數據代入公式算出，再求，即可得到方程；（3）中將自變量為9代入回歸方程可得需用時間.【小問1詳解】【小問2詳解】由表中數據得：，，，，由x與y之間具有線性相關關系，根據公式知：，，∴回歸直線方程為：【小問3詳解】將代入回歸直線方程得，，∴預測加工9個零件需要小時19、（1）a=0.03；（2）544人；（3）.【解析】（1）根據圖中所有小矩形的面積之和等于1求解.

（2）根據頻率分布直方圖，得到成績不低于60分的頻率，再根據該校高一年級共有學生640人求解.

（3）由頻率分布直方圖得到成績在[40，50)和[90，100]分數段內的人數，先列舉出從數學成績在[40，50)與[90，100]兩個分數段內的學生中隨機選取兩名學生的基本事件總數，再得到兩名學生的數學成績之差的絕對值不大于10”的基本事件數，代入古典概型概率求解.【詳解】（1）∵圖中所有小矩形的面積之和等于1，∴10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1，解得a=0.03.

（2）根據頻率分布直方圖，成績不低于60分的頻率為1?10×(0.005+0.01)=0.85，

∵該校高一年級共有學生640人，

∴由樣本估計總體的思想，可估計該校高一年級數學成績不低于60分的人數約為640×0.85=544人.

（3）成績在[40，50)分數段內的人數為40×0.05=2人，分別記為A，B，

成績在[90，100]分數段內的人數為40×0.1=4人，分別記為C，D，E，F.

若從數學成績在[40，50)與[90，100]兩個分數段內的學生中隨機選取兩名學生，

則所有的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，

(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15種.

如果兩名學生的數學成績都在[40，50)分數段內或都在[90，100]分數段內，

那么這兩名學生的數學成績之差的絕對值一定不大于10.

如果一個成績在[40，50)分數段內，另一個成績在[90，100]分數段內，

那么這兩名學生數學成績之差的絕對值一定大于10.

記“這兩名學生的數學成績之差的絕對值不大于10”為事件M，

則事件M包含的基本事件有：(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共7種.

∴所求概率為P(M)=.【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖的應用以及古典概型概率的求法，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.20、（1），；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）利用數列為等比數列，將已知的等式利用首項和公比表示，得到一個方程組，求解即可得到首項和公比，結合等比數列的通項公式即可求出；將已知的等式變形，得到數列為等差數列，利用等差數列通項公式求出，再結合數列的第項與前項和之間的關系進行求解，即可得到；（2）先利用等比數列求和公式求出，從而得到的表達式，然后利用裂項相消求和法求出，假設存在不同的正整數，，（其中，，成等差數列），使得，，成等比數列，利用等比中項、等差中項以及進行化簡變形，得到假設不成立，故可得到答案【詳解】（1）因為數列為等比數列，設首項為，公比為，由題意可知，所以，所以，由②可得，即，所以或2，因為，所以，所以，所以，由，可得，所以數列為等差數列，首項為，公差為1，故，則，當時，，當時，也適合上式，故（2）由，可得，所以，所以，假設存在不同的正整數，，（其中，，成等差數列），使得，，成等比數列，則有，所以，則，即，因為，所以，即